已知 f (x)滿足∫bxf(t)dt＝25(x －6x 求 a，b 的值 17.已知函數 f (x)＝ 3 a 3 x ＋3 b x＋c 滿足 f (0)＝0，f x− f(x))dx＝31，求實數 a，b，c 的值

(1)

110 上高三數甲(單元 5 積分) 第 1 頁龍騰版 CJT

單元 5 積分習題甲三年___班座號：____ 姓名：

觀念澄清：

在右圖中，R1與 R2是函數 f (x)的圖形與 x 軸所圍成的區域，其中 R1的面積為 7，R2的面積為 2。

下列敘述對的打「○」，錯的打「×」

□ (1)

∫

₁⁴ ^f⁽^x⁾^dx^＝7

□ (2)

∫

₁⁶ ^f^{( dx}^x⁾ ^＝9

□ (3)

∫

₁⁶³^f⁽^x⁾^dx^＝15

□ (4)

∫

₁⁶ ^f⁽^x⁾^dx^＝5

□ (5)

∫

₁⁶ ^f^{( dx}^x⁾ ^＝9

一、基礎題：

1.已知 F(x)為 f (x)＝−3x²＋4x 的一個反導函數且 F(－1)＝2，求 F(x)

2.求下列各式的值：(1)

∫

₁³^{( x}³ ²－x＋5)dx (2)

∫

₋²₁^{( x}² ³^－3x＋4)dx

3.已知

∫

₁²^{( x}³ ²＋ax＋1)dx＝2，求實數 a 的值

4.已知函數 f (x)滿足

∫

₁² ^f^{( dx}^x⁾ ^{＝－3 且}

∫

₁⁶ ^f^{( dx}^x⁾ ＝10，求下列各式的值：

(1)

∫

₂²^f⁽^x⁾^dx (2)

∫

₂⁶^f^{( dx}^x⁾ (3)

∫

₂⁶⁽²^x⁻ ^f⁽^x⁾⁾^dx

5.求

∫

₋²₃ ⁻^x² ⁻²^x⁺³^dx^的值

(2)

6.求函數 f (x)＝x －9x 的圖形與 x 軸、x＝－2 及 x＝1 所圍成區域的面積 ³

7.右圖為函數 f (x)＝−x²＋4x－3 的圖形，求鋪色區域的面積

8.求函數 f (x)＝x －³ 3x ＋2x 的圖形與 x 軸所圍成區域的面積 ²

9.右圖為函數 f (x)的圖形與 x 軸、x＝－3 及 x＝5 所圍成的區域，已知 R1與 R₂的面積比為 1：3，且

∫

₋⁵₃ ^f^{( dx}^x⁾ ^＝6

求

∫

₋⁰₃ ^f^{( dx}^x⁾ ^的值

10.求

∫

₋⁰₃⁽ ⁹⁻^x² ⁺⁵⁾^dx^的值

11.已知函數 f (x)的導函數 f ′(x)＝2x－4，且

∫

₋²₁ ^f^{( dx}^x⁾ ＝6，求 f (x)

12.已知 a 為實數，且函數 f (x)＝x(x－1)(x －8)滿足³

∫

₀^a ^f^′⁽^x⁾^dx＝0，求實數 a 的值

(3)

二、進階題

13.設函數 f (x)＝−x²＋99 且 a＝

∫

₀⁶^f^{( dx}^x⁾ ^，b＝

∑

= 5

0

) (

n

f ，c＝

∑

= 6

1

) (

n

f ，選出所有正確的選項。

(1) a 表示 f (x)的圖形與 x 軸、x＝0 及 x＝6 所圍成的區域面積 (2) b＜c

(3) b＞522 (4) c＜522

14.已知

∫

_a⁶⁽²^x⁻¹⁾^dx＝18，求 a 的值

15.設函數 f (x)＝x(2－x)(1＋x²)，試選取區間[ a，b ]使得定積分

∫

_a^b ^f⁽^x⁾^dx的值達到最大值，並求此最大值

16.設 a，b 為實數，且 f (x)為首項係數為 a 的三次多項式。已知 f (x)滿足

∫

_b^x^f⁽^t⁾^dt^＝₂⁵⁽^{x －6x＋10}² ^{) －}² ₂⁵^，

求 a，b 的值

17.已知函數 f (x)＝

3 a 3

x ＋3

b x＋c 滿足 f (0)＝0，f (1)＝1，2

∫

₀¹⁽^x⁻ ^f⁽^x⁾⁾^dx^＝₃¹，求實數 a，b，c 的值