答案：(A)(B)(C)(D) 解析：(A) f (x)的常數項為f (0

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：92.12.19 班級

範

圍 3-2 行列式+ANS

座號

姓 名 一、單選題 (每題 10 分)

1. 設多項式 f (x) =

1 2

1

3 2

1 3 1 2

2

2

2

− +

−

−

−

− +

x x

x

x x

x

x x

，則下列敘述何者正確？

(A) f (x)的常數項為 21 (B) f (x)的各項係數和為 18 (C) f (x)的各奇次項係數和為 4 (D) f (x)的各偶次項係數和為 14 (E) f (x)的領導係數為 3。

答案：(A)(B)(C)(D)

解析：(A) f (x)的常數項為f (0) =

1 2 1

3 2 0

1 1 2

−

−

−

−

−

= 21

(B) f (x)的各項係數和為f (1) =

0 3 0

2 1 1

2 2 2

−

− = 18

(C) f (x)的各奇次項係數和為

2 10 18 2

) 1 ( ) 1

( − f − = −

f = 4

(D) f (x)的各偶次項係數和為

2 10 18 2

) 1 ( ) 1

( + f − = +

f = 14

(E) f (x) = 2(x² − 2)(x − 1) + x(x + 2)(3x² − 1) + (x² − 1)(x + 1)(x − 3) − 2(x + 2)(x − 3) − x(x + 1)(x − 1) − (x² − 1)(x² − 2)(3x² − 1)， f (x)的領導係數為 − 3

2. 下列行列式何者為 0？

(A)

21 2 6

9 10 8

6 2 3

−

(B)

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a

−

−

−

−

−

−

−

−

−

(C)

b a a c c b

c b

a

+ +

+

1 1

1

(D)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

−

−

−

(E)

b a c

a c b

c b a

（但 a，b，c 為互異正數）。

答案： (A)(B)(C) 解析：

(A)

21 2 6

9 10 8

6 2 3

−

= 2 × 3 ×

7 1 6

3 5 8

2 1 3

− = 6 ×

6 1 6

8 5 8

3 1 3

− = 0

×(− 1)

（第一行與第三行相同）

(B)

c b b a

b a a c

a c c b

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

0 0 0

= 0 （第一行全為 0）

(C)

c b a c b a c b a

c b

a b

a a c c b

c b

a

+ + +

+ +

+

= +

+ +

1 1

1 1

1 1

= (a + b + c)

1 1 1

1 1 1

c b

a = 0

（第一列與第三列相同）

(D)

0 0 1

2 0 1

0 2 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

−

=

−

−

−

= − 4

（第一行加到第二行及第三行）

(E)U =

b a c

a c b

c b a

= abc + abc + abc − c³ − a³ − b³

= − (a³ + b³ + c³ − 3abc) = − (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) ∵ a，b，c為正數且均不相等 ⇒ U ≠ 0

二、 填充題 (每題 10 分)

1. 空間中四點A(1，0，− 1)，B(2，1，3)，C(0，2，1)，D(3，2，0)，則 (1)UABC的面積 = 。

(2)則

____\

AB，^____AC^\ ，

____\

AD所張的平行六面體的體積V = 。 答案： (1)

2

9 (2) 21 解析：

____\

AB= (1，1，4)，^____AC^\ = (− 1，2，2)，

____\

AD= (2，2，1) (1)UABC =

2

| 9 ) 3 6 6 ( 2|

| 1 2|

1 ^{____\ ____\}

=

−

−

=

×AC ， ，

AB

(2) V = |

1 2 2

2 2 1

4 1 1

− | = 21

2. 設 d c

b

a = 3，

f e

b

a = − 1，求

f d e c

b a

2 2

3 3

+

+ = 。 答案：3

解析：

f e

b a d

c b a f

d e c

b a

2 2

3 3 3 3 2

2 3

3 = +

+

+ =

f e

b a d

c b

a 3 2

3 + ． = 3．3 + 6( − 1) = 3

3. 行列式

404 504 711

343 443 586

327 427 554

之值 = 。

答案：4800

404 514 711

343 443 586

327 427 554

=

404 100 207

343 100 143

327 100 127

× (− 1)

× (− 1) =

61 0 64

16 0 16

327 100 127

× (− 1) × (− 1)

= ( − 100) ×

61 64

16

16 = − 1600 ×

61 64

1

1 = − 1600 × (61 − 64) = 4800

4. 若三平面 5x + y + 2z = − 1，5x − 7y + x = − 18 與 3x − y + z = a相交於一線，則a = 。 答案：− 4

解析：

0 4

x y z a

∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ⇒ = −

5. 若 0° ≤ x ≤ 360°，則凡得夢行列式

x x sin² sin

1

4 1 2

1 1

1 1 1 −

= 0 之解為 。(三解)

答案：.

2 3 6 5 6

π π

π， ，

解析：

x x sin² sin

1

4 1 2

1 1

1 1

1 − ^{× ( − 1)}

=

1 sin 1 sin 0

4 3 2

0 3

1 1

1

2 −

+

−

−

x x

=

1 sin 1 sin

4 3 2

3

2 −

+

− x x

=2

3sin²x + 4 3sinx −

4 3=

4

3(2sin²x + sinx − 1)

=4

3(sinx + 1)(2sinx − 1) = 0， sinx = − 1 或 2

1 ⇒ x =

2 3 6 5 6

π π π， ，

6. 求

3 2

1

3 2 1

3 2

1

+ +

+

x x

x

= 0 之解為 。(兩解)

答案：0，− 6 解析：

3 2

1

3 2 1

3 2

1

+ +

+

x x

x

=

3 2

6

3 2 6

3 2

6

+ +

+ +

+

x x

x x

x

= x + 6

3 2

1

3 2 1

3 2

1

+ +

x x

× ( − 1)

= x + 6

x x 0 0

0 0

3 2 1

= x²(x + 6) = 0， x = 0，− 6

7. 若相異三條直線L1：(1 − k)x + 2y + 3 = 0，L2：x + (2 − k)y + 3 = 0，L3：x + 2y + (3 − k) = 0，

恰有一個交點，則

(1) k之值 = 。(2)此交點坐標為 。 答案：(1) 6 (2)(1，1)

解析：

∵ L1，L2，L3三直線交於一點

⇒

k k

k

−

−

−

3 2 1

3 2

1

3 2

1

= 0　⇒　

k k

k k

k

−

−

−

−

−

3 2 6

3 2

6

3 2

6

= 0

⇒ (6 − k)

k k

−

− 3 2 1

3 2

1

3 2

1

= 0 ⇒

k k

−

− 0 1

0 1

0 0 1

= 0

× (− 2) × (− 3)

⇒ (6 − k)k² = 0 ⇒ k = 0 或 6

∵ k = 0 時，L1 = L2 = L3不合，故k之值 = 6

當k = 6 時 ⇒ 交點(1，1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩ ⇒

⎨⎧

=

⇒ =

=

− +

= +

−

= + +

−

1 1 0

3 2

0 3 4

0 3 2 5

y x y

x y x

y x

8. 因式分解

b a c c c

b a

c b b

a a

c b a

−

−

−

−

−

−

2 2

2 2

2 2

= 。

答案： (a + b + c)³ 解析：

b a c c c

b a

c b b

a a

c b a

−

−

−

−

−

−

2 2

2 2

2 2

=

b a c c

a c b b

c b a c b a c b a

−

−

−

−

−

−

+ + +

+

−

−

0 2

0 2

× (− 1)

= (a + b + c)

1 0 2

0 1 2

1 1

−

−

−

−

c b

c b a

= (a + b + c)²(a − b − c + 2c + 2b) = (a + b + c)³

9. 求(1)三階行列式之值

1 6 0

2 5 7

3 4 9

−

−

−

= ，

(2)不等式

2 2

2 2 ( 9)

) 9 ( 2

1 1 1

−

− x

x > 0 之解為 。 答案： (1)− 251，(2) − 9 < x < 2

解析：

(1)

1 6 0

2 5 7

3 4 9

−

−

−

= − 45 + 0 − 126 + 0 + 28 − 108 = − 251

(2)

2 2

2 2 ( 9)

) 9 ( 2

1 1 1

−

− x

x > 0 ⇒

81 4

9 2

1 1 1 x2

x − > 0

⇒ 162 − 9x² + 4x − 2x² − 81x + 36 > 0 ⇒ − 11x² − 77x + 198 > 0

⇒ x² + 7x − 18 < 0 ⇒ (x − 2)(x + 9) < 0 ⇒ − 9 < x < 2

10. 空間四點A(a，1，− 1)，B(a，1，0)，C(2，3，1)，D(a + 2，0，4)共平面，a ∈ R，則a = 。

答案：6 解析：

____\

AB= (0，0，1)，^____AC^\ = (2 − a，2，2)， = (2，− 1，5)

____\

AD

5 1 2

2 2 2

1 0 0

−

− a = 0 ⇒ a = 6