國立高師大附中 103 學年度第 2 學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科試題

國立高師大附中 103 學年度第 2 學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科試題

一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1.如圖﹐A﹐B﹐C﹐D四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點﹕　

(1)A　(2)B　(3)C　(4)D﹒

2..設 k 為一常數﹐若方程式 ₂^{2 2} 1 1 7

x y

k  k 

  表一橢圓且與雙曲線

2 2

75 9 1 x y

  有相同的焦點﹐則k 的值為

(1)  9　(2)  9 或 8　(3)  10　(4)  10 或 9﹒

二、多重選擇：(每題 6 分,共 30 分；答錯 1 個選項扣 3 分，答錯 2 個或 2 個以上選項不給分) 1.下列哪些為真﹖　

(1)坐標平面上﹐直線 L﹕x  1  0 及點 F (1 , 0)﹐若點 P 使得^{d P L( , )PF} ﹐則所有點P 的圖 形為拋物線　

(2)坐標平面上﹐拋物線 G 的準線為 L﹕y  2  0﹐焦點為 F (1 , 0)﹐那麼 G 的對稱軸為 x  1  0　

(3)拋物線 y  4x²的焦點為(0 , 1)　

(4)拋物線 y²  4x 的準線方程式為 x   1　

(5)拋物線 G 的準線 L﹐焦點 F 如圖﹒設 P 為 G 上的點且 P 在 L 上的投影點為 Q﹐若 M 為 P 在^QF上的垂足﹐則M 為QF的中點﹒

2. .如圖﹕二階方陣 P 變換將 A﹑B﹑C﹑D 映成 A¹﹑B¹﹑C¹﹑D¹﹐再經 Q 變換映成 A²﹑B²﹑ C2﹑D²﹐再經 R 變換映成 A³﹑B³﹑C³﹑D³﹐且 T 變換表示 P﹐Q﹐R 三個變換的合成﹐即 T 變換將A﹑B﹑C﹑D 映成 A³﹑B³﹑C³﹑D³﹒試問下列選項哪些正確﹖　

(1) ^{2 0} P 0 1

  

 　(2) ^{0 1}

1 0 Q   

  

 　(3)

1 1

2 2

1 1

2 2

R

  

 

 

 

 

 

　(4)

2 1 2 2 1

2 T

  

 

 

  

　(5)若過 A﹑B﹑C﹑

D 的圖形方程式為 x²  y²  1﹐則過 A³﹑B³﹑C³﹑D³的圖形方程式為5x²  6xy  5y²  8﹒

P Q

 R



x y

O (0,2)

3.下列敘述哪些為真﹖　

(1)坐標平面上兩定點 F' (  2 , 3)﹐F (2 , 3)﹐若點 P 使得^{|PF PF| 2} ﹐則所有點P 所成的 圖形為以F'﹑F 為焦點的雙曲線　

(2)若兩雙曲線 G 1﹑G ²有相同的漸近線﹐則 G 1與 G 2為全等的雙曲線　 (3)雙曲線 G 1﹕ ^{2 2 1}

25 9 x y

  與雙曲線 G 2﹕ ^{2 2 2} 25 9 x y

  ﹐有相同的頂點﹑焦距及貫軸長　 (4)若兩雙曲線 G 1﹑G ²有相同的漸近線﹐則 G 1與 G 2必為共軛雙曲線　

(5)設點 A 為圓 O 外一點﹐如圖﹒若 Q 為圓 O 上一點且QA的垂直平分線 與直線 OQ 相交於點 P﹐則所有點 P 所成的圖形為雙曲線﹒

4.設 xy 平面上G 滿足方程式^{| (x}²⁾²^(y⁵⁾²  ^(x⁴⁾²^(y^{3) | 62}  ﹐試問下列敘述哪些是 正確的﹖　

(1)G 的圖形可以當成兩個拋物線　 (2)G 的貫軸所在直線是兩漸近線的角平分線　 (3)3x  4y  1  0 是G 的對稱軸　 (4)^{(17, 11)}

5  5 是G 的頂點　 (5)(¹⁴, ⁷)

5 5 是G 的頂點﹒

5.若拋物線 x  ay²  by  c 通過點(0,2)﹐且其圖形如圖所示﹐

則下列各數哪些為負數﹖　

(1) a　(2) b　(3) c　(4) b²  4ac　(5) 5a  2b  c﹒

三、填充題(共 60 分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1.一雙曲線的中心為(2,3)﹐貫軸平行 y 軸﹐共軛軸長為 4﹐一漸近線之斜率為 1﹐則此雙曲線 方程式為____________﹒

2.圓 C1﹕(x  3)²  y²  4﹐圓 C²﹕(x  2)²  y²  1﹐今有一動圓與圓 C¹﹑C²均相切﹐則此動圓 之圓心軌跡方程式為____________﹒

3.拋物線 G ﹕y²  8x 的焦點為 F﹐P 為 G 上的動點﹐若點 A(4,  2)﹐則當PA PF 有最小值 時﹐此時P 點坐標為____________

4.已知雙曲線貫軸長為 6﹐共軛軸長為 4﹐貫軸方程式為 x  2y  3  0﹐若其中一條漸近線的 斜率為m 且 m > 0﹐則 m  ____________﹒

5.如圖，坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形，另 一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過C(4,0)與 D(  4,0)且皆以 y 軸為對稱軸﹐皆以 F(0,  3)為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩 曲線的頂點A﹐B 的距離AB____________﹒

6.設△AOB 中﹐O 為原點﹐A(3,  1)﹐B 在第一象限內﹐且∠AOB  q﹐若 tanq ⁴ 3﹐且 5

OB OA﹐則B 的坐標為____________﹒ 7.設雙曲線 : ^{2 2} 1

4 16 x y

G   ﹐P為其上動點﹐F1﹑F2為其兩焦點﹐若PF₁5﹐求PF₂= ﹒ 8.橢圓 : ^{2 2} 1

25 9 x y

G   上相異三點A x y





 

 ﹐C x y





 

9.設橢圓G 之兩焦點為 F1與F2﹐短軸頂點為 A 與 B﹒若△AF1F2為正三角形﹐且邊長為6﹐則 此橢圓之正焦弦長為____________﹒

10.已知等軸雙曲線G 的一條漸近線為 x  y  0﹐中心的坐標(1,  1)且 G 過點(4,0)求 G 的共軛 雙曲線G的頂點 ﹒

國立高師大附中 103 學年度第 2 學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科答案卷

高二 班 座號 號 姓名 一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1 2

二、多重選擇：(每題 6 分,共 30 分；答錯 1 個選項扣 3 分，答錯 2 個或 2 個以上選項不給分)

1 2 3 4 5

三、填充題(每格 6 分，共 60 分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

國立高師大附中103 學年度第 2 學期高二期末考自然組( 仁~信 )數學科參考答案

一、單一選擇題(每題 5 分，共 10 分)

1 2

4 3

二、多重選擇：(每題 6 分,共 30 分；答錯 1 個選項扣 3 分，答錯 2 個或 2 個以上選項不給分)

1 2 3 4 5

245 125 15 235 125

三、填充題(共 60 分，配分如下)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1 2 3 4

( 3)2

4

y ( 2)² 4 1 x

 

2 2

( 1)

2 1

1 6

4

x y

  或

2 2

( 1)

2 1

9 4

4

x y

 

(

, 

)

5 6 7 8

1 ^{( 13, 9)}

9 8

9 10

9