結合T-S模糊模型及可變結構控制在軌跡追蹤之研究

全文

(1)國立交通大學電機與控制工程學系碩士論文. 結合 T-S 模糊模型及可變結構控制在軌跡追蹤之研究 Study of Trajectory Tracking via the Combination of T-S Fuzzy Model and VSC Approaches. 研究生：陳逸康指導教授：梁耀文. 博士. 中華民國九十六年七月.

(2) 結合 T-S 模糊模型及可變結構控制在軌跡追蹤之研究 Study of Trajectory Tracking via the Combination of T-S Fuzzy Model and VSC Approaches. 研究生：陳逸康. Student：Yi-Kang Chen. 指導教授：梁耀文博士. Advisor：Yew-Wen Liang. 國立交通大學電機與控制工程學系碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Electrical and Control Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Electrical and Control Engineering July 2007 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年七月.

(3) 結合 T-S 模糊模型及可變結構控制在軌跡追蹤之研究. 研究生：陳逸康. 指導教授：梁耀文博士. 國立交通大學電機與控制工程學系摘要本論文主要是對於 T-S 模糊模型應用在反飛彈中途導引控制律之研究，將反飛彈導引至目標位置，並以希望的角度進入敵方飛彈之彈道面，如此反飛彈的偵測器即可容易地偵測到敵方飛彈，以提高攔截成功率，而導引律是應用了 T-S 模糊模型(T-S Fuzzy Model)與可變結構控制(Variable Structure Control) ，使用我們所設計之控制律，則可導引反飛彈至目標位置及希望的角度，即使有干擾及不確定因素時，依然可以達到目的。另外我們也已成功地將此導引控制律應用在兩軸機械手臂系統上。. i.

(4) Study of Trajectory Tracking via the Combination of T-S Fuzzy Model and VSC Approaches. Student:Yi-Kang Chen. Advisor:Dr. Yew-Wen Liang. Department of Electrical and Control Engineering National Chiao Tung University ABSTRACT Issues regarding the design of midcourse guidance laws for an antimissile are addressed. The antimissile is expected to be guided to a place with desired direction, where a ballistic missile is predicted to be, so that the target can be easily found and locked for terminal interception. The guidance laws are designed by combining the Takagi-Sugeno (T-S) fuzzy approach and the Variable Structure Control (VSC) technique. Under the designed guidance law, it is shown that the antimissile is able to be guided to the desired location and direction even when the existence of uncertainties and disturbances. The proposed approach is also successfully applied to a two-link robot system.. ii.

(5) 誌. 謝. 本篇論文的完成，實在要感謝太多人了，沒有你們的幫助，恐無法有所精進，希望日後能繼續給予指教與鼓勵，必銘記在心! 首先，要感謝我的指導教授梁耀文博士在專業領域上的指導，使我這兩年的的學習中受益良多，除此之外老師對於日常生活、人生處世以及做人的道理也不吝提供幫助以及提供正確且良好的觀念，將對於往後的人生有所助益，也要感謝系上曾給予協助的老師，同時，也要感謝口試委員謝劍書博士、鄭治中博士和陳俊宏博士給予指正與寶貴的建議，使本論文更加完備。接下來要感謝黃智盛學長、江家禎學長與蔡哲倫學長在我遇到困難及心情低落時能給予適時的幫助與鼓勵，再來要感謝實驗室的同學昭銘與宏泰，在研究上給予支持與協助，而學弟丞昶對我的論文研究助益良多，以及學弟益銘、紹偉，感謝你們對於我的幫助，使我能夠更專心於研究，以及感謝其他的同學，你們曾給予我幫助，陪我度過這兩年的日子，充實我的研究生活。最後要感謝我的家人，感謝我的外婆、父親、母親、姊姊，從小到大陪我一路走來，以及對我的包容，實在辛苦你們了!我將這論文獻給你們，謝謝你們對我的支持與鼓勵，讓我可以無後顧之憂的在學業上勇往直前，進而完成研究所的學業，謝謝你們!. iii.

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(79) 2.2 可變結構控制由於可變結構控制器在設計上的容易性以及其高抗雜訊的能力，在本論文中我們將採用可變結構來設計控制器。本章將簡述可變結構控制的基本概念、順滑平面、線性及非線性可變結構控制器的設計方法、以及考慮輸入具有非線性限制時之可變結構控制律之設計。最後一小節將介紹里奧波諾夫法，此法為本論文中可變結構所採用的設計控制器設計方法。. 2.2.1 可變結構控制簡介可變結構控制(variable structure control, 簡稱 VSC)是一種不連續的狀態回授控制，是在 1960 年代初期由前蘇聯科學家們所發展出的一種非線性控制法則，為俄國人 Filippov 所率先提出的。此種控制之特色為利用不連續的控制輸入，使系統在所設定之轉換平面(Switching Plane)或稱之超平面(Hyperplane)上改變結構，而獲得所謂之滑動模式控制(Sliding Mode Control) 。我們所採用的可變結構控制法則，由於設計方法較為容易，已成為最廣為人使用的控制方法之一。由於 VSC 是一種高速切換的回授控制 (feedback control) ，其回授方式可以為狀態回授(state feedback)或輸出回授(output feedback) 。採用 VSC 可使系統具有較強的系統強健性(Robustness) ，因此對於一些具有不確定因素(uncertainties)的系統而言，VSC 的高抗雜訊能力的確是一種不錯的控制方法。 VSC 最大的特點則是系統最後會被規範在一個預先決定的順滑平面 (Sliding surface)上，而控制器的設計者則利用設計的控制法則將系統的狀態軌跡控制在預先設計好的順滑平面上，如圖 2.4，在理論上當順滑函數為零時，亦即系統上到了順滑平面上，而受控系統的行為則是由順滑平面來規範的，運動 11.

(80) 軌跡不隨系統內部參數變動而變動，此種沿著順滑平面滑行的運動方式稱為滑動模式(Sliding mode) ，因此，順滑平面的選取在 VSC 的設計上就顯得相當的重要，對於一般線性的系統而言，順滑函數可以選取如下:. S ( x) = Cx. (2.9). 其中， x 表示系統的狀態變數。而要讓系統上順滑平面的條件便要使得所設計的控制器滿足下式： ⋅. S T S < −σ S , σ > 0. (2.10). (2.10)式又稱為＂reaching condition＂。高頻切換. x(0) s=0 x=0. 順滑平面(sliding surface). 圖 2.4 順滑軌跡示意圖. 上式條件，因它充分保證在任一 S 鄰域之狀態起點，其軌跡必定趨近到順滑平面Ｓ，且沿此平面滑動。由上述可知，當系統進入滑動模式，系統動態反應受控於順滑平面。但是，在滑行的過程中，狀態代表點因受到不連續控制之輸入影響，並非完全在順滑平面（ S ( x) = 0 ）上，而是在 S ( x) = 0 的鄰域來回變動，使用 VSC 時有一個最大的缺點就是控制器在高速作切換時會導致＂切跳(Chattering)＂的現象產生。輕則會影響系統的最終狀態（steady state），嚴重則會激發出一些系統潛在的未模式高頻部分（high frequency unmodeled parts），將影響到系統整個控制的結果，導致系統的不穩定現象發生。因此，要在可變結構控制系統中，切跳現象是無法避免的，而切跳的大小視控制輸入之不連續程度而定，要改善＂ 12.

(81) 切跳(Chattering)＂所導致的負面影響，可以引入順滑層(Sliding layer)的想法，順滑層的簡單示意圖如下:. x(0). s>0 s=0. s<0. 圖 2.5 順滑層. 將原來的符號函數(Sign Function)用飽和函數(Saturation Function) 、磁滯函數 (Hysteresis Function) 或磁滯 - 飽和函數（ Hysteresis Saturation Function）等方式取代，經證實，這些方法可應用於實際的系統中，對系統之切跳行為可獲得明顯有效的改善。總括而言，在設計可變結構控制器有兩個主要步驟: ¾. 步驟一:選取適當的順滑平面 S (x) ，使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制目標點。. ¾. 步驟二:設計適當的控制器，使得系統軌跡在有限時間內接觸到順滑平面產生順滑模態。. 2.2.2 可變結構控制律之設計 2.2.2.1 線性系統可變結構控制律設計 13.

(82) 假設系統動態方式如下： ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3 #. (2.11) ⋅. x n −1 = x n ⋅. x n = a1 x1 + a 2 x 2 + " + a n x n + u + d ( x, t ) 其中 x = [x1. x 2 " x n ] 是系統狀態且所有的狀態變數都是可以量測的，u 為控 T. 制輸入， d ( x, t ) 是系統雜訊且為一匹配式雜訊(matched noise)，在不失一般性的情況下，假設雜訊的大小都有上界 d ( x, t ) ≤ δ ( x, t ). (2.12). 其中 δ ( x, t ) 為一已知的上限函數，此有雜訊干擾的系統，我們的主要的目的是將系統的軌跡準確的控制到原點 x = 0 ，以下將利用可變結構控制來完成所要的目標。依據可變結構控制的理論，選定順滑函數(sliding function) S (x) 後，系統之狀態空間會被順滑平面 S ( x) = 0 分隔成 S ( x) > 0 及 S ( x) < 0 的兩個子空間，再利用迫近及順滑條件來迫使系統在有限時間內接觸到順滑面，並且經由切換，使系統在順滑面上產生順滑模態(sliding mode)，在順滑模態上的軌跡最後必須逼近目標點 x = 0 ，方能達到控制的目標。接下來為順滑函數的選擇，在此步驟中，首先假設系統已成功的被控制在順滑模態下，其餘的主要工作就是選擇順滑函數 S (x) ，也就是選擇一適當的順滑面 S ( x) = 0 ，讓系統經由不斷的切換滑向目標。由於順滑模態下的系統軌跡會朝向目標點逼近，所以選取的順滑面必須包含此目標點，也就是說必須符合 S ( x ) x =0 = 0 ，在一般情況下，通常順滑函數設定為 14.

(83) S ( x) = CX = c1 x1 + c 2 x 2 + " + c n x n 其中 C = [c1. (2.13). c 2 " c n ] ，C 之選取將於稍後在作說明，根據以上的敘述必須假. 設系統已經處於順滑模態下，亦即滿足 S ( x) = c1 x1 + c 2 x 2 + " + c n x n = 0 ，事實上，向量中的 n 個係數只要是彼此間的比例關係不變的話，都是代表同一個順滑面，假設 c n = 1 ，亦即選取順滑函數為 S ( x) = CX = c1 x1 + c 2 x 2 + " + c n −1 x n −1 + x n 其中 C = [c1. (2.14). c 2 " c n −1 1] 。. 為了使順滑模態 S ( x) = 0 具有不變(invariant)的特性，我們必須加入以下條件 ⋅. ⋅. S (x ). ⋅. ⋅. ⋅. = c1 x1 + c2 x2 + " + cn −1 xn −1 + x n = 0. (2.15). u =ueq. 利用(2.11)式可得 ⋅. = a1 x1 + (a2 + c1 ) x2 + " + (a n + cn −1 ) xn + u eq + d ( x, t ) = 0 (2.16). S ( x) u =ueq. 在(2.16)式可看出順滑函數經過一次微分後會產生控制輸入 u 項，因此可取等效控制如下. u eq = −a1 x1 − (a2 + c1 ) x2 − " − (a n + cn −1 ) xn. (2.17). 代回(2.11)式後成為 ⋅. x1 = x 2 ⋅. x2 = x3 #. (2.18) ⋅. x n −1 = x n ⋅. S (x) = 0 15.

(84) ⋅. 根據等效控制的觀點，系統在順滑模態下( S ( x) = 0 且 S ( x) = 0 )只需考慮前面的 n-1 條方程式，亦即 ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3. (2.19). # ⋅. x n −1 = −c1 x1 − c 2 x 2 − " − c n −1 x n −1 其中最後一式已經利用 S ( x) = c1 x1 + c 2 x 2 + " + x n = 0 的關係把 x n 改為. x n = −c1 x1 − c 2 x 2 − " − c n −1 x n −1. (2.20). 由(2.19)中可以看出次數降為 n-1 次，所以順滑模態比原系統少了一階。為了使(2.19)式的系統穩定，必須選取適當的係數 ci ， i = 1,2,", n − 1 ，首先，令 x K = z ( K −1) ， K = 2,", n − 1，其中 Z ( K −1) 表示 z 對於時間 t 的 K-1 次微分，再代回(2.19)式的最後一個等式後，可得(n-1)次的微分方程如下: ⋅. z ( n −1) + c n −1 z ( n − 2 ) + " + c 2 z + c1 z = 0. (2.21). λ( n −1) + c n −1λ( n − 2 ) + " + c 2 λ + c1 = 0. (2.22). 故特徵方程式為. 只要選取的係數 ci ， i = 1,2,", n − 1 ，能夠使特徵方程式的(n-1)個根都具有負實部，亦即 RE (λ ) < 0 ，其中 λ 為特徵方程式的特徵根，因此，當 t → ∞ 時，對所有i = 1,2,", n − 1 ， xi → 0 ，經由(2.20)式可得xn → 0 ，即可達到控制的目標。一旦決定出適合的順滑函數後，便可開始進行控制法則的設計。而控制法則的設計是利用迫近及順滑兩種條件為基礎，迫使系統在有限時間內產生順滑模態，在此利用(2.10)式的迫近順滑條件，表示如下: 16.

(85) ⋅. S T S < −σ S , σ > 0, 當s ≠ 0. (2.23). 以保證系統在有限時間內進入順滑模態，並滑向控制目標。由(2.11)及(2.14) 式計算順滑函數的一次微分式可得 ⋅. s = a1 x1 + (a 2 + c1 ) x 2 + " + (a n + c n −1 ) x n + u + d ( x, t ). (2.22). 為了符合迫近順滑條件，令控制法則如下:. u = −a1 x1 − (a 2 + c1 ) x 2 − " − (a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ) sign( s ). (2.25). 代回(2.16)式後變為 ⋅. s = −(δ ( x, t ) + σ ) sign( s ) + d ( x, t ). (2.26). 兩邊同乘 s 後整理為 ⋅. s s = −δ ( x, t ) s − σ s + d ( x, t ) s ⎛ d ( x, t ) s = −σ s − δ ( x, t ) s ⎜⎜1 − ⎝ δ ( x, t ) s. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (2.27). ≤ −σ s 由(2.27)式，可知所設計的控制法則(2.25)式，可以保證迫近條件(2.23)式成立，所以能使系統在有限時間內產生順滑模態。在真實的情況中，在(2.25)式中 sign(s)是一理想的切換函數，這個函數必須借助無窮大的切換頻率才可能達成，但此種切換頻率在現實的系統裡是無法實現的，因此一般都只是利用極高速的切換元件來取代，這樣系統的軌跡必定會在順滑模態 s=0 兩側的極小空間中不斷的跳動，造成了不當的高頻雜訊，也就是說會有切跳的現象產生，若我們將 sign(s)修正為. 17.

(86) s >ε. 1 sat ( s, ε ) =. s. s ≤ε. ε. s < −ε. −1 sign( s ). s >ε. s /ε. s ≤ε. (2.28). =. 可由(2.28)式可看出系統空間被分為 s > ε 、 s ≤ ε 、 s < −ε ，其中包含順滑面 s=0 的中間地帶 s ≤ ε 就是所謂的順滑層，該層的厚度為 ε ，為了方便表示，也將包夾順滑層的兩個區域 s > ε 、 s < −ε ，進一步表示為 s > ε ，故我們以 sat ( s, ε ) 取代 sign(s) ，所以將(2.25)式修正為. u = −a1 x1 − (a 2 + c1 ) x 2 − " − (a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ) sat ( s, ε ). (2.29). 在未進入順滑層前，也就是當 s > ε 時， sat ( s, ε ) =sign(s) ，修正前後的控制法則是完全相同的，故系統依舊向著順滑面 s=0 逼近，由於順滑面包含在順滑層內，所以系統軌跡朝著順滑層 s ≤ ε 逼近，系統會在有限時間內進入順滑層，一旦進入順滑層後，控制法則(2.29)式變成. u = −a1 x1 − (a 2 + c1 ) x 2 − " − (a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ). 由於. s. ε. s. ε. (2.30). 的值通常都小於 1，因此控制輸入 u 的增益值在順滑層終將明顯降低，而. (2.26)式也同樣被修正為 ⋅. s = −(δ ( x, t ) + σ ). s. ε. + d ( x, t ). (2.31). 由(2.31)式可以清楚的看到 S 會受到雜訊 d(x,t)的影響，也就是說在順滑層中只要雜訊 d(x,t)存在，系統很難維持順滑模態，亦即 s 不恆為 0，此時(2.20) 18.

(87) 式必須重寫為. x n = −c1 x1 − c 2 x 2 − " − c n −1 x n −1 + s. (2.32). 同樣地(2.19)式變成 ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3. (2.33). # ⋅. x n −1 = −c1 x1 − c 2 x 2 − " − c n −1 x n −1 + s 由於在順滑層 s ≤ ε 中，s 可視為一個有限量的值，因此不影響(2.33)式的的穩定性，先前所選取之向量 C 仍然適用，可是卻因為 S 的存在將無法讓所有的狀態變數趨近於 0，換句話說系統軌跡將不再逼近原點，而只在原點的附近遊動，這樣雖降低了控制的精準度，這也是利用順滑層概念所必須付出的代價，但這樣的代價是值得的，因為具備順滑層的控制器可以利用實際元件製作出來，並且只要順滑層的厚度夠寬，就不會激發出高頻雜訊或產生不希望的切跳現象，此外控制. s 輸入由於使用了比率項，其增益直也跟著降低。. ε. 2.2.2.3 非線性系統之可變結構控制器之設計我們先前已經介紹 VSC 的簡介以及簡單的設計，在此我們要介紹的是非線性系統的 VSC 控制器的設計。考慮一非線性系統如下: ⋅. X = f (t , X ) + B(t , X )u (t ). (2.34). 狀態變數 X (t ) ∈ ℜ n ，控制輸入 u (t ) ∈ ℜ m ， f (t , X ) ∈ ℜ n 且 B (t , X ) ∈ ℜ n×m ，假設. f (t , X ) 及 B (t , X ) 為連續的，定義切換平面為. 19.

(88) S ( X ) = ( s 1 ( X ) " s m ( X )) T. (2.35). 控制律 u (t ) ∈ ℜ m 由 u i (t ) 所組成， u i (t ) 的形式如下:. u i+ (t , X ), for s i ( X ) > 0 u i (t , X ) = − i. u (t , X ), for s i ( X ) < 0. (2.36). i = 1,2, " , m 切換平面可能是線性或非線性的，但普遍來說大多是線性的，我們所選取的線性切換平面(switching surface)為 ~. S ( X ) = C X (t ) = 0. (2.37). ~. C 為一 m × n 矩陣，為了證明順滑模態的存在，系統的狀態軌跡必須滿足以下的順滑條件 ⋅. si si < 0,. for. i≤ m. (2.38). 使得鄰近切換平面，狀態向量的微分會直接朝向此平面靠近，在這 VSC 系統，狀態軌跡總是被強迫抵達切換平面，且停留在切換平面上。對於多變數系統而言，順滑模態或許不會分別存在於 s i ( X ) = 0 ，但只會在交集處如圖 2.6。設計可變結構控制器與之前所提到的相同，可分為兩個部分，一為順滑模態另一則可視迫近條件。然而有許多的方法可用來設計多變數非線性系統的 VSC 控制律，一種設計多輸入系統順滑控制律較直接的方法為等效控制(equivalent control)的方法。. 20.

(89) (x0,t0). s1=0 s=0. (xf,tf). s2=0. 圖 2.6 順滑模態存在於兩順滑平面的交集. 等效控制的方法是一種將系統動態限制在切換平面 S ( X ) = 0 的方法，假設在 t 0 ，系統的狀態軌跡，(2.34)式，到達切換平面並存在順滑模態，這也暗示 ⋅. ⋅. 了(i) S ( X ) = 0 ，(ii) S ( X ) = 0 對於 t > t 0 。將(2.26)式代進 S ( X ) = 0 得到. [. ]. ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ⎞ ⋅ ⎟ f ( t , X ) + B ( t , X ) u eq = 0 ⎜ ⎟X =⎜ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ 在上式中， u eq 稱為等效控制，假設矩陣乘積，. (2.39). ∂S B ( t , X ) ，對於所有的 t 及 ∂X. x 為非奇異矩陣，可得到. u eq. ⎡⎛ ∂ S ⎞ = − ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. −1. ⎛ ∂S ⎞ ⎟ f (t , X ) ⎜ ⎝ ∂X ⎠. (2.40). 將在(2.40)式所得到的 u eq 代入（2.34）式，系統的動態變成 −1 ⎧⎪ ⎡⎛ ∂S ⎞ ⎤ ∂S X = ⎨ I − B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ) ⎥ ⎪⎩ ⎣⎝ ∂X ⎠ ⎦ ∂X ⋅. ~. 對於一線性的切換平面 S ( X ) = C X ( t ) 且. 21. ⎫⎪ ⎬ f (t , X ) ⎪⎭. ~ ∂S = C ，（2.41）成為 ∂X. (2.41).

(90) −1 ⎧⎪ ⎡~ ⎤ ~ ⎪⎫ X = ⎨ I − B (t , X ) ⎢C B (t , X ) ⎥ C ⎬ f (t , X ) ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⋅. （2.42）. (2.42)式說明了系統的行為被切換平面(switching surface)限制了，而(2.41) 式有著 S ( X ) = 0 的限制，決定了系統在切換平面上的動態。控制器設計的另一個目標是維持著順滑條件，第一種對角化的方法是將控制律對角化，此方法為將原來的控制律藉由一非奇異矩陣的轉換，建構出一新的控制向量，(2.36)式說明了原來控制律 u 的每個組成單元。定義利用非奇異矩陣轉換如下:. ⎛ ∂S ⎞ u * ( t ) = Q −1 ( t , X ) ⎜ ⎟ B (t , X )u (t ) ⎝ ∂X ⎠. (2.43). 其中 Q ( t , X ) 是一任意 m × m 對角矩陣，且由 q i ( t , X ) ( i = 1, " , m ) 所組成，使得 f q i ( t , X ) > 0 對於所有的 t ≥ 0 與所有的 X ，將(2.43)式代入(2.34)式. 則動態方程式變成. ⎡⎛ ∂ S ⎞ X (t ) = f (t , X ) + B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠ ⋅. ⎤ )⎥ ⎦. −1. Q (t , X )u * (t ). (2.44). 且 ⋅ ⎛ ∂S ⎞ * S (t ) = ⎜ ⎟ f (t , X ) + Q (t , X )u (t ) X ∂ ⎝ ⎠. (2.45). 為了滿足順滑條件，(2.38)式，其所組成的單元可選擇以滿足 +. q i ( t , X ) u i* < −∇ s i ( X ) f ( t , X ) n. ~. = − ∑ C ij f j ( t , X ), when j =1. 22. si ( X ) > 0. (2.46a).

(91) q i (t , X )u. * − i. < −∇ s i ( X ) f ( t , X ) n. = −∑ C. ~. f. ij. j. ( t , X ),. when. s i (X ) < 0. j = 1. (2.46b) ~. 其中 C ij 是 ∇ s i ( X ) 的 j 個單元，且 ∇ s i ( X ) 是. ∂S 的 i 個列向量，在得到新 ∂X. 的控制律 u * 之後，實際上的控制律 u 為. ⎡⎛ ∂S ⎞ u (t ) = ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. −1. Q (t , X )u * (t ). (2.47). 第二種對角化的方法是利用一非奇異矩陣轉換將原來的切換平面轉換為新的切換平面，定義如下:. S * (t , X ) = Ω (t , X ) S ( X ) = 0. (2.48). ⎛ ∂S ⎞ 選擇 Ω ( t , X ) 使得 Ω ( t , X ) ⎜ ⎟ B ( t , X ) 成為對角矩陣，例如: ⎝ ∂X ⎠. ⎡⎛ ∂ S ⎞ Q (t , X ) = Ω (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. (2.49). Q ( t , X ) 是由有界(bounded)的單元所組成的對角矩陣，然而. ⎡⎛ ∂S ⎞ S (t , X ) = Q (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂ X ⎠ ⋅. *. ⎤ )⎥ ⎦. −1. ⎛ ∂S ⎞ ⎟ f (t , X ) ⎜ ⎝ ∂X ⎠. ⋅. + Q ( t , X ) u + Ω ( t , X ) Ω −1 ( t , X ) S *. (2.50). ⋅. ≡ S (t , X ) + Q (t , X )u + S Ω (t , X ) 順滑條件變成 ⋅. s i* s i* < 0 23. (2.51).

(92) 直接選擇控制律 u ，其所組成的單元可選擇以滿足 ⋅. q i ( t , X ) u i+ < − s i (t , X ) − s i Ω (t , X ),. for. s i* > 0. (2.52a). for. s i* < 0. (2.52b). ⋅. q i ( t , X ) u i− < − s i (t , X ) − s i Ω (t , X ),. 另一種不同於對角化的方法為層列式控制法，在此則不詳細描述。前面所介紹的三種典型的 VSC 的設計方法，由於控制律對角化的方法較直接且容易，是廣被使用的方法首先，假設 Q = I , I ∈ ℜ n × n 為一單位矩陣，然而，非奇異轉換矩陣為. ⎛ ∂S ⎞ ⎟ B ( t , X ) ，(2.28)式可以為任意結構 ⎜ ⎝ ∂X ⎠ u i = u ieq + ∆ u i. (2.53). u ieq 為等效控制的第 i 個單元且為連續的， ∆ u i 為不連續的部分或者是(2.36) 式切換的部分，因此，新的控制律為. ⎛ ∂S ⎞ u* = ⎜ ⎟ B ( t , X ) (u eq + ∆ u ) ⎝ ∂X ⎠. (2.54). * = u eq + ∆u *. 並且(2.44)式變成. ⎡⎛ ∂S ⎞ X (t ) = f (t , X ) + B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂ X ⎠ ⋅. 然而. 24. ⎤ )⎥ ⎦. −1. (u. * eq. + ∆u ). (2.55).

(93) ⋅ ⎛ ∂S ⎞ * * S (t ) = ⎜ ⎟ f ( t , X ) + u eq + ∆ u ∂ X ⎝ ⎠. (2.56). = ∆u * 如果我們選擇 ∆ u * = (τ 1 sgn( s 1 ) " τ m sgn( s m ) ) , τ i < 0 ，順滑條件為 T. ⋅. si ( X ) si ( X ) = τ i si < 0 可滿足我們所需要的設計。. 25. (2.57).

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(163) 圖 3.4. 例一 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.5 例一之 3D 軌跡圖. 40.

(164) 圖 3.6 例一之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.7 例一之控制輸入時間響應圖. 41.

(165) 圖 3.8 例一之輸入在 t = 0-1 秒時之時間響應. 圖 3.9. 例一之三個順滑變數時間響應圖. 42.

(166) 圖 3.10 例一之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.11 例一之 r,. ò , þ 三狀態之誤差時間響應. 43.

(167) 圖 3.12 例二 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.13 例二之 3D 軌跡圖. 44.

(168) 圖 3.14 例二之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.15 例二之控制輸入時間響應圖. 45.

(169) 圖 3.16 例二之輸入在 t = 0-1 秒時之時間響應. 圖 3.17 例二之三個順滑變數時間響應圖. 46.

(170) 圖 3.18 例二之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.19 例二之 r,. ò , þ 三狀態之誤差時間響應. 47.

(171) 圖 3.20 例三 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.21 例三之 3D 軌跡圖. 48.

(172) 圖 3.22 例三之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.23 例三之控制輸入時間響應圖 49.

(173) 圖 3.24 例三之輸入在 t = 0-1 秒時之時間響應. 圖 3.25 例三之三個順滑變數時間響應圖 50.

(174) 圖 3.26 例三之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.27 例三之 r,. ò , þ 三狀態之誤差時間響應. 51.

(175) 圖 3.28 例四 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.29 例四之 3D 軌跡圖. 52.

(176) 圖 3.30 例四之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.31 例四之控制輸入時間響應圖. 53.

(177) 圖 3.32 例四之輸入在 t = 0-1 秒時之時間響應. 圖 3.33 例四之三個順滑變數時間響應圖. 54.

(178) 圖 3.34 例四之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.35 例四之 r, ò ,. 55. þ 三狀態之誤差時間響應.

(179) 圖 3.36 例五 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.37 例五之 3D 軌跡圖. 56.

(180) 圖 3.38 例五之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.39 例五之控制輸入時間響應圖. 57.

(181) 圖 3.40 例五之輸入在 t = 0-1 秒時之時間響應. 圖 3.41 例五之三個順滑變數時間響應圖. 58.

(182) 圖 3.42 例五之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.43 例五之 r,. ò , þ 三狀態之誤差時間響應. 59.

(183) 圖 3.44 例六 x1 à x6 六個狀態時間響應圖. 圖 3.45 例六之 3D 軌跡圖. 60.

(184) 圖 3.46 例六之 x, y, z 軸時間響應圖. 圖 3.47 例六之控制輸入時間響應圖. 61.

(185) 圖 3.48 例六之輸入在 t = 0-1 時之時間響應. 圖 3.49 例六之三個順滑變數時間響應圖. 62.

(186) 圖 3.50 例六之三個順滑變數在 t = 0-1 秒之時間響應. 圖 3.51 例六之 r,. ò , þ 三狀態之誤差時間響應. 63.

(187) 例一. 例二. Nonlinear VSC. TS-type VSC. Nonlinear VSC(with d). TS-type VSC(with d). t reach(r < 10m). 12.990sec. 12.150sec. 8.450sec. 8.1657sec. (eò, eþ)reach. 1.9778e-7. 2.7377e-3. 4.9781e-3. 2.4779e-3. -1.9599e-7. 3.2039e-4. 6.2740e-3. 3.1238e-4. 1.2667. 1.1531. 1.7667. 1.6531. 2.8252. 2.8114. 4.1496. 2.9783. 4.8217. 4.9272. 3.5221. 4.6562. 0.6521. 0.7508. 1.8920. 2.0477. 0.6118. 0.6203. 0.9060. 0.6519. 4.8325. 4.7497. 3.9477. 4.6419. k u ik ∞. ⎧ ⎭ |u i|2. 例三. 例四. Nonlinear VSC. TS-type VSC. Nonlinear VSC(with d). TS-type VSC(with d). t reach(r < 10m). 12.990. 12.150. 8.450. 8.1650. (eò, eþ)reach. -4.4573e-7. 1.0845e-3. -6.0387e-3. 9.0019e-4. 2.5414e-7. 3.2472e-4. -6.2322e-3. 3.3767e-4. 1.2667. 1.1531. 1.7667. 1.6531. 14.123. 16.712. 14.826. 16.886. 27.638. 32.491. 29.919. 32.609. 0.6640. 0.7575. 1.8528. 2.0602. 18.1577. 22.7449. 19.0907. 23.9810. 89.0199. 107.7131. 89.6664. 109.7172. k u ik ∞. ⎧ ⎭ |u i|2. 例五. 例六. Nonlinear VSC. TS-type VSC. Nonlinear VSC(with d). TS-type VSC(with d). t reach(r < 10m). 12.990. 12.150. 12.990. 12.150. (eò, eþ)reach. -40329e-7. 1.0849e-3. 4.0345e-7. 2.7371e-3. 1.9406e-7. 3.2421e-4. -1.9405e-7. 3.2251e-4. 1.2667. 1.1531. 1.2667. 1.1531. 9.4249. 11.329. 8.4678. 11.084. 4.9451. 6.5286. 4.8217. 4.9272. 0.6863. 0.7682. 0.6734. 0.7628. 3.2871. 4.2282. 2.9290. 4.4138. 4.3179. 4.4347. 4.6175. 4.5262. k u ik ∞. ⎧ ⎭ |u i|2. 表格 3.1 例一 – 例六之各項表現數據. 64.

(188) û k(x, t), k = 1, 2, 3. supx∈Dij |(∆f)k| ,. k=1,2,3 D11. 0, 0.1213, 0.1111. 0.0417,0.0401,0.0433. D12. 0, 0.1283, 0.1111. 0.0334, .0311,0.0442. D13. 0, 0.1457, 0.1111. 0.0286,0.0130,0..0456. D14. 0, 0.2089, 0.1111. 0.0285, 0.0348,0.0473. D21. 0, 0.0510, 0.04. 0.0696, 0.0282, .0230. D22. 0, 0.0586, 0.04. 0.0557, 0.0254, .0239. D23. 0, 0.0773, 0.04. 0.0477, 0.0190, .0254. D24. 0, 0.1456, 0.04. 0..0476,0.0016,0.0270. D31. 0, 0.0316, 0.0204. 0.0974, 0.0238,0.0154. D32. 0, 0.0394, 0.0204. 0.0780, 0.0235,0.0163. D 33. 0, 0.0585, 0.0204. 0.0668, 0.0216,0.0177. D34. 0, 0.1282, 0.0204. 0.0666, 0.0159,0.0194. D 41. 0, 0.0236, 0.0123. 0.1252, 0.0216,0.0113. D42. 0, 0.0315, 0.0123. 0.1003,0.0225, 0.0123. D43. 0, 0.0507, 0.0123. 0.0858, 0.0231,0.0137. D44. 0, 0.1210, 0.0123. 0.0856, 0.0237,0.0153. D 51. 0, 0.0196, 0.0083. 0.1531, 0.0202,0.0088. D52. 0, 0.0275, 0.0083. 0.1226, 0.0219,0.0097. D53. 0, 0.0468, 0.0083. 0.1049, 0.0240,0.0111. D54. 0, 0.1174, 0.0083. 0.1047, 0.0287,0.0128. 表格 3.2 在區域 Dij 內估算 ûk(x, t) 和 supx∈Dij |(∆f)k| .. 65.

(189) !" . .

(190) Æ. þÿ(

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