利用試算表平衡化學反應式的係數

(1)

− 35 −

利用試算表平衡化學反應式的係數

李景智

雲林縣斗六國民中學

一、前言

在教科書中提到平衡化學反應式的方法，大致上有觀察法、代數法、氧化數法、半反應式平衡等方法，在平衡簡單的化學反應式時，使用到教科書中提到的方法就可以迎刃而解。不過對於一些相當複雜的化學反應式，利用電腦來幫忙計算與平衡，相信能減少計算上的錯誤。在 J. Chem. Education 中有幾篇文章探討到如何利用電腦來平衡化學反應式，例如利用 Mathematica 或 Maple 等軟體來平衡化學反應式。不過 Mathematica 和 Maple 等軟體在國中、高中的電腦教室是很少被使用的，因此本篇文章在介紹一般電腦都有安裝的應用軟體－試算表，利用試算表來平衡化學反應式。

二、如何利用試算表平衡化學反應式的

係數

作者先介紹利用試算表平衡簡單的化學反應式，當了解操作原則後，再利用試算表平衡一個複雜的化學反應式。

(一)從平衡化學反應式 H

2

O→H

2

＋O

2

談

起

1.用 x、y 、z 等未知數表示平衡係數，xH2O →y H2＋zO2 2.根據物質發生化學反應前後（不包括核反應），原子的種類、原子的個數不變，我們用聯立方程組來表示    = = z x O y x H 2 : 2 2 : 元素元素 3.目前有三個未知數，但是只有兩個方程式，為了滿足 n 個未知數必須有 n 個方程式才能解的條件，於是我們假設 x=1，將方程組重新整理如下：      = = − = − 1 : 0 2 : 0 2 2 : x z x O y x H 假設值元素元素 4.建立試算表來表示方程組，如圖 1。在第一列的儲存格內填上未知數的符號與常數項；在第一行的儲存格內填上元素的種類與假設值，使未知數的個數與第一行考慮的因素有一樣的個數。然後方程組，依序在儲存格中填入適當的數字。圖1 試算表操作圖 5. 在 G2 儲存格建立函數功能 =MMULT(MINVERSE(A2:C4),D2:D4) ，選定 G2： G4 儲存格，按下 F2 的功能鍵，然後再同時按下 CTRL＋SHIFT＋ENTER 三個鍵，如圖 2。

(2)

科學教育月刊第 252 期中華民國九十一年九月 − 36 − 圖 2 試算表操作圖 6.我們不希望平衡係數是以分數、小數來表示，因此調整假設值 x=2，如圖 3。圖 3 試算表操作圖最後平衡結果為：2H2O→2H2＋1O2

(二)試平衡化學反應式：Cu

2＋

＋e

－

→Cu

1.用 x、y 、z 等未知數表示化學反應式的係數，x Cu2＋＋ye－ →zCu 2.直接從化學反應式中原子的種類、原子的個數、電荷，在儲存格中填入適當的值，因此我們考慮 Cu 原子、電荷、假設值三項因素來平衡，化學式中的原子個數不管是反應物或者是生成物皆以正值表示，正電荷以正值來填儲存格，負電荷以負值來填儲存格，如圖 4。圖 4 試算表操作圖 3. 在 F2 儲存格建立函數功能 =MMULT(MINVERSE(B2:D4),E2:E4)，按下 F2 的功能鍵，然後再同時按下 CTRL ＋ SHIFT ＋ENTER 三個鍵，如圖 5。圖 5 試算表操作圖最後得到平衡結果：1Cu2＋＋2e－ →1Cu

(三)利用試算表平衡化學反應式的原

則

由以上的操作，我們歸納出心得如下： 1.在試算表第一列的儲存格內先填未知係數的代號與常數項。 2.在試算表第一行的儲存格內填上考慮的條件。它要滿足有 n 個未知數就要有 n 項考慮條件，其中假設值一定要先考慮，其餘考慮電荷、元素種類，注意考慮條件一定要等於未知數個數，因為 MINVERSE 函數要求為 n 階方陣。 3.根據化學式，對照第一行與第一列的要求，在儲存格內填入適當的數字。 4.在考慮電荷時，正電荷以正值表示，負電荷以負值表示。 5.假設值的常數項先設為 1，即 X＝1，最後調整假設值使所有的未知數皆成為整數，如此才符合道耳吞的原子說中「原子不可再分割」的要求。 6.未知數的值為正數時，表示在化學反應式的左邊，是為反應物，未知數的值為負數時，

(3)

利用試算表平衡化學反應式的係數 − 37 − 表示在化學反應式的右邊，是為生成物。

(四)自我挑戰

試平衡化學反應式：【Cr（N2H4CO）6】4 【Cr（CN）6】3＋KMnO4＋H2SO4→K2Cr2O7 ＋MnSO4＋CO2＋KNO3＋K2S04＋H2O

，其操作結果如圖 6。

圖 6 試算表操作圖

最後得到平衡結果：

10【Cr（N2H4CO）6】4【Cr（CN）6】3 ＋ 1176KMnO4＋ 1399H2SO4→ 35K2Cr2O7＋ 1176MnSO4＋ 420CO2＋ 660KNO3＋ 223K2S04 ＋1879H2O

三、試算表平衡化學反應式的原理與操

作說明

矩陣的運算包括行列式求值、反矩陣運算、利用克拉瑪法則解多階的聯立方程組。矩陣一般有 N 行 M 列，因此在試算表的工作表中是以區域的方式儲存，稱為陣列，也就是儲存格的選取範圍，數學上的「矩陣」與試算表上的「陣列」意義相同。進行矩陣的運算時，我們所得到的結果也是一個「陣列」時，則我們必須以「陣列」的方式輸入相關的公式或函數，最後要產生結果時，以 Ctrl+Shift+Ente r 之組合鍵來輸入。其中 MINVERSE( 陣列)是傳回一陣列的反矩陣，該陣列必須是個數值方陣(N×N 陣列)，也就是說必須是行數與列數都相同的資料區域。任一方陣與其反矩陣的乘積，就是個「單位矩陣」，也就是說原矩陣為 A ，反矩陣為 A-1_{，則 A × A}-1 _{為單位矩陣。由於} MINVERSE( 陣列) 函數傳回的值也是為一矩陣，故需以多儲存格區域以陣列的方式來接受傳回的值。 MMULT(陣列 1，陣列 2)是傳回兩矩陣的乘積，所得的結果也是個矩陣，其列數與第一個矩陣相同，欄數則是與第二個矩陣相同。兩陣列數可以是個區域範圍、陣列常數或參考位址。也就是說，假設 A 矩陣為 N×M(矩陣 An×m)，B 矩陣為 M×K(矩陣 Am×k)，則 A × B 為一 N×K 之 C 矩陣。 An×m × Bm×k = Cn×k 我們以試算表解三元一次方程組，      − = − + = + − − = − + 1 2 3 5 2 3 2 z y z z y x z y x 來對操作介面做說明。圖 7 試算表操作圖如圖 7 G2 儲存格「=MMULT(MINVERSE (A2:C4),D2:D4) 」，表示 G2 儲存格的值是經過 MMULT(MINVERSE( 係數陣列)),常數項陣列) 操作後的結果，其中係數陣列是 A2:C4 的儲存格，常數項陣列是 D2:D4 的儲存格。如果係數陣列 =A 矩陣，常數項陣列=B 矩陣，則 MINVERSE（係數陣列）的操作結果就是 A 係數陣列常數項陣列未知數陣列

(4)

科學教育月刊第 252 期中華民國九十一年九月 − 38 − 矩陣的反矩陣，以 A-1_{表示，所以 MINVERSE} （係數陣列）本身也是陣列，而 MMULT （MINVERSE（係數陣列））,常數項陣列）則表示為 MINVERSE（係數陣列）與常數項陣列兩個陣列乘積的結果，數學上就是 A 矩陣的反矩陣與 B 矩陣相乘結果，以 C 矩陣表示，我們則可以發現 C= A-1 × B，兩邊同乘上 A，則 A×C＝ A×A-1 × B，其中 A×A-1＝單位矩陣，所以 A×C= A×A-1 × B=B，因此在試算表上係數陣列×C＝常數項陣列，因此證明 C 矩陣就是未知數陣列。

參考資料

1. 林宏諭、林建宏（民 88）： Excel 2000 中文 版應用大全－函數剖析。台北，博碩文化。 2. Glaister, P. （1997）：Challenging Balance. J.

Chem. Educ. Vol 74 No 11 p1368.

3. Herndon, William C. （1997）：On Balancing

Chemical Equations: Past and Present. J.

Chem. Educ. Vol 74 No 11 p1359.

4. Olson, John A. （1997）：An analysis of the

algebraic method for balancing chemical reactions. Journal of Chemical Education,

Easton, Vol 74 No 5 p538.

5. Smith , William R. Missen, Ronald W. （1997）Using mathematica and maple to

obtain chemical equations. Journal of

Chemical Education, Easton, Vol 74 No 11

p1369.

6. Weltin, E. （1994）：Let a computer balance

your chemical equations and determine the number of independent reactions. Journal of

Chemical Education , Easton; Vol. 71, No 4

p 295. 註：本文整理自李景智九十一年臺師大化研所指導教授：方泰山博士民 91 年 8 月。教學碩士論文〝利用試算表平衡化學反應式的教學研究 ─ 由資訊融入教學探討多元智慧〞。