第 9 章 質點系統(習題詳解)
10.一粒靜止不動的爆米花粒在熱鍋上爆成兩塊，質量分別為 91 mg 與 64 mg。
若較重的一塊以水平速率 47 cm/s 移動，試描述另一塊的運動。
解:
初狀態
𝑚 = (91 + 64)mg = 155mg
末狀態
初動量=末動量 𝑚𝑉⃑
0= 𝑚
1𝑣 ⃑⃑⃑⃑ + 𝑚
1 2𝑣 ⃑⃑⃑⃑
2𝑣 ⃑⃑⃑⃑ = −
2𝑚
1𝑣 ⃑⃑⃑⃑
1𝑚
2= − 91 mg × 47 cm/s 𝑖̂
64 mg
= −67 cm/s 𝑖̂
11.一個 150 g 的惡作劇棒球以 60 km/h 的速率投出，在飛行過程中爆炸分成 兩個部分，其中一個質量 38 g 持續以 85 km/h 的速率向前移動，求這些破 片在爆炸中獲得多少能量？
解:
初狀態
末狀態
動量守恆 𝑚𝑣
0= 𝑚
1𝑣 ⃑⃑⃑⃑ + 𝑚
1 2𝑣 ⃑⃑⃑⃑
2=> 𝑣 ⃑⃑⃑⃑ =
1𝑚𝑣
0− 𝑚
2𝑣 ⃑⃑⃑⃑
2𝑚
1= 0.150 × 16.67 − 0.038 × 23.61
0.112 m/s 𝑖̂
= 14.32 m/s 𝑖̂
初動能𝐾
0=
12
𝑚𝑣
02=
12
× 0.150 × 16.67
2= 20.84 J 末動能𝐾 =
12
𝑚
1𝑣
12+
12
𝑚
2𝑣
22= 1
2 × 0.112 × 14.32
2+ 1
2 × 0.038 × 23.61
2= 22.07 J
獲得能量 Δ𝐾 = 𝐾 − 𝐾
0= 22.07 − 20.84 = 1.23 J
13. 你任職於行星探測之地面指揮中心。某次軌道修正需要發射火箭以提供 5.64 N.s 的衝量，如果火箭的平均推力為 135 mN，則火箭的發射時間應持 續多久？
解:
𝐽 = 5.64𝑁 ∙ s 𝐹̅ = 135 × 10
−3𝑁 𝐽 = 𝐹̅Δt => Δt = 𝐽
𝐹̅ = 5.64
135 × 10
−3𝑠 = 41.8 𝑠
15. 兩輛相同的卡車空車質量為 5500 kg，最大安全負載為 8000 kg。若第一輛 卡車靜止且負載 3800 kg，第二輛卡車以車速 65 km/h 撞擊該車，之後合成 一體以 40 km/h 的速率移動。身為一位專業的證人，你被問及第二輛卡車 是否超載，你的答案為何？
解:
碰撞前:
碰撞後:
動量守恆: 𝑚
1𝑣
1+ 𝑚
2𝑣
2= (𝑚
1+ 𝑚
2)𝑣
𝑓，其中𝑣
1= 0
=> 𝑚
2= 𝑚
1𝑣
𝑓𝑣
2− 𝑣
𝑓= 9300kg × 40 km/h
(65 − 40)km/h = 14880 kg 載重 = 14880 − 5500 = 9380 kg > 8000 kg
∴ 該車超載 1380 kg
16. 一個幼童在街上玩耍，誤將手中的球以 18 m/s 的速率投向一輛以 14 m/s 的速率迎面而來的汽車，則該球與汽車進行彈性碰撞後其反彈的速率為何？
解:
碰撞前
碰撞後
動量守恆𝑚
1𝑣
1𝑖+ 𝑚
2𝑣
2𝑖= 𝑚
1𝑣
1𝑓+ 𝑚
2𝑣
2𝑓動能守恆 1
2 𝑚
1𝑣
1𝑖2+ 1
2 𝑚
2𝑣
2𝑖2= 1
2 𝑚
1𝑣
1𝑓2+ 1
2 𝑚
1𝑣
2𝑓2解方程組，得
𝑣
2𝑓= 2𝑚
1𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
1𝑖+ 𝑚
2− 𝑚
1𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
2𝑖𝑚
1≫ 𝑚
2∴ 𝑣
2𝑓≈ 2𝑣
1𝑖− 𝑣
2𝑖= 2 × (14m/s) − (−18m/s) = 46m/s
20. 一輛 11,000 kg 之貨運車停靠在鐵道末端的彈簧緩衝器上，彈簧的力常數為 k ＝ 0.32 MN/m。另一輛質量 9400 kg 之貨運車以 8.5 m/s 的速率撞擊此 車，兩車撞擊後連成一體，求 (a) 彈簧最大壓縮量，(b) 兩車從彈簧一起反 彈的速率。
解:
(a) 𝑚
1= 11000kg，𝑣
1𝑖= 0 𝑚
2= 9400kg，𝑣
2𝑖= 8.5 𝑚/𝑠
動量守恆𝑚
1𝑣
1𝑖+ 𝑚
2𝑣
2𝑖= (𝑚
1+ 𝑚
2)𝑣
𝑓，其中𝑣
1𝑖= 0
=> 碰撞後末速度𝑣
𝑓= 𝑚
2𝑣
2𝑖𝑚
1+ 𝑚
2= 9400 × 8.5
11000 + 9400 𝑚/𝑠 = 3.92𝑚/𝑠 車子以動能 1
2 (𝑚
1+ 𝑚
2)𝑣
𝑓2撞擊彈簧，動能轉成彈簧位能 1
2 (𝑚
1+ 𝑚
2)𝑣
𝑓2= 1
2 𝑘𝑋
𝑚𝑎𝑥2𝑋
𝑚𝑎𝑥= √ 𝑚
1+ 𝑚
2𝑘 𝑣
𝑓= √ 11000 + 9400
0.32 × 10
6× 3.92m = 0.99m (b)
彈簧將車子反彈，位能再轉換成車子動能
∴ 反彈速率𝑣
𝑟𝑒𝑏= 𝑣
𝑓= 3.92 𝑚/𝑠
24.一個質量為 m 以速率 2v 移動的物體，追撞另一質量為 4m 速率 v 的物體 進行正面彈性碰撞，求碰撞後兩者的速率各為何？
解:
一維彈性碰撞，參考第 9-6 節討論知 𝑚
1的末速度:
𝑣
1𝑓= 𝑚
1− 𝑚
2𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
1𝑖+ 2𝑚
2𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
2𝑖= 𝑚 − 4𝑚
𝑚 + 4𝑚 × (2𝑣) + 2 × 4𝑚
𝑚 + 4𝑚 × 𝑣 = 2 5 𝑣 𝑚
2的末速度:
𝑣
2𝑓= 2𝑚
1𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
1𝑖+ 𝑚
2− 𝑚
1𝑚
1+ 𝑚
2𝑣
2𝑖= 2𝑚
5𝑚 × (2𝑣) + 4𝑚 − 𝑚
5𝑚 𝑣 = 7
5 𝑣
25. 質量 65.0 kg 的你靜止站在無摩擦的冰上，以 12.0 m/s 初速率拋出 4.50 kg 的石頭。如果石頭落地時距你 15.2 m，求 (a) 你拋出石頭的角度為何？(b) 拋出後你移動的速度為何？
解:
水平方向動量守恆:
𝑚1𝑣1𝑥+ 𝑚2𝑣2𝑥 = 0 => 𝑣1𝑥 = −𝑚2𝑣2𝑥
𝑚1 = −𝑚2
𝑚1𝑣0cos θ 估算石頭飛行時間
𝑦 = 𝑣0sin θ t −1 2𝑔𝑡2
𝑦 = 0 => 𝑡 = 0 or 2𝑣0sin θ𝑔 (飛行時間) (a)落地時分開的距離
𝑑 = (𝑣2𝑥− 𝑣1𝑥) 𝑡 = (𝑣0cos θ +𝑚2
𝑚1𝑣0cos θ)2𝑣0sin θ 𝑔 => sin 2θ = 𝑔𝑑
𝑣02(1 +𝑚2 𝑚1)
∴ θ =1
2sin−1[ 𝑔𝑑 𝑣02(1 +𝑚2
𝑚1)]
= 1
2sin−1[ 9.8 × 15.2 12.02× (1 +4.50
65.0)
] = 37.7°
(b)人移動的速度
𝑣1𝑥 = −𝑚2
𝑚1𝑣0cos θ
= −4.50
65.0× 12.0 × cos(37.7°)
≈ −0.657 m/s = −65.7 cm/s
26.一個煙火以 40 m/s 的速率垂直向上發射，當其到達最高點時，爆炸分成質 量相等的兩塊，其中一塊在爆炸後 2.87 s 掉落地面，求第二塊落地的時間。
解:
力學能守恆:
1
2 𝑚𝑉
02= 𝑚𝑔 ℎ
∴ 最高點 ℎ = 𝑉
02
2𝑔
= 40
22 × 9.8 m = 81.63m
爆炸:
𝑚
1= 𝑚
2= 𝑚 2
動量守恆: 𝑚
1𝑣
1+ 𝑚
2𝑣
2= 0
∴ 𝑣
1= −𝑣
2令𝑣
1= 𝑣，𝑣
2= − 𝑣 垂直位移 △ 𝑦 = (垂直初速度) × 𝑡 − 1
2 𝑔𝑡
2𝑚
1和𝑚
2落地所需時間分別為𝑡
1和𝑡
2，(𝑡
1> 𝑡
2)
−ℎ = 𝑣𝑡
1− 1
2 𝑔𝑡
12− − − −(1)
−ℎ = −𝑣𝑡
2− 1
2 𝑔𝑡
22− − − −(2) (1) × 𝑡
2+ (2) × 𝑡
1=> 𝑡
1= 2ℎ
𝑔𝑡
2= 2 × 81.63
9.8 × 2.87 𝑠 = 5.80 𝑠
題組題
你對於物理與運動的結合感到興趣。你發現到許多的運動比賽牽涉到碰撞，例如 球棒與棒球、腳與足球、曲棍球棍與冰球、籃球與地板等。運用閃光攝影術你著 手開始做此類碰撞的研究。圖 9.24 是你所拍攝到關於一個球在地板上彈跳的閃 光照片，此球從照片左上方的點被拋出後，你的相機紀錄了它與地板做連續三次 碰撞的過程。
圖9.24 題組題33－35。（照片由 Richard Megna-FUNDAMENTAL PHOTOGRAPHS, NYC ／提供授權）
33.此球與地板之間的碰撞為 a. 完全彈性。
b. 完全非彈性。
c. 既非完全彈性也非完全非彈性。
解:
(c)，彈跳高度降低有能量損失，故不是(a)。
碰撞後未結合在一起，故不是(b)。
34.此球與地板做第二次碰撞所損失之機械能的比例 a. 大約為 10%。
b. 稍微少於一半。
c. 稍微大於一半。
d. 大約為 90%。
解:
(b)，第二次彈跳的最大高度約比第一次彈跳最大高度的一半多一點。
此高度正比於總機械能，因此剩餘的機械能約為第一次彈跳時的一半強。
35.與連續兩個碰撞之時間間隔相比較，球與地板碰撞的持續時間為 a. 連續兩個碰撞之時間間隔的一小部分。
b. 連續兩個碰撞之時間間隔的一大部分。
c. 連續兩個碰撞之時間間隔的好幾倍。
解:
(a)，兩次碰撞間約拍 7 個影像，而每次碰撞只有一個影像。
