石墨烯中電子電子交互作用之研究
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(2) 摘 要 在本文中，我們利用量子場論計算了Graphene電子間交互作用對current-current correlator造成的一階修正。這個結果可以用來計算Graphene的conductivity 。. 關 鍵 詞 ： 石墨稀、量子場論、微擾理論.
(3) Abstract In this paper, we use quantum field theory to calculate current-current correlator in Graphene to first order in electron-electron interaction. The result can be used to calculate the correction to the conductivity of Graphene.. Keyword： ：Graphene、QFT、Perturbation theory.
(4) Contents 1 Introduction. 1. 2 Vacuum polarization. 4. 3 First order correction of perturbation to current-current correlator. 9. 4 Conclusion. 23. Reference. 24. Appendices. 25. A Tensor analysis for egg diagram. 25. B Tensor analysis for self energy diagram. 46.
(5) Chapter 1 Introduction 石 墨 稀(Graphene)是 碳 原 子 用 六 邊 形 的 形 式 排 列 成 蜂 巢 晶 格 結 構(如 圖1.1[2])且厚度只有一顆碳原子的二維平面材料，碳原子間用1個s軌域和兩 個p軌域所形成鍵結長度為1.42˚ A的σ鍵以及剩下來1個未混成的spz 軌域所形成 的π鍵來作連接。 √ a a √ (3, 3),~a2 = (3, − 3)是Graphene的基本晶格向 2 2 量，而在圖1.1(b)所描述的是它倒置晶格的first Brillouin zone，其形狀剛好也是 在圖1.1(a)中，向量~a1 =. 六邊形。圖中的~b1 ,~b2 是它的倒置晶格向量，由於倒置晶格向量與基本晶格向量 √ 2π √ 2π 之間滿足~bi · ~aj = 2πδij 的關係，所以~b1 ,~b2 分別等於 (1, 3)和 (1, − 3)。 3a 3a. (a). (b). Brillouin zone的K點以及K 0 點為Dirac point，它們在倒置晶格的位置分別 2π 2π 2π 2π 為( , √ )以及( , − √ )。 3a 3 3a 3a 3 3a 1.
(6) 電子在某一碳原子及其臨近的原子間跳躍的tight binding Hamiltonian為 H = −t. X. (a†σ,i bσ,j + h.c).. (1.1). hi,ji,σ. 上式中的a†σ,i 為電子的creation operator，而下標的i所對應的是它的位置Ri (圖1.1(a)中 藍 點A的 位 置)，bσ,j 為annihilation operator， 它 所 對 應 的 位 置 為 圖1.1(a)中 黃 點B的位置，σ則是電子的spin，t為電子跳到最鄰近原子的跳躍能，其值約 為2.8eV，而±號分別為上π鍵以及下π ∗ 鍵。 而這個Hamiltonian所產生的能帶(energy band)E為 p E± (k) = ±t 3 + f (k),. √ √ 3 3 f (k) = 2cos( 3ky a) + 4cos( ky a)cos( kx a). 2 2. (1.2). 如果對它的能帶結構作圖(圖1.2[2]) 可以發現在Dirac point附近會產生圓錐形的. Figure 1.2. 能帶結構，而它的dispersion relation為 E± (q) ≈ ±vF |q| + O(q 2 ),. (1.3). k = q + K. 其中q是在Dirac point附近的動量，而vF 是Fermi velocity，其值約為光速c的三 q2 百分之一。上式的Energy dispersion與一般的自由電子的 不同，類似于一個 2m 相對論性的無質量粒子。. 2.
(7) 此外由於Graphene的單位晶格中有兩個原子A跟B；且對Hamiltonian中電子 的operator在Dirac point K以及K 0 附近作傅立葉變換。 1 X −ik·Ri an = √ e a(k). N k. (1.4). 則a(b)位置上的場an (bn )會近似兩個新的場a1,n (b1,n )與a2,n (b2,n )的和 0. an ∼ e−iK·Rn a1,n + e−iK ·Rn a2,n , bn ∼ e. −iK·Rn. b1,n + e. −iK0 ·Rn. (1.5). b2,n .. 利 用 上 式 ， 再 經 過 一 些 計 算 可 以 把Hamiltonian改 寫 成massless的Dirac like Hamiltonian Z H ' −ivF. ˆ †1 (r)σ · ∇Ψ ˆ 1 (r) + Ψ ˆ †2 (r)σ † · ∇Ψ ˆ 2 (r)]. dxdy[Ψ. (1.6). ˆ † = (a† , b† )，i=1,2 分別代表Dirac point K以及K 0 ，而σ為Pauli ma上式中的Ψ i i i trix。 這 是 二 次 量 子 化 之 後 的 形 式 ， 如 果 用 一 次 量 子 化 去 看 ， 電 子 的wave function ψ(~r)會遵守2維的Dirac equation。 Eψ(r) = vF σ · ∇ψ(r).. (1.7). 由於這些特性，K點和K 0 兩點被稱作為Dirac point，而電子在Graphene中也 因此為速度是vF 且massless的Dirac fermion。Graphene中會產生許多像是Klein paradox等現象，因此使研究者感到興趣。 由於在Dirac point 上面幾乎沒有density of states，因此幾乎沒有Screening effect，造成我們在探討它的Transport時需要考慮長距離的Coulomb interaction。 1 2.2 又因為fermi velocity是光速的 所以它的coupling constant αg 約等於 ，r 為 300 r e2 介電常數[6]。根據理論所預期Graphene的conductivity為σ0 = ，但這個數值 4¯h 從來沒有被測量到，實際所測量到的結果都比σ0 大了一些。會產生這樣的差異 的原因就是歸因于Coulomb interaction，而σ0 與σ的比值為 σ = 1 + Cαg σ0. (1.8). 上式中的C為某常數。而根據文獻，常數C會因為不同的momentum cuffoff以及 不同的方法如Kubo formula,polarization operator,kinetic equation.等方法去算的 話會得到不同的結果[5][6]。 3.
(8) Chapter 2 Vacuum polarization 上 一 章 提 到 電 子 在Graphene中 為Dirac fermion， 所 以 我 們 可 以 利 用 量 子 場 論 探 討Graphene的 物 理 。 這 一 章 我 們 利 用 量 子 場 論 來 計 算current-current correlator。首先我們考慮最低階的效應，在這一階的計算中完全不需要考慮電 子間的交互作用，即 h0|T (Jµ (y)Jν (0))|0i =h0|T (ψ¯a (y)(γµ )ab ψb (y)ψ¯a0 (0)(γν )a0 b0 ψb0 (0))|0i.. (2.1). 我們在這裡使用Wick’s theorem來作計算，而可能有的contraction為 ψ¯a (y)(γµ )ab ψb (y)ψ¯a0 (0)(γν )a0 b0 ψb0 (0) (2.2) +ψ¯a (y)(γµ )ab ψb (y)ψ¯a0 (0)(γν )a0 b0 ψb0 (0). ¯ i ψ(y)j )|0i可以用fermion的propagatorS(y − x)ij 變換示來表 (2.1)式中的h0|T (ψ(x) 示。之後我們利用傅立葉變換將它轉換到動量空間 h0|S(−y)b0 a (γµ )ab S(y)ba0 (γν )a0 b0 |0i + h0|S(0)ba (γµ )ab S(0)b0 a0 (γν )a0 b0 |0i = − Tr{S(−y)γµ S(y)γν } + Tr{S(0)γµ }{S(0)γν }, Z Z d3 k d3 p i(p−k)·y ˜ ˜ =− e Tr{S(k)γ µ S(p)γν } (2π)3 (2π)3 Z Z d3 p d3 k ˜ ˜ + Tr{S(k)γ µ }{S(p)γν }. (2π)3 (2π)3. 4. (2.3).
(9) ˜ ij = 因為整個propagator還是坐標空間，所以必須再對它作一次傅立葉變換S(q) Z d3 yeiq·y S(y)ij ，即 Z d3 k − (2π)3 Z Z d3 k + (2π)3 Z Z d3 k =− (2π)3 Z Z d3 k + (2π)3 Z. Z d3 p (2π)3 Z d3 p (2π)3 Z d3 p (2π)3 Z d3 p (2π)3. ˜ ˜ d3 yeiq·y ei(p−k)·y Tr{S(k)γ µ S(p)γν } ˜ ˜ d3 yeiq·y Tr{S(k)γ µ }{S(p)γν }, (2.4) 3. i(q+p−k)·y. d ye. ˜ ˜ Tr{S(k)γ µ S(p)γν }. ˜ ˜ d3 yeiq·y Tr{S(k)γ µ }{S(p)γν }. (2.5). 利用. 1 (2π)3. Z. d3 yeiq·y = δ 3 (q)，上式可寫成 − + =− +. Z 1 (2π)3 Z 1 (2π)3 Z 1 (2π)3 Z 1 (2π)3. 3. Z. ˜ ˜ d3 p δ 3 (q + p − k)Tr{S(k)γ µ S(p)γν }. Z. ˜ ˜ d3 p δ 3 (q)Tr{S(k)γ µ }{S(p)γν },. dk 3. dk. (2.6) ˜ ˜ d k Tr{S(k)γ µ S(k − q)γν } Z 3 3 ˜ ˜ d k d3 p Tr{S(k)γ µ }{S(p)γν }δ (q). 3. i 。其中k/ = k λ γλ ，γλ 為Dirac k/ − m + iε matrices，而iε則是真空對真空的boundary condition，將它帶入上式後我們得到 Z 1 i i − d3 k Tr{ γµ γν } 3 (2π) k/ − m + iε k/ − /q − m + iε Z Z (2.7) i i 1 3 3 3 d k d p Tr{ γ }δ (q). γ }Tr{ + µ ν (2π)3 p/ − m + iε k/ − m + iε ˜ Fermion的propagator S(k)原本的形式為. 1. 因為i只是決定路徑積分繞過極點k0 = ±(k2 + m2 ) 2 的方式，所以整理式子的時 候可以將它暫時省略，等到整理完再放回來。整理後，上式可化為 Z (k/ − /q + m) 1 i (k/ + m) i 3 d k Tr{ γ γν } − µ (2π)3 (k/ − m) (k/ + m) (k/ − /q − m) (k/ − /q + m) Z (p/ + m) d3 k 3 i (k/ + m) i d p Tr{ γµ }Tr{ γν }δ 3 (q), + 3 (2π) (p/ − m) (p/ + m) (k/ − m) (k/ + m) Z −Tr{(k/ + m)γµ (k/ − /q + m)γν } 1 =− d3 k 3 (2π) (k 2 − m2 )[(k − q)2 − m2 ] Z Z −Tr{(k/ + m)γµ }Tr{(p/ + m)γν } 3 1 3 3 + d k d p δ (q). (2π)3 (k 2 − m2 )(p2 − m2 ) 5. (2.8).
(10) 又因為奇數個Dirac matrix的trace總是零，所以上式變成 Z −Tr{k/γµ (k/ − /q)γν + m2 γµ γν } 1 3 − dk (2π)3 (k 2 − m2 )[(k − q)2 − m2 ] Z Z −(Tr{k/γµ } + Tr{p/γν }) 3 1 + δ (q). d3 k d3 p 3 (2π) (k 2 − m2 )(p2 − m2 ) 除此之外，根據Dirac matrix取trace的特性 Tr{γλ γµ } = 4ηλµ ,. (2.9). (2.10). Tr{γλ γµ γρ γν } = 4(ηλµ ηρν + ηλν ηρµ − ηλρ ηµν ), 所以(2.9)取完trace變成 Z 2 4 3 −[m ηµν + kµ (k − q)ν + kν (k − q)µ − k · (k − q)ηµν ] − d k (2π)3 (k 2 − m2 )[(k − q)2 − m2 ] Z Z −(kµ + pν ) 4 3 3 d k d p δ 3 (q). + (2π)3 (k 2 − m2 )(p2 − m2 ). (2.11). 上式中由於第二項的積分式是奇函數，而且這裏的積分都是從負無窮大到正無 窮大，所以此項的積分會等於零。接著我們引進了Feynman trick讓計算變得比 較容易 1 = AB. Z. 1. dα 0 2. 1 . [αA + (1 − α)B]2. (2.12). 在(2.11)中，我們把(k − q)2 − m 和k 2 − m2 分別設為A和B，再運用上式後可 將(2.11)式化成 Z Z 1 4 −[m2 ηµν + kµ (k − q)ν + kν (k − q)µ − k · (k − q)ηµν ] 3 − dk dα (2π)3 {α[(k − q)2 − m2 + i] + (1 − α)(k 2 − m2 + i)}2 0 Z 1 Z 2 4 3 −[m ηµν + kµ (k − q)ν + kν (k − q)µ − k · (k − q)ηµν ] =− dα d k . (2π)3 0 [(k − αq)2 + α(1 − α)q 2 − m2 + i]2 (2.13) 再來做變數變換k 0 = k − αq使計算可以更簡化，又因為整個積分是球對稱，所 1 以kµ kν = k 2 ηµν ，(2.13)就會變成 3 Z 1 Z 2 2 0 2 0 2 2 4 3 0 −{m ηµν + 3 (k ) ηµν + 2α(α − 1)qν qµ − [(k ) + α(α − 1)q ]ηµν } − dα d k , (2π)3 0 [(k 0 )2 − α(1 − α)q 2 − m2 + i]2 Z 1 Z 1 2 2 2 4 3 −2α(α − 1)qν qµ + [ 3 k + α(α − 1)q − m ]ηµν =− dα d k , (2π)3 0 [k 2 − α(1 − α)q 2 − m2 + i]2 Z 1 Z 4 ηµν 3 =− dα d k{ (2π)3 0 3[k 2 − α(1 − α)q 2 − m2 + i] [4α(α − 1)q 2 − 2m2 ]ηµν − 6α(α − 1)qν qµ + }. 3[k 2 − α(1 − α)q 2 − m2 + i]2 (2.14) 6.
(11) 除了路徑繞著極點的複變積分之外，我們也可以使用Wick rotation將整個積分 的空間從Minkowski space轉換到Euclidean space，即 k 2 = k02 − (k12 + k22 ) = −(k12 + k22 + k32 ) = −kE2 , q 2 = −qE2 , k0 = ik3 ⇒ d3 k = id3 kE , η = −δ , µν µν. (2.15). 上 式 中 的kE 和qE 為propagator在Euclidean space中 的 動 量 ， 而δµν 為Euclidean metric。如此一來整個積分式變得比較簡單，在經過變換後(2.14)裡面的i就 可以移除，因此整個積分式子就變成 Z 1 Z 4i δµν − dα d3 kE { 2 3 (2π) 0 3[kE − α(1 − α)qE2 + m2 ] [4α(α − 1)qE2 + 2m2 ]δµν − 6α(α − 1)qν qµ + }. 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + m2 ]2. (2.16). 在之前提到，這裡的積分都是球對稱的積分，所以d3 kE 可以用n維球體的球面面 積與球體體積的關係式來化簡 n. 2π 2 Sn (R) = n Rn−1 . Γ( 2 ). n. d R = Sn (R)dR ,. (2.17). n 上式中的Γ( )為gamma function，依照這裡的問題帶n=3進去可以得到d3 k = 2 4πk 2 dk，所以(2.16)就變成 Z 1 Z 2i δµν − dα dkE kE2 { 2 2 (π) 0 3[kE − α(1 − α)qE2 + m2 ] (2.18) [4α(α − 1)qE2 + 2m2 ]δµν − 6α(α − 1)qν qµ + }. 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + m2 ]2 由於這裡對kE 是從零積分到正無窮大，上式中第一項會因為分母跟分子都 是二次方而得到發散的結果，所以我們必須對它做Regularization。在這裡我 們選擇Pauli-Villar Regularization來做計算以保護系統中規範對稱性。PauliVillar Regularization就是在場裡面再加上一個虛擬且帶有質量Λ的粒子，引. 7.
(12) 入Regularization之後上式就變成 Z Z 1 δµν δµν 2i dα dkE kE2 { 2 − − 2 2 2 2 (π) 0 3[kE − α(1 − α)qE + m ] 3[kE − α(1 − α)qE2 + Λ2 ] [4α(α − 1)qE2 + 2m2 ]δµν [4α(α − 1)qE2 + 2Λ2 ]δµν − + 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + m2 ]2 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + Λ2 ]2 6α(α − 1)qν qµ 6α(α − 1)qν qµ − + }, 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + m2 ]2 3[kE2 − α(1 − α)qE2 + Λ2 ]2 Z 1 1 i 1 2 dα{ =− 1 − 1 }α(α − 1)(qE δµν − qµ qν ). 2 π 0 [m2 − α(α − 1)qE ] 2 [Λ2 − α(α − 1)qE2 ] 2 (2.19) 最後再將Λ取極限到無限大，我們可以得到 Z i 1 1 }α(α − 1)(qµ qν − qE2 δµν ), dα{ 2 21 2 π 0 [m − α(α − 1)qE ] 2 2 −1 2m i (4m − qE ) cot ( qE ) − 2mqE = { }(qµ qν − qE2 δµν ). 3 π 4qE. 8. (2.20).
(13) Chapter 3 First order correction of perturbation to current-current correlator 在上一章所計算的current-current correlator是最低階的，而這一章我們將進 一步計算它的下一階修正，這個時候電子間的交互作用會開始產生影響。因 為Graphene中的交互作用單純只是電子間的Coulomb interaction，因此它的位 能既為 1 LI = − 2. Z. ¯ x)γ0 ψ(~x) d2 xd2 y ψ(~. e2 ¯ ψ(~y )γ0 ψ(~y ), |~x − ~y |. (3.1). 所以第一階的perturbation correction就變成 hiLI J(z)J(0)i Z i 2 ¯ x)γ0 ψ(~x) 1 ψ(~ ¯ y )γ0 ψ(~y )Jµ (z)Jν (0)i, = − e h d2 xd2 y ψ(~ (3.2) 2 |~x − ~y | Z i ¯ x)γ0 ψ(~x) 1 ψ(~ ¯ y )γ0 ψ(~y )ψ(z)γ ¯ ¯ = − e2 h d2 xd2 y ψ(~ µ ψ(z)ψ(0)γν ψ(0)i. 2 |~x − ~y | 上式中把¯ h設為1。如果使用Wick’s theorem的話，會有許多組合需要去配對。為 了利用我們在QED所學到的經驗，我們引進Hubbard-Stratonovich transformation(HST)。. 9.
(14) 首先將Coulomb potential轉換到動量空間，所以對它作傅立葉轉換 Z 1 ¯ y )γ0 ψ(~y ), ¯ x)γ0 ψ(~x) 1 ψ(~ − d2 xd2 y ψ(~ 2 |~x − ~y | Z 1 1 ~ =− d2 kd2 xd2 yρ(~x) eik·(~x−~y) ρ(~y ), 4π |~k| Z Z Z d2 p 1 d2 q x−~ y) 2 2 1 i~k·(~ i~ p·~ x 2 dx =− dk e ρ ˜ (~ p )e d y ρ˜(~q)ei~q·~y , 2 2 ~ 4π (2π) (2π) |k| Z 1 1 =− d2 k ρ˜(−~k) ρ˜(~k), ~ 4π |k| Z 1 1 =− d2 k ρ˜∗ (~k) ρ˜(~k). 4π |~k|. (3.3). 因 為 上 式 中 的˜ ρ是 一 個real field， 所 以˜ ρ(−~k) = ρ˜∗ (~k)。 之 後 再 引 進 一 個 輔 助 場φ並進行配方，即 ρ˜ 1 ρ˜∗ ~ ˜ )|k|(φ − ) = φ˜∗ |~k|φ˜ − 2φ˜∗ ρ˜ + ρ˜∗ ρ˜, |~k| |~k| |~k| ∗ ρ˜ ~ ˜ ρ˜ 1 ⇒(φ˜∗ − )|k|(φ − ) − ρ˜∗ ρ˜ = φ˜∗ |~k|φ˜ − 2φ˜∗ ρ˜. |~k| |~k| |~k| (φ˜∗ −. 最後將上式帶回到partition function Z 即 Z R 2 ∗ i ∗ 1 ˜∗ ρ˜ ~ ˜ ρ˜ ˜ φ˜∗ ]e− 4π d k{(φ − |~k| )|k|(φ− |~k| )−˜ρ |~k| ρ˜} , Z = D[φ]D[ Z R ˜ φ˜∗ ρ˜) ˜ φ˜∗ ]e− 4πi d2 k(φ˜∗ |~k|φ−2 = D[φ]D[ , Z Z R 2 R 2 i ∗ 1 i ∗ |~ ∗ρ ˜ ˜ ˜ ∗ − d k( φ k| φ−2 φ ˜ ) ˜ φ˜ ]e 4π ˜ φ˜∗ ]e 4π d k{˜ρ |~k| ρ˜} . ⇒ D[φ]D[ = N D[φ]D[. (3.4). (3.5). 上式中的N 為某一常數。 1 以 上 的 步 驟 就 是HST， 因 為 這 樣 的 關 係 使 得(3.3)中 的−˜ ρ∗ (~k) ρ˜(~k) 可 以 |~k| ∗ ∗ ∗ ∗ ˜ φ˜ ρ˜)代換， 再將它換回坐標空間，則(φ˜ |~k|φ−2 ˜ φ˜ ρ˜)會等於(φ∗ |∇|φ− 用(φ˜ |~k|φ−2 i ∗¯ φ ψγ0 ψ)，而Lagrangian density就會變成 π ¯ 0 ∂ 0 ψ + vF ψγ ¯ i∂ iψ + L = ψγ. i ∗ i ¯ φ |∇|φ − φψγ0 ψ. 4π 2π. (3.6). ¯ 0 ψ)2 Jµ (x)Jν (0)|0i， 在這個新的Larangian下，J-J correlator的一階修正為 h0|(φψγ 而它對應了兩個Feynman diagrams(圖3.1)。. 10.
(15) (a) Egg diagram. (b) Self energy. Figure 3.1. 首先看Egg diagram，從Feynman diagrams可以很容易的得到它所對應的算 式為 Z. d3 p i i i i Tr{ γν γ0 γµ γ0 }, 3 (2π) P/ a P/ b P/ c P/ d. Pa = p, Pb = p + k,. (3.7). Pc = p + k − q, P = p − q, d 在這裡我們暫時只考慮對p的積分。之後依照式子(2.9)同樣的模式對上式做整 理，同乘一樣的分母使P/ 移動到分子 Z d3 p P/ γν P/ γ0 P/ γµ P/ γ0 Tr{ a 2b 2 c2 2 d }. 3 (2π) Pa P b Pc Pd. (3.8). 取trace後會產生relativistic,semi-relativistic, non-relativistic三個部分。 Relativistic part: Z d3 p 4[(Pa · Pb )(Pc · Pd ) + (Pa · Pd )(Pb · Pc ) − (Pa · Pb )(Pc · Pd )] . (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Semi-relativistic part: Z d3 p 8[ωa ωd (Pb · Pc ) + ωc ωd (Pa · Pb ) + ωb ωc (Pa · Pd )] , (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. 11. (3.9). (3.10).
(16) 上式中的ωa 為Pa 的時間分量，且ωa ωd (Pb · Pc ) + ωc ωd (Pa · Pb ) + ωb ωc (Pa · Pd )可改 寫為 ωa ωd (Pb · Pc ) + ωc ωd (Pa · Pb ) + ωb ωc (Pa · Pd ), 1 = [ωc (ωb + ωd )Pa2 + ωd (ωa + ωc )Pb2 2 + ωa (ωb +. ωd )Pc2. + ωb (ωa +. (3.11). ωc )Pd2. − k 2 (ωa ωb + ωc ωd ) − q 2 (ωa ωd + ωb ωc )]. 上式中的k 2 ≡ |~k|2 , q 2 ≡ |~q|2 Non-relativistic part: Z. d3 p 32ωa ωb ωc ωd , (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. (3.12). 而上式的ωa ωb ωc ωd 也可以改寫為 ωa ωb ωc ωd. (3.13). =ωp4 + 2(ωk − ωq )ωp3 + [ωk2 − 3ωk ωq + ωq2 ]ωp2 + [−ωk ωq (ωk − ωq )]ωp . 從這三個部分可以發現它們分別為四種積分 Z d3 p pi ~ , Ii (k, ~q) = 2 2 2 3 2 (2π) Pa Pb Pc Pd Z pi pj d3 p ~ , Iij (k, ~q) = 3 2 (2π) Pa Pb2 Pc2 Pd2 Z pi pj p m d3 p ~ , Iijm (k, ~q) = 3 2 (2π) Pa Pb2 Pc2 Pd2 Z d3 p pi p j pm pn Iijmn (~k, ~q) = . (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. (3.14). 由於Pa , Pb , Pc , Pd 中的p會被積分掉而剩下k跟q，所以Ii , Iij , Iijm , Iijmn 分別會變 成k跟q所組成的ㄧ階到四階且完全對稱的張量。. 12.
(17) 因此(3.14)中的積分出來會成為以下的組合 Ii (~k, ~q) = A1 (~k, ~q)ki + A2 (~k, ~q)qi , Iij (~k, ~q) = C1 (~k, ~q)δij + C2 (~k, ~q)ki kj + C3 (~k, ~q)qi qj + C4 (~k, ~q)(ki qj + qi kj ), Iijm (~k, ~q), = E1 (~k, ~q)(δij km + δim kj + δjm ki ) + E2 (~k, ~q)(δij qm + δim qj + δjm qi ) + E3 (~k, ~q)(ki kj km ) + E4 (~k, ~q)(qi qj qm ) + E5 (~k, ~q)(ki kj qm + ki qj km + qi kj km ) + E6 (~k, ~q)(qi qj km + qi kj qm + ki qj qm ) Iijmn (~k, ~q), = F1 (~k, ~q)(δij δmn ) + F2 (~k, ~q)(δij km kn ) + F3 (~k, ~q)(δij qm qn ) + F4 (~k, ~q)(δij km qn ) + F5 (~k, ~q)(ki kj km kn ) + F6 (~k, ~q)(qi qj qm qn ) + F7 (~k, ~q)(ki kj km qn ) + F8 (~k, ~q)(qi qj qm kn ) + F9 (~k, ~q)(ki kj qm qn ). (3.15) 上式中的A.C.E.F 分別為係數，而這些係數可以利用張量分析來求得(詳細過程 見Appendix A)。 而self-energy diagram與egg diagram類 似 ， 從 圖3.1中 可 以 發 現 將egg diagram中的Pd 替換成Pb 就變成self-energy diagram，它所對應的算式就變成 Z i i i i d3 p Tr{ γν γ0 γ0 γµ }, 3 (2π) P/ a P/ b P/ c P/ b Pa = p, (3.16) Pb = p + k, Pc = p + k − q. 取trace後 一 樣 也 有relativistic,semi-relativistic, non-relativistic三 個 部 分 Relativistic part: Z Semi-relativistic part: Z. d3 p 4[2(Pa · Pb )(Pb · Pc ) − Pb2 (Pa · Pc )] . (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2. (3.17). d3 p 16[ωa ωb (Pb · Pc ) + ωb ωc (Pa · Pb )] , (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2. (3.18). 13.
(18) 上式的ωa ωb (Pb · Pc ) + ωb ωc (Pa · Pb )可改寫為 ωa ωb (Pb · Pc ) + ωb ωc (Pa · Pb ), 1 = [ωc (ωb + ωd )Pa2 + ωd (ωa + ωc )Pb2 4 + ωa (ωb +. ωd )Pc2. + ωb (ωa +. (3.19). ωc )Pd2. − k 2 (ωa ωb + ωc ωd ) − q 2 (ωa ωd + ωb ωc )]. Non-relativistic part: Z. d3 p 32ωa ωb2 ωc . (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2. (3.20). 因此所需要的積分為 d3 p (Pb )i , (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2 Z d3 p (Pb )i (Pb )j ~ Jij (k, ~q) = , (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2 Z d3 p (Pb )i (Pb )j (Pb )m ~ Jijm (k, ~q) = , (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2 Z d3 p (Pb )i (Pb )j (Pb )m (Pb )n ~ Jijmn (k, ~q) = . (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2 Ji (~k, ~q) =. Z. (3.21). 而ㄧ階到四階張量，為以下的組合 Ji (~k, ~q) = B1 (~k, ~q)ki + B2 (~k, ~q)qi , Jij (~k, ~q) = D1 (~k, ~q)δij + D2 (~k, ~q)ki kj + D3 (~k, ~q)qi qj + D4 (~k, ~q)(ki qj + qi kj ), Jijm (~k, ~q) = G1 (~k, ~q)(δij km + δim kj + δjm ki ) + G2 (~k, ~q)(δij qm + δim qj + δjm qi ) + G3 (~k, ~q)(ki kj km ) + G4 (~k, ~q)(qi qj qm ) + G5 (~k, ~q)(ki kj qm + ki qj km + qi kj km ) + G6 (~k, ~q)(qi qj km + qi kj qm + ki qj qm ), Jijmn (~k, ~q) = H1 (~k, ~q)(δij δmn ) + H2 (~k, ~q)(δij km kn ) + H3 (~k, ~q)(δij qm qn ) + H4 (~k, ~q)(δij km qn ) + H5 (~k, ~q)(ki kj km kn ) + H6 (~k, ~q)(qi qj qm qn ) + H7 (~k, ~q)(ki kj km qn ) + H8 (~k, ~q)(qi qj qm kn ) + H9 (~k, ~q)(ki kj qm qn ). (3.22) 這些係數一樣可以用張量分析來計算(詳細過程見Appendix B)。 14.
(19) 最後(3.9)∼(3.11)和(3.15)∼(3.17)都可以用我們所引進的I, J張量來表示。egg diagram的relativistic,semi-relativistic以及non-relativistic部分分別為 Relativistic part: Tre (~k, ~q), =4Iδδ (~k, ~q) + 8Iδk (~k, ~q) − 8Iδq (~k, ~q) + 4(k 2 + q 2 − ~k · ~q)Iδ (~k, ~q) − 8Ikq (~k, ~q) + 4q 2 Ik (~k, ~q) − 4k 2 Iq (~k, ~q).. 15. (3.23).
(20) Semi-relativistic part: δij {Tsr (~k, ~q)}ij = 32Iδδ (~k, ~q) + 64Iδk (~k, ~q) − 64Iδq (~k, ~q) + 16Iδ (~k, ~q) + 16Ikk (~k, ~q) + 16Iqq (~k, ~q) − 64Ikq (~k, ~q) + 16(q 2 − ~k · ~q)Ik (~k, ~q) − 16(k 2 − ~k · ~q)Iq (~k, ~q),. ki kj {Tsr (~k, ~q)}ij = 32Iδkk (~k, ~q) + 32Iδk (~k, ~q) + 32Ikkk (~k, ~q) − 32Ikkq (~k, ~q) + 8(k 2 − ~k · ~q)2 Iδ (~k, ~q) + 8(3k 2 + q 2 − 6~k · ~q)Ikk (~k, ~q) + 16(−2k 2 + ~k · ~q)Ikq (~k, ~q) + 8[k 2 q 2 − 3k 2 (~k · ~q) + 2(~k · ~q)2 ]Ik (~k, ~q) − 8k 2 (k 2 − ~k · ~q)Iq (~k, ~q),. qi qj {Tsr (~k, ~q)}ij = 32Iδqq (~k, ~q) − 32Iδq (~k, ~q) − 32Iqqq (~k, ~q) + 32Ikqq (~k, ~q) + 8(q 2 − ~k · ~q)Iδ (~k, ~q) + 8(3k 2 + k 2 − 6~k · ~q)Iqq (~k, ~q) + 16(−2q 2 + ~k · ~q)Ikq (~k, ~q) − 8[k 2 q 2 − 3q 2 (~k · ~q) + 2(~k · ~q)2 ]Iq (~k, ~q) + 8q 2 (q 2 − ~k · ~q)Ik (~k, ~q),. (ki qj + qi kj ){Tsr (~k, ~q)}ij = 64Iδkq (~k, ~q) − 32(q 2 − ~k · ~q)Iδk (~k, ~q) + 32(k 2 − ~k · ~q)Iδq (~k, ~q) + 64Ikkq (~k, ~q) − 64Ikqq (~k, ~q) − 16(k 2 − ~k · ~q)(q 2 − ~k · ~q)Iδ (~k, ~q) + 16(−2q 2 + ~k · ~q)Ikk (~k, ~q) + 16(−2k 2 + ~k · ~q)Iqq (~k, ~q) + 32(k 2 q 2 − 3~k · ~q)Ikq (~k, ~q) − 16[k 2 q 2 − 2q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Ik (~k, ~q) + 16[k 2 q 2 − 2q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Iq (~k, ~q). (3.24). 16.
(21) Non-relativistic part: (δij δmn + δim δjn + δin δjm ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 96Iδδ (~k, ~q) + 192Iδk (~k, ~q) − 192Iδq (~k, ~q) + 32(k 2 + q 2 − 3 · q)Iδ (~k, ~q) + 64Ikk (~k, ~q) + 64Iqq (~k, ~q) − 192Ikq (~k, ~q) + 32(q 2 − 2~k · ~q)Ik (~k, ~q) − 32(k 2 − 2~k · ~q)Iq (~k, ~q),. (δij km kn + ki kj δmn + δim kj kn + ki km δjn + δin kj km + ki kn δjm ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 192Iδkk (~k, ~q) − 192(k 2 − ~k · ~q)Iδk (~k, ~q) + 192Ikkk (~k, ~q) − 192Ikkq (~k, ~q) + 32[k 4 − 3k 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Iδ (~k, ~q) + 32(5k 2 + q 2 − 9~k · ~q)Ikk (~k, ~q) − 64(3k 2 − 2~k · ~q)Ikq (~k, ~q) + 32[k 2 q 2 − 5k 2 (~k · ~q) + 3(~k · ~q)2 ]Ik (~k, ~q) − 32k 2 (k 2 − 2~k · ~q)Iq (~k, ~q),. (δij qm qn + qi qj δmn + δim qj qn + qi qm δjn + δin qj qm + qi qn δjm ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 192Iδqq (~k, ~q) − 192(q 2 − ~k · ~q)Iδq (~k, ~q) − 192Iqqq (~k, ~q) + 192Ikqq (~k, ~q) + 32[q 4 − 3q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Iδ (~k, ~q) + 32[5q 2 + k 2 − 9(~k · ~q)]Iqq (~k, ~q) − 64[k 2 q 2 − 5q 2 (~k · ~q) + 3(k · q)2 ]Ikq (~k, ~q) − 32q 2 (q 2 − 2~k · ~q)Iq (~k, ~q) + 32Ik (~k, ~q),. [(km qn + qn km )δij + (ki qj + qi kj )δmn + (kj qn + qi kn )δim + (ki qm + qi km )δjn + (kj qm + qj km )δin + (ki qn + qi kn )δjm ]{Tnr (~k, ~q)}ijmn = 384Iδkq (~k, ~q) − 192(q 2 − ~k · ~q)Iδk (~k, ~q) + 192(k 2 − ~k · ~q)Iδq (~k, ~q) + 384Ikkq (~k, ~q) − 384Ikqq (~k, ~q) − 32[3k 2 q 2 − 2k 2 (~k · ~q) − 2q 2 (~k · ~q) + 3(~k · ~q)2 ]Iδ (~k, ~q) − 64(3q 2 − 2~k · ~q)Ikk (~k, ~q) − 64(3k 2 − 2~k · ~q)Iqq (~k, ~q) + 192(k 2 + q 2 − 3~k · ~q)Ikq (~k, ~q) 17.
(22) − 32[k 2 q 2 − 5q 2 (~k · ~q) + 4(~k · ~q)2 ]Ik (~k, ~q) + 32[k 2 q 2 − 5k 2 (~k · ~q) + 4(~k · ~q)2 ]Iq (~k, ~q),. (ki kj km kn ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 32Ikkkk (~k, ~q) + 64(k 2 − ~k · ~q)Ikkk (~k, ~q) + 32[k 4 − 3k 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Ikk (~k, ~q) − 32k 2 (~k · ~q)(k 2 − ~k · ~q)Ik (~k, ~q),. (qi qj qm qn ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 32Iqqqq (~k, ~q) − 64(q 2 − ~k · ~q)Iqqq (~k, ~q) + 32[q 4 − 3q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Iqq (~k, ~q) + 32q 2 (~k · ~q)(q 2 − ~k · ~q)Iq (~k, ~q),. (ki kj km qn + ki kj qm kn + ki qj km kn + qi kj km kn ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 128Ikkkq (~k, ~q) − 64(q 2 − ~k · ~q)Ikkk (~k, ~q) + 192(k 2 − ~k · ~q)Ikkq (~k, ~q) − 32[3k 2 q 2 − 2k 2 (~k · ~q) − 2q 2 (~k · ~q) + 3(~k · ~q)2 ]Ikk (~k, ~q) + 64[k 4 − 3k 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Ikq (~k, ~q) − 32[k 4 q 2 − 2k 2 q 2 (~k · ~q) + 2k 2 (~k · ~q)2 − (~k · ~q)3 ]Ik (~k, ~q) − 32k 2 (~k · ~q)(k 2 − ~k · ~q)Iq k(~k, ~q),. (qi qj qm kn + qi qj km qn + qi kj qm qn + ki qj qm qn ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 128Ikqqq (~k, ~q) + 64(k 2 − ~k · ~q)Iqqq (~k, ~q) − 192(q 2 − ~k · ~q)Ikqq (~k, ~q) − 32[3k 2 q 2 − 2k 2 (~k · ~q) − 2q 2 (~k · ~q) + 3(~k · ~q)2 ]Iqq (~k, ~q) + 64[q 4 − 3q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Ikq (~k, ~q) + 32[q 4 k 2 − 2k 2 q 2 (~k · ~q) + 2q 2 (~k · ~q)2 − (~k · ~q)3 ]Iq (~k, ~q) + 32q 2 (~k · ~q)(q 2 − ~k · ~q)Ik (~k, ~q),. 18.
(23) (ki kj qm qn + qi qj km kn + ki qj km qn + qi kj qm kn + ki qj qm kn + qi kj km qn ){Tnr (~k, ~q)}ijmn = 192Ikkqq (~k, ~q) − 192(q 2 − ~k · ~q)Ikkq (~k, ~q) + 192(k 2 − ~k · ~q)Ikqq (~k, ~q) + 32[q 4 − 3q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Ikk (~k, ~q) + 32[k 4 − 3k 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]Iqq (~k, ~q) − 64[3k 2 q 2 − 2k 2 (~k · ~q) − 2q 2 (~k · ~q) + 3(~k · ~q)2 ]Ikq (~k, ~q) + 32[k 2 q 4 − 2k 2 q 2 (~k · ~q) − 2q 2 (~k · ~q) − (~k · ~q)3 ]Ik (~k, ~q) − 32[q 2 k 4 − 2k 2 q 2 (~k · ~q) + 2k 2 (~k · ~q) − (~k · ~q)3 ]Iq (~k, ~q). (3.25) 而self energy diagram的relativistic,semi-relativistic以及non-relativistic分別為 Relativistic part: Vre (~k, ~q) =4Jδδ (~k, ~q) − 4Jδk (~k, ~q) − 4Jδq (~k, ~q) − 4~k · ~qJδ (~k, ~q) + 8Jkq (~k, ~q).. 19. (3.26).
(24) Semi-relativistic part: δij {Vsr (~k, ~q)}ij = 32Jδδ (~k, ~q) − 32Jδk (~k, ~q) − 32Jδq (~k, ~q) + 32Jkq (~k, ~q),. ki kj {Vsr (~k, ~q)}ij = 32Jδkk (~k, ~q) − 16(k 2 + ~k · ~q)Jδk (~k, ~q) − 16Jkkk (~k, ~q) − 16Jkkq (~k, ~q) + 16~k · ~qJkk (~k, ~q) + 16k 2 Jkq (~k, ~q),. qi qj {Vsr (~k, ~q)}ij = 32Jδqq (~k, ~q) − 16(q 2 + ~k · ~q)Jδq (~k, ~q) − 16Jqqq (~k, ~q) − 16Jkqq (~k, ~q) + 16~k · ~qJqq (~k, ~q) + 16q 2 Jkq (~k, ~q),. (ki qj + qi kj ){Vsr (~k, ~q)}ij = 64Jδkq (~k, ~q) − 16(q 2 − ~k · ~q)Jδk (~k, ~q) − 16(k 2 + ~k · ~q)Jδq (~k, ~q) − 32Jkkq (~k, ~q) − 32Jkqq (~k, ~q) − 16q 2 Jkk (~k, ~q) + 16k 2 Jqq (~k, ~q) + 32~k · ~qJkq (~k, ~q).. 20. (3.27).
(25) Non-relativistic part: (δij δmn + δim δjn + δin δjm ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 96Jδδ (~k, ~q) − 96Jδk (~k, ~q) − 96Jδq (~k, ~q) + 32~k · ~qJδ (~k, ~q) + 64Jkq (~k, ~q),. (δij km kn + ki kj δmn + δim kj kn + ki km δjn + δin kj km + ki kn δjm ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 192Jδkk (~k, ~q) − 96(k 2 + ~k · ~q)Jδk (~k, ~q) − 96Jkkk (~k, ~q) − 96Jkkq (~k, ~q) + 32k 4 (~k · ~q)Jδ (~k, ~q) + 96~k · ~qJkk (~k, ~q) + 64k 2 Jkq (~k, ~q),. (δij qm qn + qi qj δmn + δim qj qn + qi qm δjn + δin qj qm + qi qn δjm ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 192Jδqq (~k, ~q) − 96(q 2 + ~k · ~q)Jδq (~k, ~q) − 96Jqqq (~k, ~q) − 96Jkqq (~k, ~q) + 32q 2 (~k · ~q)Jδ (~k, ~q) + 96(~k · ~q)Jqq (~k, ~q) + 64q 2 Jkq (~k, ~q),. [(km qn + qn km )δij + (ki qj + qi kj )δmn + (kj qn + qi kn )δim + (ki qm + qi km )δjn + (kj qm + qj km )δin + (ki qn + qi kn )δjm ]{Vnr (~k, ~q)}ijmn = 384Jδkq (~k, ~q) − 96(q 2 + ~k · ~q)Jδk (~k, ~q) − 96(k 2 − ~k · ~q)Jδq (~k, ~q) − 192Jkkq (~k, ~q) − 192Jkqq (~k, ~q) − 32[3k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]Jδ (~k, ~q) + 64q 2 Jkk (~k, ~q) + 64k 2 Jqq (~k, ~q) + 192~k · ~qJkq (~k, ~q),. 21.
(26) (ki kj km kn ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 32Jkkk (~k, ~q) − 32(k 2 + ~k · ~q)Jkkk (~k, ~q) + 32k 2 (~k · ~q)Jkk (~k, ~q),. (qi qj qm qn ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 32Jqqqq (~k, ~q) − 32(q 2 + ~k · ~q)Jqqq (~k, ~q) + 32q 2 (~k · ~q)Jqq (~k, ~q),. (ki kj km qn + ki kj qm kn + ki qj km kn + qi kj km kn ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 128Jkkkq (~k, ~q) − −32(q 2 + ~k · ~q)Jkkk (~k, ~q) − 96(k 2 + ~k · ~q)Jkkq (~k, ~q) − 32[k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]Jkk (~k, ~q) + 64k 2 (~k · ~q)Jkq (~k, ~q) − 32[k 4 q 2 − 2k 2 q 2 (~k · ~q) + 2k 2 (~k · ~q)2 − (~k · ~q)3 ]Jk (~k, ~q) − 32k 2 (~k · ~q)(k 2 − ~k · ~q)Jq k(~k, ~q),. (qi qj qm kn + qi qj km qn + qi kj qm qn + ki qj qm qn ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 128Jkqqq (~k, ~q) − 32(k 2 + ~k · ~q)Jqqq (~k, ~q) − 96(q 2 + ~k · ~q)Jkqq (~k, ~q) + 32[k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]Jqq (~k, ~q) + 64q 2 (~k · ~q)Jkq (~k, ~q),. (ki kj qm qn + qi qj km kn + ki qj km qn + qi kj qm kn + ki qj qm kn + qi kj km qn ){Vnr (~k, ~q)}ijmn = 192Jkkqq (~k, ~q) − 96(q 2 + ~k · ~q)Jkkq (~k, ~q) − 96(k 2 + ~k · ~q)Jkqq (~k, ~q) + 32q 2 (~k · ~q)Jkk (~k, ~q) + 32k 2 (~k · ~q)Jqq (~k, ~q) + 64[k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]Jkq (~k, ~q).. (3.28). 22.
(27) Chapter 4 Conclusion 在本篇論文中我們利用了量子場論來計算在Graphene中的current-current correlator。我們在計算最低階的效應時，電子間的交互作用完全沒有貢獻。 C 得到hJµ Jν i = (qµ qν − q 2 δµν )這個結果，其中C為某ㄧ常數。 在計算一階修 q 正 時 ， 電 子 間 的 交 互 作 用 開 始 發 揮 影 響 ， 會 因 此 產 生Egg 跟Self energy 兩 種Feynman diagram，最後我們可以利用(3.7)以及(3.16)所得到的結果再加上對 光子的動量q作積分後，可以得到一階微擾後的coorelator，而我們可以利用 這個correlator去計算出Graphene的conductivity。我們可以由ρρ correlator計算 出Graphene電導的一階修正，並且利用particle conservation condition，即 ie2 ω hJ0 (x)J0 (x)i. q→0 q 2. σ(ω) = lim. (4.1). 得到結果為σ = C2 σ0 αg ，其中αg 為graphene中的coupling constant，常數C2 則約 等於0.01[4]。 另一方面，也可以經由Kubo formula用JJ correlator來計算電導： σ(ω) =. 1 (hJi (x)Ji (0)i − hJi (0)Ji (0)i). ω. (4.2). 而得到的結果為σ = (2C1 − C2 )σ0 αg ，其中常數C1 約等於0.51[4]。兩種計算方法 之所以得到不一樣的結果，主要是因為在Graphene中電子的等效質量為零， 系統幾乎沒有disorder，而且Coulomb interaction又是長程作用力。以上這三 個因素綜合起來會破壞電導在長波極限下的解析性質。這個預測可以透過實 驗Corbino disk[4]來驗證是否正確。. 23.
(28) Reference [1] Lewis H. Ryder. Quantum Field Theory 2nd. Cambridge University Press, (1996) [2] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K. Geim. The electronic properties of Graphene. Reviews of Modern Physics.81, 109 (2009) [3] I. V. Fialkovsky, and D. V. Vassilevich. Quantum Field Theory in Graphene. arXiv:1111.3017 (2011) [4] B. Rosenstein, H. C. Kao, and M. Lewkowicz. Long-range electron-electron interactions in graphene make its electrodynamics nonlocal. Physical Review B.90, 045137 (2014) [5] E. G. Mishchenko. Minimal conductivity in Graphene: interaction corrections and ultraviolet anomaly. arXiv:0709.4245v3 (2009) [6] I. Sodemann and M. M. Fogler. Interaction corrections to the polarization function of graphene. Physical Review B.86, 115408 (2012) [7] Michael Sch¨ utt. Coulomb Interaction and Transport in Graphene Structures. Department of physics of the Karlsruhe Institute of Technology ,Karlsruhe,Germany (2013). 24.
(29) Appendix A Tensor analysis for egg diagram 在第三章提到egg diagram的propagator所產生的積分可以用張量分析來計算， 本附錄是其詳細的計算過程。首先 Z ~k · p~ d3 p Ik (~k, ~q) ≡ ki Ii (~k, ~q) = (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Z d3 p Pb2 − Pa2 − k 2 (A.1) = (2π)3 2Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Z 1 1 k2 d3 p { − − }. = (2π)3 2Pa2 Pc2 Pd2 2Pb2 Pc2 Pd2 2Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 上式的積分可以利用留數定理去計算，即 Z 3 dp 1 1 k2 { − − } (2π)3 2Pa2 Pc2 Pd2 2Pb2 Pc2 Pd2 2Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 π3 π3 = − 2kq|~k − ~q| 2kq|~k + ~q| − (k 2 )[. π3 2kq(~k · ~q)|~k − ~q|. −. π3 2kq(~k · ~q)|~k + ~q|. (A.2). ].. 用同樣的方法來算Iq (~k, ~q) Iq (~k, ~q) ≡ qi Ii (~k, ~q) =. Z. d3 p ~q · p~ . 3 2 (2π) Pa Pb2 Pc2 Pd2. (A.3). 因為Iq (~k, ~q)會等於 Iq (~k, ~q) = − Ik (~q, ~k) =. −π 3 π3 π3 π3 + + (q 2 )[ − ]. 2kq|~k − ~q| 2kq|~k + ~q| 2kq(~k · ~q)|~k − ~q| 2kq(~k · ~q)|~k + ~q| (A.4) 25.
(30) 有了Ik , Iq 後可以利用(3.15)中的Ii (~k, ~q) = A1 (~k, ~q)ki + A2 (~k, ~q)qi 來做比對即可知 道係數A1 , A2 為多少，即 Ik = A1 k 2 + A2 (~k · ~q), Iq = A1 (~k · ~q) + A2 q 2 , q 2 Ik − (~k · ~q)Iq 1 −π 3 1 A = − = [ ], 1 2 q 2 − (~ 2 ~k · ~q) ~k − ~q |~k + ~q| k k · ~ q ) 2kq( ⇒ π3 1 1 k 2 Iq − (~k · ~q)Ik = [ − ]. A = 2 k 2 q 2 − (~k · ~q)2 2kq(~k · ~q) ~k − ~q |~k + ~q|. (A.5). 其他階張量的係數C,E,F亦可用同樣的方法來計算。 Iδ (~k, ~q) ≡ δij Iij (~k, ~q) Z d3 p p2 = (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Z 1 d3 p = 2 2 2 3 (2π) Pb Pc Pd π3 = . kq|~k + ~q|. (A.6). Ikk , Iqq , Ikq 也是一樣 Ikk (~k, ~q) ≡ ki kj Iij (~k, ~q) Z d3 p (~k · p~)2 , = (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Iqq (~k, ~q) ≡ qi qj Iij (~k, ~q) Z d3 p (~q · p~)2 = , (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Ikq (~k, ~q) ≡ ki qj Iij (~k, ~q) Z d3 p (~k · p~)(~q · p~) . = (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. 26. (A.7).
(31) 為了使計算簡單化，所以可以將(~k · p~)2 化簡為Pa2 ∼ Pd2 的組合，其中因為~k · p~ = (Pb − Pa ) · Pa = (Pc − Pd ) · Pa 所以 1 1 (~k · p~)2 =(− )[(Pa − Pb )2 + Pa2 − Pb2 ](− )[(Pa − Pc )2 − (Pa − Pd )2 − Pc2 + Pd2 ] 2 2 1 2 =( )[k + Pa2 − Pb2 ][(k − q)2 − q 2 − Pc2 + Pd2 ] 4 1 =( )[k 2 (k 2 − 2~k · ~q) + (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 ) + k 2 (−Pc2 + Pd2 ) 4 − Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pb2 Pc2 − Pb2 Pd2 ]. (A.8) 將上式帶入(A.7)中的第一個積分式可以得到 Ikk. d3 p k 2 (k 2 − 2~k · ~q) k 2 − 2~k · ~q k 2 − 2~k · ~q k2 k2 { + − − + (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Pb2 Pc2 Pd2 Pa2 Pc2 Pd2 Pa2 Pb2 Pd2 Pa2 Pb2 Pc2 1 1 1 1 − 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2} Pb Pd Pb Pc P a Pd Pa Pc 3 1 π 1 1 π3 1 1 = {k 2 (k 2 − 2~k · ~q) [− + ] + (k 2 − 2~k · ~q) [ − ] 4 kq |~k + ~q| |~k − ~q| kq(~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| 1 = 4. Z. 1 1 π3 1 1 1 1 [− + ] + π 3 [− + + − ]} kq |~k + ~q| |~k − ~q| |~k + ~q| q q |~k − ~q| π3 1 1 1 [ − ] = {(k 4 ) 4 kq(~k · ~q) |~k − ~q| |~k + ~q| + k2. π3 1 1 + 2(~k · ~q − k 2 ) [ − ] ~ ~ kq |k − ~q| |k + ~q| 1 1 2 + π 3 [− − + ]}. |~k + ~q| |~k − ~q| q (A.9) 而Iqq 與Iq 類似，將Ikk (~k, ~q)中的k, q對調可以得到Iqq ， Z (~q · p~)2 d3 p ~ = Iqq (~k, ~q). Ikq (~q, k) = (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. (A.10). 所以 1 π3 1 1 Iqq = {(q 4 ) [ − ] 4 kq(~k · ~q) |~k − ~q| |~k + ~q| π3 1 1 + 2(~k · ~q − q 2 ) [ − ] ~ ~ kq |k − ~q| |k + ~q| 1 1 2 + π 3 [− − + ]}. |~k + ~q| |~k − ~q| k. 27. (A.11).
(32) 同樣地在(A.7)第三個積分式中的(~k · p~)(~q · p~)也可以簡化成Pa2 ∼ Pd2 的組合，其中 因為~q · p~ = (Pa − Pd ) · Pa = (Pb − Pc ) · Pa ，所以 1 1 (~k · p~)(~q · p~) =(− )[(Pa − Pb )2 + Pa2 − Pb2 ]( )[(Pa − Pd )2 + Pa2 + Pd2 ], 2 2 1 2 =(− )[k + Pa2 − Pb2 ][q 2 + Pa2 − Pd2 ], 4 1 =(− )[k 2 q 2 + q 2 (Pa2 − Pb2 ) + k 2 (Pa2 − Pd2 ) 4. (A.12). + Pa4 − Pa2 Pb2 − Pa2 Pd2 + Pb2 Pd2 ]. 代回(A.7)中第三個積分式 Z 1 q2 q2 k2 d3 p k2 k2q2 Ikq = − + − − + { 4 (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 Pb2 Pc2 Pd2 Pa2 Pc2 Pd2 Pb2 Pc2 Pd2 Pa2 Pb2 Pc2 P2 1 1 1 + 2 a2 2 − 2 2 − 2 2 + 2 2 }, P b Pc Pd P c Pd Pb P c Pa P c 3 1 1 1 π [ − ] = − {k 2 q 2 4 kq(~k · ~q) |~k − ~q| |~k + ~q| π3 1 1 − ] [ kq |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 π3 + k2 [ − ] ~ ~ kq |k + ~q| |k − ~q| 2~k · ~q 1 1 1 1 1 1 + π 3 [− + + − − − + ]}, kq|~k + ~q| k q |~k + ~q| k q |~k − ~q| π3 1 1 1 [ − ] = − {(k 2 q 2 ) ~ ~ ~ 4 kq(k · ~q) |k − ~q| |k + ~q| π 3 |~k − ~q|2 (k 2 + q 2 ) + [ − ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 + π 3 [− − ]}. |~k + ~q| |~k − ~q| + q2. (A.13) 最後跟解A1 , A2 的方法一樣，因為Iij (~k, ~q) = C1 (~k, ~q)δij +C2 (~k, ~q)ki kj +C3 (~k, ~q)qi qj + C4 (~k, ~q)(ki qj + qi kj )，所以可以利用先前所算出來的Iδ , Ikk , Iqq , Ikq 來做比對進一 步取得係數C，則 Iδ = 3C1 + k 2 C2 + q 2 C3 + 2~k · ~qC4 , Ikk = k 2 C1 + k 4 C2 + (~k · ~q)2 C3 + 2k 2 (~k · ~q)C4 , Iqq = q 2 C1 + (~k · ~q)2 C2 + q 4 C3 + 2q 2 (~k · ~q)C4 , I = ~k · ~qC + 2k 2 (~k · ~q)C + q 2 C + [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]C . kq 1 2 3 4 28. (A.14).
(33) 以上是ㄧ階以及二階張量的部分，而三階和四階所用的方法也亦同 Iδk (~k, ~q) ≡δij km Iijm (~k, ~q) Z d3 p (~k · p~) . = (2π)3 Pb2 Pc2 Pd2 這裡將動量p轉變為−p − k + q，則 Pb → −p + q = −Pd , Pc → −p = −Pa , Pd → −p − k = −Pb .. (A.15). (A.16). 而(A.15)會轉變成 d3 p k · (−p − k + q) , (2π)3 Pa2 Pb2 Pd2 Z ~k · p~ ~k · ~q d3 p k·k = {− − + }, (2π)3 Pa2 Pb2 Pd2 Pa2 Pb2 Pd2 Pa2 Pb2 Pd2 Z d3 p k 2 + Pa2 − Pb2 1 = { + (~k · ~q − k 2 ) 2 2 2 }, 2 2 3 2 (2π) Pa P b Pd Pa Pb P d ~k · ~q − k 2 1 k −1 + + + }, =π 3 { 2q 2|~k + ~q| 2q|~k + ~q| kq|~k + ~q| −1 1 2~k · ~q − k 2 =π 3 { + + }. 2q 2|~k + ~q| 2kq|~k + ~q|. Iδk (~k, ~q) =. Z. 29. (A.17).
(34) d3 p ~q · p~ = 2 2 2 3 (2π) Pb Pc Pd −Iδk (~q, ~k)。依照同樣的方法可以得到Ikkk , Iqqq , Ikkq , Ikqq 而分別為 1 −k 5 π 3 1 1 I = − { [ − ] kkk 8 q(~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| [3k 4 − 6(~k · ~q)k 2 + 4(~k · ~q)2 ]π 3 1 1 + [ − ] ~k + ~q| |~k − ~q| kq | 2 ~k · ~q)π 3 [ −1 + −1 + 2 ]}, +3(k − |~k + ~q| |~k − ~q q Iqqq = −Ikkk (~q, ~k) 1 −q 5 π 3 1 1 = { [ − ] ~ ~ ~ 8 q(k · ~q) |k + ~q| |k − ~q| [3q 4 − 6(~k · ~q)q 2 + 4(~k · ~q)2 ]π 3 1 1 + [ − ] ~k + ~q| |~k − ~q| kq | −1 −1 2 +3(q 2 − ~k · ~q)π 3 [ + + ]}, |~k + ~q| |~k − ~q| q 1 −k 3 qπ 3 1 1 4(k 2 − ~k · ~q)~k · ~qπ 3 Ikkq = { [ − ]− (A.18) 8 (~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| kq|~k + ~q| [k 4 − 2(k 2 q 2 ) − 2q 2 (~k · ~q)]π 3 1 1 + [ − ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| −1 1 +2(k 2 − ~k · ~q)π 3 [ + ] |~k + ~q| |~k − ~q| −1 −1 2 +(q 2 − ~k · ~q)π 3 [ + + ]}, ~ ~ |k + ~q| |k − ~q| q Ikqq = −Ikkq (~q, ~k), 1 1 4(q 2 − ~k · ~q)~k · ~qπ 3 1 −kq 3 π 3 { [ − ] − = − 8 (~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| kq|~k + ~q| [q 4 − 2(k 2 q 2 ) − 2q 2 (~k · ~q)]π 3 1 1 + [ − ] ~ ~ kq | k + ~ q | | k − ~ q | −1 1 +2(q 2 − ~k · ~q)π 3 [ + ] ~ ~ |k + ~q| |k − ~q| −1 −1 2 +(k 2 − ~k · ~q)π 3 [ + + ]}. |~k + ~q| |~k − ~q| k. 相 同 地 將k跟q的 位 置 對 調 ，Iδq (~k, ~q) ≡ δij qm Iijm (~k, ~q) =. 30. Z.
(35) 從(3.15)式 可 知 第 四 階 需 要Iδδ , Iδkk , Iδqq , Iδkq , Ikkkk , Iqqqq , Ikqqq , Ikkqq , Ikkkq ， 首 先 是Iδδ ，依照前面的方法將Iδδ 定義為δij δmn Iijmn (~k, ~q)，則 Iδδ ≡δij δmn Iijmn (~k, ~q) Z d3 p Pa2 , = (2π)3 Pb2 Pc2 Pd2 −2~k · ~q 1 1 1 =π 3 [ + + − ]. kq|~k + ~q| k q |~k + ~q|. (A.19). Iδkk (~k, ~q) ≡ δij km kn Iijmn (~k, ~q), Z d3 p (~k · p~)2 . = (2π)3 Pb2 Pc2 Pd2. (A.20). 第二是Iδkk (~k, ~q). 1 因為(~k · p~)2 = ( )[(k − q)2 − q 2 − Pc2 + Pd2 ]2 ，帶入上式後積分 4 1 π3 ] Iδkk =(k 2 − 2~k · ~q)2 [ kq |~k + ~q| −2q 2 + 3~k · ~q 3q 3 − 3~k · ~q + π3[ + ]. |~k + ~q| |~k|. (A.21). 而Iδqq (~k, ~q)則會等於Iδkk (~q, ~k)。第四個Iδkq 的積分會用到的(~k · p~)(~q · p~)可以變成 ~k · p~ =(Pc − Pd )Pa ,. (Pb − Pc )Pa. 1 (~k · p~)(~q · p~) =(− )2 [(Pa − Pc )2 − (Pa − Pd )2 − Pc2 + Pd2 ] 2 × [(Pa − Pb )2 − (Pa − Pc )2 − Pb2 + Pc2 ] 1 =( )[(k 2 − 2~k · ~q) − Pc2 + Pd2 ][(2~k · ~q − q 2 ) − Pb2 + Pc2 ] 4 1 = {(k 2 − 2~k · ~q)(2~k · ~q − q 2 ) + (k 2 − 2~k · ~q)(−Pb2 + Pc2 ) 4 + (2~k · ~q − q 2 )(−P 2 + P 2 ) − [2q · (p + k) − q 2 ](−P 2 + P 2 )}. c. d. c. d. (A.22). 31.
(36) Iδkq 因為帶入上式積分後 Z d3 p (~k · p~)(~q · p~) Iδkq = (2π)3 Pb2 Pc2 Pd2 Z 2 2 1 d3 p (k 2 − 2~k · ~q)(2~k · ~q − q 2 ) 2 ~k · ~q) (−Pb + Pc ) = + (k − 2 { 4 (2π)3 Pb2 Pc2 Pd2 Pb2 Pc2 Pd2 2 2 (−Pc2 + Pd2 ) 2 (−Pc + Pd ) ~ + (2k · ~q − q ) − [2q · (p + k)] } Pb2 Pc2 Pd2 Pb2 Pc2 Pd2 1 π3 π3 π3 = {(k 2 − 2~k · ~q)(2~k · ~q − q 2 )[ ] + (k 2 − 2~k · ~q)[− − ] 4 k kq|~k + ~q| |~k + ~q| π3 π3 π3 π3 2 2 ~ ~ + ] + (q − 2k · ~q)[− + ] + (2k · ~q − q )[− q q |~k + ~q| |~k + ~q| 3 3 (q − 2k)π (q + k − 2k)π + + (−2q)[− ]} q 2|~k + ~q| π3 1 ] = {(k 2 − 2~k · ~q)(2~k · ~q − q 2 )[ 4 kq|~k + ~q| (k 2 + q 2 − 3~k · ~q)π 3 (k 2 − 2~k · ~q)π 3 +[ ] − k |~k + ~q| (q 2 − 2~k · ~q)π 3 − . q (A.23) Ikkkk 積分中的(~k · p~)4 可以用以下的方式替換 1 1 (~k · p~)4 =(− )2 [(Pa − Pb )2 + Pa2 − Pb2 ]2 (− )2 [(Pa − Pc )2 − (Pa − Pd )2 − Pc2 − Pd2 ]2 2 2 1 2 = [k + Pa2 − Pb2 ]2 [(k − q)2 − q 2 − Pc2 + Pd2 ]2 16 1 = [k 4 + 2k 2 (Pa2 − Pb2 ) + (Pa4 + Pb4 − 2Pa2 Pb2 )] 16 × [(k 2 − 2~k · ~q)2 + 2(k 2 − 2~k · ~q)(−P 2 + P 2 ) + (P 4 + P 4 − 2P 2 P 2 )] c. =. d. c. d. c. d. 1 4 2 [k (k − 2~k · ~q)2 + 2k 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 ) + 2k 4 (k 2 − 2~k · ~q)(−Pc2 + Pd2 ) 16 + (k 2 − 2~k · ~q)2 (P 4 + P 4 − 2P 2 P 2 ) a. b. a. b. + k 4 (Pc4 + Pd4 − 2Pc2 Pd2 ) + 4k 2 (k 2 − 2~k · ~q)(−Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pb2 Pc2 − Pb2 Pd2 ) + 2(k 2 − 2~k · ~q)(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 )2 + 2k 2 (−Pc2 + Pd2 )2 (Pa2 − Pb2 ) + (−Pc2 + Pd2 )2 (Pa2 − Pb2 )2 ]. (A.24) 32.
(37) 積分後的Ikkkk 為 d3 p (~k · p~)4 (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 −π 3 1 1 1 = {k 4 (k 2 − 2~k · ~q)2 [ − ] ~ ~ ~ 16 kq(k · ~q) |k + ~q| |k − ~q|. Ikkkk =ki kj km kn Iijmn (~k, ~q) =. Z. π3 1 π 3 −1 1 1 [ − ] + 2k 4 (k 2 − 2~k · ~q)2 [ + ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| kq |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 1 1 2~k · ~q 1 1 2 −2~k · ~q + + − + + + − − ] + (k 2 − 2~k · ~q)2 π 3 [ ~ ~ ~ ~ kq|k + ~q| k q |k + ~q| kq|k − ~q| k q |k − ~q| k −2~k · ~q 1 1 1 1 2~k · ~q 1 1 2 + k4π3[ + + − + + + − − ] kq|~k + ~q| k q |~k + ~q| kq|~k − ~q| k q |~k − ~q| k −1 2 1 + 4k 2 (k 2 − 2~k · ~q)π 3 [ + − ] |~k + ~q| q |~k − ~q| 2 1 1 + − ] + 2(k 2 − 2~k · ~q)(~k · ~q)π 3 [ |~k − ~q| q |~k − ~q| 1 1 2 + 2k 2 (~k · ~q)π 3 [− + + ] |~k + ~q| q |~k − ~q| + 2k 2 (k 2 − 2~k · ~q)2. 2k 4 − k 2 q 2 − (~k · ~q)2 } q 1 −k 4 (k 2 − ~k · ~q)2 π 3 1 1 = { [ − ] ~ ~ ~ 16 kq(k · ~q) |k + ~q| |k − ~q| −8(~k · ~q)(k 2 − ~k · ~q)2 π 3 1 1 + [ ] − kq |~k + ~q| ~k − ~q + π3. + 2[3k 4 − 6(~k · ~q)k 2 + 4(~k · ~q)2 ]π 3 × [−. π3 |~k + ~q|. −. π3 |~k − ~q|. +. 2π 3 ] q. π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] 1 1 [ + ] 2 |~k + ~q| |~k − ~q| π 3 [2k 4 − k 2 q 2 − (~k · ~q)2 ] + }. q +. (A.25) (A.24)式中最後一項(Pa2 − Pb2 )2 (−Pc2 + Pd2 )2 ，的積分比先前的複雜，所以先對它 拆解來簡化. 33.
(38) ∞. d3 p (Pa2 − Pb2 )2 (−Pc2 + Pd2 )2 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 −∞ (2π) Z ∞ 3 −1 dp 1 1 1 = (Pa2 − Pb2 )(−Pc2 − Pd2 ){ 2 2 + 2 2 + 2 2 − 2 2 } 3 Pb Pd P b Pc P a Pd Pa P c −∞ (2π) Z ∞ 3 1 dp 1 1 −1 = (−2~k · p~ − k 2 )(−2k · (p − q) − k 2 ){ 2 2 + 2 2 + 2 2 − 2 2 }. 3 P b Pd Pb Pc Pa P d Pa Pc −∞ (2π) (A.26) −1 1 其中對 2 2 和 2 2 這兩項的積分使用了Feynman trick使得 Pb Pd P a Pd Z ∞ 3 dp 1 −1 (−2~k · p~ − k 2 )[−2k · (p − q) − k 2 ]{ 2 2 + 2 2 } 3 Pb Pd Pa Pd −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp dα (−2~k · p~ − k 2 )[−2k · (p − q) − k 2 ] 3 −∞ (2π) 0 (A.27) −1 ×{ {[p + αk − (1 − α)q]2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)}2 −1 +{ }. {[p − (1 − α)q]2 + α(1 − α)q 2 }2 Z. 由於單獨一項從負無限大積分到無限大會得到發散的結果，所以這裡把積分的 上下限從無限大改成某個值Λ。這樣在計算過程中就可以放心地做變數的平移， 等到最後再令Λ趨近於無限大，上式就變為 Z Λ−αk+(1−α)q1 Z 1 Z Λ+(1−α)q2 Z dα dp1 lim { dp2 Λ→∞. −Λ−αk+(1−α)q1. 0. −Λ+(1−α)q2. Λ. dp3. −Λ. {−2k · {[p − αk + (1 − α)q] − k 2 }{−2k · [p − q − αk + (1 − α)q] − k 2 } −1 {[p + α(1 − α)(k 2 + q 2 + +2~k · ~q)]}2 Z Λ+(1−α)q1 Z 1 Z Λ+(1−α)q2 Z +{ dα dp1 dp2 −Λ+(1−α)q1. 0. −Λ+(1−α)q2. Λ. dp3. −Λ. {−2k · {[p + (1 − α)q] − k 2 }{−2k · [p − q + (1 − α)q] − k 2 }. {[p2. 1 }. + α(1 − α)q 2 ]}2 (A.28). 之後再將積分的上下限做拆解 Z Λ−αk+(1−α)q1 Z Λ+(1−α)q2 dp1 dp2 −Λ−αk+(1−α)q1 Z Λ Λ. Z =. dp1 −Λ. Z. Z. −Λ+(1−α)q2 Λ−αk+(1−α)q1. dp2 + −Λ. Z. (A.29). dp2 −Λ+(1−α)q2. Λ+(1−α)q2. dp1 −Λ−αk+(1−α)q1. −Λ. dp1 Λ. −Λ. +. Z Z. −Λ. dp2 + Λ. Z. −Λ. dp1 −Λ−αk+(1−α)q1. 34. dp2 −Λ+(1−α)q2.
(39) 因此積分會變成 Z Z 1 dα lim { Λ→∞. Λ. Z. Z. Λ. dp3. dp2. dp1. −Λ. −Λ. −Λ. 0. Λ. {(−2~k · p~)2 + [(2α − 1)k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(2α − 1)k 2 + 2αk · q]} −1. {. [p2 + α(1 − α)(k 2 + q q + 2~k · ~q)]2 Z 1 Z Λ Z Λ Z Λ +{ dα dp1 dp2 dp3 −Λ. 0. −Λ. }. −Λ. {(−2~k · p~)2 + [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][−k 2 + 2α~k · ~q]} 1 } [p2 + α(1 − α)q 2 ]2 Z 1 Z Λ + α dp3 {(1 − 1 − 1 + 1)[−αk + (1 − α)q1 ][(1 − α)q2 ]. {. (A.30). −Λ. 0. (−2kΛ)2. } [2Λ2 + p23 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2 Z 1 Z Λ dp3 {(1 − 1 − 1 + 1)[−αk + (1 − α)q1 ][(1 − α)q2 ] α + −Λ. 0. (−2kΛ)2 }. [2Λ2 + p23 + α(1 − α)q]2 帶回到(A.28)之後 Z lim {. Λ→∞. 1. Z dα. 0. 0. Λ. 4πp2 dp{. −1 [p2. + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2. }. 4 { k 2 p2 + [(2α − 1)k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(2α − 1)k 2 + 2α~k · ~q]} 3 Z 1 Z Λ 4 1 }{ k 2 p2 + [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][−k 2 + 2α~k · ~q]}. + dα 4πp2 dp{ 2 2 2 [p + α(1 − α)q ] 3 0 0 (A.31) 因為 Z ∞ 3 dp p2 p2 { − } = 3π 3 (−M1 + M2 ), 3 (p2 + M 2 )2 2 + M 2 )2 (2π) (p 1 2 Z−∞ ∞ 3 d p 1 π { }= . 3 (p2 + M 2 )2 M −∞ (2π). 35. (A.32).
(40) 所以(A.31)式變成 Z 1 q p 2 2 dα4π{4π k [ α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q) − α(1 − α)q 2 ] 0. − π2. [(2α − 1)k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(2α − 1)k 2 + 2α~k · ~q] q α(1 − α)(k 2 + q 2 2~k · ~q). [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(−k 2 + 2α~k · ~q] p + π2 )} (1 − α)q 2 π 3 [k 4 − 2(~k · ~q)k 2 − (~k · ~q)2 ] π 3 [2k 4 − (~k · ~q)2 ] k2π3 ~ [|k − ~q| − q] − . + = 2 2q 2|~k − ~q| 再來是用一樣的方法算. 1 Pb2 Pc2. −. 1 Pa2 Pc2. 項的積分. ∞. d3 p ~k · p~ − k 2 )[−2k · (p − q) − k 2 ]{ 1 − 1 } (−2 3 Pb2 Pc2 Pa2 Pc2 −∞ (2π) k2π3 ~ π 3 [k 4 − 2(~k · ~q)k 2 − (~k · ~q)2 π 3 [2k 4 − (~k · ~q)2 ] = [|k − ~q| − q] − + . 2 2q 2|~k + ~q| Z. (A.33). (A.34). 最後把兩項加起來，則 Z ∞ 3 d p (Pa2 − Pb2 )2 (−Pc2 + Pd2 )2 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 −∞ (2π) k2π3 ~ π 3 [k 4 + 2(~k · ~q)k 2 − (~k · ~q)2 ] π 3 [2k 4 − (~k · ~q)2 ] [|k + ~q| − q] − + 2 2q 2|~k + ~q| k2π3 ~ π 3 [k 4 − 2(~k · ~q)k 2 − (~k · ~q)2 ] π 3 [2k 4 − (~k · ~q)2 ] + [|k − ~q| − q] − + 2 2q 2|~k + ~q| π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] 1 1 π 3 [2k 4 − k 2 q 2 − (~k · ~q)2 ] = { + }+ . 2 q |~k + ~q| |~k − ~q| (A.35). =. 36.
(41) 第六個Iqqqq (~k, ~q) Iqqqq. =qi qj qm qn Iijmn (~k, ~q) =. Z. d3 p (~q · p~)4 (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2. =Ikkkk (~q, ~k) =. π3 1 1 1 {−q 4 (q 2 − 2~k · ~q)2 [ − ] 16 kq(~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 −8(~k · ~q)(q 2 − ~k · ~q)2 π 3 [ − ] + kq |~k + ~q| |~k − ~q| π3 π3 2π 3 − + 2[3q 4 − 6(~k · ~q)q 2 + 4(~k · ~q)2 ]π 3 [− + ] k |~k − ~q| |~k − ~q| 1 k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ]π 3 1 [ + + ] 2 |~k + ~q| |~k − ~q| 2q 4 − k 2 q 2 − (~k · ~q)2 }. + π3 k. 37. (A.36).
(42) 第七個Ikkkq 中的(~k · p~)3 (~q · p~)為可拆解為 1 1 (~k · p~)3 (~q · p~) =(− )2 [(Pa − Pb )2 + Pa2 − Pb2 ]2 (− )[(Pa − Pc )2 − (Pa − Pd )2 − Pc2 + Pd2 ] 2 2 1 × ( )[(Pa − Pd )2 + Pa2 − Pd2 ]2 2 1 2 = − [k + Pa2 − Pb2 ]2 [(k − q)2 − q 2 − Pc2 + Pd2 ][q 2 + Pa2 − Pd2 ] 16 1 = − [k 4 + 2k 2 (Pa2 − Pb2 ) + (Pa4 + Pb4 − 2Pa2 Pb2 )] 16 × [(q 2 (k 2 − 2~k · ~q) + (k 2 − 2~k · ~q)(P 2 + P 2 ) + q 2 (−P 2 + P 2 ) a. d. c. d. + (−Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pc2 Pd2 − Pd4 )] 1 4 2 2 [k q (k − 2~k · ~q) + 2k 2 q 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 ) 16 + k 4 (k 2 − 2~k · ~q)(P 2 − P 2 ). =−. a. d. + k 4 q 2 (−Pc2 + Pd2 ) + q 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pa4 + Pb4 − 2Pa2 Pb2 ) + 2k 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pa4 − Pa2 Pb2 − Pa2 Pd2 + Pb2 Pd2 ) + 2k 2 q 2 (−Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pb2 Pc2 − Pb2 Pd2 ) + k 4 (−Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pc2 Pd2 − Pd4 ) + (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 )2 + q 2 (−Pc2 + Pd2 )2 (Pa2 − Pb2 ) + 2k 2 (Pa2 − Pd2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 ) + (Pa2 − Pd2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 )2 ]. (A.37) 跟Ikkkk 一樣，在(A.37)中的最後一項(Pa2 −Pd2 )(−Pc2 +Pd2 )(Pa2 −Pb2 )也要用(A.26)∼(A.35)的 方法去做積分，首先是將它化簡成四個相加的積分 Z ∞ 3 d p (Pa2 − Pd2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 ) 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 −∞ (2π) Z ∞ 3 dp −1 1 1 1 2 2 2 2 = − P )(P − P ){ + + } (P + a b a d 2 2 2 3 Pb P d Pb2 Pc2 Pa2 Pd Pa2 Pc2 −∞ (2π) Z ∞ 3 dp 1 −1 1 1 = (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ){ 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 }. 3 P b Pd P b Pc Pa P d Pa P c −∞ (2π) (A.38). 38.
(43) 再來是先對. −1 1 + 2 2 項用Feynman trick 2 2 Pb Pd P a Pd. ∞. 1 d3 p −1 (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ){ 2 2 + 2 2 } 3 Pb P d Pa Pd −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp −1 1 dα = (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ){ 2 2 + 2 2 } 3 Pb P d Pa Pd 0 −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp dα = (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ) 3 (2π) 0 −∞ −1 ×{ {[p + αk − (1 − α)q]2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)}2 1 } + 2 {[p − (1 − α)q] + α(1 − α)q 2 }2 Z 1 Z ∞ 3 dp = dα {−4(~k · p~)(~q · p~) + [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 ] 3 0 −∞ (2π) −1 } ×{ [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2 Z 1 Z ∞ 3 dp {−4(~k · p~)(~q · p~) + [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 ]} + dα 3 (2π) 0 −∞ 1 ×{ 2 }. [p + α(1 − α)q 2 ]2 (A.39) Z. 之後再對動量的上下限先設個任意數Λ之後再取極限到無限大 Z 1 Z Λ −1 lim { dα 4πp2 dp{ } Λ→∞ [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2 0 0 4 {− (~k · ~q)p2 + [(2α − 1)k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 + 2α~k · ~q]} 3 Z 1 Z Λ 1 4 dα 4πp2 dp{ 2 + }{− (~k · ~q)p2 + [−k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 ]} 2 2 [p + α(1 − α)q ] 3 0 0 π 3 [k 2 q 2 − 3(~k · ~q)2 ] = . 2|~k + ~q| (A.40). 39.
(44) 同樣地對於. 1. +. Pb2 Pc2. 1 Pa2 Pc2. 項. ∞. 1 d3 p 1 (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ){ 2 2 + 2 2 } 3 P b Pc Pa P c −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp 1 1 dα = (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ){ 2 2 + 2 2 } 3 Pb Pc Pa P c 0 −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp dα = (−2~k · p~ − k 2 )(2~q · p~ − q 2 ) 3 (2π) 0 −∞ −1 ×{ {[p + k − (1 − α)q]2 + α(1 − α)q 2 }2 1 } − 2 {[p + αk − α)q] + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)}2 Z 1 Z ∞ 3 dp 1 = dα { 2 3 [p + α(1 − α)q 2 ]2 0 −∞ (2π) 4 × {− (~k · ~q)p2 + [k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 − 2~k · ~q]} 3 1 − [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)]2 4 {− (~k · ~q)p2 + [(2α − 1)k 2 − 2α~k · ~q][(2α − 1)q 2 − 2α~k · ~q]}}. 3 Z. 同樣取極限後 Z 1 Z lim { dα Λ→∞. 0. 0. Λ. 4πp2 dp{. [p2. (A.41). 1 } + α(1 − α)q 2 ]2. 4 {− (~k · ~q)p2 + [k 2 − 2(1 − α)~k · ~q][(1 − 2α)q 2 − 2α~k · ~q]} 3 1 −{ } [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)]2 4 × {− (~k · ~q)p2 + [(2α − 1)k 2 − 2α~k · ~q][(2α − 1)q 2 − 2α~k · ~q]} 3 3 2 2 −π [k q − (~k · ~q)2 ] 4π 3 (~k · ~q)[k 2 − ~k · ~q] = − . q 2|~k − ~q| 最後再將(A.40)和(A.42)相加得到 Z ∞ 3 d p (Pa2 − Pd2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pb2 ) 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 −∞ (2π) π 3 [k 2 q 2 − 3(~k · ~q)2 ] = 2|~k + ~q| π 3 [k 2 q 2 − (~k · ~q)2 ] 4π 3 (~k · ~q)[k 2 − ~k · ~q] − − . q 2|~k − ~q|. 40. (A.42). (A.43).
(45) 最後Ikqqq 則等於 Ikkkq. d3 p (~k · p~)3 (~q · p~) (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 1 −π 3 1 1 = − {−k 4 q 2 (k 2 − 2~k · ~q) [ − ] 16 kq(~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q| 1 −π 3 6 1 [k + k 4 q 2 − 2k 4 (~k · ~q) − 6k 2 q 2 (~k · ~q) + 4q 2 (~k · ~q)2 ][ + − ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 + [3k 2 q 2 − 3k 2 (~k · ~q) − 3q 2 (~k · ~q) + 2(~k · ~q)2 ]π 3 [− + ] |~k + ~q| |~k − ~q| + 2. =ki kj km qn Iijmn (~k, ~q) =. Z. q. + [−3k 4 + 6k 2 (~k · ~q) − 4(~k · ~q)2 ]π 3 [. 1. −. 1. ] |~k − ~q| 2k 4 (~k · ~q)π 3. |~k + ~q|. −4(~k · ~q)(k 2 − ~k · ~q)(k 2 − 2~k · ~q)π 3 − kq|~k + ~q| kq|~k − ~q| π 3 [k 2 q 2 − 3(~k · ~q)2 ] π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] − + |~k + ~q| |~k − ~q| −4π 3 (~k · ~q)[k 2 − ~k · ~q] + . q +. (A.44). 41.
(46) 而Ikqqq (~k, ~q) = Ikkkq (~q, ~k)。最後一個是Ikkqq ，它的(~k · p~)2 (~q · p~)2 可改寫為 1 1 (~k · p~)2 (~q · p~)2 =(− )[(Pa − Pb )2 + Pa2 − Pb2 ]2 (− )[(Pa − Pc )2 − (Pa − Pd )2 − Pc2 + Pd2 ] 2 2 1 1 × ( )[(Pa − Pd )2 + Pa2 − Pd2 ]( )[(Pa − Pc )2 − (Pa − Pb )2 + Pb2 − Pc2 ] 2 2 1 2 = [k + Pa2 − Pb2 ][(k − q)2 − q 2 − Pc2 + Pd2 ] 16 × [q 2 + Pa2 − Pd2 ][(k − q)2 − k 2 + Pb2 − Pc2 ] =. 1 4 [k + 2k 2 (Pa2 − Pb2 ) + (Pa4 + Pb4 − 2Pa2 Pb2 )] 16 × [q 2 (k 2 − 2~k · ~q) + (k 2 − 2~k · ~q)(P 2 + P 2 ) + q 2 (−P 2 + P 2 ) a. d. c. d. + (−Pa2 Pc2 + Pa2 Pd2 + Pc2 Pd2 − Pd4 )] =. 1 2 2 [k (k − 2~k · ~q) + (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 ) 16 + k 2 (−Pc2 + Pd2 )(Pa2 + Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )] × [q 2 (q 2 − 2~k · ~q) + (q 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pd2 )q 2 (Pb2 − Pc2 ) + (Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 )]. =. 1 2 2 2 [k q (q − 2~k · ~q)(q 2 − 2~k · ~q) 16 + q 2 (k 2 − 2~k · ~q)(q 2 − 2~k · ~q)(P 2 − P 2 ) a. b. + k 2 q 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pb2 − Pc2 ) + k 2 q 2 (q 2 − 2~k · ~q)(−Pc2 + Pd2 ) + k 2 (k 2 − 2~k · ~q)(q 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pd2 ) + q 2 (q 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 ) + (k 2 − 2~k · ~q)(q 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 )(Pa2 − Pd2 ) + k 2 (q 2 − 2~k · ~q)(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 ) + q 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 )(Pb2 − Pc2 ) + k 2 q 2 (−Pc2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) + k 2 (k 2 − 2~k · ~q)(Pb2 − Pc2 )(Pb2 − Pc2 ) + (k 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) + k 2 (−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) + (q 2 − 2~k · ~q)(Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pc2 )(Pb2 − Pc2 ) + q 2 (Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) + (Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 )]. (A.45) 42.
(47) 而它的最後一項(Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 )的積分則化簡為 Z ∞ 3 d p (Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 ∞ (2π) Z ∞ 3 −1 dp 1 1 1 2 2 2 2 ){ − P = )(P − P (P + + − } c b d a 2 2 2 2 3 Pb Pd Pb Pc2 Pa2 Pd Pa2 Pc2 ∞ (2π) Z ∞ 3 1 1 1 dp −1 = (2~q · p~ − q 2 )[2q · (p + k) − q 2 ]{ 2 2 + 2 2 + 2 2 − 2 2 }. 3 Pb Pd Pb Pc P a Pd Pa Pc ∞ (2π) (A.46) 1 −1 依照前面的方法，先看Feynman trick用在 2 2 + 2 2 項的積分 Pb P d Pb Pc Z ∞ 3 dp 1 −1 (2~q · p~ − q 2 )[2q · (p + k) − q 2 ]{ 2 2 + 2 2 } 3 Pb Pd Pb P c −∞ (2π) Z 1 Z ∞ 3 dp (2~q · p~ − q 2 )[2q · (p + k) − q 2 ] = dα 3 (2π) 0 −∞ −1 ×{ {[p + αk − (1 − α)q]2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)}2 −1 } + {[p − (1 − α)q]2 + α(1 − α)q 2 }2 Z ∞ 3 Z 1 dp dα = {2q · [p − αk + (1 − α)q] − q 2 } 3 (2π) −∞ 0 −1 × {2q · [p + k + (1 − α)k + (1 + α)q] − q 2 }{ } 2 {[p + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2 Z 1 Z ∞ 3 dp {2q · [p + (1 − α)q] − q 2 } + dα 3 0 −∞ (2π) 1 × {2q · [p + k + (1 + α)q] − q 2 }{ 2 } {[p + α(1 − α)q 2 ]2 Z 1 Z ∞ 3 dp = dα {4(~q · p~)2 [(1 − 2α)q 2 − 2α~k · ~q][(1 − 2α)q 2 + 2(1 − α)~k · ~q]} 3 (2π) 0 −∞ −1 ×{ } 2 {[p + α(1 − α)(k 2 + q 2 + 2~k · ~q)]2 Z 1 Z ∞ 3 dp 1 + dα {4(~q · p~)2 + [(1 − 2α)q 2 ][(1 − 2α)q 2 + 2~k · ~q]}{ 2 }. 3 {[p + α(1 − α)q 2 ]2 0 −∞ (2π) (A.47). 43.
(48) 取極限之後 Z lim { Λ→∞. 1. Z dα. 0. Λ. 4πp2 dp{. 0. −1 [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)]2. }. 4 { q 2 p2 + [(1 − 2α)q 2 − 2α~k · ~q][(1 − 2α)q 2 + 2(1 − α)~k · ~q]} 3 Z Λ Z 1 1 4πp2 dp{ 2 dα +{ } [p + α(1 − α)q 2 ]2 0 0 4 × { q 2 p2 + [(1 − 2α)q 2 ][(1 − 2α)q 2 + 2α~k · ~q]} 3 3 2 2 π [k q + (~k · ~q)2 ] = . 2|~k + ~q| 而. 1 Pb2 Pc2. −. 1 Pa2 Pc2. (A.48). 項. ∞. 1 1 d3 p (2~q · p~ − q 2 )[2q · (p + k) − q 2 ]{ 2 2 − 2 2 } 3 Pb Pc Pa P c −∞ (2π) Z ∞ 3 Z 1 dp dα = (2~q · p~ − q 2 )[2q · (p + k) − q 2 ] 3 (2π) −∞ 0 1 1 − ×{ }. 2 2 2 {[p + k − (1 − α)q] + α(1 − α)q } {[p + αk − αq]2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)}2 (A.49) Z. 取極限之後 Z Z 1 dα lim { Λ→∞. 0. 0. Λ. 4πp2 dp{. 1 } [p2 + α(1 − α)q 2 ]2. 4 × { q 2 p2 + [(1 − 2α)q 2 − 2~k · ~q][(1 − 2α)q 2 ]} 3 1 − [p2 + α(1 − α)(k 2 + q 2 − 2~k · ~q)]2 Z 1 Z Λ 1 +{ dα 4πp2 dp{ 2 } [p + α(1 − α)q 2 ]2 0 0 4 × { q 2 p2 + [(2α − 1)q 2 − 2α~k · ~q][(2α − 1)q 2 + 2(1 − α)~k · ~q]} 3 3 2 2 π [k q + (~k · ~q)2 ] . = 2|~k − ~q| 再將(A.48)和(A.50)的結果加在一起 Z ∞ 3 d p (Pa2 − Pb2 )(−Pc2 + Pd2 )(Pa2 − Pd2 )(Pb2 − Pc2 ) 3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 ∞ (2π) π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] = + . 2|~k + ~q| 2|~k − ~q| 44. (A.50). (A.51).
(49) 最後Ikkqq 會等於 Ikkqq. d3 p (~k · p~)2 (~q · p~)2 (2π)3 Pa2 Pb2 Pc2 Pd2 1 −π 3 1 1 = {k 2 q 2 (k 2 − 2~k · ~q) [ − ] 16 kq(~k · ~q) |~k + ~q| |~k − ~q|. =ki kj qm qn Iijmn (~k, ~q) =. Z. 1 2π 3 4 1 [k + q 4 − 2(k 2 + q 2 )(~k · ~q)][ − ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 − 4[k 2 q 2 − k 2 (~k · ~q) − q 2 (~k · ~q) + (~k · ~q)2 ]π 3 [ − ] |~k + ~q| |~k − ~q| 1 1 2 + [k 4 − 2k 2 (~k · ~q) + 2(~k · ~q)2 ]π 3 [− − + ] |~k + ~q| |~k − ~q| k 1 1 2 + [q 4 − 2q 2 (~k · ~q) + 2(~k · ~q)2 ]π 3 [− − + ] ~ ~ |k + ~q| |k − ~q| k (~k · ~q)π 3 1 1 − 4[k 2 q 2 − (~k · ~q)k 2 − (~k · ~q)q 2 ] [ + ] kq |~k + ~q| |~k − ~q| π 3 [k 2 q 2 + (~k · ~q)2 ] 1 1 + [ + ] 2 |~k + ~q| |~k − ~q| 1 8π 3 (~k · ~q)3 [ ]}. − [~k · ~q] |~k + ~q| −. 45. (A.52).
(50) Appendix B Tensor analysis for self energy diagram 附錄A是egg diagram的計算過程，本節是self energy diagram，而 self energy的 算法跟egg diagramx類似，首先定義Jk (~k, ~q)為ki Ji (~k, ~q) d3 p ~k · P~b (B.1) . (2π)3 Pa2 Pb4 Pc2 Z d3 p 1 ~ 為了算這個積分，首先我們先定義一個函數K(k, ~q) = ，其 3 2 (2π) Pa Pb2 Pd2 π3 中Pd = p − q，而從(A.9)找到相同的積分，所以函數K等於 ，進一步對 kq|~k + ~q| 它對ki 作微分，則 Z ∂K d3 p −2(Pb )i (B.2) = . ∂i K = ∂ki (2π)3 Pa2 Pb4 Pd2 Jk (~k, ~q) ≡ ki Ji (~k, ~q) =. Z. 除此之外還定義一個函數Lk (~k, ~q) Lk (~k, ~q) ≡. Z. d3 p ~k · P~b 1 = − {ki ∂i K(~k, ~q)}. 4 2 3 2 (2π) Pa Pb Pd 2. (B.3). 如果將函數L裡面的~q用~q − ~k代換，則Lk (~k, ~q − ~k)等於 Lk (~k, ~q − ~k) =. Z. ~k · P~b d3 p . (2π)3 p2 (p + k)4 (p − q + k)2. (B.4). 因此Jk (~k, ~q)會等於 1 π 3 (q 2 + ~k · ~q) Jk (~k, ~q) = − {ki ∂i K(~k, ~q − ~k)} = . 2 kq 3 |~k − ~q| 46. (B.5).
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