L →∞ 時， Fourier 級數 → Fourier 積分 1. Fourier 級數在非週期函數之應用 2.

1. Fourier 級數在非週期函數之應用 2. L→ ∞時，Fourier 級數→Fourier 積分

週期函數

非週期函數 偶函數

沒有L

振幅譜(a_n所形成的譜線(n=1, 2, 3...))

L→ ∞， f x( )為非週期函數(Fourier 級數→Fourier 積分) 24

= 23

= 22

=

振幅的個數/半波

半波有7( 2即 ^{4 1−} −1)個振幅 當L 增加，振幅愈來愈密集，但其值變小

2 sin 2 2

( 0), ,

n n

n n

n n

if wn

w w

a L w L w

L soif a

= L

↑

≈ ≈

→ ↓

0, ,

n n

a a b 代入

,

L d

L ω π ω

→ ∞ Δ = → 1.

2.

3. 0 0

( )

n

n L

n L

w

L

L π

ω π π

→ ∞

Δ →

→ ∞

=

，造成 積分非級數；

為任意值，

而不是 的整數倍，

即 。

= ，使無窮 級數變成

可以為非整數

的積分 0(因L→ ∞)

, ( )

L→ ∞ 導致f x 為非週期函數 絕對可積分

有L 下標，代表週期函數

∥

ω π Δ

重要公式！

非週期函數(因L→ ∞)

(公式要背清楚)

非週期函數

1 x 1

→ − < <

1, 1

x x

→ > < −

0

cos sin

2 ( )

t d f x

ω ω ω π ω

→

∫

∞ =

( ) 1 ( ) 1

2 ( ) 0 f x f x f x

=

=

= (1 ) 1

(1 ) 0 1 0 1

(1) ( )

2 2

f f f

−

+

=

=

= + = 取平均值

不連續因子

0

0

2 1 sin (0) 1

sin 2

f d

d π ω ω ω

π ω ω

ω

∞

∞

= = ×

=

∫

∫

故 正弦積分

(8*) (8) u→ ∞

式為 式的極限值

∞以 取代，可得a 到近似的結果

被積函數^sinω ω

0

sin

u

ω ωd

∫

ω

0

sin d 2 ω ω π ω

∞ =

∫

f(x)為非週期函數

偶函數

奇函數

( ) 0 [ ( )cos ( )sin ]

1 1

( ) ( )cos ( ) ( )sin

f x A t B t dt

A f v vdv

Fouri

B e

f vdv

r

v ω ω ω ω

ω ω ω ω

π π

∞

∞ ∞

−∞ −∞

= +

= =

∫

∫ ∫

積分

；

f(x)為奇或偶函數時，Fourier 積分的簡化....

拉氏積分

部份積分

2 2

0

0 ( k )

k ω

∞

= − − +

( ) 0 ( )cos f x =

∫

^∞Aω ω ωxd

除

部份積分

2 2

0

0 ( )

k ω

ω

∞

= − − +

( ) 0 ( )sin f x =

∫

^∞B ω ω ωxd

除 同理可得

1. Laplace transform:

( ) [ ( )] 0 ^st ( ) F s =^￡ f t =

∫

^{∞ −}e f t dt 2. Fourier transform

11.7 節(10)(11)式 ⁰

2 2 ( )cos 2 ˆ ( )

( ) f v vdv _c

A ω f ω

ω π

π π

=

∫

∞ =

( ) ˆ ( )

( ) ^C _C

f x的Fourier餘弦轉換：f x ⎯⎯⎯^ℑ → f ω

ˆ ( ) 1 (

ˆ_c( ) _C ^C )

f ω 的反Fourier餘弦轉換：f ω ⎯⎯⎯→^ℑ− f x v= x

重要公式！

同理可得

(

( ) ) ^S ˆ_S( )

f x 的Fourier正弦轉換：f x ⎯⎯⎯^ℑ → f ω 重要公式！

0

0

0

2

2

2 2

( ) ( )sin

( ) ( )sin

( )sin

ˆ ( )_S

f x B xdx

B f v v

f v vdv dv

f

ω ω ω

ω

ω π ω

π π π

∞

∞

∞

=

=

=

=

∫

∫

∫

v=x

ˆ ( ) 1 ( )

ˆ ( )_S f_S ^S f x

f ω 的反Fourier正弦轉換： ω ⎯⎯⎯→^ℑ− 重要公式！

由部份積分與循環積分(見補充資料)

co s

2

( sin co s )

ω 1 ω ω ω

ω

−

=

−

−

∫ ^e

^x

^{xd x} + ^e

^x

^{x x}

部份積分定理

推導過程如下：

令 e

^−x

= u

,

cos xdx ω = dv

,

− = e

^−x

du

,

1 s i n ω x v

ω ⁼

^代入

sin 1

cos ω sin

ω ω ω

ω

^{− −}

−

= +

∫ ^e

^x

^{xdx e}

^x

^x ∫ ^e

^x

^xdx

再令

e

^−x

= u

,

sin ω xdx = dv

,

e

⁻x

du

− =

,

1 co s ω x v ω

− =

_代入

2 2

cos ω sin ω c o s ω 1 co s

ω ω

ω ω

− −

−

= − − ∫

−

∫ ^e

^x

^{xd x e}

^x

^{x e}

^x

^{x e}

^x

^xdx

2

1 1

(1 ) cos (sin cos )

x

x

e

e ω xdx ω x ω x

ω ω ω

− −

+ ∫ = −

cos

2

( sin cos )

1

x

x

e

e ω xdx ω ω x ω x

ω

−

=

−

−

∫ +

公式

2 2

cos ( cos sin )

ax

ax

e

e bxdx a bx b bx c

a b

= + +

∫ +

2 2

sin ( sin cos )

ax

ax

e

e bxdx a bx b bx c

a b

= − +

∫ +

, udv = uv − vdu ，先求出 u → du dv → v

∫ ∫

(開始循環)

導數的轉換

√

證明重要！

, udv uv vdu

u du dv v 部份積分

先求出

= −

→ →

∫ ∫

0 0 0 ( )cos ( ) ( )cos ( ) f ∞ w ∞ − f ω = −f

0 0 0 ( )sin ( ) ( )sin

f ∞ w ∞ − f ω = 同理可證

cos sin

( ) ( )

u x du x

dv f x dx v f x

ω ω ω

= → = −

= ′ → =

√

{ ( )}

C f x

ω ′

− ℑ

解法1：

0

2 e ^axcosωxdx π

∫

∞ −

解法2：導數轉換公式法

As a=1, 則 Ex 3 = Ex 2

(公式)

2 2

0 ( )

( )

( ) ( )

( )

ax ax

ax

f x e

f x a e a f

f x a

f a

x

e⁻

−

−

=

′′ = =

′ = −

′ = −

除

√

√

離散與快速

Fourier 轉換(FFT) →

與數位訊號處理有關(本節略)

Fourier 積分的複數形式

cos(α β± ) cos cos= α β ∓sin sinα β

整個[ ]內為ω的偶函數

(1) + i (2)

整個[ ]內為ω的奇函數

cos sin e⁻ix = x−i x

v= x

i x i v

e

^ω

e

^{− ω}

= ×

√

√

( ) ˆ (

( ) )

f x 的Fourier轉換：f x ⎯⎯⎯^ℑ → f ω 沒有下標

Fourier 轉換

√

ˆ ( ) 1 (

) )

ˆ (

f ω 的反Fourier轉換：f ω ⎯⎯⎯^ℑ− →f x

1

( ) ˆ ( )

( ) ˆ ( )

ˆ ( ) ( )

f x f

f

f f x

x Fourier

f Fourier

的 轉換：

的反 轉換：

ω ω

ω ⁻

⎯⎯⎯ℑ →

⎯⎯⎯ℑ →

1

1

( ) ˆ ( )

ˆ ( ) ( )

( ) ˆ ( )

( )

ˆ ( ) ( )

( )

C C

C C

S S

S S

f x Fourier Fourier f

f x f

x Fourier

f f x

f x f

Fourier f f x

的 餘弦轉換：

反 餘弦轉換：

的 正弦轉換：

反 正弦轉換：

ω ω

ω ω

−

−

⎯⎯⎯ℑ →

⎯⎯⎯→ℑ

⎯⎯⎯ℑ →

⎯⎯⎯→ℑ Fourier 轉換

Fourier 正弦與餘弦轉換(518-519 頁)

比較

0

( ) ( )

1 [ ]

2

a i a i

e e

a i a i

ω ω

ω ω

π

− + ∞ − +

− +

+ +

0 1

× −( 1)

2

1 ( )

2

sin sin

2 in

2

s 2 iω π i

ω

ω π

ω ω ω π

−

=

− 2 =

π

先決條件！

部份積分

0

, udv uv vdu

u du dv v

= −

→ →

∫ ∫

先求出

( )

( ) ( )

i x i x

u e du i e

dv f x dx v f x

ω ω ω

− −

= → = −

= ′ → =

2

{ ( )} f x ω

= − ℑ

解法1 (硬拼式解法) 1 2

2

x i x

xe e ^ω dx π

∞ − −

=

∫

−∞

解法2

2 2 2

2

2

1 1

( ) ( 2

( ) 1( ) 2 ( )

2 2 )

x x x

x

x

f

e xe x

f

e

x e

x xe

− −

−

−

−

− ′= − −

′ =

=

= − 即

{ ( )}f′ x iω { ( )}f x

ℑ = ℑ

摺積 (複習 Sec. 6.5 的 Laplace 轉換之摺積定理)

ˆ ˆ

2π ωf( ) ( )g ω

=

ˆ ( ) 1 ( )

2

f ω f x e i x^ω dx π

∞ −

=

∫

−∞

公式：

-1

( ) ( ) ( )

then [ ( ) ( )] ( ) ( ) = ( ) ( )( )

If F s G s H s

L F s G s f t g t h t = f ∗g t

=

≠ 查表而得

( ) h x

x p g x p q dx dq

− =

= +

=

i p i q

e

^{− ω}

× e

^{− ω}

1

( ) 2 ˆ( )

2 ( )

( ) ˆ( ) ( )

2

x

x

i

f f f x e i dx

f x e dx f

f

ω

ω

ω

ω π

π

∞ − π

−∞

∞ −

−∞

=

ℑ =

ℑ

=

=

∫

∫

故 公式：

1

ˆ ˆ

( )( )

1 ˆ

( ) ( ) ( )

2

2 ( ) ( )

i x

f

f f x f e

f g

d

g x

ω ω ω π

π ω ω

− ∞

ℑ = = −∞

∗

∫

公式：