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第 7 卷 第 2 期 二〇二〇年十月 VOL. 7 NO. 2 October 2020

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(1)

第 7 卷 第 2 期 二〇二〇年十月 VOL. 7 NO. 2

October 2020

(2)

發行單位 國立臺灣師範大學數學系 台灣數學教育學會

地址 臺北市汀州路四段 88 號國立臺灣師範大學數學系

《臺灣數學教育期刊》

電話 886-2-7749-3678 傳真 886-2-2933-2342 電子郵件 TJME.taiwan@gmail.com

網址 http://tjme.math.ntnu.edu.tw/contents/contents/contents.asp?id=21

版權所有,轉載刊登本刊文章需先獲得本刊同意,翻印必究 編輯委員會

主編 吳昭容 國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系 副主編 楊凱琳 國立臺灣師範大學數學系

編輯委員 李源順 臺北市立大學數學系

(依姓氏筆劃排序) 洪儷瑜 國立臺灣師範大學特殊教育學系 袁 媛 國立臺中教育大學數學教育學系 黃幸美 臺北市立大學學習與媒材設計學系

楊志堅 國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所 楊德清 國立嘉義大學數理教育研究所

劉柏宏 國立勤益科技大學基礎通識教育中心 劉曼麗 國立屏東大學科普傳播學系

劉遠楨 國立臺北教育大學資訊科學系 謝豐瑞 國立臺灣師範大學數學系

譚克平 國立臺灣師範大學科學教育研究所 國際編輯委員 佘偉忠 澳洲墨爾本大學數學教育系

卓鎮南 新加坡國立教育學院數學與數學教育學術組 羅珍珍 美國西密西根大學數學系

(3)

Department of Mathematics, National Taiwan Normal University

Department of Mathematics Education, National Taichung University of Education

白雲霞 Pai, Yun-Hsia

國立清華大學教育與學習科技學系

Department of Education and Learning Technology, National Tsing Hua University

馬秀蘭 Ma, Hsiu-Lan

嶺東科技大學企業管理系

Department of Business Administration, Ling Tung University

吳昭容 Wu, Chao-Jung

國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系 Department of Educational Psychology and Counseling, National Taiwan Normal University

張子貴 Chang, Chi-Tsung

國立東華大學應用數學系 Department of Applied Mathematics, National Dong Hwa University

吳裕益 Wu, Yu Yi

國立高雄師範大學特殊教育學系 Department of Special Education, National Kaohsiung Normal University

張立杰 Chang, Li-Chieh

國立中央大學學習與教學研究所 Graduate Institute of Learning and Instruction, National Central University

李秀妃 Lee, Hsiu-fei

國立台東大學特殊教育學系 Department of Special Education, National Taitung University

張育萍 Chang, Yu-Ping

國立屏東大學師資培育中心 Center for Teacher Education, National Pingtung University

李源順 Lee, Yuan-Shun

臺北市立大學數學系 Department of Mathematics, University of Taipei

許慧玉 Hsu, Hui-Yu

國立清華大學數理教育研究所

Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Tsing Hua University

林俊閎 Lin, Chun-Hung

中原大學師資培育中心 Center for Teacher Education, Chung Yuan Christian University

郭文金 Guo, Wen-Jin

國立內埔高級農工職業學校

National Nei-Pu Senior Agricultural and Industrial Vocational High School

林原宏 Lin, Yuan-Horng

國立臺中教育大學數學教育學系 Department of Mathematics Education, National Taichung University of Education

陳東賢 Chen, Tung-Shyan

國立勤益科技大學基礎通識教育中心 Fundamental Education Center,

National Chin-Yi University of Technology

徐偉民 Hsu, Wei-Min

國立屏東大學科普傳播學系 Department of Science Communication, National Pingtung University

陳建誠 Chen, Jian-Cheng

國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系

Department of Mathematics and Information Education, National Taipei University of Education

秦爾聰 Chin, Erh-Tsung

國立彰化師範大學科學教育研究所 Graduate Institute of Science Education, National Changhua University of Educaiton

陳致澄 Chen, Jhih-Cheng

國立臺南大學應用數學系 Department of Applied Mathematics, National University of Tainan

(4)

國立蘭陽女子高級中學

National Lan-Yang Girls' Senior High School

國立勤益科技大學基礎通識教育中心 Fundamental Education Center,

National Chin-Yi University of Technology

陳嘉皇 Chen, Chai-Huang

國立臺中教育大學數學教育學系 Department of Mathematics Education, National Taichung University of Education

劉曼麗 Liu, Man-Li

國立屏東大學科普傳播學系 Department of Science Communication, National Pingtung University

陳榮治 Chen, Jung-Chih

國立嘉義大學應用數學系 Department of Applied Mathematics, National Chiayi University

鄭英豪 Cheng, Ying-Hao

臺北市立大學數學系 Department of Mathematics, University of Taipei

單維彰 Shann, Wei-Chang

國立中央大學數學系 Department of Mathematics, National Central University

賴孟龍 Lai, Meng-lung

國立嘉義大學幼兒教育學系

Department of Early Childhood Education, National Chiayi University

曾玉村 Tzeng, Yuh-Tsuen

國立中正大學教育學研究所 Graduate Institute of Education, National Chung Cheng University

謝佳叡 Hsieh, Chia-Jui

國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系

Department of Mathematics and Information Education, National Taipei University of Education

游自達 Yiu,Tzu-Ta

國立臺中教育大學教育學系 Department of Education,

National Taichung University of Education

顏妙璇 Yen, Miao-Hsuan

國立臺灣師範大學科學教育研究所 Graduate Institute of Science Education, National Taiwan Normal University

黃一泓 Huang,Yi-Hung

國立臺中教育大學數學教育學系 Department of Mathematics Education, National Taichung University of Education

譚克平 Tam, Hak-Ping

國立臺灣師範大學科學教育研究所 Graduate Institute of Science Education, National Taiwan Normal University

黃澤洋 Huang, Tse-Yang

國立清華大學特殊教育學系 Department of Special Education, National Tsing Hua University

蘇意雯 Su, Yi-Wen

臺北市立大學數學系 Department of Mathematics, University of Taipei

楊凱琳 Yang, Kai-Lin

國立臺灣師範大學數學系 Department of Mathematics, National Taiwan Normal University

龔心怡 Kung, Hsin-Yi

國立彰化師範大學教育研究所 Graduate Institute of Education,

National Changhua University of Educaiton

楊德清 Yang, Der-Ching

國立嘉義大學數理教育研究所

Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Chiayi University

(5)

《臺灣數學教育期刊》於 2013 年籌備、隔年四月創刊,由台灣數學教育學會 和臺灣師範大學數學系共同發行。左台益教授擔任本刊首任主編,於今年(2020)

卸任。這七年來,左主編一直致力於出版高品質數學教育原創性論文,而在國內 數學教育社群人口有限、投稿量不多的情況下,左主編既要兼顧論文品質,又要 確保出刊篇數足夠,且須鼓勵審查委員與提醒責任編輯讓審查意見能正面又具建 設性,同時完備編務紀錄以利 TSSCI 之期刊審查;過程之辛苦,在此對左主編的 盡心竭力,致上誠摯之感謝。

本刊第 7 卷第 2 期的出版,由我接任主編工作,除了和副主編楊凱琳教授與 原本的 12 位編輯委員繼續負責編務之外,也延聘兩位國際學者加入編輯委員會。

一位是佘偉忠(Seah, Wee-Tiong)教授,他任教於澳洲墨爾本大學數學教育系,

另一位是卓鎮南(Toh, Tin-Lam)教授,他任教於新加坡國立教育學院數學與數學 教育學術組。兩位都是數學教育國際社群中活躍傑出的學者,咸信有他們的加入,

本刊會更為多元。

本期刊登三篇文章。第一篇以個案研究法探討個案教師在數學臆測教學中的 教學行為,以活動的擁有權和想法的擁有權構成四個象限的教師角色,本文以協 調者此一教師角色為焦點,探討臆測教學五個階段的教學行為。第二篇以四百多 位學童為對象進行位值概念測驗,除了探討二年級學生位值概念的層次發展,同 時比較在表徵物為古氏積木、錢幣或櫻桃圖示下學生位值概念的表現,本文的結 果對位值概念教學與教科書設計的表徵選擇,具有啟發性。第三篇以 52 名七年 級學生進行教學介入,探討體現認知在整數加減的補救以及平行線截角性質之學 習上的效果。體現認知主張學習不只是符號表徵的學習,手勢或身體動作等感官 經驗也參與其中。近年來數學教育、科學教育,語言研究都關注此一觀點的探討,

本文的議題符應此一教育研究的新趨勢。

本刊除了持續一直以來的宗旨,以刊登高品質的實徵性研究或具批判性回顧 論文之外,也將擴展其它型態的內容,未來會將書評、學術趨勢報告等型態的文 稿納入徵稿說明,請數學教育研究社群的同好一起參與學術知識的交流。

《臺灣數學教育期刊》主編 謹誌

(6)
(7)

臺灣數學教育期刊

第 7 卷 第 2 期

2014 年 4 月創刊 2020 年 10 月出刊

目錄

數學臆測教學中教師擔任協調者角色之教師行為

/張廖珮鈺、林碧珍

1

國小二年級學生在古氏積木、錢幣、櫻桃表徵物問題下的 位值概念研究

/蔡曉回、袁媛

25

手勢融入範例對低能力學生運算與幾何學習的影響

/連宥鈞、吳昭容

45

(8)

Taiwan Journal of Mathematics Education

Vol. 7 No. 2

First Issue: April 2014 Current Issue: October 2020

CONTENTS

Teaching Behaviors of Teachers: The Role of Moderator in Teaching Mathematical Conjecture

/Pei-Yu Chang Liao, Pi-Jen Lin

1

Second Graders’ Concepts of Place Value Represented by Problems Involving Cuisenaire Rods, Coins, and Cherries

/Hsiao-Hui Tsai, Yuan Yuan

25

The Effects of Gesture on Low-Ability Students’ Learning of Arithmetic and Geometry Using Worked Examples

/Yu-Chun Lien, Chao-Jung Wu

45

(9)

通訊作者:林碧珍,e-mail:linpj@mx.nthu.edu.tw 收稿:2020 年 7 月 26 日;

接受刊登:2020 年 10 月 23 日。

張廖珮鈺、林碧珍(2020)。

數學臆測教學中教師擔任協調者角色之教學行為。

臺灣數學教育期刊,7(2),1-23。

doi: 10.6278/tjme.202010_7(2).0001

數學臆測教學中教師擔任協調者角色之教學行為

張廖珮鈺1 林碧珍2

1新竹縣新豐鄉松林國民小學

2國立清華大學數理教育研究所

本研究是以個案研究法探討教師在臆測教學以協調者角色介入的教學行為。本研究採立意取樣,

以一位資深的數學臆測教學六年級教師為個案教師。蒐集的資料包含因倍數單元六節教學錄影 和學生學習單,資料分析架構是以活動的擁有權、想法的擁有權,來形成四個象限的教師角色,

並加入第三維度代表臆測教學五個階段。本篇探討的角色以協調者為主,協調者是教師具有活 動的擁有權,而學生具有想法的擁有權。研究結果發現:在臆測教學中,個案教師以協調者介 入主要是在效化階段,其次是證實階段和提出猜想階段。教學行為主要是辨認、比較與整合。

臆測教學不同階段採用不同的教學行為介入,在提出猜想階段,以協調者角色介入的目的是在 徵求學生比較自己的猜想和其他猜想的異同;在效化階段,是在徵求學生表達自己的立場;在 證實階段,是為了徵求學生辨認各種猜想之間的包含關係。本研究也發現即使相同的教學行為 在教學不同階段的介入也會不同,比較在提出猜想階段,是為了觀察更豐富的數學關係。比較 在效化階段,是為了區別不同猜想之間的前提條件是否相同,比較在證實階段是為了幫助學生 釐清各種猜想證明的先後順序。整合在效化階段,是為了幫助學生從多個類似的猜想中選出或 整合出一個最完整、最具代表的猜想。

關鍵字:協調者、教師角色、教學行為、數學臆測教學

(10)

Corresponding author:Pi-Jen Lin,e-mail:linpj@mx.nthu.edu.tw Received:26 July 2020;

Accepted:23 October 2020.

Chang Liao, P. Y., & Lin, P. J. (2020).

Teaching behaviors of teachers: The role of moderator in teaching mathematical conjecture.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 7(2), 1-23.

doi: 10.6278/tjme.202010_7(2).0001

Teaching Behaviors of Teachers: The Role of Moderator in Teaching Mathematical Conjecture

Pei-Yu Chang Liao 1 Pi-Jen Lin 2

1 Song-Lin Elementary School, Hsinchu

2Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Tsing Hua University

The purpose of the study was to explore teacher behavior when playing the role of moderator in teaching conjecture in mathematics. A teacher was selected as a case study. The case was a sixth-grade teacher experienced in teaching conjecture. Collected data included six lessons of factors and multiple units.

The analytical framework is based on the ownership of activities and ideas to form the role of teachers in the four quadrants, and the third dimension is added to represent the five stages of conjecture teaching.

The role discussed in this article focuses on quadrant II-Moderator, which is characterized with the teacher having ownership of the activity and the student having ownership of thought. The results indicated that the role of the moderator frequently occurred in the validation stage, followed by the justification stage and formulation stage. Teaching behaviors consisted of recognizing, comparing, and integrating. In the formulation stage, the moderator asked students to compare their own conjectures with those of others. In the validation stage, the moderator asked students to express their position. In the justification stage, the moderator called for an inclusive relationship among the generalized conjectures. Students were required to compare in the formulation stage as the case teacher asked them to look at additional mathematical relationships, whilst they were required to compare in the validation stage to clarify the similarities and differences of the premises among the conjectures. In the justification stage, the case teacher asked students to compare in order to sequence the conjectures to be justified. In the validation stage, students were asked to integrate or select the most complete and representative conjectures.

Keyword: moderator, teacher role, teaching behavior, teaching conjecture in mathematics

(11)

壹、緒論

本研究探討以臆測為數學本質的教學取向,觀察數學教室中,進行臆測教學的教師所需扮 演的角色,將角色聚焦於教師的具體教學行為。臆測教學是由教師規劃完整的教學活動,透過 活動中的數學任務來引發學生進行觀察、比較、論證等過程,學生依據觀察的現象提出猜想,

培養學生建立完整的數學臆測學習過程,此教學流程即是數學臆測教學。數學臆測教學模式有 五個主要階段,依序為「造例階段、「提出猜想階段」、「效化階段」、「一般化階段」、「證實階段」

(林碧珍,2016)。

課室中的師生關係是複雜的,有時候教師主導全班討論活動,由教師提供鷹架來建構知識,

但仍然是由學生的不同想法來達成共識;相反地,有時學生在進行討論活動時,但是教師卻會 加入想法來微調學生理解數學的方向。因此,臆測教學課堂是由教師主導或由學生主導的區分,

還須將活動和想法分開來看(Chen, Hand, & Norton-Meier, 2017)。由教師來主導活動時教師的 角色如分派者和協調者;由學生主導活動時,教師的角色如挑戰者和參與者。在課堂當中教師 交錯地扮演著不同的角色,不同臆測階段教師所扮演的角色也直接地影響著學生的表現。其中 協調者角色在教師角色中尤為重要,協調者是以教師來主控活動,學生主導想法來互動對話,

協調者既需保有教師的角色,亦需以學生為中心提供想法,是角色當中較困難扮演的角色,然 而,協調者能展現臆測教學中實際協助學生產生想法的行為細節。目前已發表有關於臆測教學 教師角色的相關研究中(Chang Liao & Lin, 2019;Lin & Chang Liao, 2019),以論述其他角色的 情形或探討臆測教學中教師整體角色分布的情況為主,尚未探討協調者在各階段如何協助學生 提升論證品質。因此,本研究聚焦於協調者的角色,研究問題為:數學臆測教學下協調者角色 的教師教學行為內涵為何?

貳、理論性觀點

一、數學臆測教學之理論性觀點

(一)數學臆測教學是素養導向的教學取向

在生活中解決新問題時,臆測是必要的歷程。數學臆測教學是林碧珍的研究團隊,以數學 知識形成的歷程結合臆測的認知歷程長時間發展出來的(Lin, 2018a)。臆測教學模式的理論基 礎就是根基於個體面對問題時自然產生的臆測歷程(Cañadas & Castro, 2005),伴隨著論證發 生,將學生的臆測認知歷程轉化為有結構的五個教學階段(Lin & Tsai, 2016)。今從三個方面論 述臆測本質作為素養導向教學取向的意涵。

(12)

1. 數學臆測符應當今教育改革強調的素養:臺灣歷經多次的教育改革,從 90 暫行綱要,92 課綱、97 正式課綱,至現今的十二年國民基本教育綱要,臆測的重要性皆屹立不搖地存在於課 綱當中;可見數學思考方法與思考歷程是中小學教育課程中非常需要的,並且隨時代推進有日 漸重要的趨勢。數學素養是十二年國民基本教育課程綱要數學領域的重點目標(教育部,2018)。 數學素養的內涵包括了數學知識、情意涵養之外,更關注數學能力,例如:歸納、演繹、推理、

一般化、特殊化、系統化、監控等,並熟悉觀察、臆測、論證的解題歷程。當學童具備數學數 養,意味著他能善用假設、定義或已知的數學概念來形成數學論述,並且能夠在觀察資料或數 學關係後,提出臆測出來的猜想,利用推理來驗證。學生透過數學臆測歷程,可以培養數學素 養(林碧珍,2020)。

2. 數學臆測是數學知識形成的歷程:數學臆測的過程歷經觀察、猜測、找例子、一般化及 證明,是形成數學知識最核心的歷程,亦是數學家創建數學定理的歷程。Lakatos(1976)提出 數學知識形成必經的四個階段:從提出猜想、實驗或檢驗猜想、提出反例來反駁原猜想、重新 檢驗修正原猜想、形成更精煉的猜想,證明與反駁穿插於各階段中。林碧珍(2015)提出臆測教 學模式五個階段中的造例階段、提出猜想階段、效化階段、一般化以及證實階段是提供機會讓 學童經驗臆測歷程獲得的數學知識,如同體驗數學家從無至有產生數學知識的歷程(林碧珍,

2015)。

3. 數學臆測是啟動數學論證的引擎:數學臆測的歷程中形成假設或猜想,猜想需要找證據 加以證實,也需要找證據支持或推翻,過程中自然引動了論證,主張、資料、論據、背景知識、

限制和反駁等論證的元素(Toulmin, 1958):(1)造例階段讓學童個別創造例子並且彙整到小 組彙整單。(2)提出猜想階段學生觀察彙整單(資料),提出數學猜想(主張)。(3)效化階 段目的是將猜想用他組的例子(論據)進行效化。(4)一般化是將效化過的猜想推論到所有例 子都成立,限制範圍作為前提條件;(5)證實階段學童運用已知的數學知識進行演繹推理(Lin, 2017)。數學臆測與論證元素是緊密交織的(Cañadas, Deulofeu, Figueiras, Reid, & Yevdokimov, 2007);也就是說臆測的歷程能有效促使論證的產生(Lin,2018)。林碧珍的研究也證實透過數 學臆測教學可以有效引動論證的發生(林碧珍,2016)。然而,雖然臆測與論證兩者關係密切,

但在數學臆測教學模式的意義不同,數學論證是一個集體對話的歷程,是學生展現的能力,是 教學的結果(Conner, Singletary, Smith, Wagner, & Francisco, 2014);而數學臆測教學則是一種 教學取向,是教學的過程(林碧珍,2016)。

臆測教學模式的五個階段就是數學家形成數學知識的臆測歷程(Lakatos, 1976),提供機會 讓學童體驗數學知識從無至有產生的歷程,習得一個命題的嚴謹歷程,以這樣嚴謹求真的歷程,

學童從知識的接收者轉變為創造者,符合主流的教育思潮以學生為本位的教學取向;臆測教學 模式是素養導向的課堂是可行的教學取向(林碧珍、鄭章華、陳姿靜,2016)。

(13)

(二)數學臆測教學課堂展現學生的 4C 能力

臆測教學課堂展現學生的4C(創新、批判、協作、溝通)能力。相較一般數學課堂中,以 課本為材料進行教學,學生被動的接受知識,臆測教學提供了給學生從自己造例出發較有感的 學習機會,能從自己形成的資料中異中求同、同中求異,尋求規律、有意義地產出數學關係(林 碧珍,2016)。

1. 臆測教學可以培養學生的創新能力,在於臆測教學的學習結構自然需要學童以創造性的 心理歷程來運作。創造性的心理歷程包含六個階段是:(1)覺察不協調的現象;(2)分析困難 處;(3)提出假設;(4)驗證假設;(5)修正假設;(6)重複前面的階段直到找到答案(Torrance, 1988)。覺察、提出假設、驗證、修正歷程,是臆測教學模式必然會歷經的過程。未經驗臆測教 學的學生一開始時比較容易只看到表象的數學內涵,較少看到內在的數學的關係,易提出較多

「理所當然」的猜想,例如:偶數的質因數分解中一定有2 這個質因數,從 Lin(2018)的實徵 研究中發現,經驗一年臆測教學的學生相較於前一年,能夠提出更多關於數學性質的猜想。

2. 臆測教學可以培養學生的批判能力,在於臆測教學的學習本質包含辯證批判考的學習歷 程,批判性思考包含了某些內涵傾向,像是(1)能夠思想開明,澄清並聚焦在真正的問題上,

分析問題及相關的假設;(2)能善用推論、演繹和歸納推理,並可以進一步評斷前提的有效性;

(3)權衡證據的可信度或判斷數據或訊息的來源是否可用等(Pithers & Soden, 2000)。臆測教 學的課堂裡,學生必須凡事說理,有憑有據,尤其在效化階段需要學生以證據來判斷猜想的有 效性,無論說話者是高成就或低成就的同儕,都需要回歸用例子(證據)來驗證,證據的正確性 和說服力是學童會自然去聚焦的。數學臆測教學的第四階段一般化和第五階段證明時,把全班 猜想推論到「所有情境」中,會形成前提,並評估該前提是否周全,形成命題後再進行證明,運 用先備知識或其他證明過的數學性質來做演繹推理。臆測教學透過多例、多個猜想來歸納,再 用嚴謹的演繹推理形成最後的數學知識(林碧珍、鄭俊彥、蔡寶桂,2018)。在 Lin(2018a)

的實徵性研究發現,透過臆測教學,學生在集體論證的過程中,更能夠進行反駁,使用證據來 論證的比例大幅增加(中年級學生使用證據的比例從 58% 增加到 90%),為了提升證據的可信 度,學生經驗一年的臆測教學後更能運用有效的數學性質來做為證據說服他人(Lin, 2018a)。

3. 臆測教學可以培養學生的溝通能力,在於臆測教學的課堂的交談對話品質不是只有說明 自己的想法而已,更多的交談是解釋與論證。說明和解釋不一定能達到有效的溝通,說明是將 自己的想法描述清楚,說明和解釋都是站在說話者的角度,說話者要說清楚,解釋在對話框中 具有澄清功能,當說話者進行解釋時,目的是讓接收者透過解釋後具備更好的理解;而論證是 站在聆聽者的角度,說話者不僅要讓聆聽者聽清楚,而且要說服聆聽者;論證和解釋在目的上 有所不同,論證的過程中聆聽者要採取較積極主動的方式來理解說話者的意思,因為說話者說 明的目的是在尋求對方給予立場,往往是在一個具有爭論性的討論場合,說話者希望尋求接收 者接受或反駁某一論點(林碧珍、鄭俊彥、蔡寶桂,2018;Walton, 2006),因此聆聽者需要清楚

(14)

理解才能表態。一般的數學課室討論經常見到小組討論的風景是:學生拿著白板進行想法的說 明,但過程中不一定進行了有效的溝通,對於高成就或低成就的學生來說,未必有意願去理解 他人的想法,說話者只要說清楚了,解釋的任務就也隨之結束。而在臆測教學中尤其效化階段,

同儕間會大量運用數學溝通語言來支持、批判、挑戰、辯護(Berland & Reiser, 2011; Chin &

Osborne, 2010),由於說話者的目的是為論點尋求立場,讓聽者聽清楚就是說話者的任務,不會 講完就結束了,而聽者不僅要聽清楚,還要評估論點是否合理、有說服力,進而提出正面或反 面的立場。相較於解釋,論證需要更多主動、有效溝通才能進行,臆測教學的過程中可以提供 集體論證有效溝通的機會(Lin & Miao, 2018)。

4. 數學臆測可以培養學生的小組協作能力。臆測教學是促進同儕間的社會性溝通的教學取 向。數學臆測提出的猜想真假未定,需要全班或小組集體論證的社會協商歷程(Lin, 2018b)。協 商過程中成員們為了要使某種現象合理,將透過對話來進行支持、批判、評估、挑戰、辯護(Berland

& Reiser, 2011; Chin & Osborne, 2010; Lin & Miao, 2018)。也就是說,臆測透過學生間的同儕互 動,歷經論證的過程,利用證據來說服和修正已達成共識。小組活動貫穿數學臆測教學模式的 每個階段,在造例階段,學生先造出1~2 個個人例、再彙整至小組約有 8~10 個例子,各組最 後集成全班約12~100 個例子,成為可觀察規律的資料,以作為論證的證據。在提出猜想階段,

學童先依據資料提猜想,經過組內成員的檢驗後,確認是依據證據為本的猜想,再整合形成小 組猜想。效化階段是透過組間相互驗證,小組猜想逐一用他組例子作效化、再到歸類並檢驗,

最後成為全班猜想;猜想一般化是在全班活動下進行,將猜想加入限制條件,成為恆真命題。

證實階段用已知的數學知識進行演繹推理,來說服他人相信。每一個臆測活動是依循個別活動、

小組活動再到全班活動的流程,用越來越多例子作為產生或檢驗猜想的論據,還要經過一般化,

並且試著證明它的恆真性。數學臆測教學模式能確實發揮小組合作的實質功能,讓學生經歷協 商歷程,因而提昇協商的能力(林碧珍、鄭俊彥、蔡寶桂,2018;Lin, 2017; Lin &Horng, 2017)。

二、分析教師角色的理論架構

本研究採用 Chen 等人(2017)的分析架構,探討教師在臆測教學中的角色內涵。分析架構 是運用活動和想法兩個維度來區分四個象限,活動及想法之區分有其必要性。當教師進行全班 討論,討論活動由老師所主導,但有時老師的問題目的是激發學生對特定概念的先備知識,或 組織學生的想法以達成共識,抑或教師的對話目的是激發學生的想法並比較各種想法,以確定 想法的弱點或優點並加以修正,此時教師並非在評估他們想法的準確性,想法是由學生所提供。

相反,在某些情況下,學生會進行小組討論活動,但老師可能會加入討論以推動學生對知識的 理解,在這些情況下,想法的所有權由老師控制(Chen et al., 2017)。簡言之,想法的擁有權關 注的是學習內容、知識的提供者是誰?;而活動的擁有權則是關注互動的方式為多人參與還是

(15)

排除其他人參與。

分析架構中由兩個維度劃分出的四個象限,四象限的 X 軸和 Y 軸分別表示「想法擁有權」

和「活動的擁有權」。X 軸和 Y 軸的兩端分別「教師」與「學生」,Chen 等人(2017)透過紮 根理論分析原案來產出 9 個行為,並將行為分類到教師角色的架構中,詳述行為特徵及舉例。

Chen 等人更依據不同象限的教學行為,概念化為教師的四種不同的角色:參與者(participant)、

教練(coach)、分派者(dispenser)和協調者(moderator)。將行為構築出四種鮮明的教師角 色,能幫助教育研究者及現場教師快速地掌握教學行為的內涵,是此架構的特色。(1)第一象 限是學生同時具有活動和想法的擁有權;教師的角色是參與者;在此象限中教師經常出現的教 學行為是鼓勵學生和交換想法。(2)第二象限是學生具有活動擁有權但教師具有想法擁有權;

教師的角色是教練;在此象限中教師經常出現的教學行為是挑戰、引出。(3)第三象限是教師 同時具有活動和想法的擁有權;教師的角色是分派者;在此象限中教師經常出現的教學行為是 講述和主導。(4)第四象限為活動擁有權是教師而想法擁有權是學生;教師的角色是協調者;

在此象限中教師經常出現的教學行為是辨認、比較和整合。

教師扮演參與者的角色時,態度上是充分給予學生活動與想法的主控權,讓教師本身與學 生處於平等的互動關係來參與學生的論證對話,教師也可以提出自己的立場和意見,與學生一 同進行支持、反駁和辯護等論證活動,學生也會平等地去評估教師的想法,教師與學生平等地 交換意見,學生通常回應一個或多個句子來建構想法。教師扮演參與者的角色,教學行為有鼓 勵與交換,當學生進行討論時,教師提供客觀的意見與學生交流、交換想法,或用言語、肢體來 鼓勵學生的想法,且並非暗示答案的對錯,相反地,學生能決定是否接受教師提供的想法,討 論仍由學生主導,想法也由學生主控。

在學生為主導的活動中,學生進行各自的討論活動,老師從旁影響思考的方向,此時教師 的角色是一位教練;教練是充分給予學生進行活動的主控權,但仍具有想法的影響力。教師允 許學生自由地進行討論,而教師會在學生討論的過程中不斷挑戰與引出學生想法,並透過提問 來幫助學生解決困難,透過挑戰刺激學生想法,透過引出讓學生將想法說得更清楚。

分派者是活動與想法全由教師掌控,教師聚焦於傳遞知識、解釋、回應內容與評估學生是 否理解。教師用解釋與訴說的方式來傳達某個主題的相關知識和概念,或是教師用回應或指令 帶領學生思考與活動的方向(Chen et al., 2017)。假若教學過程中學生較少回應,或運用單詞回 應或填充教師語句,則需透過指導與講述的方式在師生對話中控制想法與活動;此時教師扮演 的是一位分派者角色,的目的在指導學生發展想法和策略。指導是指當教師想進行知識搜尋時,

透過一問一答來要求學生回答與該主題相關的知識。當教師發現學生的討論內容裡有誤,或教 師試圖想要掌控討論方向時,教師提出具有高度暗示性的提問,此時教師給學生的問題是已預 設答案的問題,這樣的教學行為也是指導的形式。講述是當教師依照事先計畫好的講稿,以口 語單向地傳遞知識與訊息給學生。

(16)

教師是一位協調者的角色,活動及鷹架的提供由教師主導,但是想法是由學生提供,學生 在教學活動中能自由地討論並產生想法。當學生有不同想法時,教師會介入,使學生進行辨認

(recognize)、比較(compare)和整合(integrate)以達成共識。辨認的行為是教師徵求學生表 明立場,並讓全班辨別學生的想法或論點,教師將學生的注意力聚焦於辨認某個想法的正確性。

比較是當教師透過語言或行為來讓學生注意想法或作法之間的相似性與差異性。整合是教師用 來合成或整併全班想法的回應(Chen et al., 2017)。無論是在辨認不同的立場、進行比較分析或 整合全班的共識,最重要的是想法的來源是由學生來提供。

Chen 等人(2017)的分析架構儘管是在科學論證課堂師生互動過程中關注教師的角色內涵,

然而本研究的臆測教學也是關注在引發數學論證發生的教師角色,兩者均關注的是課堂中引發 學生論證發生的教師角色,所不同的是由於本研究是在數學臆測教學模式脈絡下的論證課堂。

五個階段各有其師生共同建立的教學規範,例如;造例階段著重在小組資料單的分類及彙整,

而效化階段著重在小組猜想的歸類及彙整,因此本研究的分析架構考慮了臆測教學每個階段的 教學行為,將擴充 Chen 等人的分析架構增加為三個維度:臆測五個階段、活動擁有權、想法擁 有權。

相對於傳統的講述式教學,臆測教學主要是以學生為主體來進行,讓學生能在活動中進行 論證,因此目前有關數學臆測教學的相關文獻,多聚焦在探討學生的部分,分析學生在臆測活 動中的論證品質(林碧珍,2015;林碧珍,2016;Lin, 2018),然而,臆測教學的過程中,師生 的互動相輔相成,並非讓單純地學生執行就能達成,需由老師從旁予以協助,學生才得以順利 完成臆測任務。經常見得剛接觸臆測教學的教師及已經執行多年的教師之間,儘管是使用相同 任務流程和素材,但學生猜想的品質差異甚大,致使本篇期能探究臆測專業教師對學生的互動 細節。

協調者角色由教師主控活動並由學生主導想法,是現場教師較容易產生共鳴的師生互動方 式,臆測教學中教師是如何透過有架構的提問使學生提高臆測的品質,學生產出的臆測內容又 因此有哪些改變,是本篇想探討的,故本文先以教師是扮演協調者的角色進行教學分析。

參、研究方法

一、研究方法

本研究採個案研究,實地進入課堂中進行觀察,在完整的情境脈絡下,藉由觀察與分析獲 得資料,深入瞭解教師在臆測教學中的教師角色內涵,探討教師教學的獨特現象。在蒐集資料 前,充分考量影響因素再行蒐集資料,事先了解教師的背景,當進行資料分析與描述時,先對 教師的行為與情境完整的了解。以課堂教學觀察法進行資料蒐集;資料收集完成後,用多元資

(17)

料進行分析與歸納,以進行來源的三角校正。解讀及解釋資料時盡量關照及還原當時課堂真實 現象,以教學影片中師生互動的脈絡、語氣進行行語句之判斷,盡量降低詮釋時的誤解。本研 究以質化資料呈現個案教師在數學課堂的教學行為特徵,質化的個案研究是本研究的研究方法。

二、研究對象

本研究的研究對象是任職於新竹市某中型公立小學有 31 班級規模的一所小學的六年級班 級菁菁老師及班上的 24 位學生,其中男生 12 人,女生 12 人。由於本文目的是要提供一個素養 導向的數學課堂教師有效扮演協調者角色的教學行為的範例,以利培養學生的數學素養,尤指 數學論證。所以研究對象採立意選樣,需要選擇一位數學臆測的任務設計與教學實務能力的資 深教師作為觀察對象。菁菁老師教學年資 28 年,具數理教育碩士學位,參與本文第二作者林碧 珍主持的科技部臆測教學團隊研究計畫,將數學臆測活動融入數學教學中已有七年的經驗,其 數學臆測的任務設計與教學實務,在研究團隊扮演領航的角色,不僅支援團隊中其他教師往前 拓展而且是被諮詢的對象,這些指標顯示菁菁老師在臆測教學具有相當水準的熟練度。

臆測教學研究計畫旨在協助教師設計臆測任務並實施數學臆測教學。研究團隊中的教師每 學期須進行一至二次的臆測任務設計與實踐於課堂,教學的前置作業包含了教材分析、設計有 理論背景的臆測任務、報告教學計畫與修正,並於教學後撰寫臆測教學模組初稿。菁菁老師的 教學將全班四人小組採異質性分組成 6 組,其中班上有 4 位學生中年級是菁菁老師班上學生,

已接觸過兩年的臆測教學。從教學歷程來看,菁菁老師的教學是採用臆測教學的教學模式,依 照造例、提出猜想、效化、一般化及證明的五個階段進行臆測教學。為了創造數學課堂中充滿 著論證的聲音,將數學課室經營成為學生的討論社群,課堂中的結論並非取決於教師的權威,

而是由學生自主地相互辯證、論述與推理來達到的共識,從教學特徵來看,菁菁老師對本研究 而言實屬合意的抽樣對象。

三、資料蒐集與分析

非參與觀察法(nonparticipant Observation)是本研究蒐集資料的方法。本次蒐集資料的單元 是六年級上學期第一單元質因數分解與短除法,這個單元總共進行 9 節課,前 3 節是基本的質 因數概念建立,因非臆測活動,故不納入資料蒐集的範圍,本研究蒐集之資料從第 4 節至第 9 節,臆測活動進行 6 堂課,共 243 分鐘。每次資料蒐集時,教室都會架設攝影機及錄音筆。該 班學生由於是科技部研究計畫的參與班級,經常作教室觀察,觀察員或攝影機成為是教室中自 然存有的人與物,為了能使研究對象及班級都能在最舒適、自然的情況下被觀察以得到最自然 且真實的資料。數學課堂全程錄影、錄音蒐集資料並記錄觀察師生的課堂討論、肢體與反應的

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隨手筆記。全班討論時攝影機置於教室後方拍攝上課全景;當進行小組討論或個別造例時,則 走近小組拍攝教師其與學生的互動過程,以錄下詳實小組討論的對話內容。

本研究透過原始教學影帶的分析來進一步歸納和概念化課堂中的現象,資料分析時依照話 語的意義來決定分析單位,因此本研究以言談(utterance)作為分析單位,言談意即一段話語中 只有一個想法或概念,也就是依照話語的意義來決定單位。當表達連貫的語意時,會算成同一 個單位;當一連串的話語中,句子表達的意思不同,則會計算成多個個別的分析單位,例如「好,

有沒有人要表達自己想法?這在你們的想法,在你們、你們是支持還是反駁?有沒有在你們什 麼地方不成立的?」三句話在教學流程中教師雖然是接連著說,但第一句旨在在開放徵求學生 提供猜想,而第二句詢問小組的立場同意與否,第三句則需請學生關注彙整單找出反例。三句 話語意均不同,故被判定為三個單位。

本研究的分析架構包含三個維度:X 軸和 Y 軸採用 Chen 等人(2017)的架構,以活動和想 法為兩軸,擁有權是教師或學生,而形成四個象限,每個象限特徵化教師的不同角色和教學行 為。本研究增加 Z 軸,代表的是臆測教學五個階段,期能在臆測教學各個階段觀察教師的比重 變化,然因臆測階段的進行僅有正方向,無負方向,故 Z 軸方向僅有正軸,如圖 1。

1 臆測教學下教師角色分析研究架構

依研究架構發展編碼系統來分析教學原案,將臆測階段、教學行為及角色別以符號做代表 形成編碼表:第一碼為階段由造例 C1、提出猜想 C2、效化 C3、一般化 C4 到證明 C5;第二碼

(19)

為教師的角色:參與者 P、教練 C、分派者 D、協調者 M;第三碼為該角色中的行為號碼(1~3),

辨認行為(M1)的目的在於教師透過問話徵求學生表示立場或讓學生釐清自己的想法;比較行 為(M2)教師目的在於徵求學生關注內容的共同點或相異處;整合行為(M3)教師徵求學生將 想法分類、彙整(Chen et al., 2017)。

當分析單位確定後,將判別不同的教師行為,進行編碼和次數統計,編碼的依據根據 Chen 等人(2017)所產出有關教師行為的描述作為分析標準,有關教師是協調者角色的教學行為編 碼及提問範例如表 1。

1

效化階段的協調者角色和教學行為及提問範例

效化階段的協調者角色

教學行為 目的 提問範例

辨認

(M1)

徵求學生表示立場。 為什麼你同意他們的想法?

徵求學生釐清自己想法。 這個想法是要看誰和誰的關係?

比較

(M2)

徵求學生關注於內容的異同。 這兩種想法有哪裡不同?

有沒有發現這些跟這些之間有什麼樣的關係?

整合

(M3)

徵求學生統整各種想法。 如果要把這麼多想法分類,可以分成幾類?

徵求學生歸納繁雜的資訊,進行歸類或彙整。 這兩個想法我們要用哪一個想法當做代表?

本次研究進行六堂課(共 243 分鐘)的教學原案分析,共統計出 1756 個言談。為提昇資料 分析者的信度,本研究採用三角校正法來檢核研究的信度,將錄影檔轉錄為逐字稿後,將其中 一堂課的逐字稿由兩位具有數理教育背景的研究者進行分析,給予兩位評估者分析標準,並用 口頭介紹一次,確認評估者已了解分析架構和標準,才由評估者觀看錄影檔和逐字稿各自進行 分析。分析完成後進行兩位評估者編碼結果的交互比對,透過交互比對,單位擷取中評分者之 間約有 10% 單位相異,針對相異的部份進行反覆討論,直到達成共識為止。接著再各自為第二 份逐字稿進行編碼,再比對與討論。編碼相異的部份則經兩位評分者進行反覆討論,直到達成 共識為止。

四、研究脈絡

在臆測教學中教師的言談 1756 次中,扮演角色的頻率由高到低分別是參與者 438(25%)、

教練 283(16%)、分派者 883(50%)、協調者 152(9%)。協調者角色敬陪末座,只佔了 9%,

也就是在臆測教學教師最常扮演的角色是主控活動和主控想法,教師最少扮演的角色為教師主 控活動但由學生主導想法。

(20)

造例階段及提出猜想階段最重要的目的是讓學生執行操作及彙整的任務,教師最常以分派 者和參與者的角色,說明臆測教學規範時,是以分派者的角色直接向學生說明,一旦進入個人 或小組猜想時,菁菁老師便轉換為參與者的角色將活動和想法的擁有權交還由學生自己主導。

效化階段及證實階段是臆測教學中較為複雜的階段,需要學童理解他人的猜想,證實階段更要 進行演繹推理,因此,效化階段及證實階段教師擔任分派者角色比例較高(均為 51.2%);一般 化階段較短,因此教師介入的次數較少,其中又以教練(50%)挑戰的行為為主。

2

臆測教學五個階段教師扮演的四種角色次數

臆測教學階段 參與者 教練 分派者 協調者 總數

造例 19(12.8%) 5( 3.4%) 124(83.8%) 0( 0.0%) 148 提出猜想 125(32.2%) 89(22.9%) 139(35.8%) 35( 9.0%) 388 效化 183(25.1%) 102(14.0%) 373(51.2%) 71( 9.7%) 729 一般化 2(12.5%) 8(50.0%) 4(25.0%) 2(12.5%) 16 證實 109(22.9%) 79(16.6%) 243(51.2%) 44( 9.3%) 475 合計 438 283 883 152 1756

肆、研究結果

雖然協調者在各個階段的比例都甚少,但協調者的角色在臆測教學的重要性卻不容小覷,

當更進一步以質性的角度分析協調者角色時,可以從學生學習的前後脈絡,看見協調者的行為 對學生進行論證的影響。表3是在不同臆測教學階段以協調者身分介入的152次中的三種教學行 為的行為比率。

表3資料顯示在臆測教學中,菁菁老師最需要以協調者角色介入的教學階段,是在效化階段,

介入了71次/152次,占了47%,其次是證實階段和提出猜想階段,分別介入了44次和35次,佔了 29%及23%。

而以協調者角色的介入的三種教學行為中,三種教學行為出現的頻率百分比中,以徵求學 生進行比較猜想的異同最高,62次(41%);其次是徵求學生辨認想法的意義共有52次(34%);

頻率最少的是整合,計有38次(25%)。

(21)

表 3

教師在不同臆測教學階段扮演協調者角色的教學行為次數 教學行為

臆測教學階段

協調者 辨認 合計

次數 (%)

比較 次數 (%)

整合 次數 (%)

造例 0 0 0 0

提出猜想 3( 2.0%) 27(17.8%) 5( 3.3%) 35(23%)

效化 30(19.7%) 21(13.8%) 20(13.1%) 71(47%)

一般化 2( 1.3%) 0 0 2( 0%)

證實 17(11.2%) 14( 9.2%) 13( 8.6%) 44(29%)

合計 52(34.0%) 62(41.0%) 38(25.0%) 152 以下將分別描述在臆測教學各階段中菁菁老師以協調者介入的教學行為內涵:

一、造例階段的教學行為

造例階段的主要目的是創造資料,整理和彙整資料。在造例階段,菁菁老師不以協調者的 角色介入學生的學習,造例階段協調者角色的佔比為 0%,然而從造例階段的活動目標去思考即 不難理解其原因:造例階段是讓學生製造例子,而協調者的教學行為如辨認、比較、整合需要 以學生的猜想作為素材,才能有立場進而比較及整合,故在造例階段教師幾乎不以協調者的角 色介入,而是著重於扮演引導學生操作和鼓勵支持學生的角色。

二、提出猜想階段的教學行為

在提出猜想階段的教學中,教師擔任協調者進行比較行為有助於學生看到更豐富的數學關 係。諸如以下的教學對話舉偶,菁菁老師徵求學生比較以「你覺得質因數跟這邊有什麼關係,

這邊跟質因數有什麼關係,每一個這邊跟這邊有什麼關係」(行 62)介入,幫助學生關注兩數 與最大公因數的質因數分解之間的數學關係。學生開始關注到彙整工作單中欄與欄之間的共同 點,因為察覺到共同點就有機會讓學生逐漸發現規律、提出猜想。

62 教師 你覺得質因數跟這邊有什麼關係,這邊跟質因數有什麼關係,每一個 這邊跟這邊有什麼關係,有發現嗎?

63 25 號 都有這個 64 教師 那叫什麼

(25 號回應模糊)

65 教師 這個咧?

66 25 號 它是質數 68 教師 所以呢

69 6 號 我好像又找到了

70 教師 好,你找到什麼,你說一下 (1070907 錄)

又如當教師不斷聚焦於數字的共同點,問道:「都沒有發現規律性?」「這些的質因數分解 有沒有什麼關係?」,以幫助學生看見數字間的共同點,老師請學生觀察後提猜想,當學生卡

(22)

住的時候,提供依循的架構給學生參考,學生能在老師提供的架構下,尋找共同點的方式提出 想法。

265 教師 來,它們的質因數分解都是怎麼,沒關係,盡量找,你盡量找,來,

它的這個跟它的,來,這 2 個數的質因數分解,這個跟這個有沒有什 麼規律性,有沒有什麼規律性?(學生未回應)

266 教師 有沒有發現?都沒有發現規律性?

267 教師 來,看看,這些的質因數分解有沒有什麼關係?

268 學生 都會有這個

269 教師 對啊,就可以寫啊,那還有...

(1070907 錄)

臆測教學中討論的主要內容都是從學生猜想而來,而學生猜想都在此階段產出,猜想數量、

品質都會直接影響接下來的各個階段,也就是說,提出猜想階段的重要性不容小覷。當學童缺 乏經驗觀察,或彙整單的資訊量較大,教師適時扮演協調者角色介入,對學童的產出有直接的 幫助,對臆測活動的整體品質也有直接的影響。

三、效化階段的教學行為

在效化階段的教學中,教師均有進行辨認、比較和整合的行為來協助活動進行。當菁菁老 師徵求學生進行辨認時,主要目的是在幫助學生表明立場,菁菁老師經常會以徵求學生表達立 場(行 81) 的介入方式,協助學生主動質疑、批判、反駁、支持。表達立場需要充足的理解及 批判的思考後才能提出,如果猜想不夠完善,學生也可以提出修正的意見。例如,當學生認為 8 號提出的猜想不夠完整,應該要將「任意選兩個數」數擴充成「任意選三個數」相乘也可以成立

(行 86),此時菁菁老師會以順著學生的意思介入,增加內容或刪除內容來協助修改猜想。

61 8 號 任意選兩數相乘,得到的積會是某數的因數。

62 教師 得到的積、會是...好。 ...

77 教師 請問,同意嗎? (學生點頭)

78 教師 同意,好。都OK?

79 教師 好,有沒有人要表達自己想法?

81 教師 這在你們的想法,在你們、你們是支持還是反駁?

82 教師 有沒有在你們什麼地方不成立的?(學生搖頭)

83 教師 好,謝謝浚翔

84 教師 有沒有在你們不成立的?(學生搖頭)

85 教師 好,請問,已經這裡有講一個,任意選兩個數。

86 8 號 三個數。

87 教師 三個數也可以嗎?

88 學生 可以。 (1070910 錄)

效化階段的目標是確認猜想在所有例子中都是成立的,一個猜想能不能成為全班猜想,需 要經過全班的驗證,並經過全班的同意,因而在效化階段會充分地讓學生說明立場-同意或不 同意。然而,學生的學習習慣多半都不會去檢驗台上同學提出的想法,通常是聽完就接受了。

所以辨認行為在此階段有其重要性。

(23)

除了辨認行為之外,各組猜想的歸類也在此階段是重要的任務之一,教師透過比較行為進 行猜想的歸類。當教師徵求學生進行比較時,能使學生聚焦猜想的前提條件,以利正確分類。

當某一組學生報告完一個猜想後,要進行歸類,和全班檢核是否歸類正確,這個過程就需要教 師不斷聚焦到猜想「是否相同」,才能順利完成歸類,比較並確認認為相同的各組想法。例如,

在 10 號學生提出一個猜想「兩個數只要有公倍數關係,它們的質因數分解都會有一樣的數字。」

後進行了一連串的討論,有許多組別也提到相同的猜想(其他組的發表對話過程在此部份暫不 呈現以避免失焦),經過解釋,老師把這個猜想的前提(兩個數只要有公倍數關係)拉出來談

(行 127),為的是幫助後續其他組別歸類猜想。後來歸上來的猜想也會一樣先檢查前提是否相 同(行 193),再詢問學生整個想法是否相同(行 213)。

127 10 號 兩個數只要有公倍數關係,它們的質因數分解都會有一樣的數字。 177 教師 好,來,它的條件是什麼?

(全班多處有回應)

178 教師 兩個數有倍數關係,這個是我們的條件,

179 教師 那看到什麼關係?(全班多處有回應)

180 教師 他的兩個質因數分解裡面會有相同的算式,對不對?(學生未回應)

181 教師 會有相同的質因數相乘的算式,對不對?(學生點頭)

182 教師 好。還有沒有(相同的猜想)?

183 學生 有。

184 教師 有,對。不要說沒有哦,因為老師都幫你們整理出來 185 教師 哪一組還不曉得自己在寫什麼?

(5 號走上台)

186 教師 來,你們看這一組,來,哲慶 ,你講的是用哪一個例子來。

187 5 號 兩數公倍數的質因數分解,會有一些相同,這是15=3*5;45=5*3*3,

這乘數又等於公倍數45。都有、他們都有相同的... 。 188 教師 你們拿錯張,你們這個不是拿這一個吧

189 教師 你們的什麼?對啊,拿錯了,你看,歸錯了,拿回去。沒有認真聽。

來第幾個?

190 5 號 第二個。

191 教師 對啊,所以,要罵誰?你啊。來,上來。

(11 號走上台)

192 11 號 只要某一個數和另一個數,如果是它的倍數。

193 教師 請問,這條件有沒有一樣?

(部分學生點頭)

194 教師 你看,只要某一個數和另外一個數如果是它的倍數…

195 教師 你看我們昊子(10 號)寫的多好,你寫這麼長,其實就是什麼?

(學生多處回應)

196 教師 兩個數只要是公倍數關係!

197 教師 語文程度馬上就知道了,對不對?來,可是下面來(教師用手指示意 請學生繼續說)

198 11 號 那兩個數就一定會有兩個公因數。 213 教師 那這兩個,是相同的想法嗎?

214 學生 不太一樣….差不多….。

215 教師 一個是講會有相同的質因數分解的算式,對不對?

(1070906 錄)

(24)

當在確認猜想是否要歸到某一類時,菁菁老師以先聚焦於比較猜想的「前提條件」的介入 方式(行 193),讓學生了解比較前提條件是命題之間最關鍵的部分。在效化階段,菁菁老師協 助學生先關注到前提條件的比較,學生了解到若「前提不同」就無法反駁,「前提相同」才能繼 續比較後面所描述的性質是否也相同。當學生被問「兩個想法相同嗎?」,學生會先聚焦在「猜 想的前提相同嗎?」再關注於「猜想的性質關係相同嗎?」。

歸類完猜想後,下一步即是整合出一個代表性的猜想作為全班猜想,因此在效化階段,當 進行猜想歸類之後,菁菁老師會徵求學生從多個類似的猜想中選出或整合出一個最完整、最具 代表性的猜想。此時學生經常從字體大小、整齊程度、有無舉例說明、用詞是否容易理解,作為 評斷依據,來評估猜想間的優劣。

42 12 號 最大公因數除了質數和1,它們的質因數分解有的算式都會出現在最 小公倍數質因數分解的算式上,也和兩數的質因數分解有關係。 ...

65 教師 好,有沒有同學有寫到這個想法?請拿出來。[學生進行猜想歸類] ...

102 教師 最小公倍數做的質因數分解都有在兩個數的質因數分解中出現,一樣 嗎?(學生搖頭)

103 教師 它只是反過來講,對不對?(學生點頭)

104 教師 兩個數的質因數分解,都出現在最小公倍數的質因數分解裡面,是不 是一樣的?(學生點頭)

105 教師 來,看這個。兩個數最小公倍數質因數分解之後,會是兩個質因數分 解合起來。

106 教師 這一個,講的跟他們的、有點不太一樣,差別在哪裡?

107 教師 前面是講什麼?

108 12 號 出現。 ...

115 教師 啊這邊講什麼?

116 12 號 合起來。

117 教師 請問合起來和出現有一樣嗎?

118 12 號 沒有。

119 教師 什麼是出現?什麼是合起來? ...

126 教師 來,我們來解釋、讓他解釋一下,他認為的合起來。

(1070911 錄)

從語料中可以看出學生在整合之前需要理解並掌握每一個猜想之間的差異性,針對猜想中 描述的語詞,如「合起來」、「出現」等不同用詞(行 108, 119, 126),讓學生先做解釋,確認 全班都理解後,再讓全班共同決定全班猜想的描述方法要使用哪一種,這樣的整合過程就不會 是貿然的評斷,也不是指透過寫字的美醜、字體的大小而定,而是基於數學的理解做更有價值 的評估。

辨認、比較和整合在效化階段都各自有重要的功能,菁菁老師會在不同時機交錯介入,協 助學生建立效化階段的教學規範。

(25)

四、一般化階段的教學行為

一般化階段中,教師鮮少扮演協調者角色,唯獨在詢問立場時,會運用到辨認的行為,學 生大膽假設該猜想是一個恆真猜想之前,必須去設想所有的情況,再給予肯定的立場。由於,

一般化階段的目的是要將每一個猜想推論到所有例子,學生不需要提出證據,只需要大膽假設,

或將猜想增加限制條件來讓猜想排除掉被反駁的可能性,因此,在此階段,菁菁老師扮演較多 的角色是教練,挑戰猜想,讓學生主動去檢核猜想的適用範圍,並將猜想加入更多限制條件,

較少扮演協調者的角色。雖然一般化階段過程很短,但在論證的歷程中卻不可或缺,學生在短 短的過程中經歷複雜而嚴密的思考。

五、證實階段的教學行為

證實階段是臆測教學最後一個階段,目的在於讓學生運用已知的數學知識進行演繹推理。

對學生來說,用演繹推理來確認猜想的合理性是困難的,需要在證實之前先進行證實脈絡的整 理。在臆測教學脈絡下,從同構的數據資料中所提出的猜想往往都會有些關連。菁菁老師經常 在證實猜想前會介入,徵求學生先做整理,了解各種猜想間的包含關係。

在證實階段的一開始,比較行為有助於從猜想的前提條件或猜想的意義來篩選出猜想之間 的包含關係或支撐關係,或是無法融入其他猜想的獨立猜想(行 365)。

365 教師 有沒有哪一些是比較特別的想法,是獨立的,跟別人沒有關係的?

366 教師 這邊1 到 12 有沒有哪些是它都不會跟別人有一樣的?

367 學生 12。

368 教師 12!?

369 教師 看前面那邊有沒有不會跟別人一樣,它自己是獨立的?

370 學生 1。

371 教師 1 為什麼是獨立?

372 學生 因為它是講質因數分解。

373 教師 其它也講質因數分解啊?

374 學生 因為它是講它的分解。

375 教師 它是講質因數分解跟什麼?

376 學生 因數。

377 教師 從質因數分解講因數,

378 教師 好!再來!還有誰?

379 學生 4

380 教師 4 為什麼是自己獨立?

381 9 號 它在講奇數、它在講奇數分解。

(1070914 錄)

找出獨立的猜想意味著那些猜想是需要被單獨證明的,剩餘的想法則是屬於有共同點、可 以分類的,透過比較想法之間相似之處,可以再做分類整理,如教師提問「好!那你們覺得哪 一個地方,那感覺你們不覺得這兩個很像?」(1070914 錄-行 105),當猜想間有共同的前提,

就有機會能夠放入相同的證明脈絡之中。

參考文獻

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