關於二染色 K 6 問題的一個注記
邊 欣 · 李忠民
由 n 個點及所有兩點之間的線段組成的圖形, 稱為 n 點完全圖, 記為 Kn。 若 Kn 中的所 有線段僅用紅色或藍色染色, 稱為二染色。 對 Kn 中由三個點連接而成的三角形, 若三條邊用 相同的顏色染色, 則稱之為同色三角形。
有關二染色的 Kn問題是圖論與組合數學中的經典而有趣的問題, 在數學奧林匹克競賽中 也經常出現相關的試題。
例1: 任意六個人中, 必有3個人相互認識或相互不認識。 (1947年第48屆匈牙利數學奧林匹克 試題)。
例2: 十七個人兩兩通信, 他們在通信中討論的僅有三個不同問題, 且任意兩個人通信時只討論 一個問題。 則至少有3個人互相通信時討論的是同一個問題。 (1964年第6屆 IMO 試題)。
例3: 將某個圓周上的九個不同點之間的36條邊分別用紅色或藍色染色。 若其中的任意三點之 間都至少有1條紅色邊, 則存在4個點, 它們之間的邊均為紅色邊。 (1976年第8屆加拿大數學 奧林匹克試題)。
上述試題中, 例 1 與圖論中的 Ramsey 定理等價。
定理1: 在二染色的 K6 中, 必存在1個同色三角形。
1958年 《美國數學月刊》 將例1列為征解問題 E1321, 引起很大反響。 定理1的一個熟知 的加強為 Goodman 定理。
定理2: 在二染色的 K6 中, 必存在2個同色三角形。
本文將進一步探究定理2中的兩個同色三角形的性質, 給出如下結果。
定理3: 在二染色的 K6 中, 下面的 (1)、 (2)、 (3) 必有一個成立。
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(1) 存在 2 個同色三角形, 這兩個三角形有一條公共邊, 從而有相同的顏色。
(2) 存在2個同色三角形, 這兩個三角形僅有一個公共的頂點, 並有不同的顏色。
(3) 僅存在2個同色三角形, 這兩個三角形沒有公共的頂點, 但是有相同的顏色。
首先證明兩個引理。
引理1: 在某個二染色的 K6 中, 若任意的2個同色三角形均沒有公共邊, 但存在2個同色三角 形, 它們有一個公共頂點, 則在這個二染色的 K6 中, 必存在2個同色三角形, 它們有一個公共 頂點, 但是有不同的顏色。
證明: 將此二染色的 K6 中的6個頂點記為 A1, A2,· · · , A6, 則存在2個同色三角形, 不妨記 為 △A1A2A3 和 △A3A4A5, 它們有一個公共的頂點 A3。
當 △A1A2A3 與 △A3A4A5 的顏色不同時, 引理1成立。
當 △A1A2A3 與 △A3A4A5 的顏色相同時, 不妨設 △A1A2A3 和 △A3A4A5 均是紅 色三角形。 先證明 A1A4, A1A5, A2A4, A2A5 均是藍色邊。
若 A1A4 是紅色邊, 則△A1A3A4 是一個紅色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共邊 A1A3, 與 △A3A4A5 有公共邊 A3A4, 矛盾。 故 A1A4 是藍色邊。
若 A1A5 是紅色邊, 則△A1A3A5 是一個紅色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共邊 A1A3, 與 △A3A4A5 有公共邊 A3A5, 矛盾。 故 A1A5 是藍色邊。
若 A2A4 是紅色邊, 則△A2A3A4 是一個紅色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共邊 A2A3, 與 △A3A4A5 有公共邊 A3A4, 矛盾。 故 A2A4 是藍色邊。
若 A2A5 是紅色邊, 則△A2A3A5 是一個紅色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共邊 A2A3, 與 △A3A4A5 有公共邊 A3A5, 矛盾。 故 A2A5 是藍色邊。
圖1 圖2
參見圖1 (圖中的實線代表紅色邊, 虛線代表藍色邊), 若 A1A6 是藍色邊, 則當 A4A6 也 是藍色邊時, △A1A4A6是一個藍色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共的頂點 A1,與 △A3A4A5 有公共的頂點 A4, 引理1成立。 當 A4A6 是紅色邊時, 必有 A5A6 是藍色邊 (否則, 若 A5A6 是紅色邊, 則 △A4A5A6 是一個紅色三角形, 它與 △A3A4A5 有公共邊 A4A5, 矛盾), 從而
△A1A5A6 是一個藍色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共的頂點 A1, 與 △A3A4A5 有公共的 頂點 A5, 引理1成立。
同理, 若 A5A6 是藍色邊, 則當 A2A6 也是藍色邊時, △A2A5A6 是一個藍色三角形, 它 與 △A1A2A3 有公共的頂點 A2,與 △A3A4A5 有公共的頂點 A5,引理1成立。 當 A2A6是紅 色邊時, 必有 A1A6 是藍色邊 (否則, 若 A1A6 是紅色邊, 則 △A1A2A6 是一個紅色三角形, 它 與 △A1A2A3 有公共邊 A1A2, 矛盾), 從而 △A1A5A6 是一個藍色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共的頂點 A1, 與 △A3A4A5 有公共的頂點 A5, 引理1成立。
參見圖2, 當 A1A6 與 A5A6 均是紅色邊時。 若 A2A6 是紅色邊, 則 △A1A2A6 是一個 紅色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共邊 A1A2, 矛盾。 若 A4A6 是紅色邊, 則 △A4A5A6 是 一個紅色三角形, 它與 △A3A4A5 有公共邊 A4A5, 矛盾。 故 A2A6 與 A4A6 均是藍色邊。 從 而 △A2A4A6 是一個藍色三角形, 它與 △A1A2A3 有公共的頂點 A2, 與 △A3A4A5 有公共 的頂點 A4,引理1成立。
綜上所述, 引理1成立, 證畢。
引理2: 在某個二染色的 K6 中, 若任意的2個同色三角形均沒有公共的頂點, 則在這個二染色 的 K6 中, 僅存在2個同色三角形, 它們沒有公共的頂點, 但是有相同的顏色。
證明: 將此二染色的 K6 中的6個頂點記為 A1, A2,· · · , A6, 則存在2個同色三角形, 不妨記 為 △A1A2A3 和 △A4A5A6 ,它們沒有公共的頂點。
若此二染色的 K6 中存在另一個同色三角形, 則其必分別與 △A1A2A3、 △A4A5A6 有 公共的頂點, 矛盾。 故此二染色的 K6 中僅存在2個同色三角形, 即 △A1A2A3 與 △A4A5A6。
當 △A1A2A3 與 △A4A5A6 的顏色相同時, 引理2成立。
當 △A1A2A3與 △A4A5A6的顏色不同時。 不妨設 △A1A2A3是紅色三角形, △A4A5A6
是藍色三角形。
若存在 i = 1, 2, 3, 使得 AiA4, AiA5, AiA6 中至少有2條藍色邊, 則此二染色的 K6 中 又存在一個藍色三角形, 矛盾。
否則, 對所有的 i = 1, 2, 3, AiA4, AiA5, AiA6 中均至少有2條紅色邊, 故 AiAj 中至少 有6條紅色邊, 其中 i = 1, 2, 3, j = 4, 5, 6。 從而存在 j = 4, 5, 6, 使得 A1Aj, A2Aj, A3Aj
中至少有2條紅色邊, 故此二染色的 K6 中又存在一個紅色三角形, 矛盾。
綜上所述, 引理2成立, 證畢。
根據定理2、 引理1和引理2可知定理3成立。
下面給出三個圖例, 分別有且僅有定理3中的 (1)、 (2) 或 (3) 一種情形存在。 圖中的實線 代表紅色邊, 虛線代表藍色邊。
圖3 圖4
在圖3中, 只有2個同色三角形, 即 △A1A2A3 和 △A2A3A4 , 它們均是紅色三角形, 並 有公共邊 A2A3, 即僅有定理3中的情形 (1) 成立。
在圖4中, 只有2個同色三角形, 即 △A1A2A3 和 △A3A4A5, 其中 △A1A2A3 是紅色 三角形, △A3A4A5 是藍色三角形, 它們的顏色不同, 且只有一個公共的頂點 A3, 即僅有定理 3中的情形 (2) 成立。
圖5
在圖5中, 只有2個同色三角形, 即 △A1A3A5 和 △A2A4A6 , 它們均是藍色三角形, 但 是沒有公共的頂點, 即僅有定理3中的情形 (3) 成立。
上面的三個圖例表明, 在二染色的 K6 中, 除了定理3中的 (1)、 (2) 和 (3) 必有一個成立 以外, 其它情形可以不存在。
參考文獻
1. A. W. Goodman, On Sets of Acquaintances and Strangers at any Party[J]. The Amer- ican Mathematical Monthly, 1959, 66 (9), 778-783.
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3. 朱華偉。 從數學競賽到競賽數學[M]。 北京: 科學出版社, 2009。
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6. 張垚, 沈文選, 吳仁芳。 初中數學競賽中的組合問題[M]。 長沙: 湖南師範大學出版社, 2011。
—本文作者邊欣任教天津市天津師範大學數學系, 李忠民任教天津市天津大學管理與經濟學部—
國科會科教處數學教育學門 2013 年活動
數學史與數學教學工作坊
日 期 : 2013年4月10日 (星期三)、 2013年5月08日 (星期三) 地 點 : 國立嘉義大學民雄校區科學館一樓106階梯教室 數學教育學門論文寫作工作坊
日 期 : 2013年05月18日 (星期六)
地 點 : 國立嘉義大學民雄校區科學館 I106演講廳 詳見國科會科教處數學教育學門學門資訊網
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