Superposition & Standing Waves （疊加與駐波）Powerpoint-PDF 檔

(1)

Superposition & Standing Waves

疊加與駐波

(2)

Superposition

y ( t) ( t) + ( t) y(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t) 疊加後的波形（高度）

(3)

93 年物理指考

時

一拉緊繩上有二不等高脈衝波分

• t = 0s 時，一拉緊繩上有二不等高脈衝波分

別向左及向右行進（如下圖），繩波波速

（

）

為 10 m/s，t = 0.9s 後，繩波形為何？

t = 0s -12 -8 -4 0 4 8 12 t = 0s

(4)

v = 10 m/s -10 -6 -12 -8 -4 0 4 8 12 v = 10 m/s 12 8 4 0 4 8 12 0.9s 後，兩波均行進了 (10)(0.9) = 9 m -12 -8 -4 0 4 8 12 -8 + 9 = 1 -12 -8 -4 0 4 8 12 8 – 9 = -1

(5)

-12 -8 -4 0 4 8 12

哪一個？

(6)

疊加後的波形

y₁ + y₂ = y₂ _y

1 + y2 = y1

(7)

Interference（干涉）

波峰遇波谷波峰遇波峰波谷遇波谷波峰遇波谷 Constructive Inteference （建設性干涉） Desstructive Inteference_{（破壞性干涉）} 兩波 frequency 相同，phase 相同或相差 2nπq y p （在同一時間下波長的整數倍） 兩波 frequency 相同，相差 π 、3π 、5π ，… （在同一時間下波長的 0.5、1.5、2.5、…倍）

(8)

主動消音

(9)

Constructive Inteference （建設性干涉） Desstructive Inteference （破壞性干涉）（建設性干涉）波峰遇波峰，音量增強（破壞性干涉）波峰遇波谷，音量消失

(10)

Destructive Interference Destructive Interference

(11)

例題

Speakers 同相 音速 v = 343 m/s 哪些 frequencies 聽得比較清楚？ 哪些 f i 比較聽不到？ Speakers 同相 哪些 frequencies 比較聽不到？ m 00 . 4 40 . 2 20 . 3 2 + 2 = = AC 兩個 speakers 到聽者的距離差 d = AC – BC = 4.00 – 2.40 = 1.60 m 若 d 洽為 wavelength λ 的整數倍： d 若 d 洽為 wavelength λ 的整數倍： 產生 constructive interference，聽得較清楚 若 d 洽為 wavelength λ 的 0.5、1.5、… 倍：g 產生 destructive interference，較聽不到

(12)

Constructive Interference： Constructive Interference： d = 1.60 = λ₁、2λ₂ 、 3λ₃… waevlength λ 減少，frequency f 增加 λ₁ = 1.60 m λ₂ = 1.60/2 = 0.80 m λ 1 60/3 0 533 f₁ = v/λ₁ = 343/1.60 = 214 Hz f₂ = v/λ₂ = 343/0.80 = 429 Hz（= 2f₁） f = v/λ = 343/0 533 = 643 Hz（= 3f ） λ₃ = 1.60/3 = 0.533 m … f₃ = v/λ₂ = 343/0.533 = 643 Hz（= 3f₁） ….. 檢查 frequencies 是否在 20~20,000 Hz 之間 （人耳可聽到的 frequencies） （人耳可聽到的 frequencies） Destructive Interference： d = 1.60 = 0.5λ₁、1.5λ₂ 、 2.5λ₃… λ₁ = 1.60/0.5 = 3.20 m f₁ = v/λ₁ = 343/3 20 = 107 Hz λ₁ 1.60/0.5 3.20 m λ₂ = 1.60/1.5 = 1.07 m λ₃ = 1.60/2.5 = 0.64 m … f₁ v/λ₁ 343/3.20 107 Hz f₂ = v/λ₂ = 343/1.07 = 322 Hz（= 3f₁） f₃ = v/λ₂ = 343/0.64 = 536 Hz（= 5f₁） ….. …..

(13)

Standing Waves（駐波）

—入射波與反射波干涉（固定端）

1 2 3 給定任一時間：固定端 2 -1 0 0 5 10 15 y -3 -2 x 1 2 3 2 -1 0 1 0 5 10 15 y 將穿透波反相 -3 -2 x

(14)

3 將穿透波反射 0 1 2 3 y -2 -1 0 0 5 10 15 y 3 -3 x 0 1 2 0 5 10 15 y 將入射波與反射波疊加 -3 -2 -1 0 5 10 15 xx

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Node & Anti Node

Node & Anti-Node

2 3 固定端必然是 node Anti-node（反節點） 不同時間的波形 0 1 2 y 不同時間的波形 -2 -1 0 2 4 6 8 10 12 Node（節點） -3 x Node（節點） 不會振動 恆發生destructive intereference

(23)

Standing Waves（駐波）

—入射波與反射波干涉（自由端）

步驟相同

但不反相

只有反射

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

自由端與駐波

自由端必然是 Anti-node 2 3 λ/4 0 1 2 y -2 -1 0 2 4 6 8 10 12 λ/2 -3 x λ/2 λ 每「股」半個 wavelength

(32)

兩端固定繩或弦上的駐波

n = 1 L = λ₁/2 λ1 = 2L n = 2 1 λ₂/2 L = 2λ₂/2 = λ₂ λ2 = L λ₃/2 n = 3 L = 3λ₃/2 λ₃ = 2L/3 固定端必為 node ….

n：Anti-node 的數目；駐波的「股數」；正式的名稱為 mode number

L 3λ₃/2

n：Anti-node 的數目；駐波的 股數」；正式的名稱為 mode number

n – 1：不含固定端的 node 數 n + 1：含固定端的 node 數

(33)

弦上可能出現的 wavelength

若弦長

給定

當弦兩端固定時

弦上所

• 若弦長 L 給定，當弦兩端固定時，弦上所

可能出現的 standing wave「股數」：1、2

（所有自然數）

、3、…（所有自然數）

• 但每「股」 standing wave 相當於半個

」

g

wavelength

• 所以：L =

λ /2、2λ /2、 3λ /2、

• 所以：L λ

₁

/2、2λ

₂

/2、 3λ

₃

/2、…

• 於是：

λ

₁

= 2L、

λ

₂

= L、

λ

₃

= 2L/3、…

弦上所產生的波形是上述各波長的組合

• 弦上所產生的波形是上述各波長的組合，

依起始波形而定（如何撥動）。

(34)

弦上的波速

L

T

v

/

=

繩索 tension（張力） Ｔ

L

m /

μ

不是溫度、週期 μ = m/L ：繩索 linear density （線性密度，每單位長度質量） 繩索 mass _繩索長度 繩索 mass _繩索長度

(35)

弦所可能發出的 frequency

L

m

T

L

n

L

v

n

v

f

n n

/

2

2 =

=

λ

_n λ_n = 2L/n μ 弦愈長，frequency 愈低 Tension 愈大，frequency 愈高 弦 mass 愈大，frequency 愈低q y 沿同一根弦，μ 不變，frequency 與弦長成反比 L m T L f / 2 1 1 = n = 1： fundamental frequency （基頻） L m L / 2 n = 2：1st harmonic （第一汎音）：f₂ = 2f₁ n = 3：2nd harmonic （第二汎音）：f₃ = 3f₁ n 3 2nd harmonic （第二汎音） f₃ 3f₁

(36)

作業

沿一根弦，量測各指位（fret）到弦底 沿一根弦，量測各指位（fret）到弦底 部固定端（橋，bridge）的距離，看看 相鄰指位到 bridge 長度比值是不是 21/12 _{= 1.059} 2 1.059

μ

T

L

n

f

_n

2 =

μ

L

2

這是指位到 bridge 的長度 這是指位到 bridge 的長度 μ = m/L 指位到 bridge 弦質量 指位到 brdge 弦長度 = = 弦全質量弦全長度這個比較好用 為避免 L 混淆，故公式通常寫為： μ T L n f_n 2 = 而非： L m T L n f_n / 2 =

(37)

兩端開口空氣柱

開口端即自由振動的開放端（anti-node）： 可以為波峰或波谷 n = 1 n = 1 n = 1 L = λ₁/2 2 L = λ₁/2 λ₁ = 2L n = 2 n = 2 λ₂/2 L = 3λ₂/2 n = 3 L = λ2 λ2 = L λ₃ L = 3λ₃/2 λ3 = 2L/3

(38)

兩端開口空氣柱所可能發出的

frequencies

空氣中的音速

L

v

n

v

f

n n

2 =

=

λ

m L T L n f / 2 = 這時不能用空氣中的音速 n λ_n = 2L/n 振動的是空氣，不是弦公式類似兩端固定弦

(39)

一端封閉一端開口空氣柱

n = 1 開口端即自由振動的開放端（anti-node） 封閉端不能振動（node） n = 1 n = 3 L = λ₁/4 λ₁ = 4L n 3 λ₂/2 λ₂/4 n = 5 L = 3λ3/4 λ2 = 4L/3 L = 5λ₅/4 λ5 = 4L/5

(40)

一端封閉一端開口空氣柱所可能

發出的 frequencies

空氣中的音速

L

v

n

v

f

n n

4 =

=

λ

空氣中的音速 n = 1、3、5、… n f_n = nf₁

(41)

91 年物理指考題目

若以正確頻率來回撥動浴缸中的水

可以

• 若以正確頻率來回撥動浴缸中的水，可以

產生駐波，而使靠近浴缸壁兩邊的水交替

起伏（即一邊高時，另一邊低）。水的波

速為 1 0 m/s，浴缸寬度為 75 cm，正確頻率

速為 1.0 m/s 浴缸寬度為 75 cm 正確頻率

= ？

(42)

L = λ₁/2 λ₁ = 2L = (2)(0.75) = 1.5 m f₁ = v/λ₁ = 1/1.5 = 0.67 Hz L = 3λ₃/2 λ3 = 3L/2 = (2/3)(0.75) = 0.5m f₃ = v/λ₃ = 1/0.5 = 2.00 Hz = 3f₁ f₃ ₃ f₁ f_n = nf₁ n 為奇數

2 nL

n

=

λ

n = 1、3、5、…

2

與前述幾個公式不同（因給定狀況不同）空氣柱開放端：波峰或波谷均可；本題：一端為波峰時，另一端為波谷必須根據給定條件推導必須根據給定條件推導這種題目是用來修理背公式、到補習班上課與只做參考書題目的同學

(43)

另一種決定 wavelength 的方法

λ node 取 y = 0 處 兩端固定弦 L = λ₁/2 L λ L = λ₂ L = 3λ₂/2 λ anti-node 取波峰或波谷 兩端開放空氣柱 L = λ₁/2 L λ L = λ₂ L = 3λ₂/2

(44)

一端開放一端封閉空氣柱

λ

L = λ₁/4

L = 3λ₁₁/4

(45)

不同 frequencies 的 superposition

— Beat（拍）

(46)

Interference 的數學原理

需要用到三角函數等式需要用到三角函數等式：

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

+

2 sin

2 cos

2 sin

sin

a

b

a

b

a

b

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

2

(47)

令兩波： ω

(

kx

t

)

A

t

T

x

A

T

t

x

A

y

π

ω

λ

π

λ

π

_⎟

=

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

sin

2 sin

2

2 sin

1

k：wave number

(

−

ω

+

φ

)

=

A

kx

t

y

₂

sin

二者 frequency 與 wave speed 相同，但有一

相角差 φ 相角差 φ 兩波疊加後的波形： 疊加後的 amplitude （振幅）

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

=

+

2 sin

2 cos

2

2 1

φ

ω

φ

t

kx

A

y

1 1.5 當 φ/2 = 0、π、2π、… 或 φ = 0、2π、4π、…時 或在同一時間差 0、1、2 …個 wavelength 時 -0.5 0 0.5 0 90 180 270 360 co sθ 0 /2 π 3 /2

amplitude 最大：constructive interference

當 φ/2 = π/2、3π/2、5π/2、… 或 φ = π 3π 5π 時 -1.5 -1 θ（度） 0 π/2 3π/2 2π 或 φ = π、3π、5π、…時 或在同一時間差 0.5、1.5、… wavelength 時

(48)

Standing Wave 的數學原理

令兩波：令兩波

(

kx

t

)

A

y

₁

= sin

−

ω

二者 frequency 與 wave speed 相同， 但方向相反

(

kx

t

)

A

y

₂

= sin

+

ω

但方向相反兩波疊加後的波形：

( ) ( )

t

kx

A

y

₁

+

₂

=

2 cos

ω

sin

兩波疊加後的波形： 一個隨時間變化的 amplitude

( ) ( )

y

₁ ₂ 1 1.5 kx = 0、π、2π 、 …：node 即 x 0 λ/2 λ ：node k =2π/λ -0.5 0 0.5 0 90 180 270 360 sin θ 0 π/2 π 3 /2 2 即 x = 0、 λ/2、λ、 …：node kx = π/2、3π/2、5π/2 、 …：anti-node 即 x = λ/4、 3λ/4、5λ/4、 ：anti-node -1.5 -1 θ（度） 0 π/2 3π/2 2π 即 x = λ/4、 3λ/4、5λ/4、 …：anti-node

(49)

Beat 的數學原理

令某特定點（x = 0）兩波： 令某特定點（x 0）兩波

( )

t

A

y

₁

=

sin

ω

₁ 二者 frequency 不同 ω₁ = 2πf₁

( )

t

A

y

₂

=

sin

ω

₂ 兩波疊加後的波形： ω₂ = 2πf₂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

+

y

A

t

y

2 sin

2 cos

2

1 2 1 2 2 1

ω

兩波疊加後的波形：

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

y

2

2 1

amplitude 隨時間變化，angular frequency = (ω₁ – ω₂)/2 amplitude 隨時間變化 angular frequency (ω₁ ω₂)/2

(50)

1 2 0 1 0 2 4 6 8 10 y1 (ω₁ + ω₂)/2 的波形 -2 -1 2 (ω₁ - ω₂)/2 的波形 t 1 y2 1 2 -1 0 0 2 4 6 8 10 y1 + y 0 1 0 2 4 6 8 10 y2 -2 t -2 -1 tt

(51)

CD 的音訊儲存方式

_{16 位元（bit）} 可將波形分成 216 _{= 65536 個等級} 每秒取樣 44100 次 （約人耳可聽 frequency 的兩倍） CD 表面

(52)

為什麼一張標準 CD 可以容納 74

min 的音樂？

1 s 音樂所需要的儲存空間 = 44100 x

2 x

2 = 176

k

字元（byte）

聲道 1k = 210 _{= 1024}

波形高低需要 16 bit

1 byte（字元，儲存一個英文字母的空間 = 8 bit，有 2

8

_{= 256 種組合）}

1 byte（字元

儲存一個英文字母的空間 8 bit 有 2

256 種組合）

1 min 音樂所需要的儲存空間 = 176k x 60 s/min = 10M byte

一標準 CD 容量約為 740 MB，故可容納 74 min 的音樂

(53)

不同樂器的波形

鋼琴單簧管不同的波形決定不同的音色不同的波形決定不同的音色

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