a = D = 0 4160 += k k = k = 6 m =− 4 ⇒=− b 2 x += 10 b = 441 xyyx ⎧−=⎨=+⎩

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：94.03.17 班級 普二 班

範

圍 1-4 錐線與直線

座號

姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)

1、( D ) 設雙曲線4

x

²−

y

² = 與直線4 y= +x 1相交於 A、B 兩點，則AB線段長為 (A)⁵

3 (B)1 (C)⁸

3 (D)^{8 2}

3 (E)^{16 2} 3

解析： ,

2 2

4 4

1

x y y x

⎧ − =

⎨ = +

⎩ ⇒ 3x²−2x− = 05 5

x=3或 –1 ，

2 2 =

5 8 5 8

( , ), ( 1, 0) ( 1) ( 0)

3 3 3 3

A B

− ⇒

AB

= + + − ⁸ 2

3

2、( D ) 設拋物線

x

=

ay

²+

by

與兩直線

x

+ = 及1 0 x+4y+ =1 0相切，則 b (A)2 (B)1 (C)−1 (D)−2 (E)−4

=

解析： 有重根 ∴

2

2 1 0

1 0

x ay by

ay by x

⎧ = +

⇒ + + =

⎨ + =

⎩

2 4 0

b − a=

2

2 ( 4) 1 0

4 1 0

x ay by

ay b y

x y

⎧ = +

⇒ + + + =

⎨ + + =

⎩ 有重根

∴(

b

+4)²−4

a

=0⇒

b

² = +(

b

4)² ⇒ = −

b

2 3、( A ) 通過點(3,0)且與橢圓

2 2

( 1) ( 2) 2 4 1

x

−

y

−

+ = 相切於第一象限的切線方程式之斜率為

(A)−4 (B)−3 (C) 4

− 7 (D) 2

− 5 (E) ¹

−4

解析：橢圓之切線公式

y

− =2

m x

( − ±1) 2

m

²+ 4，代入(3,0)，2m²+8m=0,

m

= −4或 0

4、( C ) 方程式 之圖形為

(A)一點 (B)一直線 (C)交於一點的兩直線 (D)兩平行直線 (E)沒有圖形

2 2

2 4 3

x

−

xy

−

y

−

x

− + = 0

y

解析：雙十字因式分解(x+ −y 1)(x−2y− =3) 0

5、( D ) 已知兩拋物線

x

=

y

²−2

y

+4與

y

=

x

²−

kx

+10有交點，其中有兩個交點在直線 上，則 k 的值為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7

2 x= +y

解析：解交點 或 2 ∴交點為 (3,1)與(4,2)

2 2 4

2 1

x y y

x y y

⎧ = − +

⎨ ⇒ =

⎩ = +

點(3 , 1)代入

y

=

x

²−

kx

+10,

k

= 6

6、( C ) 設拋物線

y

=4

x

²與直線y=2x+ k相切，則 k= (A)−4 (B)−1 (C) ¹

−4 (D) ¹

32 (E)¹ 2 解析：代入消去法 2x+ =k 4x²，

D

= ∴ 4 160 +

k

= , 0 ¹

k = −4

7、( D ) 橢圓2x²+

y

² = 9在(2 , 1)處的切線方程式為 (A)2x+ =y 5 (B) (C) (D) (E)以上皆非

2x+ = 8y 1 9

9 3

x+ =y 4x+ =y

解析：切點為(2,1)，切線為2x⋅ + ⋅ =2 y 1 9⇒4x+ =y (兩次給一次，一次給一半) 8、( A ) 設拋物線

y

=

ax

²+

bx

+

c

通過點(1,1)且與直線x+ + =y 1 0相切於(0 , −1)，則 a =

(A)3 (B)2 (C)1 (D)−1 (E)−2

解析： ¹ 0 ( 0)

2 2

y b

ax x c

− = ⋅ + + + ⇒bx− +y 2c+ =1 0與x+ + =y 1 0重合

∴

b

= −1，

c

= −1又

a b c

+ + =1⇒ =

a

3

9、( C ) 兩端點在一橢圓上的線段稱為該橢圓的弦，在橢圓 的諸弦中，以

點(1,−4)為中點的弦方程式為 (A)

2 2

25

x

+4

y

=100 3x−2y−11=0 (B)5x−4y−21=0 (C)8x−5y−28=0 (D)25x−4y−41=0 (E)25x−16y−89=0

解析：設過(1,−4)且以(1,−4)為中點之弦與橢圓相交於 P、Q 兩點，設P=( , )x y ， (2 , 8 )

Q= − − − yx ，∴ ……¬， ……−

消去二次項 −−¬ 可得 ，

2 2

25

x

+4

y

=100 25(2−

x

)²+ − −4( 8

y

)² =100 25(4 4 )− x +4(64 16 )+ y =0 25x−16y−89=0

二、填充題 (每題 10 分)

1、拋物線

x

² =4

y

上有一弦，其中點為(1,2)，則此弦之方程式為______，又其弦長為______。

答案：x−2y+ = 03 , 35

解析：

x

² =4

y

上有一弦PQ之中點為(1,2)，設P=( , )x y ，Q=(2−x, 4−y)，代入前式

⇒

x

² =4

y

……¬， (2−

x

)² =4(4−

y

)……−

¬−− 得^{4 4 8 16 2 3 0 3} 2 x− = y− ⇒ −x y+ = ⇒ =y x+

解⎨ 二根

2 4 2 3 0

x y

x y

⎧ =

− + =

⎩ ⇒ x²−2x− =6 0 _{1 2} ^{1 2}

1 2

, 2

6

x x x x x x

+ =

⇒ ⎨⎧⎩ = − ,

且

1 1

1 2 1 2

2 2

3 2 1

( )

3 2

2

y x

y y x x

y x

⎧ = +

⎪⎪ ⇒ − = −

⎨

又(

∴弦長

⎪ = +

⎪⎩

) ( ) 4 4 4 ( 6) 28

x₁−x₂ ² = x₁+x₂ ²− x x_{1 2} = − × − =

2 2 2

1 2 1 2 1 2

5 5

( ) ( ) ( ) 28

4 4

x

−

x

+

y

−

y

=

x

−

x

= × = 35 2、如圖：與拋物線

y

² =4

x

的軸平行的一光線碰到A(2,2 2)後，反

射到 B，再反射回去，則 B 點坐標是__________。

答案：( ,¹ 2) 2 −

解析：

y

² =4

x

⇒(

y

−0)² = ⋅ ⋅ −4 1 (

x

0)利用光學性質，光線必通過焦點F(1, 0) 0 0 2 2

: 1 1 2

AF y x

− = − ⇒

− −

HJJG

2 2 2 2 y= x−

∴

2

4 2

2 5 2

2 2 2 2

y x

x x

y x

⎧ =

⎪ ⇒ − + = 0

= −

⎪⎩⎨ ， ¹ 2, ( ,¹ 2)

2 2

x= B −

∴ 或 ∴ 。

k

3、拋物線 ，不論 為任何實數，拋物線恆與 相切，則

_______， _______。

2 2

2( 2) 6

y

=

x

−

a

−

x

+

a

−

a a

y=2mx+

m

=

k

=

答案：−1, −9

解析：代入 2

mx

+ =

k x

²−2(

a

−2)

x

+

a

²−6

a

⇒

D

=0 ∴(

a

+ −

m

2)²−(

a

²−6

a

−

k

)= ，0

∀ ∈\ , a m

a

(2 + +2) (

m

²−4

m

+ +4

k

)=0 ∴

m

= − ，1

k

= − 9

4、設F(5,0)，F ′(−5,0)為雙曲線 Γ 的兩焦點，3x−4y+10=0與Γ 相切，則 的貫軸長為Γ

_______，又Γ的方程式為_______。

答案： 4 5 ,

2 2

20 5 1

x y

− = 解析：Sol 一

設Γ 方程式

x

²₂

y

₂² 1, 5, ^{2 2} 5

c a b

a

−

b

= = + = ²

⇒

， 切點 P( sec , tan )a θ b θ 切線 sec₂ tan₂

a x b y 1,

a b

θ⋅ − θ⋅ =

sec tan ,

b θ⋅ −x b θ⋅ = by a 與3x−4y+10=0重合 3 10 sec

sec tan

3 4 10 4 10 tan

b a ab a

b

= − θ θ= θ= − ⇒ ⎨⎧⎩ = − θ

""

""

①

②

① ─②^{2 2} ⇒9

a

²−16

b

² =100(sec²θ −tan²θ)；

2 2 2

9a −16(25−a )=100⇒a =20,a=2 5，貫軸長 2=

a

=4 5 ， 又

c

=5,

b

= 5，∴雙曲線為

2 2

20 5 1

x

−

y

= Sol 二

(5,0)對 之對稱點為

F 3x−4y+10=0 2 3 25_{2 2} 2 ( 4) 25_{2 2}

(5 , 0 ) ( 1,8)

3 ( 4) 3 ( 4)

Q

− × × − × − × =

+ − + − −

設切點 P，∴貫軸長2a=|PF−PF' |=PQ−PF'=QF'= ( 5 1)− + ²+ −(0 8)² =4 5 ∴

a

=2 5, 又

c

=5,

b

= 5，∴雙曲線為

2 2

20 5 1

x

−

y

=

5、過點(3,4)與橢圓4

x

²+9

y

² =36相切的直線方程式為______和______。

答案： 4 ¹( 3

y− =2 x− ),

x

=3 解析：橢圓

2 2

2 2

4 9 36 1

9 4

x y

x

+

y

= ⇒ + = ，切線為

y

=

mx

± 9

m

²+ ，代入(3,4)得4 4=3

m

± 9

m

2+ ，4 ¹

m=2 ，∴切線為 4 ¹( 3

y− =2 x− )和

x

= 3 6、自橢圓外一點 P(3,−3)作橢圓( 1)² ( 2)²

4 25 1

x

+ +

y

− = 之兩切線與橢圓相切於二點 A、B，若

A 為橢圓之頂點，則 A 點坐標為______又 AB 直線方程式為______。

答案：(−1,−3), 5x− + = 0y 2 解析：解 1：

2 2

( 1) ( 2) 4 25 1

x

+ +

y

− = ⇒ 中心( 1− , 2),a=5,b=2，四頂點( 1, 2 5), ( 1− ± − ± 2, 2)

∴所以切點 A(−1,−3)

切點 AB 之直線(切點弦)方程式為^{( 1)(3 1) ( 2)( 3 2)} 1

4 25

x+ + + y− − − = ⇒5x− + = 0y 2 解 2：

設橢圓外一點 P(3,−3)作橢圓之兩切線，切點 AB 之直線(切點弦)方程式為 ( 1)(3 1) ( 2)( 3 2)

4 25 1

x+ + + y− − − = ⇒5x− + =y 2 0

2 2

( 1) ( 2) 4 25 1

5 2 0

x y

x y

⎧ + + − =

⎪⎨

⎪ − + =

⎩

⇒5x²+2x− = 03 ， ³

x=5或–1，∴A(−1,−3)

7、設

x

²+

axy

−6

y

²+

bx cy

+ = 0表交於(2,−1)之二直線，則 a=_______， _______，

_______。

b

=

c

=

答案：−1, −5, −10

解析：強迫分解

x

²+

axy

−6

y

²+

bx cy

+ =0⇒(x+Ay+0)(x+my+n)=0，兩線交點為(2,−1)

∴A=2，

m

= −3，

a

= −1, 將(2,−1)代入x−3y+ =n 0，則

n

= − ，5

b

= −5,

c

= −10 8、過雙曲線4

x

²−

y

²−8

x

−2

y

− = 09 上一點(3,1)的切線方程式為______。

答案：4x− − =y 11 0

解析：切線為4 3 1 8( ³) 2( ¹) 9 0

2 2

x y

x y + +

⋅ ⋅ − ⋅ − − − = ⇒4x− −y 11=0

9、若方程式 的圖形為交於一點的兩直線，則 _______或

_______。

2 2

2 3 3 2

x

−

xy

−

y

+

x

+

ky

+ = 0

k

= 答案：−1, −5

解析：(x−3y x)( +y) 3+ x+ky+ =2 0 ⇒(x−3y+2)(x+ + = 0y 1) 或 (x−3y+1)(x+ +y 2)=0⇒ = −

k

1或 5−

10、若雙曲線

2 2

4 1 1

x

−

y

= 上有一弦，其中點坐標為(4,1)，則此弦之方程式為______，又其弦 長為______。

答案：x− =y 3, 8 3 3

解析：雙曲線上有一弦PQ，其中點坐標為(4,1)，設 P(x , y)，Q(8 – x , 2 – y)，代入

∴

2 2

4 1 1

x y

− = ""1 (8 )² (2 )² 4 1 1

x y

− −

− = ""2

−

1 2得 16x−64 16− y+16=0 ⇒ x− =y 3

2 2

4 1 1 3

x y

x y

⎧ − =

⎪⎨

⎪ − =

⎩

其二根為 ，

⇒3

y

²−6

y

− = 05

y

₁

y

₂

1 2

1 2

2 5 3 y y y y

+ =

⎧⎪

⇒ ⎨⎪⎩ = −

且

P x y

( ,_{1 1}), ( ,

Q x y

_{2 2})

⇒( _{1 2})² ( _{1 2})² 4 _{1 2} 2² 4 ( ⁵) ³²

3 3

y −y = y +y − y y = − × − = ∴ _{1 2} 32

y

−

y

= 3 又

x

₁ =

y

₁+3,

x

₂ =

y

₂+ ⇒ −3

x

₁

x

₂ =

y

₁− y ₂

∴弦長為 _{1 2} ² _{1 2} ² _{1 2} ² 32 8

( ) ( ) 2( ) 2

3 3

PQ

=

x

−

x

+

y

−

y

=

y

−

y

= × = 3

6 0

11、設橢圓2

x

²+

y

²+4

x

= 與直線x−2y+ =k 相切，則 k=______或______。

答案：7, –5 解析：橢圓

2 2

( 1) 4 8 1

x

+ +

y

= ⇒ 切線為

y

=

m x

( + ±1) 4

m

²+ 8

2 0

x− y+ = ⇒k 1

m= 2，代入得 ¹( 1) 9

y= 2 x+ ± ⇒ x−2y+ =7 0或x−2y− = 05

∴

k

=7或–5 0

12、直線L x: +2y−1= 被橢圓 ^{2 2} 25 9 4

x y

+ = 所截出之弦，其中點坐標為__________。

答案：( ⁹ , ⁸ ) 25 25

解析：令直線與橢圓之交點為

P x y

( ,_{1 1}), ( ,

Q x y

_{2 2})，∴ ₂2 1₂ 0 4 9 900

x y

x y

+ − =

⎧⎨ + =

⎩

"""

""

1 2 將¬代入−得25

y

²−16

y

−896=0，其二根為

y y

₁, ₂

1 2

16, y +y =25

∴ ，且 _{1 2} 2( _{1 2}) 2 ¹⁸

x +x = − y +y + = 25，∴PQ中點坐標 ( ⁹ , ⁸ 25 25

M )。

13、在第一象限內直線L與橢圓4

x

²+25

y

² = 010 相切於 ，且與兩坐標軸分別交於P A，B兩 點，設

O

為原點，則△

O AB 面積之最小值為_______，又此時

P點坐標為_______。

答案：10, (^{5 2} 2 , 2 )

解析：設切點 P 為(5cos

θ

，2sin

θ

)，其中 0<sinθ < ，則切線方程式為1 2 cosθx+5sinθy=10

∴ ( ⁵ , 0

A cos ) 2

(0, ) B sin

= θ θ ,

= ∴ ABO∆ 面積 ^{5 10} 10

sin cosθ θ sin 2θ

= = ≥

∴最小值為 10，此時 sin 2

θ

= ，1

θ

= ° ∴ (45 P 5 2 2 , 2 )

14、拋物線

y

² = x16 中，有一弦以(4, 3)為中點，則此弦所在的直線方程式為__________。

答案：8x−3y−23=0

解析：設此直線與拋物線交於

A x y

( ,_{1 1}), ( ,

B x y

_{2 2})二點，∴

x

₁+

x

₂ =8,

y

₁+

y

₂ =6,

且 ，且切線斜率

2

2 2

2

1 1

16 16

y x

y x

⎧ =

⎨ =

⎩

""

""

1 2

2 1

2 1

y y

m x x

= −

−

由¬ −得− (

y

₂−

y

₁)(

y

₂+

y

₁)=16(

x

₂−

x

₁)， ^{2 1}

2 1

8 3 y y

m x x

= − =

∴ −

∴直線方程式為 3 ⁸( 4) 8 3 23 0 y− = 3 x− ⇒ x− y− = 。