,αn algebraic over K

Hilbert’s Nullstellensatz Zariski 的定理 理. 定理的 , algebraic element integral element 的 , vector space

module 的 . integral element module ,

的 .

Zariski 的定理 , K field, L K 的 field extension. α1, . . . ,αn∈ L K[α1, . . . ,αn] field, α1, . . . ,αn algebraic over K.

L/K field extension 定理 的,

K 的 α1, . . . ,αn 的 field , 的 .

K[α1, . . . ,αn] L K α1, . . . ,αn 的 ring. K[α1, . . . ,αn] 的 f (α1, . . . ,αn), f (x₁, . . . , x_n)∈ K[x1, . . . , x_n]. L K α1, . . . ,αn 的 field K(α1, . . . ,αn) . 定理的

K[α1, . . . ,αn] = K(α1, . . . ,αn). 定理 α algebraic over K.

0 的 f (x)∈ K[x] f (α) = 0.

定理 n = 1 . α = 0 , 0 algebraic

over K. α ̸= 0, α⁻¹ ∈ K(α) ( K(α) α 的 field),

K[α] = K(α) α⁻¹ ∈ K[α]. f (x)∈ K[x] α⁻¹= f (α).

g(x) = x f (x)−1, g(x)∈ K[x] 0 的 g(α) = 0, α algebraic

over K.

n = 2 的 , . 定 的

:

K[α,β] = K[α][β] ⊆ K(α)[β] ⊆ K(α,β).

K[α,β] = K(α,β) 的 K[α,β] = K(α)[β] ( ,

K[α,β] field, ). K(α) field (

的 n = 1 ) β algebraic over K(α). ,

K[α,β] field 的 , 的 K[α] field.

β K(α) 的 , β K[α] 的 .

field algebraic 的 , ring integral 的

.

Algebraic Element Vs. Integral Element. L/K field extension α ∈ L,

f (x)∈ K[x] 0 的 f (α) = 0, α algebraic over K.

ring, integral domain 的 .

R integral domain , R^′ R 的 ring α ∈ R^′,

R 0 的 f (x)∈ R[x] f (α) = 0. 的

α algebraic over R 的 quotient field F . α algebraic over F g(x) = a_nxⁿ+···a1x + a₀∈ F[x] 0 的 g(α) = 0, a_i∈ F F

R 的 quotient field, 0≤ i ≤ n c_i, d_i∈ R d_i̸= 0 a_i= c_i/d_i. f (x) = dn···d0· g(x), f (x)∈ R[x] 0 的 f (α) = 0.

algebraic over F 的 α 0 的 f (x)∈ R[x] f (α) = 0.

的 R , ,

R 1, 的 algebraic element 定 . 的定 .

Definition 1. R, R^′ integral domain R⊆ R^′. α ∈ R^′, R

1 的 g(x) ( g(x)∈ R monic polynomial) g(α) = 0,

α integral over R.

F R 的 quotient field, α integral over R algebraic

over F, 定 . √

2 x²− 2 = 0 integral over Z, √ 2/2 algebraic overQ ( 2x²− 1 = 0) integral over Z ( ).

R field, R = F algebraic element integral element.

F 的 0 F (

F field) 的 monic polynomial. 的 algebraic over F 的 F 的 monic polynomial 的 .

, R integral domain, F quotient field,

. 的 定 F ( R) 的 field L ( ring R^′)

L ( R^′).

α algebraic over F, f (x) = xⁿ+ an−1xⁿ⁻¹··· + a1x + a0∈ F[x] f (α) = 0.

0≤ i ≤ n − 1, c_i, d_i∈ R d_i̸= 0 a_i= c_i/d_i. b = d_n−1···d1· d0,

f (α) = αⁿ+ d_n⁻¹₋₁cn−1αⁿ⁻¹+··· + d⁻¹₁ c1α + d⁻¹₀ c0= 0

bⁿ· f (α) = (bα)ⁿ+ bd⁻¹_n−1c_n−1(bα)ⁿ⁻¹+··· + bⁿ⁻¹d₁⁻¹c₁(bα) + bⁿd₀⁻¹c₀= 0.

g(x) = xⁿ+∑ⁿ_i=0⁻¹bⁿ⁻ⁱd_i⁻¹cixⁱ, bⁿ⁻ⁱd_i⁻¹∈ R ( i≤ n − 1), g(x)∈ R[x]

monic polynomial, g(bα) = 0 bα integral over R. R

integral domain, d_i̸= 0 b = d_n−1···d1· d0̸= 0. .

Lemma 2. R integral domain F quotient field. α algebraic over F, b∈ R b̸= 0 bα integral over R.

的 R K[x] 的 , K[x] UFD

(unique factorization domain), integral over UFD 的 .

Lemma 3. R unique factorization domain F R 的 quotient field.

α ∈ F integral over R, α ∈ R.

Proof. α ∈ F α ab⁻¹, a, b∈ R. R UFD,

a, b 的 divisor. α integral over R monic polynomial f (x)∈ R[x]

f (α) = 0. f (x) = xⁿ+ cn−1xⁿ⁻¹+··· + c1x + c0,

aⁿ=−b(cn−1aⁿ⁻¹+··· + c1abⁿ⁻²+ c₀bⁿ⁻¹).

b unit, irreducible element p p|b. p|aⁿ p prime p|a.

a, b divisor . b unit, α = ab⁻¹∈ R. 

定 理 algebraic 的 , K⊆ K^′ α algebraic over

K, α algebraic over K^′. 的

Lemma 4. R⊆ R^′ α integral over R, α integral over R^′.

Proof. f (x)∈ R[x] monic polynomial f (α) = 0, f (x) over R^′ 的

monic polynomial, α integral over R^′. 

定 理 algebraic 的 , α,β

algebraic over K, α + β αβ algebraic over K vector space 的

理. 的 integral over R 的 integral over R

module 的 .

Vector Space Vs. Module. 定 field K V vector space over K, V

abelian group, K V c∈ K v∈ V

cv∈ V. 的 . , K field, L/K field

extension, L K 的 vector space.

的 定 integral domain R, M abelian group R M

r∈ R m∈ M rm∈ M, 的

. M R-module. , module vector space 的

field ring . , R, R^′ integral domain R⊆ R^′, R^′ R-module.

Vector space module 的 , vector space field, 定

dimension. vector space 的 basis, vector space V over K basis v₁, . . . , v_n V , basis 的 定的, dimension.

R-module 定 . R-module module

linearly independent over R. module 的

, 的 .

Definition 5. M R-module. m1. . . , m_t ∈ M m∈ M r1, . . . , rt∈ R m = r1m1+··· + rtmt, M finitely generated R-module.

Finitely generated R module finite dimension vector space .

algebraic over K 的 α 的 field K^′ α ∈ K^′ K^′ finite dimensional vector space over K. dimK(K^′) = n,

vector space basis 的 1,α,··· ,αⁿ linearly dependent over K,

α 的 . integral over R 的 的 .

R-module basis, 的 理.

Proposition 6. R integral domain α integral over R

integral domain R^′ R⊆ R^′, α ∈ R^′ R^′ finitely generated R-module.

Proof. α integral over R, R^′ = R[α] . f (x) = xⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+··· + a1x + a₀∈ R[x] f (α) = 0. β ∈ R[α], 定 g(x)∈ R[x]

β = g(α). f (x) 的 1, h(x), l(x)∈ R[x] g(x) = f (x)h(x) + l(x), l(x) = 0 deg(l(x))≤ n − 1. β = g(α) = l(α). , R[α] 的

c_n−1αⁿ⁻¹+··· + c1α + c0. R[α] 1,α,...,αⁿ⁻¹ 的 finitely generated

R-module. ( f (x) monic 的 .)

, R^′ integral domain R⊆ R^′ α ∈ R^′ R^′ finitely

generated R-module. α1, . . . ,αn∈ R^′ R^′. R^′ ring α ∈ R, 1≤ i ≤ n ααi∈ R^′, ci1, . . . , c_in∈ R ααi= c_i1α1+··· + cinαn. x1=α1, . . . , xn=αn











(c₁₁−α)x1+ c₁₂x₂+ ··· +c_1nx_n= 0 c₂₁x₁+ (c₂₂−α)x2+ ··· +c_2nx_n= 0

... ... ... ...

c_n1x₁+ c_n2x₂+ ··· +(cnn−α)xn= 0

的 R^′ 的 quotient field , 0 的 ,

det







c11−α c12 ··· c1n

c₂₁ c₂₂−α ··· c_2n ... ... . .. ... cn1 cn2 ··· cnn−α





= 0

α n R 的 monic polynomial, α integral over R. 

Proposition 6, algebraic elements algebraic 的

的 .

Proposition 7. α,β integral over R, α + β αβ integral over R.

Proof. α integral over R Proposition 6 integral domain R^′ α ∈ R^′, R⊆ R^′ R^′ finitely generated R-module. β integral over R R⊆ R^′ β integral over R^′. Proposition 6 integral domain R^′′ β ∈ R^′′ R^′⊆ R^′′

R^′′ finitely generated R^′-module.

R^′′ finitely generated R-module. , α,β ∈ R^′′ R^′′

ring, α + β ∈ R^′′ αβ ∈ R^′′. Proposition 6 α + β αβ integral over R.

R^′ R-module a1, . . . , am∈ R^′ ( R^′ 的

c₁a₁+··· + cma_m, c_i∈ R 的 ). R^′′ R^′-module b₁, . . . , b_n∈ R^′′

. R^′′ R-module {aibj| 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} .

λ ∈ R^′′ λ = ∑ⁿj=1d_jb_j d_j ∈ R^′. d_j∈ R^′ c_{1 j}, . . . , c_{m j}∈ R dj=∑^mi=1ci jai. λ = ∑ⁿj=1(∑^mi=1ci jaibj).  Remark 8. R = F field , Proposition 7 α,β algebraic over F,

α + β αβ algebraic over F.

K[α] Vs. K(α). K[α] ring K(α) field 的 . K[α]

K(α) , α algebraic over K, α algebraic over K,

K[α] K(α). K(α) K[α] . K[α]

ring field ,α transcendental over K ( algebraic over K) K[x] K[α]

isomorphic ( f (x)7→ f (α)), K[x] 的 .

K[x] UFD, Euler 的 K[x]

non-associate irreducible polynomial. K[x] monic

irreducible polynomial. 的 .

Lemma 9. q(x)∈ K[x] r(x)∈ K(x) n∈ N q(x)ⁿr(x)∈ K[x].

Proof. 的 q(x), K[x] monic irreducible polynomial, p(x)∈ K[x] irreducible polynomial p(x)- q(x). 1/p(x)∈ K(x)

n∈ N, p(x) K[x] q(x)ⁿ ( K[x] UFD), q(x)ⁿ/p(x) K[x] ,

. 

K[α] = K(α) r(α) ∈ K(α) r(α) ∈ K[α].

q(α) = 1 q(α)r(α) ∈ K[α]. Lemma 9 K[α] K(α)

的 .

r(x)∈ K(x), 定 r(x)∈ K[x], K[x] UFD,

Lemma 3 r(x) integral over K[x] . α algebraic

over K, K[α] ≃ K[x] Lemma 9, .

Corollary 10. q(α) ∈ K[α] β ∈ K(α) n∈ N q(α)ⁿβ integral over K[α], α algebraic over K.

Proof. , α algebraic over K, K[α] ≃ K[x]. q(α) ∈ K[α]

β ∈ K(α) q(α)ⁿβ ∈ K(α). q(α)ⁿβ integral over K[α] Lemma 3

q(α)ⁿβ ∈ K[α]. Lemma 9 的 q(α) . α

algebraic over K. 

α algebraic over K β ∈ K(α) β ∈ K[α]. Corollary 10

的 α algebraic over K 的 .

Zariski 的定理.

Theorem 11 (Zariski). K[α1, . . . ,αn] field, α1, . . . ,αn algebraic over K.

Proof. n induction 理. n = 1 . n≥ 2 , K[α1, . . . ,αn] field K[α1, . . . ,αn] = K(α1)[α2, . . . ,αn] induction α2, . . . ,αn algebraic over K(α1). K(α1) K[α1] 的 quotient field, Lemma 2 2≤ i ≤ n

q_i(α) ∈ K[α] q_i(α1)αi integral over K[α1]. q_i(α1)∈ K[α1] integral over K[α1] q(α1) = q2(α1)···qn(α1), Proposition 7 2≤ i ≤ n q(α1)αi

integral over K[α1].

β ∈ K[α1, . . . ,αn] f (x₁, . . . , x_n)∈ K[x1, . . . , x_n] β = f (α1, . . . ,αn).

m f (x₁, . . . , x_n) 的 , Proposition 7 q(α1)^mf (α1, . . . ,αn) integral over K[α1], β ∈ K[α1, . . . ,αn] m∈ N q(α1)^mβ integral over K[α1].

K[α1, . . . ,αn] field, K(α1)⊆ K[α1, . . . ,αn], β ∈ K(α1) m∈ N q(α1)^mβ integral over K[α1]. Corollary 10 α1 algebraic over K. α2, . . . ,αn algebraic over K(α1) α1 algebraic over K, α1,α2, . . . ,αn

algebraic over K. 

Remark 12. 的 induction α1,α2, . . . ,αn algebraic over K, K[α1, . . . ,αn] field. Zariski 的定理 :

K[α1, . . . ,αn] = K(α1, . . . ,αn) α1,α2, . . . ,αn algebraic over K.