交流電路

電路學

第五章

交流電路

直流與交流的差異

z 直流電流只往單一方向來傳送。一個穩態或理想條件下的直流，其 電壓或電流在理論上不隨時間來改變，如圖5-1所示。但在某些應 用裡需要用到如圖5-2所示的波形，此一波形稱為脈波直流，當使 用到此一波形時在某一時段裡，電源供應器，提供了一個從零往最 大值來增加的電壓，到達最大值之後，又往零來減少。減少到零後 又再度往最大值來增加，如此反覆來進行，雖然其值一直在改變，

但其電流的流向不變，只在單一方向來流動，一般的電池充電器就 是以此一方式來工作。

圖5-1 穩態直流圖 5-2 脈波直流

直流與交流的差異

z 交流電是一種大小及 方向均隨時間來變的 電，在某一瞬間裡因 電壓的關係，電流往 某一方向來流動，而 在另一瞬間電壓的極 性改變，而使電流往 相反的方向來流動，

如圖5-3(a)所示，而 圖5-3(b)為常用的交 流電波形，圖5-3(c) 及(d)表示電流流向隨 電壓極性來改變的關 係。

圖5-3 交流

交流波形

z 交流波形一般可分為六種，分別為弦波(圖5-4(a))、方波[圖5- 4(b)]、脈波(圖5-4(c))、三角波(圖5-4(d))、鋸齒波(圖5-4(e))以及 不規則波(圖5-4(f))。

圖5-4 各種交流波形

弦波

z 弦波是最常用的交流波形，一般發電機所產生的波形即為正弦波，

圖5-5所示即為正弦波的完整表示法。

弦波

z 正弦波若以數學式來表示，可表示為：

(5-1)

i(t)表示在某一時間t裡正弦波之大小。

I_P表示正弦波的峰值，亦即最大值。

ω表示正弦波變化的角頻率，f表示正弦波變化的頻率。

T表示正弦波的週期， θ表示相角。

) T t

sin(2 I

) ft

2 sin(

I ) t

sin(

I ) t ( i

P

P P

θ π +

=

θ + π

= θ + ω

=

弦波

z 幅度所指為正弦波在某一瞬間裡的大小，圖5-6所示為幅度隨時間 變化的情形，在此一圖上是以向量的方式來表示幅度，其中幅度的 長度表示電流或電壓的大小，而向量箭頭所指的方向即表示電壓之 極性或電流的流向。

圖5-6 正弦波之幅度

弦波

z 最大的幅度稱為峰值，正弦波有兩個峰值，其中一個為正峰值，另一為負 峰值，而正峰值與負峰值的差值稱為峰至峰值 I_p-p，如圖5-7所示。圖5-7(a) 所示為一個幅度為10A的正弦電流，而其峰至峰值I_p-p＝20A。圖5-7(b)所示 為一個幅度為V_p＝9V的正弦電壓波形，其峰至峰值V_p-p＝18V。

圖5-7 峰至峰值(a)I_p＝10A，I_p-p＝20A及(b)V_p＝9V，V_p-p＝18V之正弦波

弦波

z 當直流電流I流過電阻R時，會依P＝I²R之速率來發熱而 消耗能量，若一交流電流i(t)流經電阻R，則每一瞬間之 i(t)均在電阻R內以p(t)＝i²(t)R之方式來消耗功率。在交 流電一週期T內，電阻所消耗之總能量為：

(5-2)

則此電流i(t)流經電阻R在T秒內平均消耗之功率為：

(5-3)

] J [ Rdt )

t ( i )

t (

w

o

∫

=

] W [ R ] dt ) t ( T i

[1 Rdt

) t ( T i

P 1 ^T

0 T 2

0 2

ave ⁼

∫

∫

弦波

z 若有某一直流電流I於T秒內在電阻R中所消耗的功率恰 等於(5-3)式，則此一直流電流I就稱為是交流電流i(t)之 有效值I_eff

(5-4) 或

(5-5) ]

W [ R ] dt ) t ( T i

[1 R

I R I

P ^T

o eff 2

2 2

ave ^{= = =}

∫

] A [ (t)之平均值 i

dt ) t ( T i

I 1 ^{T 2}

0 2

eff =

∫

弦波

z 交流電i(t)之有效值是經由三個步驟所計算得到，首先將 瞬間值i(t)加以平方，然後取其平均值，最後再開根號。

因此依其運算過程來命名，有效值又稱為根均方(rms) 值，對正弦波而言其有效值或rms值是等於峰值的0.707 倍，亦即

V_rms＝0.707V_p[V] (5-6) 或

V_p＝1.414V_rms＝V_rms[V] (5-7)

如圖5-8所示。除非有特別註明，否則一般交流電壓或電 流均以rms值來表示。例如一般家用的110V所指即為rms 值，其瞬間最大幅度為110V×1.414＝155.54V，在考慮 用電器具之耐壓時，即以此一最大幅度為準。

弦波

圖5-8 有效值與峰值的關係

弦波

z 平均值是指交流波形曲線所包含的面積除以其所經過的時間亦即週 期所得到的值。對一完整的正弦波而言，它包含有正半週及負半週 兩部分，這兩部分完全相等，但符號相反，如果在計算平均值時採 用一週期的話，則其平均值必定為零，所以一般以半週來加以考 慮。對一完美的正弦波而言，其平均值與峰值的關係為：

V_ave＝0.637V_p (5-8)

圖5-9 平均值與峰值的關係

弦波

z 在一般應用裡很少使用到平均值，但任何一波形其有效 值與平均值之比稱為波形因數(FF)，亦即

(5-9)

對一完美的正弦波而言FF＝1.11。直流電其有效值與平 均值相等，所以FF＝1。由此可知，當波形平坦時，其 FF＝1，當波形變為尖凸時其FF會增大，波形愈尖凸，

FF就愈大。此一FF值是專門用來判斷一波形是否為完美 的正弦波。

平均值

= 有效值 FF

例5-1

z 若有一大小為120V的交流電，其為正弦波，試求其 V_p，V_p-p及V_ave。

z [解]：因V_rms＝120V，所以

V_p ＝1.414×120V＝169.68[V]

V_p-p＝2V_p＝2×169.68V＝339.36[V]

V_ave＝0.637V_p＝0.637×169.68V＝108.09[V]

弦波

z 所謂週期是指一正弦波形完成一週所需要的時間，通常以秒(s)為單 位，並以T來表示。正弦波形的一週是指由零開始增加到最大值，

再降為零，然後再往反方向最大值來變化，到達負最大後再降為 零，即完成一週的工作。

圖5-10 頻率與週期

弦波

z 頻率是指週期性波動在單位時間裡重覆的次數，以f來 表示，其單位為赫(Hz)，1Hz等於每秒一週，頻率與週 期成倒數關係。所謂角頻率ω是以每秒弧度(rad/s)來表 示的頻率關係，它與頻率f的關係為ω＝2πf，而它與週 期的關係為ωT＝2π，。例如一般家用電力系統其電壓 為110V，頻率為60Hz，意指每秒鐘電器插座端的電壓 變化60週，每一週的週期為

] ms [ 67 . Hz 16

60

T = 1 =

弦波

圖5-11 110V，60Hz交流電源

例5-2

若有一正弦波完成2週需要25ms，則在1秒裡它共 有幾週？

z

[解]：完成2週需要25ms，亦即每週需要12.5ms，

因此每秒的週數或頻率為：

] Hz [

ms 80 5

. 12

1 T

f = 1 = =

例5-3

試求下列各頻率之週期：(a)100MHz，(b)每5秒40週，

(c)500KHz

z [解]：

(a)

(b)40週/5s＝8週/s＝8Hz (c)

] ns [ MHz 1

100

T = 1 =

] s [ KHz 2

500

T = 1 = μ

弦波

z 直流與交流最大的不同是交流電裡存在有相角的關係，所謂相角是指兩個 具有相同頻率之正弦波其間的角度關係。以圖5-12的波形來加以說明，圖 5-12(a)所示為兩個具有相同頻率但幅度不一樣的正弦波，其中A的正走向 零點出現在0°，其正峰值是在90°，其負走向零點在180°，負峰值在270°，

整個週波是在360°完成。而B的各走向及峰值出現的角度與A完全相同，因 此A及B兩者稱為同相。但在圖5-12(b)裡B相對於A向右移了90°，因此這兩 波形稱為異相。此一90°的相移或相角表示A領先B 90°或B落後或滯後A 90°。通常領先或落後的關係是以正斜率部分來比較。由圖5-12(b)可知，A 的正峰值出現比B的正峰值出現早，因此可以說是A領先B或B落後A。

圖5-12 (a)同相，(b)異相

例5-4

z 圖5-13(a)及(b)裡兩波形的相關係為何？

z [解]：在圖5-13(a)裡兩波形相差90°，其中B的正峰值較A的正峰值 早90°出現，因此B領先A 90°或A滯後B 90°。

在圖5-13(b)裡兩波形相差45°，其中A的正峰值先出現，因此A領先 B 45°或B滯後A 45°。

圖5-13 例5-4之圖

方波

z 方波是一週期波，其正及負峰值 存在的時間長度一樣，而兩者是 交互出現，如圖5-14所示。對一 方波而言，其峰值、有效值及平 均值三者是相等。方波的一週包 含有兩個部分，其中一個是峰值 為正的正脈波，而另一個是峰值 為負的負脈波，對一完美的方波 而言，其正脈波寬與負脈波寬為 相等。在正弦波裡所存在的各參 數同時也存在於方波，例如以圖 5-14的方波為例，其峰值為V_p＝ 10V，峰至峰值為V_p-p＝20V＝

2V_p，其頻率為1KHz，而週期為 T＝1/f＝1ms，也就是指正脈波 寬及負脈波寬均為(1ms/2)＝

0.5ms。

圖5-14 方波

方波

z 工作週期是一個只存在於方波及脈波裡的參數，在正弦 波裡並不需要考慮工作週期。所謂工作週期是指脈波寬 度與週期之比，一般是以百分數來表示，亦即

(5-10)

對完美方波(圖5-14所示者)而言，工作週期必定為50%，

若工作週期少於50%，則它就被歸納為後述的脈波類。

% 100 (%) = ×

週期 工作週期 脈波寬度

方波

z 對一完美方波而言，其峰值、平均值及有效值是相等，

但此一關係只出現在如圖5-14所示的方波，也就是正負 兩半週是相對於零點來變化，而且是以半週來考慮平均 值的情形。實際上對一方波而言，其平均值可以用下式 來計算：

平均值＝基線＋(工作週期×峰至峰值) (5-11) 所謂基線是指方波存在的最小值，以圖5-14的方波為 例，其基線為－10V。

若利用(5-11)式來計算圖5-14方波的平均值，則 V_ave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)

＝－10V＋(50%×20V)＝－10V＋10V＝0[V]

亦即是指相對於零點來變化 的完美方波其平均值為零

方波

z 方波不一定是相對於零點來變化，如圖5-15所示方波是由2V變化到 18V，亦即是指其基線是在2V的位置，而其V_p-p＝16V，因此對此 一波形而言，其平均值為：

V_ave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)＝2V＋(0.5×16V)＝10[V]

圖5-15 不相對於零點來變化的方波

方波

z 理想方波，是指當它由正峰值轉變到負峰值或者由負峰 值轉變到正峰值，都是在瞬間進行而沒有任何延誤。

圖5-16 理想方波變化

方波

z 實際上當方波由負峰值轉變到 正峰值，亦即作正邊緣或領先 緣的變化工作時，不可能在瞬 間裡完成，而是必須要經過一 段所謂的上升時間(T_R)才可能完 成。相同地，當它由正峰值轉 變到負峰值，亦即作負邊緣或 拖曳緣的變化工作時，也需要 經過一段所謂的下降時間(T_F)才 能完成。上升時間是指由全幅 度10%上升至90%所需要的時 間；而下降時間是指由全幅度

90%下降到10%所需要的時間。 圖5-17 上升及下降時間的定義

方波

z 對實際方波而言，很難以確定它的寬度，因此必須訂出 一寬度測量的標準，通常是以全幅度50%的寬度視為是 方波的寬度。

圖5-18 方波之寬度

脈波

z 脈波亦稱為矩形波，與方波很相似，它也是一種在兩個固定值之間 作交換的週期波。唯一不同的地方是，在脈波裡這兩個固定值所存 在的時間不一定是相等，如圖5-19所示。在圖5-19(a)裡正值所存在 的時間較負值所存在的時間為短，它稱為正脈波。而圖5 -19(b)則 相反，其負值所存在的時間較短，它稱為負脈波。

圖5-19 (a)正脈波，(b)負脈波

脈波

z 某些在正弦波及方波所用到的參數在脈波裡必須要修改，例如正弦波及方 波裡的頻率，對脈波而言必須改稱為脈波重覆頻率(PRF)，在正弦波及方 波裡頻率的倒數為週期，但在脈波裡，脈波重覆頻率的倒數稱為脈波重覆 時間(PRT)。

z 以圖5-20的脈波為例，它是一個頻率為1KHz，脈波寬度為1μs而幅度為5V 的脈波，頻率為1KHz則表示此一脈波每1ms(1/1000Hz)重覆一次，也就是 兩個領先緣之間相隔1ms或可說其PRT=1ms，在此一例子裡其脈寬只有 1μs，也就是指兩脈波相隔了999μs，在此段時間裡沒有任何訊號的存在。

脈波

z 脈波的工作週期之定義與方波相同，也就是脈波寬度與 脈波重覆時間，PRT，之比。對圖5-20的例子而言，

也就是指脈波只佔了整個週期的0.1%。

z 脈波平均值的計算與方波者相似，對圖5-20而言，

V_ave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)

＝0V＋(0.001×5V)＝0V＋5mV＝5[mV]

% 1 . 0

% ms 100

1 s

% 1 100

(%) μ × =

=

×

= 脈波重覆時間 工作週期 脈波寬度

例5-5

z 有一脈波，其峰值為20kV，脈波寬度為1μs，基線電壓 為0V，PRF=3300脈波/秒，試求其工作週期及平均值。

z [解]：

因 所以

V_ave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)

＝0＋(0.33%×20kV)＝66[V]

% PRT ×100

= 脈波寬度 工作週期

] s [ / 303

3300 1 PRF

PRT = 1 = = μ

秒 脈波

% 33 . 0

% 100 )

10 3

. 3 (

% s 100

303 s

1 ₃

=

×

×

= μ ×

= μ ⁻

工作週期

三角波

z 三角波是由兩個時間 變化率相似的斜坡所 合成，但一個往正方 向來變，而另一個則 往負方向來變。

z 三角波的頻率、週期 之定義與正弦波及方 波者相似，但對三角 波而言，其平均值為 峰值的50.5%，而有 效值為峰值的

62.4%。

圖5-21 三角波

鋸齒波

z 鋸齒波與三角波很相似，但它其中的一個斜坡之斜率為 無限大。

圖5-22 鋸齒波(a)正斜坡，(b)負斜坡

其他波形

交流運算之數學關係

正弦波的變化過程可用一長度固定之旋轉向量在縱軸之投影來表示。

圖5-24 正弦波與旋轉向量之關係

相量

z

如圖 5-24所示，長度H的半徑以一定的速率(即

正弦波的角頻率)反時針轉動，它在各位置的垂

直分量恰巧等於正弦波在該位置之幅度，此H可

代表一正弦波電壓或電流之峰值。此一表示正

弦波之旋轉向量稱為相量，相量常以位置在t=0

時之旋轉向量表示，此向量與水平軸之夾角即

為該正弦波的相角。若角度由水平軸反時針方

向起算得到，則相角為正值，否則為負值。相

量具有空間向量之性質，可用於相同頻率正弦

波之加減；在交流電路中，相量之大小通常代

表該正弦波之有效值

相量

z

v(t)＝50cos(ωt+60°)[V] (5-12) 的正弦波，若以相量方式來表示，則可以表示 為

(5-13) 在此一表示法裡並不存在有頻率的項目，因此 在利用此一表示法時，頻率必須要另外說明。

z

(5-13)式的表示方法是一種所謂的複數表示法，

複數是一個包括有兩個部分的數，其中一部分 稱為實部，而另一部分稱為虛部。

] V [ 60 50

V = ∠

複數

z 一般常用的數例如5、2.3或π等，稱為是實數，任何實 數其平方根必定為正實數，但有某些數其平方根卻為負 實數，此類數即稱為虛數，通常一虛數是以j的符號來 表示，其中 。因為j²＝－1，故1/j＝－j。

z 任何一複數均可表示為：

Z＝x＋jy

其中x表示Z的實數部並以Re(Z)來表示，而jy表示Z的 虛數部，並以Im(Z)來表示，因此一複數也可以表示 為：

Z＝Re(Z)＋Im(Z) 1

j = −

複數

z 相對於任何一複數均有一共軛存在，對 Z＝x＋jy

的複數而言，它的共軛為 Z*＝x－jy

當兩複數互為共軛時，它們的實部與虛部的絕對值是相 等，但虛數的符號是相反。

z 任何一複數與其共軛的乘積必定為一實數，例如將Z與 Z*相乘可得：

z 通常ZZ*是以 來表示，它代表Z的絕對平方值，因此

的絕對值為 。

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

*

y x

y ) 1 (

x y

j x

y j jxy jxy

x ) jy x

)(

jy x

(

+

=

−

−

=

−

=

−

− +

=

− +

ZZ =

Z 2

Z x² + y²

複數

z 任何一複數都可用複數平面上的任何一點來表示。複數 平面實際上就是一個如圖5-25所示的x-y平面，但其水平 軸，亦即一般所謂的x軸是以Re(Z)來表示其座標；而垂 直軸，亦即一般所謂的y軸是以Im(Z)來表示其座標。

圖5-25 複數平面

複數

z 任一複數是以存在於複數平面上的一個點來表示，此一 代表複數的點其座標的表示方式有三種，分別為：

(1)直角座標表示法：Z＝x+jy (5-18) (2)極坐標表示法：Z＝r(cosθ+jsinθ) (5-19) (3)指數表示法：Z＝re ^jθ＝r (5-20)

其中x及y分別表示該點的水平軸(實數軸)及垂直軸(虛數 軸)的坐標，而r表示複數的絕對值，它可表示為：

(5-21)

z θ表示複數相量與實數軸之間的夾角，大小可表示為：

θ=tan^－1(y/x)

同時由(5-18)、(5-19)及(5-20)式的關係可知：

z x＝rcosθ及y＝rsinθ

複數雖然有各種不同的表示方法，但它們之間可以互換 θ

∠

2

2 y

x r = +

複數

z 複數可以進行加減乘除等不同的運算，但必須要遵守一 些規則，通常在進行加減運算時是採用直角座標型式，

將其實數部分及其虛數部分分開處理。

z 在進行乘及除的運算時也可以利用直角座標型式來進行 但比較麻煩，若採用指數型式就簡單多，如在相乘時

或

相除時

或

z 在相乘時絕對值相乘而角度相加，在相除時絕對值相除

) (

j 2 1 j

2 j

1 2

1

2 1 2

1)(r e ) r r e

e r ( ) )(

(Z Z = ^{θ θ} = ^{θ +θ}

2 1

2 1 2

2 1

1 )(r ) r r

r

( ∠θ ∠θ = ∠θ + θ

) (

j 1 2 j

1 j 2 1

2 2 1

2

2 e

r r e

r e

r _{θ −θ}

θ

θ =

Z =

Z 2 1

1 2 1

1

2 2

r r r

r = ∠θ − θ θ

∠ θ

∠

複數

z 當一正弦波其表示式為v(t)＝V_ocos(ωt+θ)時，則其相量 表示法可寫為V=V_oe^jθ。相反的假如一相量為已知時，

將此一相量與e^jωt相乘然後取其實數部分即可得正弦波 的表示式。也就是指當V_oe^jθ已知時，可進行以下之運算 工作：

Re(V_oe^jθe^jωt)＝Re(V_oe^j(ωt+θ))

＝Re{V_o[cos(ωt+θ)+jsin(ωt+θ)]}

＝V_ocos(ωt+θ)

正弦波型式

z 任何一正弦訊號都可以用兩種方式中的任何一種來表示，

時域型式→v(t)＝V_ocos(ωt+θ)以示波器來觀察

相量型式或頻域型式→ V(ω)＝V_oe^jθ以頻譜分析儀來觀察

z 在交流電路裡，使用相量的主要原因是使計算處理的過程簡單化，

因為相量的運算只需要用到簡單的加減乘除，若以時域型式來加以 運算，則必須要使用到較為複雜的三角函數轉換關係，

圖5-26 1KHz正弦波的波形(a)時域，(b)頻域

例5-6

z 今有兩交流電源其值分別為：

v₁(t)＝15cos(377t＋45°)[V]及v₂(t)＝15cos(377t＋15°)[V]

若兩者串聯在一起，則總電壓為多少？

z [解]：首先考慮時域的解法，展開這兩電壓可得：

v₁(t)＝15cos(377t+45°)V

＝[15cos45°cos377t－15sin45°sin377t][V]

v₂(t)＝15cos(377t+15°)V

＝[15cos15°cos377t－15sin15°sin377t][V]

將兩者相加，可得

v_T(t)＝v₁(t)＋v₂(t)＝15(1.673cos377t－0.966sin377t)

＝15[1.932cos(377t＋30°)][V]

＝29.98cos(377t＋30°)[V]

例5-6(續)

z

若以相量方式來處理，則其過程會簡化得多，

首先將兩電壓寫成為相量型式 V

=15e

=14.49＋j3.88[V]

V

=15e

=10.61＋j10.61[V]

然後使兩者相加，可得

V

＝V

＋V

＝25.10＋j14.49＝29.98e

[V]

再將它轉變回時域可得

v

(t)＝29.98cos(377t＋30°)[V]

阻抗

z 在直流電路裡當有一電壓跨於電阻器的兩端時，將產生 一流過電阻器的電流，此一電壓與電流的比值稱為電 阻。此一關係也存在於交流電路裡，也就是指任何一電 路元件當有一交流電壓跨於其間時，將會產生一交流電 流。如同直流的情形一樣，此一交流電壓與交流電流也 存在有一比例關係，但因交流電壓及交流電流都具有複 數的形態，因此它們的比值也是以複數的形態存在。此 一以複數形態來存在的比值稱為複數電阻，但一般稱之 為阻抗)。因此對任何一電路而言，其阻抗，Z，被定義 為跨於此一電路的相量電壓(V)與流過於其間的相量電 流I之比值，亦即

(5-26)

[Ω]

= I Z V

阻抗

z 交流有兩種表示法，分別是時域表示法以及頻域或相量 表示法。對時域表示法而言，設其電壓及電流分別為：

v(t)＝V_psin(ωt＋α)[V] 及 i(t)＝I_psin(ωt＋β)[A]

其相對應的相量可以表示為：

V＝V_p∠α[V] 及 I＝I_p∠β[A]

由(5-26)式的關係可得：

(5-27)

其中⎜Z⎜＝V_p/I_p為阻抗的絕對值，而θ為阻抗的相角。在 此要特別強調的是，阻抗是一個由兩個複數V及I的比值 而得到的複數，不是一個相量，其性質與V_p∠α及I_p∠β 不同，其並不代表相對的正弦時域函數，但電壓V_p∠α 及電流I ∠β則分別代表相對的正弦時域函數。

] [ Z

I Z V I

Z V

p

p = ∠α − β = ∠θ Ω

β

∠ α

= ∠

=

阻抗

z 阻抗一詞可以說是電阻與電抗之組合，也 就是指阻抗是由實數的交流電阻R(ω)以及 虛數的電抗X(ω)所組成，即

Z(ω)＝R(ω)＋jX(ω)[Ω] (5-28)

z 阻抗及電抗如同電阻一樣單位為歐姆[Ω]。

z 電抗是儲能元件受頻率影響所形成類似電

阻的電路元件。電感器所形成的電抗稱為

感抗，電容器所形成的電抗稱為容抗。

阻抗

z 阻抗的大小及相角可以表示為：

其中R＝⎜Z⎜=cosθ[Ω]及X＝⎜Z⎜＝sinθ[Ω]

圖5-27阻抗相圖 ]

[ X R

Z = ² + ² Ω

R tan⁻¹ X

= θ

阻抗

z 對電阻而言，其i-v關係為v=iR，若寫成相量則V=IR，

因此電阻所對應的阻抗為：Z_R＝R[Ω]

z 對電容而言其i-v關係為：

由相量的運算可知dV/dt＝jωV，因此I=jωCV[A]

因此電容器的阻抗可以表示為：

其中容抗X_C為

] A dt [ Cdv dt

i = dq =

] [ jX C 90

1 C

j C

j 1 I

V

C

C ∠ − = Ω

= ω ω

= −

= ω

= ^o

Z

] C[

X_C 1 Ω

− ω

=

阻抗

z 對電感器而言，其i-v關係為：

由相量的運算可知di/dt＝jωI，因此 V＝jωLI[V]

因此電感器的阻抗可以表示為：

(5-41) 其感抗為：

X_L＝ωL[Ω] (5-42)

] V dt [ L di v =

] [ jX 90

L L

j _L

L = = ω = ω ∠ ^o = Ω

I Z V

阻抗

z 對電阻器而言其角度為零，且與頻率無關。

z 對純電容器而言，其相角為－90°相角，說明了在電容 器裡電壓落後電流90°。電容器的阻抗隨著頻率來變，

在直流時電容器的阻抗為無限大，亦即在直流時電容器 被視為是開路，此一阻抗隨著頻率的增加而減少，當頻 率為無限大時，電容器的阻抗將變為零，就是指在高頻 時電容器近似為短路。

z 純電感器的阻抗與純電容器者相反，其相角為90°，就 是說在電感器裡電壓領先電流90° 。當頻率為零，亦即 直流時電感器的阻抗為零，視同為短路， 電感器的阻抗 隨頻率的增加而上升，當頻率為無限大時，電感器的阻 抗為無限大，視同為開路。

阻抗

z 因為R、L及C都是正值，所以感抗是正值，而容抗為負 值。

z 對阻抗Z＝R＋jX而言，X＝0時阻抗是純電阻性；X>0時 阻抗是電感性；X<0時阻抗是電容性。

z 阻抗的倒數為導納，它可以表示為：

(5-44)

導納如同阻抗一般包含有兩部分，其中實數部G稱為交 流電導，虛數部分B稱為電納，導納及電納的單位與電 導相同是為西門子(S)。

] S [ jB 1 G

+

=

= Z Y

阻抗

z 電阻與電導互為倒數關係，相似的電抗與電納也是互為 倒數關係，也就是指容抗的倒數為容納，即

(5-45) 而感抗的倒數為感納，即

(5-46)

雖然在單個元件裡其G、B_L及B_C可以直接由R、X_L及X_C 來求知，但對導納而言其G及B的值並不是單純由R及X 倒數來求得，而必須要經過適當的運算來求知。

] S [ C X j

B 1

C

C = = ω

] S L[ j

1 X

B 1

L

L = = ω

阻抗

] S X [

R j X X

R R

X R

jX R

jX R

jX R

jX R

1

jX R

jB 1 1 G

2 2

2 2

2 2

− +

= +

+

= −

−

⋅ −

= +

= + +

=

= Z Y

] S X [

R

G ₂ R ₂

= + ^[S]

X R

B ₂ X ₂ +

= −

交流電路分析

z 除了運算方法的差異以外，交流電路分析 所用的方法及理論與直流電路完全相似。

在直流電路裡所用的只是純數的演算，因

此只需考慮其大小而已，但在交流電路裡

是採用相量亦即複數的演算法，因此除了

大小以外，還必須要考慮其相角關係。

交流電路分析

z 對串聯RL電路而言阻抗可表示為：

Z＝R＋jωL=|Z|∠θ[Ω]

其絕對值及相角分別為：

及 因為是串聯，所以

V=ZI=(R＋jωL)I＝RI＋jωLI＝V_R＋V_L[V]

z 當外加電壓加入後，在電路裡產生兩個電壓分量，其一 是跨於電阻器兩端的電壓V_R，而另一為跨於電感器兩端 的電壓V_L，兩者之和等於外加電壓V。I表示流過電路的 電流，此一電流I與V_R同相，但與V_L相差90°，且V_L領先 I，總電壓V將領先I某一角度θ，此一θ角是存在於0°到 90°之間，其值是由電阻、電感以及電源的頻率而定。

] [ ) L (

R² + ω ² Ω Z =

R tan ¹ ωL

=

θ ⁻

交流電路分析

z 圖5-29 RL串聯電路阻抗 與各分量的關係

圖5-30 RL串聯電路的電流 及各電壓之關係

交流電路分析

z 在RL並聯電路，因為電阻器與電感器為並聯且與一電 流源並聯，因此可求知各電流量分別為：

z 此一電路的阻抗為：

其中θ＝tan^-1(R/ωL)

RL並聯電路

] A R [

I_R = V [A]

L j I_L V

= ω ^)[A]

L j

1 R

( 1 V I

I

I _{R L}

+ ω

= +

=

] ) [

L j / 1 ( ) R / 1 (

1 = ∠θ Ω ω

= +

= Z

I Z V

交流電路分析

z 在並聯電路裡跨於每一 元件的電壓相等，所以 以電壓來作為參考軸，

電壓與流過電阻的電流 同相，但領先流過電感 的電流90°，同時它也領 先電路的總電流一θ角。

此一總電流等於流過電 阻器的電流及流過電感 器的電流之相量和。

圖5-32 RL並聯電路之 電流-電壓關係

交流電路分析

z RC串聯電路的阻抗可以表示為：

其中

圖5-33 RC串聯電路

] [ C)

( 1 C R

j

R 1 ^{2 2}∠θ Ω

+ ω ω =

+ Z =

RC) ( 1

tan ¹

− ω

=

θ ⁻

交流電路分析

z RC串聯電路的關係與 RL串聯電路者相反，

在此一電路裡若以電 流來作為參考軸，則 總電壓落後電流一θ 角。電流與跨於電阻 器的電壓是同相，但 領先跨於電容器的電 壓90°。

圖5-34 RC串聯電路之電流-電壓關係

交流電路分析

z RC並聯電路的阻抗為

其中θ＝tan^-1(ωRC)

圖5-35 RC並聯電路 ] [ )

C ( R)

( 1

1

2 2

Ω θ

∠ ω

+

=

= I Z V

交流電路分析

z RC並聯電路的電流-電壓關係如圖5-36所示，其中電流I 領先電壓V一θ角。

圖5-36 RC並聯電路的電流-電壓關係

交流電路分析

z RLC串聯電路的阻抗可以表示為：

圖5-37 RLC串聯電路

] [ C)

L 1 ( j C R

j L 1 j

R = ∠θ Ω

− ω ω + ω =

+ ω +

= Z

Z

] [ C) L 1

(

R^{2 2} Ω

− ω ω +

=

Z R

C 1 tan ¹ ωL− ω

=

θ ⁻

交流電路分析

z RLC串聯電路的阻抗 包含有兩個成分，分 別由電感器及電容器 所產生，因此其電流- 電壓關係是隨著這兩 成份的大小來變，若 ωL＞1/ωC則表示電感 性大於電容性，此時 整體電抗是電感性，

因此總電壓會領先電

流一θ角。 圖5-38 當ωL＞1/ωC時RLC串聯電路 的電流-電壓關係

交流電路分析

z 若ωL＜1/ωC時，則表示電路為電容性，此時總電壓會落後電流一θ 角。

圖5-39 當ωL＜1/ωC時RLC串聯電路的電流-電壓關係

交流電路分析

z 在RLC串聯電路裡當各元件值均為固定，但外加電壓的 頻率為可變時，電抗將隨著頻率來變化，在低頻部分容 抗較感抗為大，此時電路屬於電容性。隨著頻率的增加 容抗會減少，但感抗會增加，到達某一特定頻率時，容 抗與感抗相等，此時阻抗將變成為純電阻性，當此情形 發生時，電路稱之諧振。當頻率高於諧振頻率時，感抗 將大於容抗使電路轉變為電感性。

z 使諧振發生的頻率稱為是諧振頻率，此一頻率可以表示 為：

] 或 s / rad LC [

1

o =

ω [Hz]

LC 2

f_o 1

= π

交流電路分析

z 並聯RLC諧振電路的導納可以表示為：

此一電路的諧振頻率與串聯RLC電路相似。

圖5-40 並聯RLC諧振電路

] S L)[

C 1 ( j L G

j C 1 j

G = + ω − ω

+ ω ω

+

= Y

例5-7

z 有一負載跨於其上的電壓為10cos(120πt＋12°)V及流過 其間的電流為2.5cos(120πt－37°)A，試求此一負載的電 抗為多少？

z [解]：由正弦波與相量的轉變關係可知負載電壓及負載 電流可以分別表示為：

因此負載的阻抗為：

故電抗為3.02Ω並具有電感性。

] V [ 37 5

. 2 12

10∠ ^o = ∠ − ^o

= I

V 及

] [ 02 . 3 j 62 . 2 ]

[ 49 37 4

5 . 2

12

10 = ∠ Ω = + Ω

−

∠

= ∠

= ^o _o ^o

I Z V

例5-8

z 有一RC串聯電路其電阻為10Ω，電容為0.01μF，試求在何頻率下流 過此一電路的電流與跨於其間的電壓之相差為12.5°？

z [解]：對一RC電路而言，其電流與電壓間之相差為：

因此

故

5o

. RC 12

tan ¹ 1 =

− ω

=

θ ⁻

5o

. 12 RC1 = tan

ω

] s / rad [ 10 51 . 5 4

. 12 tan 10

10

1 7

8 = ×

×

= ×

ω _{− o}

例5-9

z 有一RLC串聯電路，其中R=10Ω，L=2μH及C=10nF，試 求此一電路的諧振頻率為多少？

z [解]：

及

sec]

/ rad [ 10 071

. nF 7

10 H

2

1 LC

1 ₆

o = ×

×

= μ

= ω

] kHz [

2 1125

sec /

rad 10

071 .

7 f 2

6 o

o =

π

= × π

= ω

例5-10

z 當一個50Ω的電阻器與一個470μF的電容器作並聯組合 時，在ω=377rad/s時，此一組合的阻抗為多少？

z [解]：當R與C並聯時，其阻抗為：

因此當ω=377rad/s時，

] CR [

j 1

Z R Ω

ω

= +

] [ 57 . 75 629

. 5 0

. 78 1

443 j

50 )

86 . 8 j 1 )(

86 . 8 j 1 (

) 86 . 8 j 1 ( 50

86 . 8 j 1

50 )

F 470 )(

50 )(

s / rad 377 (

j 1 Z 50

Ω

− + =

= −

− +

= −

= + μ

Ω

= +

例5-11

z 今有一RLC串聯電路，其電路元件參數為R＝3Ω，ωL＝6Ω，1/ωC

＝2Ω，所用的電源為V＝10∠0^o，試求電流I及跨於每一元件的電 壓。

z [解]：此一電路的阻抗為：

Z＝R＋j[ωL－(1/ωC)]＝3＋j[6－2]＝(3＋j4)[Ω]＝5∠53.1^o[Ω]

流過電路的電流為：

跨於各元件的電壓為：

V_R＝IR＝(2∠－53.1^o)(3)=6∠－53.1^o[V]

V_L＝IZ_L＝(2∠－53.1^o)(6∠90^o)＝12∠36.9^o[V]

V_C＝IZ_C＝(2∠－53.1^o)(2∠－90^o)＝4∠－143.1^o[V]

] A [ 1 . 53 1 2

. 53 5

0 10 Z

I V _o ^o

o = ∠−

∠

= ∠

=

串並聯電路(例5-11)

z 試求流於圖5-41電路裡的i_s。

圖5-41

[解] ：此一電路的工作頻率為：ω=100 rad/s，電源的相角為0°，因此 電源可表示為V_s=10V，在此一頻率之下電容器的阻抗為：

] [ 100 10 j

100 100

1 C

j ) 1 (

Z_{C 6} = − Ω

×

= ×

= ω

ω ₋

串並聯電路(例5-11續)

因此電路可以改用圖5-42的相量表示法來表示。

圖5-42 以相量來表示的電路 首先求Z₂及Z₃的並聯值可得：

] [ 80 j 57 40

. 26 6

. 223

90 10

2

100 j 200

10 2

j

o o 4

4

3 2

3 2 3

2

Ω

−

− =

∠

−

∠

= ×

−

×

= −

= +

Z Z

Z Z Z

Z

串並聯電路(例5-11續)

因此電路的總阻抗為

由此可知電流I_s為：

若以正弦方式來表示即為：

i_s(t)＝0.083cos(100t＋41.6°)[A]

] [ 80 j 90 80

j 40 50

) ( _{2 3}

1 + = + − = − Ω

= Z Z Z Z

] A [ 6 . 41 083

. 6 0

. 41 120

0 10 80

j 90

10 o

o o

S = ∠

−

∠

= ∠

= − I

節點電壓分析法(例5-13)

z 試求圖5-43電路a點的節點電壓v(t)。

圖5-43 例5-13的電路

z [解]：由圖上可知此一電路的工作頻率為：ω=6 rad/s。

因此(1/3)H電感及(1/6)F電容所對應的感抗及容抗分別為 j2Ω及－j1Ω，因此圖5-43的電路可以改用圖5-4的相量表 示法來表示。

節點電壓分析法(例5-13續)

圖5-44 以相量來表示的電路 對a點應用KCL可得：I₁＋I₂＋I₃＝0

其中

] A 2 [

j

0 4 I V

o 1

∠

= − [A]

1 j I₂ V

= − [A]

2 I₃ = V

節點電壓分析法(例5-13續)

因此

(1－2＋j1)V＝4

因此a點的節點電壓v(t)

v(t)＝2.83sin(6t－135^o)[V]

2 0 V 1

j V 2

j

0 4

V ^o

=

− +

∠ +

−

] V [ 135 83

. 135 2

2 4 1

j 1

V 4 _o = ∠ − ^o

= ∠ +

= −

節點電壓分析法(例5-14)

z 試以節點電壓法來求流過圖5-45電路bd分支的電流。

圖5-45 例5-14的電路

z [解]：首先要求知電路所有的獨立節點，由圖可知電路 共有兩節點，但其中d點為接地點，因此只需考慮b點。

對b點使用KCL可得：

0 I

I I

I_b = ₁ + ₂ + ₃ =

∑

節點電壓分析法(例5-14續)

其中

因此

] A Z [

V V

Z V I V

] A Z [

V Z

0 V

Z V I V

] A Z [

V V

Z V I V

bc 2 b

bc c b

3

bd b

bd b

bd d b

2

ab 1 b

ab a b

1

= −

= −

− =

− =

=

= −

= −

bc 2 ab

1 bc

bd ab

b

bc 2 b

bd b ab

1 b

Z V Z

) V Z

1 Z

1 Z

( 1 V

Z 0 V V

Z V Z

V V

+

= +

+

− = +

− +

節點電壓分析法(例5-14續)

將各參數代入可得

因此流過bd分支的電流為

] V 1 [

j 1

60 10

1 j 1

0 ) 10

1 j 1

1 2

j 1

1 1

j 1 ( 1 V

o o

b −

− + ∠

+

= ∠ + −

+ + +

] V 45 [

2

60 10

45 2

0 )] 10

2 j1 2

(1 5)

j2 5

(1 2)

j1 2

[(1

V o

o

o o

b ∠ −

− + ∠

∠

= ∠ +

+

− +

−

] V [ 6 . 11 8

. 4 10

. 18 263

. 1

30 65

.

V 13 _o ^o

o

b = ∠ −

−

∠

−

= ∠

] A [ 75 82

. 5 4

. 63 5

6 . 11 8

.

I 10 _o ^o

o

b = ∠ −

∠

−

= ∠

網目電流分析法(例5-15)

z 試求圖5-46電路的電流i₁(t)及i₂(t)。

圖5-46 例5-15的電路

z [解]：電路電源的角頻率為ω＝2rad/s，因此電路裡各個電感器及電 容器所對應的感抗及容抗分別為

L₁＝1H所對應的感抗為X_L1＝ωL₁＝2×1＝2[Ω]

L₂＝(1/2)H所對應的感抗為X_L2＝ωL₁＝2×(1/2)＝1[Ω]

C₁＝(1/4)F所對應的容抗為

] [ 2 4)

(1 2

1 C

X 1

1 1

C = Ω

× ω =

=

網目電流分析法(例5-15續)

因此所得到的相量電路如圖5-47所示。

圖5-47 以相量來表示的電路 對兩迴路使用KVL可得：

(4＋j2)I₁－I₂＝18∠0^o

－I₁＋(2－j1)I₂＝0

網目電流分析法(例5-15續)

利用克拉瑪(Cramer)法則，可得：

由此可知電路的電流i₁(t)及i₂(t)分別為：

i₁(t)＝4.47sin(2t－26.6^o)[A]及i₂(t)＝2sin2t[A]

] A [ 6 . 26 47

. 4 )

1 j 2 ( 1

1 )

2 j 4 (

) 1 j 2 ( 0

1 0

18

I ^o

o

1 = ∠ −

−

−

− +

−

−

∠

=

] A [ 0 2 ) 1 j 2 ( 1

1 )

2 j 4 (

0 1

0 18 )

2 j 4 (

I ^o

o

2 = ∠

−

−

− +

−

∠ +

=

網目電流分析法(例5-16)

z 試以網目電流分析法來求圖5-48電路的輸出電壓V_o。

圖5-48 例5-16的電路

z [解]：對兩迴路使用KVL可得：

I₁－(1－j)I₂＝10∠20^o

－(1－j)I₁＋(2＋j)I₂＝0