以模糊聚類方法分析數學錯誤概念組型

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以模糊聚類方法分析數學錯誤概念組型

摘要

測驗可以反映學生的學習狀況，認知心理學的興起，使人們開始重視測驗歷程的錯誤反應。目前對於學生解題錯誤類型的探討重點，以錯誤概念的分析為主，皆以個別學生的試題反應為出發點，進行線性推論，少有針對學生整體錯誤反應而進行歸類，而傳統的群集分析方式亦難以處理錯誤概念的組型問題。

本研究取國小三上127個樣本接受數學測驗。其中121個為一般樣本，6 個為校內鑑定的學習障礙樣本。應用模糊聚類方法（Fuzzy C-means, 或簡寫為FCM）進行錯誤概念的組型探討，以期獲得一般學生及學習障礙學生的錯誤概念組型及其教學意義。

結果顯示，該方法可以得到學生類誤概念組型，亦發現本研究中的學習障礙樣本，其以概念為分析基礎的數學錯誤反應確實出現群聚現象。該結果可提供教師作為補救教學時的初步分類依據，亦可作為日常教學分組參考。

關鍵詞︰錯誤概念組型、模糊聚類方法、學習障礙、測驗、數學陳嘉甄

台北縣立清㈬國小教師

陳慶彥

國立㆗央大㈻電子計算機㆗心㈾訊工程師

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Abstract

Tests can reflect the students’ learning status. Because of the rising of cognitive psychology, so that researchers are beginning to pay attention to error responses in the course of test. At present, most discussions of problem-solving were focusing on the linear analysis of misconceptions, but very few on the similarity classify of the whole error responses. The traditional clustering method is difficult on finding the group type of misconceptions because of the characteristics of complex data in this research.

There are 127 samples in this study which include 121 as general samples and 6 samples with learning disability that were identified by special educational identification group in school. Fuzzy C-means method was used to process the group clustering of misconceptions for obtaining the misconceptions group type and its educational significance.

The result revealed that there were 3 clustering groups between all the samples’

misconceptions by using the clustering method FCM (Fuzzy C-meanings). The study also found that the error responses in the math test of most learning disabilities samples were clustered in the same clustering group. The result will provide teachers as a grouping reference in remedial and daily teaching.

Keywords: Group style of misconceptions, Fuzzy C-means (FCM), Learning disability, Test, Math

An Analysis of the Group Style of

Math Misconceptions Based on Fuzzy C-meanings

Chia-Chen Chen

Teacher, Taipei County Chin-Shuei Elementary School

Ching-Yen Chen

IT Engineer, Computer Center, National Central University

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壹、緒論

認知心理學的興起，使人們由原本重視學生的得分—正向反應，轉而重視錯誤反應，以之為教學方針擬定的重要參考。但是在一份測驗中，可能蘊含的訊息甚多，如何自測驗中取得大量的訊息，在診斷與教學上具有莫大意義。

對學生的答題反應有許多相關文獻探討，如林曉芳（2002）曾對於學生成就測驗中的不完整作答反應進行以Hot Deck補插法推估。該論文從答題反應缺漏項出發，可為精簡測驗及教學補救提供重要訊息，則進一步探究了個別試題反應在整體答題上的意義；另如羅家駿（2004）則應用資料探勘（

Data Mining）的關聯式法則（Association Rules）方法於學生解題反應的分析，發掘學習錯誤概念之關聯，找出學習者常犯錯的英語介係詞概念彼此之間的關聯性，預測可能發生的錯誤概念。朱瑞珠（1997）研究國小二年級學生在數學減法上的認知網路時，其晤談結果發現，錯誤類型產生的原因有許多，其中，對於「0」、「位值」、「借位」等概念的不清楚，是導致學生產生錯誤類型最多的原因。陳貞君（2006）擷取我國TIMSS 2003科學試題平均答對率低於國際答對率或低於50%之科學試題，以竹苗地區國小四年級學生對閱讀理解及解題過程之研究，即以錯誤概念的類型分析為基礎，發現有許多來自日常經驗或廣告訊息等所造成的錯誤概念。張家榮（2001）的研究係以設因推論結合傳統集合涵蓋理論，以及機率的概念，發展以人工類神經網路為基礎之兩層式機率因果網路連結模型，在兒童解題及作答歷程中，

做為認知診斷的核心推論模組，並建構一套對學生解題時的認知迷失診斷系統，進行兒童錯誤概念的自動分析及診斷。這些對學生解題反應的分析，以錯誤類型探討最多。目前對於學生解題錯誤類型的探討重點，以錯誤概念的分析為主，少有針對學生整體錯誤反應而進行歸類分析者。這類研究大多從解題認知心理歷程出發，以質性訪談的方式，了解學生的解題錯誤產生於何解題歷程（鍾聖校, 1994）。亦有從專家生手解題歷程比較，從事解題歷程分析，以了解孩子除內容知識外的錯誤成因。（Gagne, E. D. etc. , 1998）這

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些對於作答反應的探討，很詳盡的從學生錯誤概念或迷思概念進行探討；然而這些探討皆以個別學生的試題反應為出發點，進行線性推論，難以推論學生的錯誤概念組型。

就認知發展的觀點，認知具有個別差異性，但也會有群體共同性。因此欲了解學生錯誤概念，或許可以自群體的類別傾向中得到某些意義。以群體類型反應的分析為基礎，了解學生錯誤概念類型間的關聯，發現不同學生的錯誤反應是否存在群聚現象或類別，即本研究所謂的錯誤概念組型，是本研究進行的第一個目的。

認知心理學上對於知識的表徵存在不同的理論。進行知識結構測量時，

其基本假設為，在特定領域內，概念與概念的聯結是以交互聯結的方式形成組織，並將這種組織特性，稱之知識結構（Gagne, E. D. etc. , 1998）。

較之一般人，學習障礙者由於其腦功能特殊，因此在學習上會有差異表現。如果就認知角度而言，其某些概念結構或基模可能是適應性較小或不適的，比較學習障礙者與一般學生的概念結構有其必要性。學障學生的教學重點之一，在於協助學習困難學生修改認知結構中的迷思概念，建構適於當前學習體系的認知。其中，如何去辨識迷思概念或錯誤概念是很重要的環節。余嘉元（1995）曾以受試者的二值反應模式映射為笛卡爾乘積空間的一組序偶，計算受試者和錯誤規則在該空間的代表性位置之間的馬氏距離，並通過貝氏決策準則劃分被試的錯誤類型，識別出其中86%多的學生可以被劃分入18種認知錯誤類型中，但貝氏法分類仍然面臨某些樣本無法歸類的困難

（余嘉元，1995）。因此，尋找一個合適的方法，協助診斷者或教學者較明確的區辨學習者的錯誤概念結構特性，為本研究發展的目的之二。

對於錯誤概念較常見的研究方法是結合紙筆測驗及放聲思考法，再輔以訪談方式了解學生的錯誤概念。這種評估方法以學生個人為分析基礎，需花費大量的時間人工作業，且不適於不擅長使用語言表達的孩子，而學習障礙的孩子若有語文表達上的困難，便不適合這種方法。目前為止，對於錯誤概念的診斷仍多屬於學術研究範圍，實際教學應用並不普遍。如何快速得到學生類誤概念的組型，提供教師作為補救教學時的初步分類依據，亦可作為

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日常教學分組參考，是一個亟待研究的課題，成為本研究發展的目的之三。

聚類的定義乃是將特徵空間內的各點，進行分成數類的分割處理。當資料很單純時可以直接辨識或以一般線性統計予以處理，而不需複雜的演算方法。但是對於某些複雜的資料，如學生在測驗上的錯誤反應，每一個錯誤反應可能同時涵括多個相互關聯的概念，無法單純的以概念之交集或聯結來檢定其類型，想要利用傳統的統計處理方式來找尋學生的錯誤概念類型將會面臨困難。就本研究所欲探的主題—錯誤概念組型—而言，因為無法提供量化的聚類標準，因此難以直接識別組型或以線性統計方法找出聚類的規則。

當資料屬性複雜，無法很明確的指定屬於某一類，或類別邊界並不清晰分明時，即適合使用模糊集合論協助處理資料的分類問題。

在心理計量學界中，吳柏林、林原宏、游森期等學者對模糊理論的方法論及心理計量學上的應用已有一系列的探討。這些研究結果顯示，在預測人類行為及意見上，模糊集合論取向較傳統的精確邏輯方法更為有效（Wu, 1995; Wu & Lin, 2002a; 2002b; Yu, 2004）；模糊集合取向比傳統李克特式計量方法更為穩定及精確（林原宏，2001；2003a; 2004）；分類憂鬱症患者與非憂鬱症患者時，比較模糊聚類方法（FCM）與其他傳統的聚類方法，發現FCM方法與醫師的診斷的結果相關最高，即更能夠忠實的反映資料結構

（Yu,2004）。因此、本研究即擬以模糊聚類方法（Fuzzy C-means）協助解決資料分類困難的問題。

綜言之，本研究取國小三上127個樣本接受數學測驗。其中121個為一般樣本，6個為經校內鑑定小組確認的學習障礙樣本。應用模糊聚類方法（

Fuzzy C-means）進行錯誤概念組型分析，探討一般學生及學習障礙學生的數學錯誤概念是否存在不同組型及其教學意義。

貳、文獻探討

以下茲就學生的錯誤概念形成、學習障礙的定義、以及本研究所使用的模糊聚類方法FCM進一步敘述如下：

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一、不完整概念或錯誤概念（ faulty or incomplete representations；

misconceptions )

受認知心理學及基模建構論的影響，科學教育學界逐漸重視學生的錯誤概念（misconceptions）。Lawson等人（1989）認為錯誤概念會妨礙正常學習。一般而言，錯誤概念可能產生於兒童在學習時的錯誤理解，或是在概念演化歷程中自發性產生，也有可能來自於日常生活的錯誤印象。

迷思概念亦包含於錯誤概念，對於「迷思概念」的定義，有許多相關名詞，例如原有知識（prior knowledge）、先前知識（misconception），另有架構或另類架構（alternative framework）等。其蘊含的意義為，學生原本的想法與正統科學的概念不同（張銘傑，1997），或者「舉凡學生對某一科學概念的解釋與教材內容部分相同或不相同，亦即與科學界所定義的有出入者，即視為迷思概念」（高紹源，1996）。對於迷思概念的探討甚多，

Head（1986）提出，導致兒童形成迷思概念的來源包括日常的經驗與生活的觀察及錯誤推論、由類比錯誤所產生的混淆、隱喻的使用、受同儕文化的影響、及固有的不適概念。

錯誤概念的探究主要藉由比較學生與教師、生手與專家的觀點差異；

來源可能是因為學習不力、經驗不足、或是認知層次未臻成熟等等因素（鍾聖校，1994）。在學習表現上，錯誤概念可能同時展現於敘述性知識與程序性知識兩大部分。其中敘述性知識所指為事實性資料的知識，多半倚賴認知；而程序性知識則指涉問題解決歷程中所須的方法及策略，除了認知之外、還須倚賴實際活動的配合（張春興，1991）。

陳義勳（1994）曾以台北市20位高年級學生進行自然科力學迷思概念之探討。研究內容涵蓋力學的基礎概念，如地心引力、槓桿原理、功的原理、重量及簡單力學所使用的工具，如滑輪、輪軸等，採訪談方式進行資料的蒐集與分析；鍾聖校（1994）研究不同教學方法對概念修正的影響，同樣採用晤談方式找出學生可能的錯誤概念，再以文字敘述，形成陳述句。但是研究者同時也提出，目前為止，錯誤概念的相關研究及實証研究較少，與錯誤概念多半採用質性研究有關（鍾聖校，1994）。

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余嘉元（1995）運用規則空間模型識別學生解題中的認知錯誤，該模型將認知心理學、項目反應理論和數據庫的代數理論相結合，將被試的二值反應模式映射為笛卡爾乘積空間的一組序偶，然後計算被試和錯誤規則在該空間的代表性位置之間的馬氏距離，並通過貝氏決策準則劃分被試的錯誤類型，識別出其中86%多的學生可以被劃分入18種認知錯誤類型中（

余嘉元，1995）。但貝氏法來分類還是會面臨某些樣本無法歸類的困難（

余嘉元，1995）。

近年來，已逐漸有研究並採質性晤談與紙筆測驗結合，利用紙筆測驗這種較為經濟方便的方法，協助研究與教學診斷。利用晤談方式來找出學生可能的錯誤概念，存在某些問題，例如判斷歷程須人為主觀決定、學生可能受限於言語表達能力不足，而無法適切敘述出內心想法。因此研究者須具相當的專業素養，才可能精確而完整的分析出學生的錯誤概念（陳嘉甄，

2001）。也因錯誤概念多半仍限於專業性的研究，而少應用於一般教學的診斷協助上。

近代認知心理學的研究認同，概念在人類認知系統中為一網狀架構，

概念之間存在錯綜複雜的聯結。概念在人與人之間雖具溝通的共通性，但是這些概念間的關聯卻會隨著個人的訓練背景與文化而呈現差異。這樣的觀點代表著，即使是相同學科、相同課程中所教授的概念，在個人的知識架構中可能具不同意義。如果從概念的適應性與其在腦中網狀儲存架構來看迷思概念，則迷思概念的產生（或變得可觀察化），是源自其認知架構的模式無法適應外在問題解決的需要，但是其概念間的聯結型式卻是不合於目前的認知體系的。如何去發覺學生概念的聯結型式卻非常困難，尤其要尋求一個量化的指標更是不可得。

在研究者的努力下，量化「知識表徵」（knowledge representation）或

「知識結構評量」（evaluation of knowledge representation）變得比以往可行。

「知識結構評量」的歷程通常是將已轉換的知識表徵與外在標準再加以比較

，以得知該知識與標準的差異。通常這個外在標準是以專家的知識結構作為來源。在心理學領域中，發展出MDS（Multidimensioal Scaling，或譯為多向度量尺法）與徑路探測技術（Pathfinder）來協助揭示記憶系統中概念的

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聯結。兩種方法各自藉由不同的機制來完成這個目的，也都會得到不同的記憶表徵（Schvaneveldt, Durso, & Dearholt, 1985）。MDS的目標之一，在於表徵出某個概念領域下的語意向度，可提供概念如何在記憶中組織的資訊。MDS中點與點的歐基里德距離，即表示概念的心理距離。徑路探測則由Schvaneveldt 等學者所共同研發，以理論圖解技術來判斷配對概念間的關聯性，以產生某一領域內概念的網路表徵（Branaghan, 1990）。並有Goldsmith等人依此方法系統性的進行探究，透過專家與生手之間結構圖的比較，參考「相似性指數」（closeness index，簡寫為PFC，或譯為C指數）、「圖解理論距離」（

graphical theoretical distance, 簡寫為GTD指數）、「接近性指數」（proximity index, 或簡寫為PRX指數）以比較專家生手間的相似程度。

徑路探測技術（Pathfinder）可以探索個人的潛隱知識結構，以心理距離表示某些概念在個人認知體系中的位置，亦可看出群體對於某些概念的折衷位置，但重點並不在於探討其群聚分群特徵。MDS則可以從一個相似性判斷或相關係數中，抽取資料值的潛在結構。目的在於把相關性資料轉換成最少向度的主題概念差距的點狀表徵（林曉芳，2001）。多向度量尺法以畫在座標上的點來表徵每個概念，所有概念被安排在n度空間中，可以看出集群的某些共同特徵，唯使用多向度量尺法來表徵知識結構的困難之一，在於難以界定向度及正確的向度數，尤其當向度超過3個以上時，則幾乎無法辨識。無論是路徑探測技術或多向度量尺法，都是以個別分析為基礎，本研究則企圖提出一個群體分析的解釋架構，以辨識學生的錯誤概念組型。

二、學習障礙（ Learning Disability, LD）

近30年來對於學習障礙的討論甚多，相關術語包括輕度失常、腦傷、

神經損傷、知覺殘障、讀字困難或失語症等，這些術語都只能部分解釋學習障礙，但一直沒有一個明確的定論（楊坤堂，1995）。因此學障往往非單一狀況，而是高複雜的，難有適當的界定。

1991聯邦法中的個體障礙教育法案（IDEA）定義了所有「障礙條件」，

期望透過明確的立法使特殊兒童們可以受到特殊教育的服務。其中一種障礙

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稱之為特殊學習障礙，定義為「特殊學習障礙意味著一或多種基本的基本心理態度的失調，包括理解力或語言、口語或文字書寫的使用。…智能不足、

情緒困擾、或環境、文化、經濟方面的不利困素都不包含在本用語的範圍中」

（引自LD認識學習差異，陳淑惠譯，1997，頁11-12）。該定義指孩子若在智力測驗中的「預測性」與其學業成就的「實際性」二者出現不一致，則意味該生可能有學習障礙的問題。

對於學習障礙類型有各種不同見解，一般而言，學習障礙至少有五類，

包括學業學習障礙、語言學習障礙、注意力缺失症、知覺動作障礙、及社會知覺障礙。其中具有學業學習障礙的孩童，在某一科目或多科目的學習上會遭遇困難，但在其它表現卻十分平穩。通常這些孩童在某些層次的閱讀上會十分吃力，也有可能具突出的閱讀能力，但數學困難（陳淑惠，1997）。楊坤堂（1995）整合Johnson & Myklebus（1967）與Geartheart（1981）所提出學習障礙者「共同特徵」與「異質性特徵」，說明如下︰

（一）同質特徵︰學習障礙者具三項共同特質，一為正常或正常以上智力；二為其能力與成就間有顯著差距；三是其學習問題非由生理殘障、感覺殘障、智能不足、情緒障礙、或環境（經濟或文化）不利所造成。

（二）異質特徵︰學障兒童的學習與行為障礙徵候十分多樣，每個學障兒童都是獨特的。這些獨特的差異如果由訊息處理歷程來分析，可以再分成三類︰

1.資訊處理的輸入系統問題︰即感覺體系的障礙，如知覺或觸覺系統的失常。

2.資訊處理的統整系統問題︰即心理歷程的障礙，包括知覺、注意力、

記憶力失常，或語言能力障礙。

3.資訊處理的輸出系統問題︰即其知覺動作整能力或行為反應能力的障礙，如動作活動能力不足等。

我國教育部將「學習障礙」定義為「因神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、推理、表達、知覺和動作協調等能力有顯著問題，以致在聽、說、讀、寫等學習上有顯著困難者。學習障礙為統稱一群不同心理歷程

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異常之類型，如閱讀障礙、書寫障礙、數學障礙、知動協調異常、注意力缺陷、或記憶力缺陷等。學習障礙並非因感官障礙、情緒障礙等障礙因素，或文化刺激不足、教學不當等環境因素直接造成之結果。」（教育部，1998）。

其鑑定的條件必須符合以下三項：

1.智力正常或在正常程度以上者。

2.個人內在能力有顯著差異者。

3.注意、記憶、聽覺理解、口語表達、基本閱讀技巧、閱讀理解、書寫、數學運算、推理或知覺動作協調等任一能力表現有顯著困難，且經評估後確定一般教育所提供之學習輔導無顯著成效者。

綜前所述，在診斷或鑑定學習障礙兒童時，須特別注意其內在差距程度，特別是考慮其語文能力與非語文能力的差距，排除文化不利因素後，再研究其學習問題是屬於能力的缺陷或是發展遲緩的現象，其心理動作能力或語文發展能力對於學業成就的影響如何。

三、模糊聚類方法（ Fuzzy C-means，或簡寫為FCM）

聚類的定義乃是將特徵空間內的各點，進行分成數類的分割處理。當資料很單純時可以直接辨識或以一般線性統計予以處理，而不需複雜的演算方法。但是對於某些複雜的資料，如學生在測驗上的錯誤反應，每一個錯誤反應可能同時涵括多個關聯概念，無法單純的以概念之交集或聯結來檢定其類型，想要利用傳統的統計處理方式來找尋學生的錯誤概念組型將會面臨困難。

傳統的集群分析方法下，將資料作二分法，明確以「屬於」或「不屬於」某個集合的方式來分群。這種方式可能造成原始資料訊息的喪失，也存在難以取得有意義的分析結果的問題。

較之工程學界研究模糊集合論的論文盛茂情形，心理計量學界仍顯得微少。目前、吳柏林、林原宏、游森期等學者對模糊理論的方法論及心理計量學上的應用已有一系列的探討。吳柏林（Wu, 1995; Wu & Lin, 2002a;

2002b）的系列研究結果顯示，在預測人類行為及意見上，模糊集合論取向

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較傳統的邏輯方法更為有效；林原宏（Lin , 2001; 2003; 2004）在電腦模擬及實際個案分析的結果發現，模糊集合取向比傳統李克特式計量方法更為穩定及精確。游森期（2004）在比較憂鬱症患者與非憂鬱症患者的分群效果時，進一步比較華德方法（Wald’s method）、k平均數方法（k-means method）、

及模糊聚類方法（Fuzzy C-means）等演算法的群集效果，以醫師診斷的憂鬱程度作為評估分類結果之效標。其研究結果顯示，相較於傳統有明確邏輯規則的集群分析（如華德方法、k平均數方法），模糊聚類方法與醫師的診斷的結果相關最高，即更能夠忠實的反映資料結構（Yu, 2004）。因此、本研究即擬以模糊聚類方法協助解決這種分類困難。

模糊集合將傳統集合論特徵函數從非0即1的二值選擇，推廣為可從0到 1之間的任何值作選擇，此新型的特徵函數，稱之為歸屬函數。

就本研究所欲探的主題—錯誤概念組型—而言，因為無法提供量化的聚類標準，因此難以直接識別或聚類。至於何謂單純資料或複雜資料，可以圖示如下。

圖1 資料聚類案例 A.單純資料 B. 複雜資料

�

� 1

� 2

A B

當資料屬性複雜，無法很明確的指定屬於某一類，類別邊界並不清晰分明時，模糊聚類方法即可協助解決這種分類困難。基於本研究的資料特性，本研究擬以模糊聚類方法，解決原始資料具有模糊重疊性質存在的分類問題。Bezdek（1981）提出模糊聚類方法，其演算法如下（繆紹綱，1999）︰

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若U為一分割矩陣（partition matrix）：

� � u i M j N U

� _i_,_j , �1,2,..., ; �1,2,...,

其中Uijε〔0,1〕，表示樣本xj歸屬於第i個類別的程度，其限制有二：

（1）限制1 1

1 , �

�

� M

i

u

ij ，對所有的j = 1,2,…, N

（2）限制2

N

u

j i j

�

� �

�1 ,

0

，對所有的i= 1,2,…, M

為使群集空間距離總和最小，使用成本函數如下：

1 , )

,

( ²

1 1 ,

, �

��

� �

r m x u m

u

J

^M

i N

j r j i

j i i

j i

其中mi為第i群的群聚中心，r為指數型權重，此權重會影響分部矩陣歸屬值的模糊化程度。

根據上方式子，可以得到：

M i

x u u

m

^N

j r j

j N i

j j r i

i ( ) , 1,2,...,

) (

1

1 , 1 ,

�

^�

�

N j

M i

m x

m u

_M

x

k

r k j

r i j

ij

, ,1 2 ,..., ; ,1 2 ,..., 1 )

( 1 ) (

1

1 1 2

�

� �

�

FCM的程式設計步驟如下：

步驟一：設定聚類群數M及權重r，2≦M≦N ; 1＜r＜∞

選取初始的分割矩陣U⁰，及結束程式所需的誤差臨界值ε。

設定遞迴的次數t = 0。

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步驟二：以U^t及前述的群聚中心mi演算法則計算模糊聚類中心

� m

_i⁽^t⁾

i � ,1 2 ,..., M �

步驟三：以及Uij的演算方法計算分割矩陣U^t+1。步驟四：計算

� m

_i⁽^t⁾

i � ,1 2 ,..., M �

若△＞ε，則t = t+1；否則結束

參、研究方法

有關學習障礙受試者的基本學習狀態，研究工具、及研究所使用的測驗試題分析，分項敘述如下：

一、研究工具

鑑定學習障礙學生時，採用一些標準化測驗結果作為診斷參考，包括個案的魏氏兒童智力量表測驗（第三版）所得智力商數、托尼非語文智力測驗分數、芮文式智力分數等以協助研究者確定個案基本智能應為正常；研究中的所有學習障礙學生個案，在進入學習障礙鑑定程序之前，其魏氏智力量表測得的智商均落於80~98之間，基礎智能皆屬正常。

由於教師推介的學生在班上的語文表現皆是班上最後3%內，因此鑑定者另外利用二個非語文的智力測驗協助鑑定，希望能免除文化規制，了解其學習困難是否受文化不利因素影響。二個非語文智力測驗包括︰1.芮文式智力測驗，及2.托尼非語文智力測驗。

此外、鑑定者亦對於受試者進行一些背景知識評估，包括認字和理解能力的評估、基礎數學概念的評量。取得這些量化資料後，鑑定者將再進一步進行討論與資料分析。

在此歷程中採用的標準化測驗包括︰1.柯華葳（1999）所編制的閱讀理解困難篩選測驗來診斷閱讀理解困難兒童。2.洪儷瑜主編的高頻字測驗及黃秀霜（2001）編製的中文年級認字量表協助研究者了解受試者的語文程度；

另採用洪儷瑜等（2003）編製的看注音寫國字測驗，藉以了解孩子的注音認

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讀及國字書寫表現，可以之分析其書寫錯誤類型。3.本研究亦將借助柯華葳

（1999）所發展的基礎數學概念評量，測量受試者的基礎數學概念。此三個測驗都有提供信效度及參照常模，皆為標準化測驗。

二、研究對象

研究對象為台北縣某國小三年級學生，取樣樣本分為二部分，一部分為一般學生；另一部分為學習障礙學生。一般學生的取樣乃自該校20個班級中隨機抽取3個班級受測，人數共121人；學習障礙學生則先請教師在二年級下學期期末時提介各班有學習困難學童共24人。先以觀察法、訪談法以及測驗，取得學生相關能力資訊後，再經由鑑定小組成員（包括導師、資源班教師、及縣府委任鑑定老師三人，全部共五人）鑑定是否為學習障礙。本研究從最後結果報告中選取6人進行測驗；對於學生的觀察紀錄包括由級任教師填寫的台北縣特殊需求學生轉介資料表及普通班教師實施補救教學或學習輔導訪談大綱、及學業成就紀錄等。

研究者取得研究對象相關資訊的來源除了教師在學習障礙學生轉介資料摘要表中所陳的觀察資料外，另透過一些標準化以取得較為深度的資訊。

首先是個別施測的托尼非語文智力測驗與團體施測的芮文氏智力測驗，以其得分及百分等級為基本能力的參考指標；其次則採其班級學業成就測驗分數及教師所陳該生在班上的排序地位，藉此了解學生在班上的一般學習表現；

另外，為了解學生是否具有語文或數學學習上的障礙，研究中也對學生的認字和理解進行個別測驗，包括（1）中文年級認字量表，取得原始分數後對照測驗所附的切截分數，推估其認字能力；（2）閱讀理解測驗，以之取得原始分數後對照測驗所附的切截分數，推估其語文理解測驗能力；（3）看注音寫國字測驗，藉以了解孩子的注音認讀及國字書寫表現，可以之分析其書寫錯誤類型；（4）基礎數學概念評量，以一、二年級的數學學習內容為測驗參考，包括比較大小、不進位加法、進位加法、不借位減法、借位減法

（又分為三個層次），經由基礎數學概念評量結果的分析，有助了解孩子的基礎數學加減運算能力，分析其發展所至層次。

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關於學習障礙研究樣本的基本能力的分析，其進入鑑定程序之前以魏氏兒童智力量表（第三版）的測驗報告，顯示其基礎智能均屬正常。至於其語文及數理能力的測量結果茲分述如下︰

1.樣本121在二種非語文智力測驗結果不太一致，托尼非語文智力測驗中智力商數（I.Q）為84，百分等級為14，芮文式智力測驗得分為10，百分等級2；經觀察及教師晤談結果，排除文化不利及生理障礙可能。然其整體學習成就為班上的最後3%；孩子在認字、閱讀理解測驗二方面的表現是有困難的。至於看注音寫國字上得分則未低於切截分數，其基礎數學概念評量結果則顯示，其數學基礎運算能力良好。

2.樣本122在二種非語文智力測驗、觀察、及晤談結果皆顯示個案文化不利及生理障礙的問題，托尼非語文智力測驗智力商數為80，百分等級為9，

芮文式智力測驗原始得分為15，百分等級7。其整體學習成就為班上的最後 3%。丙生在認字和看注音寫國字上得分都低於切截分數，閱讀理解測驗得分則高於切截分數，推測孩子在讀寫上表現有困難的，而語意理解則良好。

至於其基礎數學概念評量結果則顯示，其數學基礎運算能力不佳，僅能做數量大小比較，無法做加減運算。資料分析結果顯示，該生基本能力與成就表現差異甚大，然該差異並非由特殊障礙所引起，亦非受文化不利因素影響。

3.樣本123在二種智力測驗結果差異較大，托尼非語文智力測驗中智力商數為107，百分等級為68，芮文式智力測驗得分為13，百分等級4；經觀察及與導師晤談，排除文化不利及生理障礙因素。其整體學習成就列屬班上的最後3%。丙生在認字、閱讀理解測驗、和看注音寫國字上得分都低於切截分數，顯示孩子這三方面的表現是有困難的。其基礎數學概念評量結果則顯示，數學基礎運算能力良好，可達到同年級應有的計算水準。其語文與非語文的測驗表現存在差異。但基本數學運算能力與數學成就測驗結果不一致，

推測可能是由於其語文能力影響所致。

4.樣本124在教師的觀察中，該生有注意力無法集中及運作記憶負荷量較小等問題。首先該生在二種非語文智力測驗結果有相當落差，托尼非語文智力測驗中智力商數為105，百分等級為63，芮文式智力測驗得分為15，百

(16)

分等級7；在研究者觀察及與導師訪談後，初步認定並未具有文化不利及生理障礙因素。整體學習成就為班上的最後3%。在認字、閱讀理解測驗、和看注音寫國字上得分都低於切截分數，顯示孩子這整體語文理解與表現是有困難的。至於其基礎數學概念評量結果在比較大小、不進位加法、進位加法、

不借位減法、借位減法的第一層次上都是高於切截分數的，但在借位減法的二、三個層次則是低於切截分數的。整體而言，因此其語文上的基本能力與數學基本能力有不一致的落差表現。

5.樣本126在二種智力測驗結果均顯示基礎智能正常，其托尼非語文智力測驗中智力商數為94，百分等級為34，芮文式智力測驗得分為27，百分等級66；整體學習成就列屬班上的最後3%。該生在教室的環境很少發言或講話，且有構音上的困難。與教師對談反應較一般孩子遲緩，問題解答反應也較慢。其測驗結果得到，該生在認字和看注音寫國字上得分都低於切截分數；

由於受測者有讀題困難，因此由測驗者代為朗讀閱讀理解測驗的文章內容及測驗題，其得分則高於切截分數。前述測驗結果顯示孩子在語文的基本的讀寫學習存在困難，但語意理解能力則尚可。至於其基礎數學概念評量結果則顯示，其數學基礎運算能力良好。因此其語文上的基本能力與數學基本能力有相當落差。但乙生平常在班級中數學紙筆測驗表現中也不佳，推測可能是由於其語文能力較差所致。

6.樣本127在二種智力測驗結果差異極大，托尼非語文智力測驗中智力商數為104，百分等級為61，芮文式智力測驗得分為15，百分等級7；其整體學習成就列屬班上的最後3%。經觀察及與導師訪談後，亦排除文化不利及生理障礙等干擾因素。丙生在認字、閱讀理解測驗、和看注音寫國字上得分都低於切截分數，顯示孩子這三方面的表現有困難。至於基礎數學概念評量結果則顯示，其數學基礎運算能力良好。因此其語文上的基本能與數學基本能力有相當落差，推測可能是由於其語文能力較差造成數學紙筆測驗表現不佳。

(17)

三、測驗題目概念分析

本研究測驗題目取材自三年級上學期數學單元五（三位數的加減）、

單元六（角與圖形）、單元七（重量）、單元八（乘法）、單元九（分數）

共五個單元，每單元之學習活動及包含概念請參考附錄之單元內容分析表，

包括28概念分別以代號1至28表之。在群集運算過程中，則將28個概念轉換為28個維度。測驗題目由研究者編擬，經三位三年級導師會審修改後施測。

每道測驗題目所涵括概念亦由研究者與三位數學授課教師共同商討決定。試題概念分析結果如表1所示。

表1 試題概念分析表

一、算算看三、把作法和答案記下來六、看圖回答問題

1. 1,2,4,5 1 6,19,20,23 1 10,11,12,13,14 2 19,23 2 6,19,20,23 2 10,11,12,13,14 3 19,23 3 16,18,19,20,21 3 9,11,13,14

4 21 4 16,1819,20,21 4 2,15

5 17 5 20,21,22 5 11,12,14,15

6 16 四、填填看 6 11,12,23

7 21 1 6,8, 7 2,6,11,12

二、寫出直式算算看 2 11,13,14,15 8 15,17,19

1 1,3 3 22

2 1,3 4 1,2,20

3 1,2 5 19,20

4 1,2 6 24,25,26,27,28 5 1,3 7 24,25,27,28 6 1,2 8 24,25,26,27,28

7 1,3,4,7 五、連連看

8 1,2,4,7 1 19

本研究依文獻探討中所提及之模糊聚類方法（FCM），委由中央大學資訊工程師陳慶彥先生設計電腦程式，進行資料群聚及錯誤概念組型分析。

(18)

肆、研究結果分析

一、聚類結果

將學生錯誤概念組型的強迫分類結果如下圖所示。圖中以不同顏色區分類別。圖中顯示本研究資料確實有群聚現象，即學生錯誤概念組型存在。

分為二群、三群及四群，其中分為四群較有辨識困難問題，二群或三群的聚類效果良好。因此本研究採取三群的分類方式進行進一步分析。

1.載入127個樣本，28個特徵維度，分成二群時之分群結果如下圖所示。

圖2 二群聚圖

(19)

2.載入127個樣本，28個特徵維度，分成三群之分群結果如下圖所示。

圖3 三群聚圖

圖4 四群聚圖

3.載入127個樣本，28個特徵維度，分成四群時之分群結果如下圖所示。

(20)

二、錯誤概念分析

將學生錯誤概念組型分成三個群聚，每個群聚各有一群聚中心，群聚中心可視為是該群聚之典型特徵。本研究的測驗內容範圍包括28個概念，因此共有28個維度。首先，從每一群的群聚中心來看，數值可參考表2所列。

研究中樣本編號121, 122, 123, 124, 126, 127的學生為校內評鑑人員鑑定具學習障礙者。樣本121, 122, 123, 124, 及127之錯誤概念組型均列屬於群聚一。而樣本126則列屬群聚三。

群聚一的學生答題反應有某些共同趨向，本研究中大部分的學習障礙樣本屬於此類。雖然在各維度上都有錯誤發生可能性，但其錯誤發生在維度 1，維度2，維度11，維度13，維度14，維度19，維度20，維度24機會最高，

其次維度12，維度15，維度25，維度27，及維度28可能性也很高。亦即學生在進借位與位值、加法、重量單位、秤重工具、識別刻度、乘數被乘數與乘積關聯、加法與乘法關聯、和等分等概念的題目上較易犯錯；其次則是等量、

重量估計、分數、分子、和分母等概念。這類型的學生樣本包括不同成就分數的學生（參見表3）。

本研究中的學習障礙樣本126是唯一歸屬於群聚三的。群聚三學生答題反應之共同趨向顯示，這類型學生錯誤發生機會較高者產生在維度1，維度 2，維度3，維度11，維度12，維度19，維度20，維度21，和維度23，其次則是維度4，維度5，維度6，維度7，及維度8，維度13，維度14，維度15，維度22，維度24，維度25，維度26，維度27，維度28。亦即學生在進借位與位值、加法、重量單位、秤重工具、識別刻度、乘數被乘數與乘積關聯、加法與乘法關聯、和等分等概念的題目上較易犯錯；其次則是等量、重量估計、

分數、分子、和分母等概念。這類型的學生樣本包括不同成就分數的學生（

參見表3）。

分群二人數最多，共66人，幾與其它二群總和人數相當，沒有任何學障學生歸屬於該群，分群二可視為一般學生的普通表現。本群學生在各類型概念的錯誤是隨機性的，來自於機遇性的計算錯誤機會較高。整體而言，本

(21)

類型學生在維度11、維度12、維度13、維度14表現較差，即重量單位的等量、秤量工具、識別刻度、重量估計等四個概念較易成為本群學生的錯誤概念，這些與重量相關的錯誤概念都在同一單元內容中。

表2 各群聚之群聚中心與樣本分群

分群分群1 分群2 分群3

群聚中心位置

3.11, 2.78, 1.48, 0.75, 0, 0.73, 0.75, 0.63, 0, 0, 3.86, 1.84, 2.02, 2.43, 1.33, 0.18, 0.58, 0, 3.01, 2.7, 2.34, 0.47, 1.72, 1.55, 1.55, 1, 1.55, 1.55

1.35, 1.09, 0.69, 0.23, 0, 0.33, 0.23, 0.42, 0, 0 , 1.99, 0.74, 1.25, 1.35, 0.35, 0.07, 0.16, 0, 1.04, 0.89, 0.98, 0.19, 0.61, 0.47, 0.47, 0.28, 0.47, 0.47

第3群之群聚中心

2.25, 1.92, 1.14, 0.49, 0, 0.56, 0.49, 0.52, 0, 0, 3.06, 1.34, 1.72, 1.98, 0.82, 0.1, 0.34, 0, 1.96, 171, 1.62, 0.3, 1.17, 1.04, 1.04, 0.64, 1.04, 1.04 分群

結果

樣本12、樣本15、樣本18、

樣本102、樣本 11 4 、樣本 121、樣本122、樣本123、樣本124、樣本125、樣本127

樣本99、樣本100、樣本101、

樣本103、樣本104、樣本 106、樣本107、樣本108、

樣本109、樣本110、樣本112、

樣本115、樣本116、樣本118、

樣本119

樣本93、樣本98、樣本105、

樣本111、樣本113、樣本 117、樣本120、樣本126

(22)

表3 不同群聚之錯誤概念關聯類型表

群聚一群聚三群聚二

1.進位、退位、位值。a 1.進位、退位、位值。a 1.進位、退位、位值。a

2.加法的意義。a 2.加法的意義。a 2.加法的意義。a

3.減法的意義。 3.減法的意義。a 3.減法的意義。a

4.等號的對稱意義。 4.等號的對稱意義。b 4.等號的對稱意義。

5.比較量。 5.比較量。b 5.比較量。

6.分解問題。 6.分解問題。b 6.分解問題。

7.加減法的可逆性。 7.加減法的可逆性。b 7.加減法的可逆性。

8.圖形基本概念︰斜、直、平、

折、點、線、多邊形、垂直、

平行。

平行。b

平行。

9.量的守恆、旋轉、空間。 9.量的守恆、旋轉、空間。 9.量的守恆、旋轉、空間。

10.重量單位。 10.重量單位。 10.重量單位。

11.等量。a 11.等量。a 11.等量。b

12.秤重工具。b 12.秤重工具。a 12.秤重工具。b

13.識別刻度。a 13.識別刻度。b 13.識別刻度。b

14.重量估計。a 14.重量估計。b 14.重量估計。b

15.乘數或被乘數為1的乘式。b 15.乘數或被乘數為1的乘式。b 15.乘數或被乘數為1的乘式。

16.乘數或被乘數為0的乘式。 16.乘數或被乘數為0的乘式。 16.乘數或被乘數為0的乘式。

17.直式計算。 17.直式計算。 17.直式計算。

18.被乘數、乘數、與乘積的關聯。

19.加法與乘法關聯。a 19.加法與乘法關聯。a 19.加法與乘法關聯。b 20.三位數乘一位數化聚。a 20.三位數乘一位數化聚。a 20.三位數乘一位數化聚。

21.乘法交換律。 21.乘法交換律。a 21.乘法交換律。

22.乘數或被乘數未知算式填充題。

22.乘數或被乘數未知算式填充題。b

23.等分。 23.等分。a 23.等分。b

24.分數。a 24.分數。b 24.分數。

25.部分量。b 25.部分量。b 25.部分量。

26.分子。 26.分子。b 26.分子。

27.分母。b 27.分母。b 27.分母。

28十分之幾。b 28.十分之幾。b 28.十分之幾。

註：a.表示該類型錯誤概念趨勢最強；b.表示該類型錯誤概念趨勢次強

(23)

三、學習障礙學生之錯誤概念組型分析

對錯誤概念組型分析，有助我們進一步了解學習障礙學生的學習特性。

首先，本研究的六個學習障礙樣本有五個被歸於分群一，在此稱為第一類。

第一類樣本錯誤概念所展現的共通特性在於，當解題混雜多樣化的計算時，

即難以負荷；或者，當題意涉及二種以上演算方法的關聯時，就較容易產生困難。因此該類型學生可能是短期記憶負荷量較小、工作記憶處理量不足；

也可能因為該類型學生偏向機械性記憶，其內部認知結構無法為這些不同的演算法建立適當聯結，致使解題困難產生，其整體犯錯比率也高於其它群集；

亦有可能這些學生在某些概念上的理解是不合適的，即使單純解題計算無礙，

卻無法解決複雜題型。除了本研究的五個學習障礙樣本外，還有27個一般樣本也具本分群特性。

本研究另一個學習障礙樣本屬於分群三，全部共29人，在此稱為第三類。該類型學生所展現的學習特點是，其錯誤關聯類型偏向於單純的基本概念，但在複雜計算上表現則稍佳於單純題型；推測其原因可能來自於機遇式的計算錯誤。樣本126是唯一列於這一群的學習障礙樣本，參考其學障相關測驗，該生的語文理解能力尚可，唯有較嚴重的讀寫及表達困難，數學基本運算能力良好。其數學錯誤概念組型分析顯示該生整體的答題傾向與其他學習障礙樣本不同，較之於其他學習障礙樣本，雖同樣受限於讀寫困難，但該生處理較複雜數學概念的能力是較佳的。

至於研究所得最大的分群二，稱之為第二類，是大多數學生所歸屬的類型。本類型學生沒有特殊的錯誤概念組型趨向出現，其錯誤在各維度出現的機率是隨機穩定的。

研究者也發現，不論第一、第二或第三類的學生，普遍在重量這個單元的概念測驗上都顯現困難。

伍、研究結論與建議

本研究對於127個樣本進行數學測驗（6個學習障礙樣本與121個一般樣

(24)

本）與錯誤概念分群，結果發現學習障礙樣本確實出現群聚現象。5個學習障礙樣本歸屬於第一類，1個歸屬於第三類；至於第二類所涵括人數最多，

全為一般學生樣本。

對於一般學生而言，多屬於第二類，其錯誤概念出現是隨機分布的，

在教學歷程中應多澄清基本概念，並加強不同概念間的關聯性探討。至於本研究所取學習障礙學生多屬於第一類，顯示其錯誤概念確實具有共同趨勢存在，且多出現於較複雜的關聯性概念中，推測可能與本研究學障學生的認知功能及語文能力不佳有關，致使解題困難。然而該類形亦可能展現於非學障學童的解題表現上，即徵狀及特色相似，但是一般學童的錯誤率稍低。另外、僅有一學障學生歸屬的第三類型，此類型學生的整體解題錯誤較少，且隨機出現在基本概念中，可能因疏忽大意而犯錯，是屬於能力較佳、但不夠謹慎的一群。在教學上教師供補救教學時，可針對這類型學生出現的主要錯誤概念，配合建構式的思辯歷程，激發學生對於本身迷思概念省思修正。該結果除了可提供教師作為補救教學時的初步分類依據，亦可作為日常學習時的分組參考依據。

再者，雖然分為三種類型，但三類的學生普遍在「重量」這個單元的概念測驗上出現困難，類似的結果也曾出現在對於國小三下學生的自然科學知識結構研究中（陳嘉甄，2001）。這樣的結果是否能得到其它實証研究的數據，是須要再努力的；或者若真的有此共通現象，那麼原因為何? 究竟是學生認知發展層次不適在三年級學習重量的概念，或者是教材結構與呈現上的問題，值得再深入探索。

概念具有層次性與複雜性，因此分析時常會遇困難。在一道數學題中會包含各種概念，而中年級的數學概念又包含低年級的解題概念；認知心理學對於解題歷程的研究則提出，數學解題不僅涉及數學概念，甚至其語文理解的影響。

本研究對於概念的群聚分析，可以展現學生在錯誤概念的共同趨勢。

也發現，學習障礙者存在類似的數學錯誤概念組型，並且部分一般學生有類

(25)

似的錯誤概念組型存在，該結果可提供為補救教學時的一項參佐，針對其錯誤概念組型，進行該單元的重新教學，或是讓這些學生有實際的操作體驗，

可能較有助於未來學習。

基於前述研究結論，本研究提出建議如下︰

1.各試題蘊含概念數量可能影響分群結果，然而各單元教學的重點不同，因此試題中的概念分配比重也各異，目前仍倚賴專家判斷為主。本研究結合不同單元進行測量，未來研究者可考慮分單元進行測驗分析，使概念測量有更均勻的機會呈現。

2.未來研究可進行類神經網路與模糊聚類方法（Fuzzy C-mean）之效果比對︰當前對於學生迷思概念或錯誤概念的研究以推論規則為主要的進行方式，使得迷思概念只能以「線性區分」的方式呈現。學者孫光天曾提出利用類神經網路區分學生能力的構想，利用其非線性區分能力得到學生的迷思概念關聯（孫光天，1998）。比較類神經網路與模糊聚類方法（Fuzzy C-mean）

在學生迷思概念關聯類型的區分效果，是未來研究者可以發展的方向之一。

3.結合遺傳演算法，找出最具代表性的錯誤概念組合︰遺傳演算法利用仿生物遺傳演化的特徵，能避免區域最大值的問題，有助於找尋許多複雜問題的最適解。本研究以模糊聚類方法（Fuzzy C-mean）得到學生錯誤類型的分類，其結果顯示學生解題時確實有不同的錯誤趨勢。未來研究可考慮結合遺傳演算法，得到學生錯誤關聯類型後，再以遺傳演算法找出每一關聯類型內最具代表性的錯誤類型。

4.診斷錯誤概念組型，結合電腦輔助教學，發展智慧型教學系統︰認知心理學解釋人類心理反應的模式之一為神經網路模式（neural network models），該模式提出人類不同的認知處理模式同時發生，因此任一反應的發生同時涉及許多相關訊息的處理，該模式亦稱之平行分散處理模式（

parallel distributed processing）。任一概念並非獨立的存在於記憶中，而是如關聯網路般的存在。以學生錯誤關聯類型診斷為基礎，可應用於電腦輔助教學系統中，建立智慧型的教學系統，對於學障學生的學習應將有所助益。

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附錄單元內容之概念分析

單元名稱學習活動包含概念

國小三上單元五︰

三位數的加減

1.三位數加減的解題活動。

2.三位數合成與分解問題的解題活動。

3. 三位數直式加減的解題活動。

1.進位、退位、位值 2.加法的意義 3.減法的意義 4.等號的對稱意義 5.比較量

6.分解問題 7.加減法的可逆性國小三上單元六︰

角與圖形

1.認識角。

2.認識直角。

3.認識三角形。

4.認識四邊形。

8.圖形基本概念︰斜、直、平、折、

點、線、多邊形、垂直、平行、角。

9.量的守恆、旋轉、空間

國小三上單元七︰

重量

1.用天平稱重。

2.認讀50公克、100公克的稱重單位。

3.實測與估測。

4.察覺物品重量有不變性。

10.重量單位 11.等量 12.秤重工具 13.識別刻度 14.重量估計國小三上單元八︰

乘法

1.0與1乘法。

2.認識乘法直式紀錄。

3.認識被乘數、乘數、積等名詞。

4.解決三位數乘一位數問題。

5.體驗乘法交換律。

6.了解乘數未知的算式填充題。

15.乘數或被乘數為1的乘式。

16.乘數或被乘數為0的乘式。

17.直式計算。

18.被乘數、乘數、與乘積的關聯。

19.加法與乘法關聯。

20.三位數乘一位數化聚。

21.乘法交換律。

國小三上單元九︰

分數

1.等分具體物，以分數表示其中的部分量。

2.認識分母為20以內的真分數。

3.認識「分數」「分母」「分子」等術語。

4.認識分母為10的真分數。

23.等分。

24.分數。

25.部分量。

26.分子。

27.分母。

28.十分之幾。

以模糊聚類方法分析數學錯誤概念組型