Ex1.1：設 f (x)＝3 ，試求下列各函數值： x (1) f (5

(1)

109 上高二數 A 單元 5 第 1 頁龍騰版 CJT

單元 5 指數函數(exponential function) 二年____班座號：____ 姓名：

重點 1：指數函數的圖形與性質

1.定義：設 a＞0，a≠1，x 是任意實數，設函數 f (x)＝a ，則稱^x f (x)為「以a為底數的指數函數指數函數指數函數指數函數」

註：當 a＝1 時，f (x)＝1^x＝1 是常數函數(不是指數函數)，其圖形為一水平線水平線水平線水平線 2.指數函數 f (x)＝y＝a^x (a＞0，a ≠ 1)圖形的特性：

(1)圖形恆在 x 軸上方，則對任意實數 x，y＝a 的值恆正，即^x f (x)＞0 (2)圖形必過點(0，1)，且為凹口向上凹口向上凹口向上凹口向上的圖形

(3)以 x 軸為漸近線

(4)當 a＞1 時，y＝a 為嚴格遞增函數^x 嚴格遞增函數嚴格遞增函數嚴格遞增函數，圖形(1)由左往右逐漸上升 當 0＜a＜1 時，y＝a 為嚴格遞減函數^x 嚴格遞減函數嚴格遞減函數嚴格遞減函數，圖形(2)由左往右逐漸下降 (5)圖形與鉛直線 x＝h 恰交一點

在 x 軸上方，圖形與水平線 y＝k 都恰交一點 3.圖形的凹向性凹向性凹向性凹向性

定義：(1)函數圖形上任兩點連線段都在函數圖形上方圖形上方圖形上方圖形上方時，稱此函數圖形為凹向上凹向上凹向上凹向上 (2)函數圖形上任兩點連線段都在函數圖形下方圖形下方圖形下方時，稱此函數圖形為凹向下圖形下方凹向下凹向下凹向下 註：指數函數 f (x)＝y＝a^x的圖形都是凹向上

◎指數函數值

例 1.1：設 f (x)＝2 ，試求下列各函數值： ^x

(1) f (10)＝_____ (2) f (－3)＝_____ (3)若 f (a)＝7，f (b)＝9，則 f (a＋b)＝_____

Ex1.1：設 f (x)＝3 ，試求下列各函數值： ^x

(1) f (5)＝_____ (2) f (－3)＝_____ (3)若 f (a)＝30，f (b)＝18，則 f (a＋b)＝____

x y y＝a^x

O a＞1

x y＝a^x y

O 0＜a＜1 凹向上凹向下

圖(1) y＝a^x

圖(2) y＝a^x

a＞1 0＜a＜1

(2)

◎底數＞1，遞增函數

例 1.2：利用描點法描繪函數 y＝2 的圖形。 ^x

性質：

(1)圖形恆在_________，

則對任意實數 x，y＝a 的值_______，即 f (x)____0 ^x (2)圖形必過點_______，且為凹口凹口凹口凹口______的圖形 (3)以______為漸近線

(4)當 a＞1 時，y＝a 為嚴格^x 嚴格嚴格嚴格________

(5)圖形與鉛直線_______恰交於______

在______上方，圖形與水平線_______都恰交_____

Ex1.2：試在同一坐標平面上，利用描點法描繪函數 y＝2 ，y＝^x 3 ，y＝^x 4 的圖形 ^x 性質：底數越_____，圖形越靠近______

◎0＜底數＜1，遞減函數

例 1.3：利用描點法描繪函數 y＝ )^x 2

(1 的圖形。

性質：

(1)圖形恆在_________，

則對任意實數 x，y＝a 的值_______，即 f (x)____0 ^x (2)圖形必過點_______，且為凹口凹口凹口凹口______的圖形 (3)以______為漸近線

(4)當 a＞1 時，y＝a 為嚴格^x 嚴格嚴格嚴格________

(5)圖形與鉛直線_______恰交於______

在______上方，圖形與水平線_______都恰交_____

y＝4^x 參考

參考

x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝ )^x

2 (1

x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝ )^x

2 (1

x －2 －1 0 1 2 y＝2 ^x

y＝3^x y＝4 ^x

(3)

Ex1.3：試在同一坐標平面上，利用描點法描繪函數 y＝ )^x 2

(1 ，y＝ )^x 3

(1 ，y＝ )^x 4

(1 的圖形

性質：底數越_____，圖形越靠近______

重點 2：指數函數圖形的遞增、遞減性質 1.意義：對於函數 f (x)而言：

(1)對所有的 α＜β，都有 f (α) ≤ f (β)，就稱 f (x)為遞增函數遞增函數遞增函數遞增函數 (2)對所有的 α＜β，都有 f (α)＜f (β)，就稱 f (x)為嚴格遞增函數嚴格遞增函數嚴格遞增函數嚴格遞增函數 (3)對所有的 α＜β，都有 f (α) ≥ f (β)，就稱 f (x)為遞減函數遞減函數遞減函數遞減函數 (4)對所有的 α＜β，都有 f (α)＞f (β)，就稱 f (x)為嚴格遞減函數嚴格遞減函數嚴格遞減函數嚴格遞減函數註：遞增函數遞增函數遞增函數遞增函數：變數 x 愈大時，函數值 y＝f (x)愈大

遞減函數遞減函數

遞減函數遞減函數：變數 x 愈大時，函數值 y＝f (x)愈小 2.指數函數 f (x)＝y＝a^x的圖形而言：

(1)若 a＞1 時， ^{f x}

( )

⁼^a^x的圖形是一個由左而右逐漸上升，為一個嚴格嚴格嚴格遞增函數嚴格遞增函數遞增函數，如圖(1) 遞增函數 (2)若 0＜a＜1 時， ^{f x}

( )

⁼^a^x的圖形是一個由左而右逐漸下降，為一個嚴格嚴格嚴格遞減函數嚴格遞減函數遞減函數，如圖(2) 遞減函數

註：兩圖形對稱 y 軸

例 2.1：試在同一個坐標平面上作 y＝2^x與 y＝ )^x 2

(1 的圖形。

性質：圖形對稱於_____

y＝ )^x 4 (1 參考

參考 x －2 －1 0 1 2

y＝ )^x 2 (1

y＝ )^x 3 (1

y＝ )^x 4 (1

圖(1) y＝a^x

圖(2) y＝a^x

(4)

Ex2.1：試在同一個坐標平面上作 y＝3^x與 y＝ )^x 3

(1 兩函數的圖形。

性質：圖形對稱於_____

例 2.2：已知函數 f (x)的圖形與 g(x)＝ )^x 5

(1 的圖形對稱於 y 軸，求函數 f (x)

Ex2.2：右圖為 y＝a 的部分圖形，選出正確的選項： ^x

(1)OP＝1 (2) 0＜a＜1 (3) y＝a 的圖形與每一條水平線均相交 ^x (4)若(100，k)為 y＝a 函數上一點，則^x k＞0

例 2.3：如圖，四條曲線分別為 y＝2^x，y＝4^x，y＝ )^x 7

(1 ，y＝ )^x 3

(1 的圖形試判斷哪個圖形代表哪個函數

Ex2.3：設 a＞0 且 a ≠1，則下列各圖形中，哪些可能是指數函數 y＝a 的部分圖形？ ^x

(1) (2) (3) (4) (5)

Ex2.31：設 a＞0，若函數 y＝a^x⁻²＋3 的圖形恆通過定點 P，求 P 點坐標 y

O x P

甲乙丙丁

x y

O 參考

(5)

例 2.4：指數函數 y＝a 、y＝^x b 、y＝^x c 的圖形如右所示，選出下列中正確的選項： ^x (1) a＞1 (2) b＞1 (3) c＞1 (4) b＞a

Ex2.4：指數函數 y＝a 、y＝^x b 、y＝^x c 的圖形如右所示，其中^x y＝a 與^x y＝c 的圖形對稱於^x y 軸，

選出下列中正確的選項：

(1) a＞1 (2) OP＝1 (3) ac＝1 (4) c＞b

重點 3：指數函數圖形的對稱性質

1.定義：點(x，y)為函數 f (x)上之點，點(－x，y)為函數 g(x)上之點，則函數 f (x)、g(x)的圖形對稱於 y 軸 點(x，y)為函數 f (x)上之點，點(x，－y)為函數 g(x)上之點，則函數 f (x)、g(x)的圖形對稱於 x 軸 點(x，y)為函數 f (x)上之點，點(－x，－y)為函數 g(x)上之點，則函數 f (x)、g(x)的圖形對稱於原點

2.指數函數圖形的對稱性

若點 A(α，β)在 y＝2 的圖形上，而點 B(－α，β)在 y＝^x )^x 2

(1 的圖形上，則稱 A，B 兩點對稱於 y 軸

例 3.1：試參考例例例例 2.1 說明 y＝2^x與 y＝ )^x 2

(1 兩函數的圖形對稱於 y 軸

Ex3.1：試參考 Ex2.1 說明 y＝3^x與 y＝ )^x 3

(1 兩函數的圖形對稱於 y 軸 x

y

O

(x，y) (－x，y)

B A x

y

O

(x，y)

(x，－y) B A

x y

O (x，y)

(－x，－y) A

B

(6)

例 3.2：已知函數 y＝ )^x 3

(1 的圖形如下圖，試描繪出函數 y＝3^x的圖形

Ex3.2：已知函數 y＝ )^x 3

(1 的圖形如圖，試描繪出函數 y＝－ )^x 3

(1 的圖形

Ex3.21：(1)函數 y＝2 與 y＝^x )^x 2

(1 的圖形對稱於_____

(2)與函數 y＝3 的圖形對稱於 x 軸的函數為______ ^x (3)與函數 y＝－3 的圖形對稱於原點的方程式為______ ^x

重點4：指數函數圖形的平移

意義：圖形的平移包含水平、鉛直兩種平移 1.水平平移：指數函數 y＝a 圖形， ^x

向右平移 h 單位後得 y＝a^x⁻^h 向左平移 h 單位後得 y＝a^x⁺^h 2.鉛直平移：指數函數 y＝a 圖形， ^x

向上平移 k 單位後得 y＝a ＋k ^x 向下平移 k 單位後得 y＝a －k ^x

參考

(7)

例 4.1：試利用 y＝2 的圖形，描繪出下列函數的圖形：(1) y＝^x 2^x⁻¹ (2) y＝2 ＋2 ^x 解：(1) y＝2^x⁻¹由 y＝2^x的圖形向_____平移____單位

(2) y＝2^x＋2 由 y＝2^x的圖形向_____平移_____單位

Ex4.1：試利用 y＝2^x的圖形，描繪出下列函數的圖形：(1) y＝2^x⁺² (2) y＝2 －3 ^x

解：(1) y＝2^x⁺²由 y＝2^x的圖形向_____平移____單位 (2) y＝2^x－3 由 y＝2^x的圖形向____平移____單位

例 4.2：將函數 y＝2^x的圖形，先向左平移 3 單位，再向上平移 5 單位之後圖形的函數為_______

Ex4.2：將函數 y＝2^x的圖形，先向右平移 5 單位，再向下平移 2 單位之後圖形的函數為_______

Ex4.21：將函數 y＝3^x的圖形，先向右平移 h 單位，再向下平移 k 單位之後圖形的函數為 y＝3^x⁻²－5，求數對(h，k) 參考

參考

參考參考

(8)

重點 5：指數方程式

1.定義：當方程式的未知數出現在指數位置指數位置指數位置時，稱為指數方程式指數位置 2.解指數方程式：

(1)化為相同底數的指數式。當a ＝^x a 時，則^y x＝y (2)常數與指數式分開表示為指數標準形式

(3)指數函數 f (x)＝a ＞0，檢查解是否正確？ ^x

註：解指數方程式 y＝f (x)＝a ，乃利用函數^x f (x)在 x 軸上方恰與水平直線 y＝h 交於一點之性質

例 5.1：試解下列方程式：

(1)3 ＝^x 3 3 (2)( 3)³^x⁺¹＝27 3 (3) 9 ＋^x 3^x⁺¹－18＝0

Ex5.1：試解下列方程式：

(1)2³⁰

x

＝1024 (2)2³^x²＝4×2 ⁵^x (3)4^x⁺¹－9×2 ＋2＝0 ^x

例 5.2：右圖為 y＝2 的圖形。設 P ， Q 分別為直線^x y=3，y=6與 y＝2 的交點， ^x 求 PQ 的長

Ex5.2：右圖為y=3^x的圖形。設 P ， Q 分別為直線y=2，y=6與y=3^x的交點，

求 PQ 的長

例 5.3：求方程式2 ＝x＋1 有多少個實數解？ ^x

Ex5.3：求方程式 )^x 2

(1 ＝x 有多少個實數解？

y＝2 ^x

y＝3 y＝6

y＝3^x

y＝2 y＝6

(9)

例 5.4：求方程式2⁻^x＝2－x 有多少個實數解？

Ex5.4：求方程式2⁻ ^x ＝x 有多少個實數解？ ²

Ex5.41：求方程式2 ＝^x x 有多少個實數解？ ²

重點 6：指數不等式

1.意義：指數函數 f (x) ≠ 0 稱為指數不指數不指數不指數不等式等式等式等式，包含 f (x)＞0，f (x) ≥ 0，f (x)＜0，f (x) ≤ 0 等四種為指數不等式 2.性質：同底數之指數的大小比較：

(1)當 a＞1 時，指數函數為遞增函數遞增函數遞增函數，遞增函數 則若 α＜β ⇔ a ＜^α a ，如圖^β 1

(2)當 0＜a＜1 時，指數函數為遞減函數遞減函數遞減函數遞減函數，

則若 α＜β ⇔ a ＞^α a ，如圖^β 2

註：一般原則是先換成底數相同換成底數相同換成底數相同換成底數相同或換成指數相同換成指數相同換成指數相同換成指數相同 3.最大值與最小值：

利用配方法配方法配方法配方法求指數函數之最大值與最小值

◎遞增指數函數之比較大小

例 6.1：觀察函數 y＝2 的圖形，比較 a＝^x 2，b＝³ 4，c＝⁴ 8 三數的大小關係

Ex6.1：比較 a＝

2

1 ，b＝³ 4，c＝1 三數的大小關係

圖 1 圖 2

(10)

◎遞減指數函數之比較大小

例 6.2：觀察函數 y＝(0.3)^x的圖形，比較 a＝ 0.3，b＝(0.09)⁰^.⁵，c＝ ²

3

3)

(10 ⁻ 三數的大小關係

Ex6.2：比較 a＝ 0.3，b＝(0.09)⁰^.³，c＝ ) ⁰^.⁴ 3

(10 ⁻ 三數的大小關係

例 6.3：試比較下列各組 a，b，c 的大小關係：

(1) a＝2 ，b＝⁴⁰ 3 ，c＝³⁰ 5²⁰ (2) a＝ )⁴⁰ 2

(1 ，b＝ )³⁰ 3

(1 ，c＝ )²⁰ 5 (1

Ex6.3：下列哪一個數最小？

(1)(0.9)⁻³^.⁵ (2)(0.9)⁻²^.⁵ (3) (0.9)⁻¹^.⁵ (4)(0.9)⁻ ³ (5)(0.9)⁻ ⁵

Ex6.31：下列哪一個數最小？

(1)2⁻³^.⁵ (2)2⁻¹^.⁵ (3)2⁻⁰^.⁵ (4)2¹^.⁵ (5)2³^.⁵

◎解遞增指數函數之不等式例 6.4：試解下列不等式：

(1)3²^x⁺¹＞ 3

1 (2)4 －^x 2^x⁺¹－8＞0

(11)

Ex6.4：試解下列不等式：

(1)27²^x⁺¹＜9^x⁺² (2)2²^x⁺²－9⋅2^x＋2＜0

(1)10²^x⁻¹＞10⁷ (2) 3⁵^x⁺¹＜9³ (3) 2

1＜2²^x⁺¹＜8

◎解遞減指數函數之不等式例 6.5：試解下列不等式：

(1)(0.7)^x²＞(0.49)^x (2)2¹⁻²^x－9×2⁻^x＋4 ≤ 0

(1) ) ³ 2

(1 ^x⁻ ＞ ) ¹ 4

(1 ^x⁺ (2) )^x 4

(1 ＋2 )^x 2

(1 －8 ≥ 0

(1)(0.5)^x²⁺^x＞(0.5)⁶ (2) (0.1)^x²⁻²^x＜0.001

◎最大值與最小值

例 6.6：設函數 f (x)＝4 －^x 2⋅2^x⁺³＋100，若當 x＝a 時，f (x)有最小值 m，則數對(a，m)＝_____

(12)

Ex6.6：設函數 f (x)＝9 －^x 18⋅3^x⁻¹＋6，若當 x＝a 時，f (x)有最小值 m，則數對(a，m)＝_____

◎限制範圍

例 6.7：設－1≤ x ≤ 2，若函數 f (x)＝4 －^x 2^x⁺¹＋3 有最大值 M，最小值 m，則數對(M，m)＝_____

Ex6.7：設－2≤ x ≤ 2，若函數 f (x)＝9 －^x 3^x⁺¹，當 x＝a 時，f (x)有最大值 M，則數對(a，M)＝_____

例 6.8：設函數 f (x)＝5(3 ＋^x 3⁻^x)－2(9 ＋^x 9⁻^x)，x∈R，則：

(1)若令 k＝3 ＋^x 3 ，求⁻^x k 的最小值

(2)將函數 f (x)表示為 k 的多項式函數，求 f (x)的最大值

Ex6.8：設函數 f (x)＝2(4 ＋^x 4⁻^x)－8(2 ＋^x 2⁻^x)＋3，x∈R，則：

(1)若令 k＝4 ＋^x 4⁻^x，求 k 的範圍

(2)將函數 f (x)表示為 k 的多項式函數，求 f (x)的最小值

(13)

重點 7：指數函數在生活中的應用問題

1.意義：將生活中的問題(如半衰期等)，轉換為數學式後，利用指數函數的運算方式，求得其解 2.常見指數模式：

(1)半衰期：設某放射性物質原重 m，半衰期為 T 單位，則經過 x 單位後，剩下物質重為 m ^T

x

2) (1

(2)複利計息本利和：設本金為 P，利率為 r %，期數為 n，則本利和＝P(1+r%)ⁿ 單利計息本利和：設本金為 P，利率為 r %，期數為 n，則本利和＝P(1+n⋅r%)

例 7.1：已知碳 14 的半衰期約為 5700 年，且該骨頭原來碳 14 的數量為 m，問：

該人類死亡 x 年後，碳 14 的數量變為下列哪一個選項？

(1) x )⁵⁷⁰⁰ 2 (1

m

(2) m ^x

5700

2)

(1 (3) m )⁵⁷⁰⁰ 2 (1

x

(4) x ^m

5700

2) (1

Ex7.1：已知藥物在人體血液中的剩餘量隨著時間遞減，且經過 x 小時後，血液中的藥物濃度為 指數函數 f(x)＝ma^x(毫克／分升)，其中 m，a 是常數，右圖是 y＝ f(x)的部分圖形，

則：(1)求 m，a的值

(2)若人體中的藥物濃度低於 25(毫克／分升)時就必須再進行服藥，

則應每隔多少個小時服藥一次？

例 7.2：某銀行推出青年創業優惠貸款方案如下：貸款 100 萬元、年利率為 3%、每年計息一次，十年後期滿一次還清本利和。則：

(1)以單利計息，期滿還款時須還多少錢？

(2)以複利計息，期滿還款時須還多少錢？(四捨五入到整數位)

(14)

Ex7.2：某銀行推出六年儲蓄專案如下：一次存 100 萬元、年利率為 2.5%、每年計息一次，六年後期滿一次領回本利和。

問：六年期滿領回本利和時，複利計息比單利計息多領多少錢？(四捨五入到整數位)

例 7.4：游泳訓練機構統計發現，經過 x 小時的訓練，學員掌握自由式游泳技巧的「能力分數」為函數 f (x)＝100(1－a^x)，

其中 a 是常數。右圖是 y＝f (x)的部分圖形。當能力分數為 75 時表示此學員可以游完 100 公尺的距離，試問：

一名學員應該接受幾小時的訓練，才能游完 100 公尺呢？

Ex7.4：某醫學實驗室作某種酵菌之培養，發現在固定的條件下，所得此種酵菌之重量 f (x)與培育時間 x (日)的關係為 f (x)＝a×b ，a，b，x 為實數，x ≥ 0，若已知開始培育兩天後的重量為 f (2)＝36(單位)，開始培育四天後的重量 ^x 為 f (4)＝81(單位)，則 f (5)＝______(單位)