許建銘
高雄市立龍華國民中學
壹、摘要:
政府實施九年，貫課程改革以來，教
科書出版業者紛紛推出各式符合能力指標 的數學教材。而許多編著者為了配合 S-3-10 「能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的 性質」的能力指標，於是在國一課程中規 劃「能察覺三角形的三邊中垂線會交於半 點」的摺紙活動，同時也為解決鈍角三角 形三邊中垂線在摺紙時衍生的「﹒點問 題 J '有的教科書還將三角形畫在透明片 上。但是透明片並不是那麼容易摺疊，反 而讓學生心生疑惑 I 為什麼不畫在紙 上? J 為了解答這個問題，也為了解決分角 線與中垂線在實際作圖時碰到的難題:如 被作圖物不一定可摺疊，圓規不一定好操 作甚至會刺傷被作圖物等問題，遂讓筆者 興起創作「垂直平分器」的念頭，並依此 為主題完成這份強調「啟發創造」的教案 O貳、設計理念:
本文所指的「垂直平分器」是由筆者 自行設計的簡易作圖儀器【詳見本期月刊 封底之圖(一汀，它可以輕易解決任意→個 角的分角線與任一線段的中垂線作圖問題 【詳見本期月刊封底之圖(二)、(三汀，而且 較不會受到被作圖物的自身材質與周遭環 境的影響。 →、兩節課的課程規劃先以漫畫情節裡的 真實問題開啟序幕，在謀求解決之道的 動機驅使下，適時融入有條不紊的實作 與知識建構的活動，並逐步引入「小兵 立大功」的「垂直平分器」。讓學生能 夠清楚瞭解整個教學活動設計的輪廓 和方向，也對包含摺紙與操作垂直平分 器的學習歷程，留下深刻印象。 二、教材編寫力求文字表達淺顯流暢，在 分角線與中垂線的作，圖步驟上，呈現 「圖文並茂」的對照說明，讓每一位 學生好學易懂而不輕易放棄。期望這 份教材，對於圓，學生日後研習國中 幾何課程的局部推理與尺規作圖，除 了可以奠立踏實的基礎知識外，也能 夠產生更主動積極的學習意願。參、教學目標:
一、知道等腰三角形頂角的平分線即為底 邊的中垂線，也是該等腰三角形的對 稱軸 c 三、知道同一平面上兩個等底的等腰三角 形，若將它們的底邊靠緊密合，則兩 個在底邊兩側的頂角的頂點連線，就 是兩個等腰三角形的頂角平分線，也 是底邊的中垂線 O 玉、知道如何使用垂直平分器作出一個角科學教育月刊 第 263 期 中華民國九十二年十月 的分角線與一線段的中垂線，並瞭解 其中的作圖原理。 四、藉由摺紙與垂直平分器的作圖活動， 發現任意一個三角形的三內角平分線 會交於同一點，並知道此點稱為此三 角形的內心;也發現任意」個三角形 的三邊中垂線會交於同一點，並知道 此點稱為此三角形的外心。
參、教學對象:
國一(七年段)的常態班學生，先備經驗: 一、瞭解相反數、三角形、分角線、中點 和中垂線的意義。 二、瞭解平面圖形線對稱與鏡射的意義。 三、具備等量加法的基本概念。 肆、能力指標: 一、 S-3-10 :能透過實測辨識三角形、四 邊形、圓的性質。 二、 $-3-11 :能操作圓形之間的轉換組合。 三、 C-S-5 :瞭解一數學問題可有不同的解 法，並能嘗試不同的解法 O 四、 C-C-8 :能尊重他人解決問題的多元想 法。 五、 C-E-2 :能由解題的結果重新審視情 境，提出新的觀點或問題。伍、教學時間:
兩節課 (90 分鐘)。陸、教學重點及教學流程:
一、教學重點: (一)第一節: 1.知道等腰三角形頂角的平分線即為底邊 的中垂線，也是該等腰三角形的對稱軸。 2. 瞭解兩個等底的等腰三角形，若將它們的 底邊靠緊密合，則兩個在底邊兩側的頂角 的頂點連線，就是兩個等腰三角形的頂角平分線，也是底邊的中垂線。
3. 瞭解如何使用垂直平分器作出一個角的 分角線與一線段的中垂線，並瞭解其中的 作圖原理。 4. 透過摺紙活動，發現任一個三角形的三內 角平分線會交於三角形內部的同一點，並 知道此點稱為此三角形的內心。 (二)第二節: 1.透過摺紙活動，發現任一個三角形的三邊 中垂線會交於同一點，並知道此點稱為此 三角形的外心，而且察覺外心隨著三角形 的形狀不同，共有三種不同的相關位置 o 2. 瞭解如何應用垂直平分器作一個角的分 角線與布是段的中垂線，而且知道還有不 同的操作方法(見「家庭作業」之問題二、 四)。 3. 利用垂直平分器作出一個三角形的三內角平分線與三邊中垂線，並發現三內角平
分線會交於同一點，而且三邊中垂線也會 交於同一點。二、自編學習教材乙份【見下兩頁起
之內容】。 三、配合自編教材，規劃教學活動與流程【受限篇幅因素而未刊出】。
梁、評量方法:
一、教學活動中配合教材讓學生「動動腦」 和「隨空練習 J '並鼓勵學生親自動手 做與發表看法。 二、規劃兩人協同解題(如教學活動二之 8 的教學安排) ，可藉此評量學生順應時 一 16 一勢與互助合作的能力，也讓學生瞭解 講究團隊與創意的時代， -~'1固人做不 好的事，如果經由兩人以上集思廣 益、群策群力，可能就會順利達成目 的。 三、設計銜接上課學習內容與啟發學生靈 活思考的「家庭作業 J '讓學生經由作 業練習，瞭解如何運用垂直平分器解 決漫畫中的作圖問題，也能夠充分思 考分角線與中垂線的不同作圖法，相 信配合教師的逐題解答，學生更能體 會「學以致用」及「一題多解」的意 義。 四、根據教學目標，設計並實施「自我評 量 J '評量向度兼顧觀念思考與實作能 力的表現，並藉此檢視教學成效。
捌、教學前準備與教具之使用:
一、教師準備每位學生教材乙份(含「家庭 作業」與「自我評量卷 J ) ，並於上課 前二至三天將教材發給每位學生(不合 「家庭作業」與「自我評量卷 J ) ，鼓 勵學生做課前預習 O 三、教師請學生在課前必須將教材之附件 (--)、(二)、(三)事好剪好。 三、教師將「垂直平分器」的圖形【如本 期月刊封底之圖(一)】影印成投影片並 護貝，然後發給每位學生-人一份， 並請學生在課前先剪好成品，並妥善 保管，上課時連同教材、直尺及其它 剪好的附件一起帶進教室。【這是因為 市面上無「垂直平分器」的權宜之計。 教師務必提醒學生謹慎剪裁，要注意 安全並力求成品完塹，剪裁以保留黑 線為原則，三角窗可用直尺和美工刀 切除，扇面窗可先以美工刀挖出一個 較大內洞，再以小剪刀慢慢修剪弧 線，而避免從儀器中心線對摺疊合後 剪除(如下圖示) ，如此會造成儀器板不 平整。】 四、教師上課時要攜帶大型三角板與圓規 教具，方便在黑板上畫圖。 五、教師課前以一張壁報紙繪製如自編教 材活動二之方格圖 O 六、教師課前影印放大附件(-- )、(三)的三 角形圓形紙，並摺畫出附件(三)的三個 三角形的三邊中垂線(必須讓教室後排 與兩側的學生能清楚看到摺痕線)。 七、教師課前剪張較大三角形紙，並摺畫 出三個內角的分角線摺痕 O 八、教師課前影印放大附件(二)的圓形紙各 兩份，紙背黏貼磁鐵片，並準備幾根 磁鐵條，作為演示教學活動二之 8: 兩 個等底的等腰三角形，若將它們的底 邊靠緊密合，則兩個在底邊兩側的頂 角的頂點連線，就是兩個等腰三角形 的頂角平分線，也是底邊的中垂線。 九、教師課前準備要發給每位學生的一張 白紙(可從 A4 紙張的長邊一分為二)。 十、教師課前以較厚的紙板製成一個較大科學教育月刊 第 263 期 中華民國九十二年十月
型的「垂直平分器 J (也可以改變現有
的量角器教真) ，這個教具可以用來示 範及輔助解說作圖步驟。 ※【下起內容依次為「自編學習教 材」、「家庭作業」、「自我評量卷」。】垂直平分器
你不會將紙板對擋，讓 這個角的兩邊蠱合，再攤開紙板- III
I
'角平分線的摺痕不就出現了嗎! 一 18 一f 占有了!你先將。紙板描在一般的
fv
紙張上@從紙張上剪下三角形@利
用摺紙的技巧，對摺出一半度數@拿著
這張摺過的紙，放到厚紙板上，問題就可 以解決了。心目2主
edjJ
』
、 4二差這招 「移花接木 J' 還
真是不錯 的方法! 士萃，你不必生氣，哥哥講 的話也是有點道理喔!有時候角度 差一點點，畫出來的圓形可能會差很多，活動二: 1.請在下圖線段 AC 的左側，先任取 ~11操縱線與一條橫線的交點 B' 再用 直尺連出線段 AB 和 BC 。
A
2. 一個等腰三角形，若從對稱軸切開，可以 將它分割成兩個形狀與大小皆相同的 三角形 o 由以上的討論中，我們發現運用摺紙 的技巧，可以很快找出等腰三角形的對稱 軸。但是，除了摺紙以外，難到沒有其它 方法可以作出等腰三角形的對稱軸嗎?仁立
仁立
體重鹽
1.以下兩個等腰三角形中，都有一條點狀的 虛線段，你認為它是該三角形的對稱軸的 話，請在圓形下方的空格內打，./ 0 A、石:1:入
1.
7cm
1.
7cm
活動一: 1.從附件(一)剪下任一個等腰三角形，然 後摺出它的頂角平分線，並把此摺痕 用筆畫出來，再檢查此摺痕線與底邊 有何關係? 2. 從附件(一)剪下任一個不是等腰的三 角形，然後摺出其中一個內角的分角 線，並把此摺痕用筆畫出來，再檢查 此摺痕線與此角的對邊有何關係? 怎麼解決前兩頁漫畫當中的分角線作 圖問題呢?只要同學配合以下的內容認真 學習，很快就可以找到答案了。 首先，讓我們復習幾個以前學過 的觀念: (1)將一個角分成兩個相等角度的直線，稱 作這個角的角平分線或分角線。 (2) 如果，條直線，經過一線段的中點，而 且和這條線段垂直，我們稱這條直線為 此線段的垂直平分線或中垂線。 (3) 一個線對稱圖形的對稱軸，是此圓形兩 個對稱點連線的中垂線。 由活動一，我們可以知道:一個等腰 三角形，它的頂角平分線會垂直平分底 邊。也就是說--個等腰三角形的頂角平 分線，就是其底邊的中垂線，而且也是該 等腰三角形的對稱軸。 但是一個不是等腰的三角形，它的任 何一個內角的分角線，並不會是這個角的 對邊中垂線。C
2.以線段 AC 為對稱軸，作線段 AB 與線 段 BC 的鏡射圓形。 3.以直尺連出 3點與其對稱點 D的線段BDo
-20 一4.你認為線段 AC是 LBAD 與 LBCD 的分 角線嗎?為什麼?
5.
{lJ;認為線段 AC 是線段 BD 的中垂線 嗎?為什麼? 6. fJ. BAD 與 fJ. BCD 為何種三角形?這兩 個三角形共用相同的 BD 邊，它稱為 fJ. BAD 與 fJ. BCD 的什麼邊? 7. 將附件(二)中的兩個等腰三角形剪 下，假設僅能用筆和直尺的邊緣畫直 線，請畫出這兩個等腰三角形的對稱 軸。 8. 如果你認為解決第 7 題有困難，可以 找寸立同學合作，共同討論解決的辦 法，並將你們想出來的方法寫下來 G@¥i
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JJi!1
由活動二中我們知道，如果依照下面 的步驟操作，將可作出等腰三角形的對稱 軸:(1
)將底邊等長(或稱等底)的兩個等腰三角 形，底邊靠緊密合後，放在同一個平面 上。 (2) 以筆和直尺，將兩個等腰三角形頂角的 頂點相連。 (3) 兩個頂點所連出的線段，即為兩個等腰 三角形的對稱軸。區藍圖
右圖中的圓 A 和圓 B 相交於 C 、 D 兩點， 請問:(1)
AB 是否為 LDAC 的分角線?(2)
AB 是否為 LDBC 的分角線?(3)
AB 是否為 CD 的中垂線? 活動進行至此，我們想問:到底之前 漫畫中，阿褔哥的問題能不能夠得到解 決? ，.垂直平分器」正是由阿褔哥的爸爸 以「活動二」的結論，設計出來解決這個 問題的作圖工具。 現在就讓我們先來看看，這個看 似量角器的東西，到底有什麼特別 之處【封底圖(一)】。原來它是由量角 器與刻度尺組合而成的，而且儀器 表面在「中心線」兩側有正負兩種 度量數據，另外還有兩個鐘空的部 分(圖中粉紅色的部分) :其中較大縷 空的「扇面窗 J '可以使這個工具畫 出三種不同半徑的弧:至於較小鐘 空的「三角窗 J '可讓使用者利用此 三角形正上方的頂點(我們將它取名為「心眼 J )將儀器上的弧心對準已
知點，或者可以輕易點出儀器上幾 個弧的圓心。科學教育月刊 第 263 期 中華民國九十二年十月 ※如何使用垂直平分器作 ζBAC 的分角 線.【封底圖(二)】
區重困
1.請利用垂直平分器作出 ζDEF 的分角 步驟()
:將儀器三角窗上的心眼與 A 點 重合，再畫出一適當的弧與 4三BAC 的兩邊交於 p 、 Q 兩點。線?
p
步驟(二) :改變儀器位置，使某弧恰過 p 、 Q 兩點，再點出三角窗，心 眼上的點 RcE
F
2. 請利用垂直平分器作出 AB 的中垂線? 步驟(三) :以儀器上的直尺，畫出直 線 AR ' 則 AR 就是 ζBAC 的 分角線。3
A
第 2 兩題的作圖精確性為何?B
線
※如何使用垂直平分器作 AB 的 qJ 垂線: 【封底閱(三)】 步驟(一) :調暫儀器位置，使某 1瓜恰 過A 、 B 兩點，並點出三角窗 心眼上的點 po 步驟(二) :改變儀器位置，使另一弧恰 過 A 、 B 兩點，再點出三三角窗 心眼上的點 Q 。 步驟(三) :以儀器上的直尺，畫出自 PQ' 則 PQ 就是 AB 的中 垂線 O 不知道同學從以土的操作過程中，是 否察覺到:在垂直平分器的同寸瓜上取不 同的兩點，再山心眼點出此時的圓心，則 此三點恰可連成-個等腰三角形。而分角 線與中垂線作圖原理，就是應用活動二的 結論，即任何兩個等底的等腰三角形，若 將它們的底邊靠緊密合，再把頂角的頂點 相連成一直線，則此直線就是等腰三角形 的頂角平分線，也是底邊的中垂線。 我們接著透過實際的-些操作活動， 看看如果作出任意一個三角形三個內角的 分角線，或者作出任意一個三角形三個邊 的 ltJ垂線，結果會有什麼有趣的發現? 活動三: 1.請在 A 張紙上，以直尺畫出任意一個 三角形，然後將它剪下來。再以摺 紙的方式，摺出此三角形的三個內 角平分線的摺痕，打開紙後，用筆 不LI 尺畫出這三條分角線摺痕。 2. 請觀察這三條分角線是否會交於同 -~~ ?如果「是 J '那麼交點是在三 角形內部嗎? 3. 附件(三)中有三個三角形(由上而下 分別是銳角、直角與鈍角三角形),
詰沿著每個三角形外圓的虛線長方 形剪下，然後分別摺出每個三角形 各邊的中垂線摺痕，再用筆和 尺畫出每個三角形的各邊中 主其線 。 22 一4. 請觀察每個三角形各邊的三條中垂線 是否會交於同一點?如果「是 J' 那麼 這個交點是在三角形的內部嗎? 5. 你認為第 3 題中，以摺紙的方式摺出 一個三角形的三邊中垂線，操作時有 角形的外心。但是正如下圖所示，銳角三 角形的外心位置在該三角形內部，直角三 角形的外心位置在該三角形的邊上，而鈍 角三角形的外，心位置在該三角形的外部。 沒有不方便的地方? 6. 用摺紙的方式摺出 ·f固三角形的三邊 中垂線，藉以觀察三條中垂線的交點 關係時，為什麼不直接剪下三角形，
.../!\...
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再摺出三邊的中垂線呢? 7. 有沒有什麼方法，讓我們不必摺紙或 剪紙，就可以作出下圖鈍角三角形的 三邊中垂線，並觀察到三條中垂線的 交點位置? 由活動三我們可以知道，任何三角形 的三內角平分線會交於同一點，這個點稱 為此三角形的內心。而且正如下圖所示， 任何角度的三角形，它的內心位置，定在 該三角形的內部。\/什/\
匡草園
A 、等腰三角形的頂角平分線就是底邊的 中垂線，也是對稱軸。 二、治-個等腰三角形的對稱軸切開，可 以分成兩個形狀與大小相同的直角三 角形。 三、將兩個等底的等腰三角形的底邊靠緊 密合後，放在同一平面上，再把頂角 的頂點連成-直線，則此直線便是等 腰三角形的頂角平分線，也是底邊的 中垂線。 四、 」個圓的圓心與圓周上任兩點，此三 點恰可連成等腰三角形。A川、
此外我們也知道，任何三角形的三邊 的中垂線會交於同-點，這個點稱為此三 五、認識垂直平分器的基本構造，並瞭解 分角線和中垂線的作圖方法與原理。 六、任何三角形的三內角平分線會交於同 一點，此點稱為此三角形的內心，其 位置，定在該三角形的內部。科學教育月刊 第 263 期 中華民國九十二年十月 r--- 目可 七、任何三角形的三邊中垂線會交 於同一點，此點稱為此三角形 的外心。銳角三角形的外，心位 置在該三角形的內部，直角二 角形的外心位置在該三角形的 邊上，而鈍角三角形的外心位 置在該三角形的外部。
|附件(一)
I
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~法為~
|附件(二)
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|附件(三)
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~---申---.，~
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一、阿褔哥的爸爸設計「垂直平分器」解 決了分角線的作圖問題。接著我們看 阿福和小芳，如何運用「垂直平分器」 作出兩個形狀和大小都相同的直角三 角形。你認為誰的作法正 確?:
0 (以筆畫出的虛線 弧和線) (一)阿福的作法: (二)小芳的作法: 二、如果以如下的步驟，作 AB 的中垂線， 你認為對嗎?理由是什麼?|步驟(一)悄垂直平分器三角窗上的
-24 一γ
X
A
錯?請說明理由。(三 )AD 為 BC 的一一一一一線 O
(四 )BD= 一一一一。(填入哪一個線段)
(五)在ADB 與在ADC 皆為 一 五、請利用垂直平分器找出下圖三角形的 內心。 理由說明: 自我評量卷 一、如下圖示:將一張等腰三角形的紙， 沿著 LA 的分角線對摺後再打開的過 程。請在以下空格內填入正確的答案:(一一 )LB = 一一一一一。(填入哪一個角)
(二)LBAD
= o(填入哪一個 角)B
心眼與 A 點重合，再畫出一適當長的 弧(此弧的半徑必須超過 AB 長的一 半)。|步驟(二) I改變垂直平分器的位置，
使三角窗的心眼與 B 點重合，再畫出 與步驟(一)等半徑的另一弧。(假設以 上兩步驟所畫的兩弧的交點為 P與 C 點)
|步驟(三) I以垂直平分器上的直尺
邊緣，畫出 PQ ' 則 PQ 就是 AB 的 中垂線。 三、請利用垂直平分器，作出下圍中等腰 三角形的底邊中垂線。 四、某人以如下的操作圖示，在一個較長 線段 XY 上依序取出 A f口 B 兩點 O 他 說只要再作出 AB 的中點，此點就是 XY 的中點。你認為他說的話是對還是科學教育月刊 第 263 期 中華民國九十二年十月
