行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
計畫類別： ＊ 個別型計畫 整合型計畫 計畫編號： NSC 90-2416-H-002-004 執行期間： 90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日 計畫主持人：郭震坤 共同主持人： 計畫參與人員： 本成果報告包括以下應繳交之附件： 赴國外出差或研習心得報告一份 赴大陸地區出差或研習心得報告一份 出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份 國際合作研究計畫國外研究報告書一份 執行單位：國立台灣大學國際企業學系 中華民國 91 年 10 月 31 日銀行債券組合 VaR 的統計分配與波動性
The Statistical Distribution and Volatility of Bond Portfolio VaR
for Banks
摘要
由於金融機構傳統的資產負債管 理（ALM）應用歷史成本以及依賴長 期預測，較難對市埸的波動性作有效 的因應，RiskMetrics （1996）提議一 個依市埸波動性估計來計算損失估計 值的觀念，此即風險值（Value at Risk， VaR）。一般而言，VaR 用來管理短期 (1-10 天)的市埸風險。 VaR 計算方法傳統上有歷史模擬 法、變異數–共變數法(VC)、及蒙地卡 羅模擬法(MC)等三種方法，但各機構 之作法亙有差異。此三種方法之相同 點在對正常情況下的報酬率分配作假 設。相對傳統方法而言，新近發展的 極值理論（EVT）法偏重報酬率極端 值的分配。 本研究以 Vlaar（2000）所提 VaR 計算方法之比較架構，結合 Login （2000）提出之極值理論 VaR 模型， 檢測本國銀行固定收益資產組合之特 性，試尋最適本地市埸之 VaR 計算方 法。本研究參考 2000 年 12 月 31 日國 內公私立銀行資產組合中的票券/債券 比例，及台灣 1993 年 10 月 1 日至 2002 年 4 月 30 日之資料進行各種 VaR 值的 計算，比較不同的 VaR 計算方法。研 究顯示，在變異數隨時間變化的設定 下，大部分結合變異數–共變數法與蒙 地卡羅模擬法(VC-MC 組合法)的分配 假設，以及 EVT 法，都可應付實際的 風險值要求。單純的 MC 及 VC 計算 方法則會有低估現象。此外，本研究 也發現較複雜的 GARCH 模型似未較 能描述研究期間的利率波動性。 關鍵詞：變異數–共變數法，蒙地卡羅 模擬法，極值理論Abstract
Traditional Asset and Liability Management (ALM) uses accrual accounting rather than marking all positions to market. Another criticism comes from the reliability of long term forecasts used in ALM. Due to the alleged deficiencies, Value at Risk (VaR) was proposed as an alternative to ALM. VaR estimates the implied changes in portfolio value by the estimated portfolio volatility. In general, VaR is used to manage short-term (1 - 10 days） market risk.
There are three basic methods for computing VaR measures: historical simulation, variance-covariance matrix (VC), and Monte Carlo simulation (MC) methods. However, banks are permitted to use combinations or variations of these methods for VaR reporting. This research combines the Vlaar (2000) framework to compare various VaR computing methods, and Login (2000) proposal to apply EVT to VaR
estimation, to identify the proper assumptions and parameters
specification for the VaR computing in Taiwan. The extreme value theory (EVT) method is based on the distribution describing only the behavior of extreme returns.
Using the actual portfolio weight held by local banks on December 31, 2000, and data from October 1, 1993 to April 30, 2002, we find that for models with time-varying variances, methods that combine variance-covariance and Monte Carlo methods, as well as EVTmethod, provides better results. Simple VC or MC method leads to under-estimation of VaR. Furthermore, we find that the more complicated GARCH models seem unable to completely capture the interest rate volatility over the studying period.
Method, Monte Carlo Simulation, Extreme Value Theory
研究報告
VaR 計算方法傳統上有歷史模擬 法等三種方法，共同點在於對正常情 況下的報酬率分配做假設。相對傳統 方法而言，EVT 法偏重報酬率極端值 的分配。EVT 雖早於 1928 年即為 Fisher-Tippett 所提出，但直至 Login(2000)才應用在 VaR 的計算上(有 關 EVT 的理論及實證文獻整理，詳見 Coronado(2001)的說明)。本研究以 Vlaar（2000）所提 VaR 計算方法之比 較架構，結合 Login（2000）提出之極 值理論 VaR 模型，檢測本國銀行固定 收益資產組合之特性，試尋最適本地 市埸之 VaR 計算方法。 本研究對於利率預期模型的假設 有以下兩種： (1) Random Walk 假設r
it為時間 t 資產 i 的票券或公 債利率，其中 I = 1 - 8，則 it t i it r r ,1 ， 其中εit隨不同的分配假設而異，但 其變異數為σ2it。為方便起見，以下若 利 率不限定是某資產 i 時，則不註下 標 i。 (2) AR(1) rit ri,t1 it， 其中θ為自我相關係數， 1 , , rit rit rit 。 對於變異數的分配則有以下假設： (1) 常態分配 Naïve 變異數 it 2 的估計方法為直接計算過 去 250 天(約 1 年)利率變動的變 異數，不作加權平均。 (2) 平滑法 decay factor 為 0.97 與 0.94 2it 0.972i,t10.032i,t1 2it 0.942i,t10.062i,t1 (3) 常態分配 n_GARCH(1,1) 2t 2t1 2t1 t tut,u
t~N(0, 1)
(4) t 分配 t_GARCH(1,1) 2t 2t1 2t1 t tut，u
t~
t(0, v)，
v 為自由 度，本文將參照 Vlaar 將 v 設為 5。 由於 t-GARCH 的估計較為複雜，因此 本研究在 t-GARCH 的模擬參數值比照 Gaussian-GARCH, 在隨機項才以 t 分 配模擬。VC-MC 結合法
在 VC-MC 結合法的 VaR 計算方 面，Vlaar 首先模擬 10 天以來各資產 利率的變化，則資產 i 的模擬 1 天利率 變化為 △rˆ =t ˆtr r 其中 為期望值r r之 Gaussian 或 t 機率分配，r以最近 250 天之平 均△r 估計。 是從假設之機率分配r 所模擬而得。時間 t 時之持有期間 1 天總資產損 益變化為: － G&L(t) = ATΩA (因利率上揚為資產損失，故加負 號) AT = [ rˆr1× w1 rˆr2 × w2 ... 8 ˆr r × w8] 其中ˆ 表利率 i 之模擬 1 天利率rri 變化，I = 1 ~ 8， Ω為一 N×N 矩陣，N 為資產種類, 在本研究 N = 8。其中矩陣元素(j, k)為 不同資產利率變動的相關係數。因此 不同的利率模型會有不同的相關係數 矩陣。 定義 G&L(10day) = ΣG&L(t) VC-MC 法的 VaR 即為 250 天 G&L （10day）排序數列之 1%值。
一般 EVT 理論
EVT 模型的極值機率分配有三種 形式：Gumbel(第一類)、Frechet(第二 類)、與 Weibull(第三類)。在 VaR 的應 用上目前都假設為 Frechet(第二類)機 率分配。 假設 r 為利率資產之損益變化，x = (r – β)/α，其中β為 location 參數，α 為 scale 參數。 則 x 的累積機率函數 CDF 為: F(x) = {1- exp[-1(1+ kx)1/k] ， if x < -1/k {1 ， otherwise x 機率密度函數 pdf 為 f(x) = (1+ kx)1/k –1 - exp[-(1+ kx)1/k] ，若 k ≠ 0 r 的機率密度函數 pdf 為 k k r k r k r f / 1 1 / 1 ) ( 1 exp ) ( 1 1 ) ( if k≠ 0 Frechet 機率分配有三個參數需要 估計，shape 參數 k、location 參數β、 以及 scale 參數α。在本章中利率模型 假設 RW 對以上三種參數作估計。K 的非參數估計法有 Hill(1975)及 Pickands(1975)兩種方法，本研究採用 Hill 估計法(參考附錄一)。location 參 數β、scale 參數α的估計用 MLE 方式 (參考 Tsai, Times series of Financial Market(2002))。在求出參數α，β，k 之後，則 VaREVT(i) =
} )] 1 ln( [ 1 { n p k k ， I = 1 - 8， 即八種利率各算出一 VaREVT值。
VaR(i) = VaREVT(i) × wi
則 EVT 法的 VaR 值為 VTΩV。
其中 VT
=[ VaR(1) VaR(2) VaR(3) ... VaR(8)]，VaR(i)表示資產 i 之 VaR。 本研究資料範圍為 1993 年 10 月 1 日至 2002 年 4 月 30 日之 10、30、90、 180 四種 CP(商業本票)初級市場利 率、以及 2、5、10、15 年四種天期公 債利率。由於 15 年期債券至 1995 年 發行，因此之前的資料訂為 10 年期債 券利率固定加碼。由以上利率模擬 8 種利率之資產組合,計算持有期間 10 天信賴區間 99%的 VaR。我們以 Vlaar 所用的資產組合法，以該資產的利率
變動幅度乘上權數為該資產的損益。 當利率走向與八種利率資產反向時,例 如利率皆反向變動 100bp，則資產損失 為$100。但和 Vlaar 不同的是本研究固 定八種利率資產的權數若屬貨幣市場 則為 5%，若屬債券市場則為 20%，主 要是考慮存續期間及資產組合平均分 配。而 Vlaar 的權數是以模擬 25 組資 產而得。 本研究以 2000 年 12 月 31 日的國 內一般銀行的資產組合中的票券/債券 比例，得出高、中、低三個比例：6、 3.5、2.5。配合票券與債券存續期間的 不同，將資產組合分配金額分為 wH、 wM、wL 三種組合： wH = [w1,w2,…,w8] = [$5 $5 $5 $5 $20 $20 $20 $20] wM = [$2.7 $2.7 $2.7 $2.7 $22.3 $22.3 $22.3 $22.3] wL = [$2 $2 $2 $2 $23 $23 $23 $23] 故當 10 天期利率上揚 10bp，2 年 期債券利率下跌 15bp，其餘資產利率 不動時，則此資產組合 wH 之損益變 動為： $5 x (-0.10) + $20 x 0.15 = -$3.5(元)
實證結果
各種方法所計算的 VaR 值如下:VaR 方法 利率模型 變異數模型 VaR-H VaR-M VaR-L
實際值 40.853 33.029 30.870 歷史模擬法 46.371 36.633 34.014 Naive 31.658 23.785 22.028 Decay 因子 0.97 28.618 21.441 23.788 Decay 因子 0.94 27.021 20.538 22.838 n_GARCH 22.073 16.661 15.328 RW t_GARCH 26.465 19.906 18.327 Naive 31.986 24.073 22.252 Decay 因子 0.97 28.794 21.771 20.168 Decay 因子 0.94 27.294 20.876 19.375 n_GARCH 21.396 16.385 15.016 VC 法 AR(1) t_GARCH 25.654 19.570 17.957 Naïve 28.197 20.544 18.829 Decay 因子 0.97 24.598 18.163 16.741 Decay 因子 0.94 23.104 17.232 15.941 n_GARCH 18.554 13.924 12.735 RW t_GARCH 25.921 19.550 18.049 Naive 28.920 21.342 19.336 Decay 因子 0.97 25.291 18.861 17.23 Decay 因子 0.94 23.684 17.667 15.981 n_GARCH 26.991 20.979 19.51 MC 法 AR(1) t_GARCH 29.884 23.281 21.807 RW Naïve 41.290 30.290 27.959
Naïve 41.290 30.290 27.959 Decay 因子 0.97 46.117 35.305 32.711 Decay 因子 0.94 50.802 39.515 36.887 N_GARCH 55.435 40.782 38.033 T_GARCH 76.030 57.903 53.671 Naïve 39.786 30.850 28.078 Decay 因子 0.97 45.233 36.158 33.076 Decay 因子 0.94 49.565 40.335 35.979 n_GARCH 61.068 47.022 43.575 結合法 t_GARCH 81.965 60.656 56.312 極值法 49.081 34.714 31.391
註：VaR_H 表示高票券比例之資產組合 VaR 值，VaR_M 表示中票券比例，VaR_L 表示低票券比例。
以上結果之說明如下：
一、由於傳統 VaR 的方法是基於特定 假設下的一般報酬率分配，而極值理 論(extreme value theory，EVT)的 VaR 則是在基於特定假設下的極端值報酬 率分配，因此一般而言，EVT 法會有 較大的 VaR 值。由實際結果也發現， EVT 法較它三種傳統法為佳。 二、Vlaar 提出的 VC-MC 結合法的 VaR 值隨變異數模型的假設差異很大，但 除 RW 的 Naïve 模型外，結合法的 VaR 值都能應付實際風險值需求。且部分 模型假設之 VaR 值還較 EVT 值為大， 但也遠大於實際風險值，使得金融機 構計算過多的市場風險。 三、進一步分析 VC-MC 結合法結果， 變異數模型採用簡單的 J.P Morgan RiskMetrics 方法，即 decay factor 固定 0.97 或 0.94 即可應付實際風險值。且 從實證結果的參數可發現，台灣利率 變動不適合以 GARCH 模型來 model， 因此不必採較複雜的 n_GARCH 甚至 t_GARCH 模型。
參 考 文 獻
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