Stirling 公式

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從 Wallis 公式到 Stirling 公式

bee

*

108.02.04 ∼ 108.02.04

極漂亮的離散公式。

1. Wallis 公式

這是一個漂亮的嚇人的無窮乘積： 2 1· 2 3· 4 3 · 4 5· 6 5· 6 7 · 8 7· 8 9· · · = π 2 (1) 即 ∞ ∏ n=1 ( 2n 2n− 1 ) ( 2n 2n + 1 ) = lim n→∞ (2n· n!)4 (2n!)2_{(2n + 1)} = π 2 (2) 這一個等式是 John Wallis(英國數學家) 發現的，據說他是從【四分之一圓的面積】得到的靈感，那是一個很有趣的推理過程，感興趣的讀者可以參考神奇的加瑪函數一文 (從 google 上去找，是中國網站的一篇文章)。我們如果把左邊的無窮連乘積分成兩項兩項的來看，如下所示： 2 1 · ( 2 3· 4 3 ) · ( 4 5· 6 5 ) · ( 6 7· 8 7 ) ·8 9· · · = π 2 (3) 大致可以看見這一個等式從 2 1 漸漸變小到 π 2，這是很令人印象深刻的事情。要說明 Wallis 乘積是正確的，利用 Euler 的等式來看最方便，Euler 的等式是

sin x = x· ( 1− x π ) ·(1 + x π ) ·(1− x 2π ) ·(1 + x 2π ) · · · (4) 想法是：y = sin x 的函數圖形與 x 軸的交點恰在_{· · · − 2π, −π, 0, π, 2π, · · ·} *_{bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

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把 x = π 2 代入，可得 1 = π 2 · ( 1− 1 2 ) · ( 1 + 1 2 ) · ( 1−1 4 ) · ( 1 + 1 4 ) · · · (5) 即可得 Wallis 連乘積等式： π 2 = 2 1 · 2 3· 4 3 · 4 5 · 6 5· 6 7 · 8 7 · 8 9· · · (6)

可見得 Euler 等式比 Wallis 連乘積有更多的內涵。要證明 Euler 等式，需要一些功夫，再研究 (可找電子書：Green’s Functions and Infinite Products)。

2. Stirling 公式

和 Wallis 連乘積有一個等價的神奇式子：Stirling 公式。 n!≈√2πn (_n e )n (7) 我們可以很簡單的觀察： nn2 << n! << nn (8) 如果調整一下：用(n e )n 來近似 n! 似乎不錯。不過，Stirling 公式告訴我們說還是有點 誤差，即 n! (_n e )n → ∞ (9) 得多除以一個√n，此時將收斂到√2π。即 n! (_n e )n ·√n → √ 2π (10)

看到√2π，不免想到 Wallis 連乘積，於是，可以由 Wallis 連乘積得到 Stirling 公式嗎？

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3. 由 Wallis 連乘積到 Stirling 公式

把 n! 用 Ln √ n (_n e )n 代入 Wallis 連乘積，可得 lim n→∞ (2n_{· Ln}√_n(n e )n )4 (L2n √ 2n(2n_e )2n)2_{(2n + 1)} = π 2 (11) 整理得 L2 = 2π ⇒ L =√2π (12) 於是可得：n!_≈√2πn (_n e )n 。(看過上面的介紹，可以很簡易的把公式背起來嗎？)

4. 怎樣可以想到公式

不過到底怎樣可以想到此公式呢？要處理連乘積非常困難，我們的妙招是取其對數，把連乘積變成連加和。設 S(n) = ln(n!) = n ∑ k=1 ln k (13) 利用對數的函數圖形很容易得到： ∫ n 1 ln xdx < S(n) < ∫ n+1 1 ln xdx (14) 計算 ∫ n 1 ln xdx = (x ln x− x) n 1 = n ln n− n + 1 = n(ln n − ln e) + ln e = ln ( e(n e) n) ₍₁₅₎ 同理可得 ∫ n+1 1 ln xdx = ln ( e(n + 1 e ) n+1 ) = ln ((_n e )n(_{n + 1} n )n (n + 1) ) = ln ( (n + 1) (_n e )n( 1 + 1 n )n) < ln ( e(n + 1) (_n e )n) 3

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故可得 e (_n e )n < n! < e(n + 1) (_n e )n (16) 這說明 n! = α(n)· ( e (_n e )n) (17) 我們得把 α(n) 這一個函數找出來。 找 Wallis 公式來幫忙。把 α(n)_·(e (_n e )n) 代入 Wallis 公式，得 lim n→∞ (2n· α(n)(n e )n )4 (α(2n)(2n e )2n )2_{(2n + 1)} = π 2 (18) 整理得 lim n→∞ ( α2(n) α(2n) )2 · 1 2n + 1 = π 2 ⇒ limn→∞ α2(n) α(2n) = √ nπ (19) 於是選取 α(n) =√2nπ (20) 即可得 n! 的近似公式 n! =√2nπ (_n e )n (21)

5. 寫後與參考資料

我本來是參考蔡聰明教授在數學傳播上的文章：談 Stirling 公式，後來上網尋找資料，找到 https://cs.pwr.edu.pl/cichon/Math/StirlingApp.pdf 介紹的文章，發現相當有趣，就把其中的內容學起來，同時.pl 是荷蘭的網址，頗有意思。然後，我又在網路上尋找中文的文章，發現沈淵源教授在數學傳播上的文章：從尤拉數 e 到 Stirling 常數，相當精采。建議對 stirling 公式有興趣的讀者，可以參考這三篇文章。 1. 蔡聰明：談 Stirling 公式，數學傳播第 17 卷 2 期 (82 年 6 月)。

2. JACEK CICHO´N：Stirling approximation formula (https://cs.pwr.edu.pl/cichon/Math/Stirlin-gApp.pdf)

3. 沈淵源：從尤拉數 e 到 Stirling 常數，數學傳播第 20 卷 1 期 (85 年 3 月)。