數學學習障礙學生的診斷與確認
柯華葳
國立中央大學
摘 要
本研究以基礎數學概念評量篩選 1226 位經班級老師提名可能有學習障礙的國民 小學學生，其中有 71 位數學學習障礙學生。這些學生智力一般，閱讀能力在中等或 中等以上，但是在數學運作上有困難。針對二、三、四年級共 10 位學生，研究者進 行一週三次，每次 40 分鐘的密集教學 。經過密集的加法和減法練習，學生或許可 以正確答題，但其解題所花費的時間顯示他們有計算技能自動化的問題。解題時，
這些學生需要藉助外力如手算與點頭。此外他們亦有困難遷移所學。本研究肯定在 國民小學裡有閱讀能力在一般以上的數學學習障礙學生，需要老師和父母提供特別 的教學輔導。
關鍵字：數學學習障礙、基礎數學概念評量
＊本研究經國科會NSC-89-2614-S-194-001，90-2614-S-194-001 補助，特此致謝。
國立臺灣師範大學特殊教育學系
特殊教育研究學刊，民 94，29 期，113-126 頁
研究背景
數數（counting）與加、減是日常生活中必 備的能力。可能因為這些技能的必需性與普遍 性，它們似乎不被認為是有困難習得的能力。
事實上，在學校中數學是很多學生的煩惱與憂 慮。數學成績的好與壞被學生、家長及老師當 成智力高低的指標。數學為什麼學的好或學不 好，有學者提出是動機、教學品質（包括教師 對數學及對學生學數學的看法）等因素的影響
（Rivera, 1977; Ginsberg, 1977）。除動機和教學 因素外，過去許多針對數學學習的研究指出一 般學生在數學上會犯的錯誤，如會操作程序但 沒有概念上的理解（Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989）；學生有系統 性的錯誤（例如 Brown & Burton，1978 提出學 生最常發生的減法運算錯誤）。只是這些研究沒 有特別指出，有學生學習數學有根本上的困 難。而在 DSM-Ⅲ-R（Diagnostic and statistical manual of mental disorders，1987）中是有針對 數學學習障礙（mathematical disabilities）給的 定義：
1.在校一般學習能力及智力符合預期，但 以 個 別 化 的 標 準 測 驗 測 得 的 數 學 技 能
（arithmetic skills）與預期應有的標準相去有一 段距離。
2.上述缺失會影響這位學生的學業成就以 及在日常生活中與數學有關活動的表現。
3.上述的表現並不是因為視覺或聽力以及 神經系統問題所造成的。
根據國外的統計（Geary, 1993；引自 Badian, 1983），約有 6.4％的小學生和中學生有學習數 學的困難，是所謂的數學學習障礙。至於算數 學 習 障 礙 （ Arithmetical learning disability, AD），推估約有 5％-8％的兒童有此學習困難
（Geary, 2003）。
國內特殊兒童（國小階段，2004）普查指
出，學習障礙學生（包括疑似學習障礙）有 8693 人，佔特殊教育人口（國小階段，35624 人）
的 24％。至於其中有多少比例的學生是數學學 習障礙者，則無類別上的統計。國內過去針對 學習障礙兒童的研究較多以閱讀障礙為主（例 如柯華葳、洪儷軒（編輯），民 88），尚未有學 者有系統的研究數學學習障礙者的特徵與學 習。本研究擬從較基本的問題開始探討， 找出 數學學習障礙學童的特徵，以為診斷與教學的 參考。
文獻探討
較早關於數學學習障礙的文獻，也是經常 被引用的為 Kosc（1974）提出的「發展性數學 技能障礙」（developmental dyscalculia）。命名 為發展性是要有別於成人因腦傷造成的數學技 能障礙（postlesional dyscalculia）。Kosc 設計不 同 的 數 學 測 驗 在 捷 克 （ Czechoslovakia ） Bratislava 14 所學校測 375 位 11 歲學生。 Kosc 首先排除智能或其它能力有問題的學生，而後 將發展性數學技能障礙分成：
1.語言上數障（verbal dyscalculia）：不能以 口語表達，如命名數學符號和數學操作。
2.實物操作數障（practognostic dyscalculia）：
不能以數學操作實物，如數算手指積木等。
3.語義數障（lexical dyscalculia）：不能閱 讀數學符號。
4.圖象數障（graphical dyscalculia）：不能 以寫的方式操作數學符號。
5.理解數障（ideognostical dyscalculia）：不 能理解數學概念。
6.運算數障（operational dyscalculia：運算 程序上有困難。
Kosc 在 375 位學生中找出 24 位學生（佔 6.4％）有上述一種或多種的數學學習障礙。
對 於 數 學 學 習 障 礙 的 分 類 ， 從 Kosc
（1974）研究以後不算少數。但是要達成怎樣 的標準才算是數學學習障礙？研究上對於數學 學習障礙者的篩選標準，基本是以智力成績在 一般水準中，其數學標準測驗成績在一個標準 差 之 下 ， 如 數 學 推 理 成 績 （ mathematics reasoning）連續兩年（小學一年級和二年級）
都在百分等級 35 以下者（Geary, Hamson, &
Hoard, 2000）或是在一個年級以下者（Russell &
Ginsburg, 1984）為數學學習障礙者。
國內常被引用的學習障礙鑑定標準有（洪 儷瑜，2000，p.184）：
1.差 距 標 準， 包 括 (1)能 力 與成 就 間的 差 距。(2)學業成就間的差距。(3)個體內各項能力 的差距。
2.排除標準，排除由感官缺陷，智能不足，
情緒困擾或缺乏適當學習環境所造成的學習困 難者。
差距標準的計算如（林秀柔，民 78；蕭金 土，民 84）：
1.年級差異：學生若智力正常，但學業成 就水準低於一或兩年則疑為學習障礙。
2.期望公式：以智力商數預估學生的表現 期望，再比較成就水準與預期水準的差距。
3.標準分數：將智力測驗和成就測驗化成 z 分數，再比較兩個 z 分數的差異。
4.廻歸分析：以統計方法在智商成績和成 就分數間算出一個預測方程式，以回歸公式計 算出某一智商分數的回歸成就分數分佈，並以 估計標準誤建立預期成就的標準。
林秀柔（民 78）曾比較以標準分數（智 商成績標準分數比數學成績標準分數大 1.5 個 標準差）、迴歸分析（以智力成績預估成就，
比 較 與 實 際 成 就 間 差 距 大 1.5 個 估 計 標 準 誤）、和學校鑑定法（由老師推薦班上數學平 均成績低於 80 分以下，智力一般者 2 至 3 名）
所找出的學習障礙學生。結果指出上述三種鑑 定方法所找出的學生符合林氏自編的數學學
習障礙檢核表標準的百分比在 26.8％至 41.8％
之間。蕭金土（民 84）則以不同的數學測驗 成績作廻歸分析，所得數學學習障礙學生的一 致性僅有 12.96％。
以分數差距或是 歸挑選學習障礙學生最廻 大的問題在採用不同的測驗可能得到不同的結 果。其次是，無法顯示出主要的障礙問題，自 然就無法確定是否找出有主要缺失的個體。研 究者需要找出數學學習障礙者的特徵，也就是 他們與其他學生在數學學習與表現上不同的地 方。
為了解數學學習障礙者在數學表現、數學 概念以及計算上的特徵，Russell 和 Ginsburg
（1984）將他們與一般智力的同年級學生和低 一個年級的學生做比較。Russell 和 Ginsburg 呈 現了五類 14 種與數學有關的評量。第一類是非 正式的數學概念與計算，包括比大、哪一個數 較接近目標數、心算和估算。這四項中數學學 習障礙者只在心算一項表現比同年級學生差。
第二類是以 10 為概念及數算，包括以五、以十 為單位計數、說出大鈔的數量是由幾個百、幾 個十所組成、十、百、千位數的乘、比較位數 相同數的大小以及數值表徵。結果五項中，數 學學習障礙者在說出大鈔的數量是由幾個百和 幾個十所組成、十、百、千位數的乘表現比同 年級學生差。第三類是借位和進位與錯誤辨 識，結果，數學學習障礙者表現都比同年級學 生差。第四類是數學事實，他們表現比低一年 級學生及同年級學生都差。第五類解計算題策 略與文字題，結果在文字題上，數學學習障礙 者表現比低一年級的學生和同年級學生差，其 中又以複雜減法題和有不相關訊息文字題的表 現最差。整體而言，數學學習障礙者的數學表 現比同年級學生差，但最顯著的問題在他們的 數學事實抽取和複雜文字題解題上比低一年級 的學生都差。
其他研究者（如，Jordan & Montani, 1997;
Rouke, 1993）以及 Geary 和其同事整合各類比 較數學學習障礙學生和其他學生的文獻，也肯 定數學學習障礙學生主要的問題是數學事實提 取有困難，在數數過程中也有較多錯誤發生
（ Geary, 1993; Geary, Hamson, & Hoard, 2000）。不過，在數學事實回憶上，若不以時間 為能力上的要求，數學學習障礙學生還是可以 做對的（Jordan & Montani, 1997）。進一步觀察 低年級學習障礙者的計算行為，Geary（2003）
發現數數時，他們大多數用手指或口數，且由 大數數起，而隨年級的增加，使用的數數策略 不太有改變。
總結文獻，數學學習障礙學生至少有兩個 層面的問題：一是解決數學問題時計算程序的 技能，另一是長期記憶系統中表徵與抽取數學 事實的困難（Geary，1993）。其背後認知的差 異，根據 Geary（1993、2003）依文獻及自己 與同事的研究，將數學學習障礙分為三類，語 意記憶類、程序記憶類以及視空間記憶類。第 一類與閱讀障礙一起發生。後兩類則可能不與 閱讀障礙一起發生（表一）。Geary 也推論三類 數學學習障礙可能牽涉到的腦運作部位，指涉 數學學習障礙有其神經基礎。
近年有針對腦傷病人的研究指出大腦中負 責數學運作的區域（如 McCloskey, Caramazza,
& Basili, 1985; Sokol, McClosky, Cohen, &
Aliminosa, 1991; Dehaene & Cohen，1997）。例 如 Sokol 等人（1991）發現左腦傷者有嚴重語 言缺失，對於 99 乘法題（以印刷的數字呈現題 目）有兩種表現。一是回答 0×0 和 0×N 這一 類問題沒困難；但對另一種題目：任兩個位數 字相乘（M×N）就表現出隨意的結果。這讓 Sokol 等研究者對乘法的學習與記憶提出一個 模式：事實記憶（M×N）與規則記憶（0×0，
0×N）是分開運作的。這結果與上述 數學學 習障礙的特徵之一相呼應，似乎指向記憶數學 事實有一特別機制，數學學習障礙學生或許如 腦 傷 病 人 在 這 機 制 上 的 表 現 是 有 困 難 的 。 Dehaene 和 Cohen（1997）則觀察到腦中有兩個 路徑處理算術問題，一是直接路徑，直接抽取 數學事實，位於左腦皮質。這與 Geary（1993）
對語意記憶的神經系統推測相似（表一）。或許 兩者之間是有關聯，但需要在數學學習障礙學 生身上求證。另一則是間接路徑，需要使用到 數學數量表徵與語意知識，位於左右腦的頂葉 區。
若數學學習障礙有其神經基礎，數學學習 障礙者的困難隨著發展是否有改善的空間？
Geary（1990）曾追蹤小學一年級學生中有學習 障礙者（learning disabled, LD）至二年級，這些
表一 數學學習障礙亞型
問 題 層 面 語 意 記 憶 程 序 視 空 間 認知與表現 1.提取數學事實頻率低
2.提取錯誤率高 3.正確率不系統呈現
1.使用不成熟程序 2.錯誤使用程序 3.不理解所使用程序背
後的概念
1.有困難空間表徵數學訊 息如排列
2.誤解空間表徵的數學訊息
神經系統 1.左腦功能傷 2.視丘（？）
1.左腦功能傷（？） 1.右腦功能傷
與閱讀障礙關係 與RD 一起發生，特別 是語音RD
尚須進一步確認 不與語音RD 一起發生
（翻譯自D. Geary，1993），（？）表尚須進一步確認
LD 學童都有數學學習障礙者的特色。Geary 發 現 這 一 群 學 生 可 以 分 為 兩 組 ， 一 為 改 進 組
（ LD-improved ）， 一 為 不 變 組 （ LD-no change）。兩組在簡單數字計算的策略使用上有 差異。不變組較多使用無效的策略且研究者在 其 解 題 反 應 或 反 應 時 間 上 較 找 不 出 一 模 式
（pattern）。依 Geary（2003）的說法，不變組 才是數學學習障礙者。
綜合上述國外文獻，我們看到有學生在簡 單的數學上是有學不到的困擾，這些困擾反應 在抽取數學事實有困難、以手指計算以及未自 動化的計算表現上（Geary，2003）。而這些困 難似乎有其神經基礎，因此也可能帶出經過時 間或是訓練仍然「不改變」的現象。
上述國外研究所定義數學學習障礙學生基 本上都是學習障礙學生伴隨有數學學習上的問 題或是有 ADHD 的困擾（Geary，2003）。因此 其中不乏可能有因文字（閱讀障礙）造成數學 處理上的困難（如，Russell & Ginsburg, 1984）。
為澄清數學學習障礙學生的數學表現，本研究 將依教育部（民 87）公佈學習障礙鑑定標準進 行篩選，找出只有數學學習障礙但無閱讀障礙 的學生並進行教學，以確認數學學習障礙學生 的特徵，以供未來診斷與教學輔導之參考。
研究方法
一、學生篩選
（一）篩選流程
本研究採用柯華葳和邱上真（民 89）依據 教育部公佈（民 87）之身心障礙及資 優異學赋 生鑑定原則鑑定基準中之學習障礙學生鑑定原 則鑑定基準所擬學習障礙篩選流程，進行篩選 工作。篩選流程如下：
1.請學校老師填寫「特殊需求學生特徵檢 核表」（洪儷瑜，民 89），作一全面特殊性問 題的收集。
2.由老師所填寫「特殊需求學生特徵檢核 表」中找出在學習項目下有被勾選的學生。
3.安排老師推薦的學生接受評量，評量包 括：中文年級認字量表、基礎數學概念評量、
閱讀理解困難篩選測驗（測驗請見篩選工具說 明）。
4.由上述學生中找出有閱讀困難和數學困 難的學生。接著再針對這些疑似學習障礙的學 生作瑞文氏彩色圖形智力測驗和畢保德圖畫詞 彙測驗以確認他們智力在一般以上（含一般）。
（二）篩選工具
上述流程中所使用的測驗如下：
甲、團體施測部分
1.瑞文氏彩色圖形智力測驗：由俞筱鈞（民 82）修訂自英國 J. C. Raven 所編的瑞文氏彩色 圖 形 補 充測 驗（ Colored Progressive Matrices Test 簡稱 CPM），受試者圈選出適當的圖塊填 入缺塊的圖片中。本測驗的再測信度為.95，折 半信度.92，同時效度：比西量表相關為.73；畫 人測驗相關為.32；與學業成績相關為.17~.40。
2.閱讀理解困難篩選測驗：由柯華葳﹙民 88a﹚編製。本測驗目的在偵測小學學生閱讀理 解困難，排除閱讀歷程中會妨礙閱讀理解的其 他成分，如認字。題目類別如下：字意題﹙由 上下文抽取字意﹚，命題組合題﹙處理不同命題 中重複出現的概念或代名詞﹚以及理解題。適 用於國小二年級至國小六年級。本測驗與國語 文能力測驗中的閱讀理解測驗相關係數皆達 p<.01 的顯著水準；和畢保得的圖畫詞彙測驗、
中文文字認字評量的相關也都達 p<.01 的顯著 水準。與注音符號有關的測驗，如：聲母、韻 母的分辨，聲韻轉錄的相關也是達 p<.01 的顯 著水準。
3.基礎數學概念評量：由柯華葳（民 88b）
編製。本測驗目的在偵測兒童處理基礎數學運 算上的困難，為一計時的測驗。題本有 12 個分 測驗包括：個位數字比大、比小、個位數字加
法、個位加十位進位加法、個位數字減法、十 位數字減個位數字（借位，十位數字分別是 1、
2、6）、九九乘法、三則運算、空格運算和文字 題。成績計算分為兩部分：(1)每個分測驗答對 數與全部題數的比例（答對／全部），這表示在 固定時間內答對的比例。(2)每個分測驗答對數 與答完題數的比例（答對／答完）。若學生在能 做到的題目中答對比例高，表示他是有能力 做，但是有自動化的問題。一般學生，不論年 級，在個位數字加法、個位加十位進位加法、
個位數字減法、十位數字減個位數字等題形答 對/全部的通過率在 80 以上，而答對/答完的通 過率在 90 左右。 本評量效標關聯效度是以學 校的數學成績為效標與本測驗答對/答完的成 績 求 相 關 ， 二 至 六 年 級 相 關 係 數 分 別 在 .43 至.83 之間，皆達統計上顯著水準（p<.01）。建 構效度為各年級高、低分組在各分測驗上表現 都有統計上顯著差異（p<.01）。高分組為成績 在 各 年 級 樣 本 前 10％ 者 ， 低 分 組 則 為 在 後 10％者。
乙、個別施測部分
1.畢保德圖畫詞彙測驗：由陸莉及劉鴻香
（民 83﹚修訂 Peabody Picture Vocabulary Test 而成。受試者在聽到一個詞彙後，要在四個圖 形中選出代表該詞彙意義的圖片。本測驗的再 測信度，甲式為.90，乙式為.84。折半信度：甲 式 為 .98~.97 ， 乙 式 為 .90~.97 ， 複 本 信 度 為.60~.91。同時效度：甲乙兩式與魏氏兒童智 力量表語文智商之相關皆為.60，與非語文智商 相關分別為.44 與.62，與全量表智商相關為.61 與.69，詞彙測驗量表相關為.55 與.48。
2.中文年級認字評量：由黃秀霜﹙2001﹚
編製。本認字量表指在評量學生的認字量，採 個別施測，以口頭讀字的方式評量在沒有上下 文脈落下學生的認字能力。適用於國小一年級 至國中三年級。再測信度為.81~.95（p＜.001），
內 部 一 致 性 信 度 Cronbach’s α 係 數 為 .99
（ p＜.001）。折半信度為.99（p＜.001）。建構 效度：以橫斷方式進行國小至國中 9 個年級之 差 異 考 驗 ， 其 差 異 非 常 顯 著 (F ＝ 1020.93 ， p
＜.001）。效標關聯效度：在校國語成績之相關 係數介於.36（p＜.05）~.76（p＜.001）呈現之 相關值顯示中度至高度之關聯。國小一至六年 級中文年級認字量表與標準化國語文成就測驗 相關為.48~.67（p＜.001），學業系列性向測驗之 國文測驗與測驗之相關為.49~.64（p＜.001）。依 據本評量指導手冊說明，PR 在 25 以下者可以 考慮為認字能力薄弱學生。
（三）篩選結果
在嘉義市，透過班級教師轉介，共有 1226 位學生被推舉出來疑有學習上的困難。經排除 有明顯的生理現象以及一年級學生，研究者對 890 位兒童進行篩選測驗。診斷結果，疑似學 習障礙者有 593 人。593 人中，性別上，男生 428 人，佔 72％，女生 165 人，佔 28％。年級 分佈上，二年級有 130 位、三年級有 147 位、
四年級有 124 位、五年級有 92 位、六年級有 100 位。研究者以在基礎數學概念評量上有一 般學生以上表現，但在中文年級認字評量或閱 讀理解困難篩選測驗表現在一般以下者為閱讀 障礙學生。相對的，則為數學學習障礙學生。
若在數學和閱讀測驗上都在一般水準以下但是 智力測驗成績在一般水準則為雙重障礙者。這 些學生可以清楚分為閱讀障礙者有 28％，數學 學習障礙者有 12％，其餘 60％學生為兩種障礙 都有。
與嘉義市全部學生數比較，學習障礙人口 佔全市小學生人數 3.18％。比例上似乎低於上 述國外研究的比例。但是與美國 1989－1990 所公佈的學習障礙學生佔學校學生的 3.62％
（洪儷瑜，2000）較接近。
二、密集教學與觀察
為進一步確認數學學習障礙學生的特徵，
研究者邀請上述所篩選出來的學生參與教學，
採用一對一密集的數學教學並記錄數學學習障 礙學生每一次作業情形，探討他們學習期間的 改變。在此將教學觀察的資料與個案結合，說 明數學學習障礙。
（一）教學內容與過程
研究者聯絡四所學校，將篩選出來疑似數 學學習障礙兒童名單交給各班級任導師，並告 知有一連續四周，每週三次（隔一天一次）的 補救教學活動，請告知家長並簽同意書讓子女 參加。結果有 10 位學生參加，分別是二年級 5 位、三年級 2 位、四年級 3 位。其中女學生，
三年級一位，四年級兩位，其餘皆是男學生（學 生基本資料請見表二）。本研究兩位助理以一對 一方式進行教學，每一次 40 分鐘。教學基本上
是給練習單，上面有同類型題目 5 至 10 題。每 一練習單交給學生後，助理計時並記錄學生如 何運算。學生完成一張練習單後，會詢問其運 算方式，並作檢討。一張做完再做下一張練習 單。每一次使用的練習單由 5 張至 13 張不等，
完全看學生的速度與精神。第二次一開始會複 習上一次的題型。教學原則以學生在數學基礎 概念評量上表現不佳的題型開始，循序漸進。
例如，若學生在進位加法上有困難，則先提供 不進位加法作為練習，而題目的安排，以進加 為例，先是十位數為 1，而後十位數 2，十位數 3 等直到學生的速度和正確率達到一個穩定的 狀態。
表二 10 位疑似數學學習障礙學生資料 學 生 編 號 認 字
百 分 等 級
閱 讀 理 解 通 過 率
數學％
做對／全部
數學％
做對／做完
2-1（C） 89 61 60 77
2-2（CH） 72 61 48 83
2-3（S） 56 56 40 75
2-4（LL） 81 33 51 93
2-5（P） 77 28 49 79
3-1（YA） 73 56 76 95
3-2（Y） 87 78 48 58 4-1（L） 41 80 52 93
4-2（TS） 53 70 67 84
4-3（CHE） 71 55 73 92
這 10 位學生的基礎數學概念評量成績與 同年級一般學生比都偏低（柯華葳，民 88b），
表二顯示這些學生也都有自動化的問題（做對
／做完分數比做對／全部分數高）。例如#3－1 做對／全部通過率雖有 76，但有自動化問題。
這些學生的語文表現在認字（黃秀霜 ，2001）
和閱讀理解（柯華葳，民 88a）則屬一般能力 上。其中雖有閱讀理解成績不佳者如#2－4 和
#2－5 但是他們的認字百分等級在 75 以上。或 是有學生認字不佳如#4-1 但是其閱讀理解通過
率是 80％。基本上這些學生都不算是閱讀障礙 者。而依據基礎數學概念評量，他們主要的數 學問題在進位加法和借位減法上。
下面將分析教學過程中學生使用的運算方 法、方法上的轉換和計算時間與正確率的改變。
（二）教學對數學學習障礙學生的成效 1.教學成效
經過 10 至 12 次教學，學生最後一周都進 入借位減法單元。教學結束時當天，研究者給 學生再作一次不同十位數的借位減法，若學生
可以正確答對，且有時間，再給一張百位數減 個位數的的減法（如 134－6）10 題，以檢驗其 學習遷移能力。結果是：
(1)正確完成借位減法，但沒有時間做百位 減個位的有 2－1、2－2、3－1 三位。
(2)正確完成借位減法，但百位減個位有錯 誤的有 2－4、3－2、4－1、4－2、4－3 五位。
(3)無法正確完成借位減法者有 2－3、2－5 兩位。
換句話說，經過教學，雖有八位學生可以 正確完成兩位數減個位數的借位減法，但是不 保證他們可以正確的做百位減個位的借位減 法。
2.學生使用的運算方法
(1)基本上學生都使用手指頭幫助計算，並 輔以「點頭」、「口數」、「心算」、與直式列式。
a.由大數往上加（#2－1，2－2，2－3，2
－4，2－5，3－2，4－1，4－3）。
b.減法先比出大數所代表的手指，再逐一 扳下指頭（#2－1，2－3，2－4，2－5，3－1，
3－2，4－2，4－3）
(2)計算時，學生亦採用「分解」數字幫助 計算，多數拆解是以 10 或 5 為單位。
例如：9－2＝
a.9＝5＋4、b.4－2＝2、c.2＋5＝7（a.b.c.
表先後步驟，#2－2）
又例：11－6＝
a.11＝10＋1、b.10－6＝4、c.1＋4＝5（#2
－2）
包括以直式運算也拆解數字，如 88＋63
（#2－2）。
80
＋60 140 8
＋3 151
(3)學生也有直接抽取數學事實的，如不進 位加法（例#2－1）或是 10 減個位數字，其中 以規律的計算如 3＋3、4＋4、5＋5 兩個數字一 樣的加法計算時間最短，正確率也最好。
(4)口語上的輔助，例如#2－1 計算時除了 使用手指，口頭上會說（計算 9－4）：「10－1
＝9、5＋4＝9。」
(5)學生也學到某些解題策略，例如同一次 練習借位減法（#3－2），十位數分別是 1、3、
5、9。#3－2 將十位先填上（分別為 2、4、8）
再計算，但其運算時間並未縮短，十位數為 2 的計算時間是 2’09”、2’04”、十位數為 5 時間 為 1’54”、1’57”、十位數為 9 時間為 2’19”、2’21”
（每次 10 題，練習兩次）。除計算時間未明顯 減少，且有錯誤出現，如 31－4＝26、56－7＝
48 等。
(6)學生每次練習所發生的錯誤不一致，例
#2－3，6＋9＝17（第二次），6＋9＝14（第三 次）；#2－5，16－7＝8（第一次）、16－7＝6
（第二次）、16－7＝10（第七次）；#3－2，11
－2＝8（第一次）、11－2＝2（第三次）、11－2
＝8（第五次）。
由第一次到最後一次教學（因學生出席狀 況而異，最少 10 次），不論學生採用何種方式 計算，都有清楚可以觀察到的數算行為。當學 生拿到練習單的第一時間幾乎都以手計算，有 的加上口念或輔以點頭數算。經研究助理提 醒，學生是可以換成其他方式，但是由第一次 到最後一次練習先借外力如手指來數算的行為 未變。這些觀察與 Geary（2003）的觀察資料 是一致的。以手指或其他外顯行為輔助簡單計 算的行為在 4、5 歲兒童身上常被觀察到，但隨 著年齡增加，大多數學生會直接抽取數學事實
（Siegler，1988）。顯然，這一批數學學習障礙 學生在簡單計算上表現出較無效的計算方式。
3.計算時間與正確率
在經過多次練習後，多數學生答題正確比
率增加，但是計算所使用的時間沒有明顯改 善。一般來說，這些學生計算兩位數加一位數 的進位加或兩位數減一位數的借位減，當題目 只有 10 題時，所需時間平均在 1’30”至 2’30”
之間，有的學生有些題目練習超過 4 分鐘，如，
#2－4。由計算時間觀察學生，有以下特色：
(1)固定題型練習有幫助，一換題型計算速 度就慢下來
學生在同一時段內的練習可以增加計算速 度，例如，#2－1 同一天連續作十位為 1 的練 習，第一次 10 題的時間 2’01”、第二次’1’12”、
第三次 1’02”、第四次’1’28”。 但當換不同作 業內容時，例如，
a.由不進位加法換到進位加法，或 b.由十位為 1 的借位減法改作十位為 2 的 借位減法，或
c.同一時間內換不同的題型練習，學生完 成的時間又拉長了。
以#2－4 為例，同一時間內連續作十位為 1 的減法練習（第六次上課，前五次練習進位 加），第一次 10 題的時間 3’08”、第二次’3’24”、
第三次 3’13”、第四次 2’28”、第五次 2’18”、第 六次 2’44”。第七次上課，練習十位為 4 的減法 練習，第一次 10 題的時間 4’ 、第二次 3’37”、
第三次 2’15”、第四次 2’43”。
再以#2－3 最後一次（第 10 次上課）的表 現為例，說明同一時間內有不同的題型，學生 完成的時間又拉長了。
第一份練習單，2’10”，個位進加（例：9
＋8），用頭點算、用拆解。
第二份練習單，3’02”，個位進加。
第三份練習單，3’24”，不借減。
第四份練習單，4’55”，進加（例：13＋8）。
第五份練習單，10’51”，借減（例：13－4）
用手比 10－4，再加上 3。
這個特徵如 Geary（1990）所謂的不變組，
較多使用無效的策略，在其解題反應或反應時
間上較找不出系統。
(2)學習遷移有困難
當然有學生練習後在某一項目上有進步，
例如，#4－1 最後可以以少於 40”的時間完成 10 題以 10 減個位數的題目。#4－2 借位減法由 十位 2 至 9 的練習時間為到最後一次上課的練 習大約在 50”內可以正確完成，是進步最多的 一位學生。但是當助理提供他三位數減個位數 的借位減法（百位數為 1，例：134－6），兩次 各 10 題，其運算時間又拉長，分別為 1’39”和 1’08”，且有錯誤。其餘學生 2－4、3－2、4－1、
4－3 如教學成效中所述，在百位數減個位數
（只在十位借位）上都有錯誤發生。
討論
由上述分析，我們肯定在小學有學生智力 一般，沒有閱讀的困難但是有學習數學基本概 念與運作上的學習障礙。他們的表現整理如下：
1.在大部分基礎數學概念分測驗的通過率
（作對/全部）未達各年級的平均通過率甚至未 達及格的標準（低於 60％）。
2.在某些題型上若計算他們在答完題目中 的答對題數，他們的答對率或許達及格標準，
但其運算速度比一般學生差，表示運算未自動 化。
3.他們運算的策略主要是以手數、口數或 是點頭來計數。雖經過提醒，他們會改用不同 的計算策略，但是每次一開始練習，他們會習 慣的伸出手指來計算。
4.他們也會拆解數字再進行計算，只是拆 解程序似乎讓計算更複雜而造成一些錯誤。
5.經過多次練習，數學學習障礙學生的錯 誤率可能降低，甚至可以沒有錯誤，但是運算 的時間沒有明顯改進。
6.即使在每一次同一組題型練習中速度會 稍微變快，但是一換題型包括同是進位加或是
借位減，只有十位數字的改變，都會讓這些學 生計算的速度再次慢下來。
7.在他們屢次的運算錯誤和計算時間上不 容易整理出系統的反應模式。
由教學與練習得不到進步的狀況來看，這 些學生是有數學基礎概念學習上的困難，這回 應教育部鑑定基準「不是一般教學可以改善的」
的要求，也是國外文獻所觀察到的現象（例 Geary, 2003）。
由上述觀察，我們肯定只有數學學習障礙 但是沒有閱讀障礙的學生在基礎數學計算表現 上，除了他們的成績不及同年級學生的表現 外，他們依賴手指計算，較少表現出直接提取 數學事實的能力。也因此，他們計算時間長於 同年級兒童。基於少直接提取數學事實，且時 計算間長，表示他們運算不自動化。就是幾經 練習後，自動化仍是他們的問題。
由於數學學習障礙學生的數學錯誤似乎沒 有規則可循且無自動化現象，研究者推論他們 學習計算時無法類化所學，以致於無法遷移。
數學學習障礙兒童在某些題型上可以做對一些 題目，但做對這些題目的經驗不保證他們在同 一類型的每一題都可以答對。為什麼？是不是 因為每一題對他們來說都是新的題目，也就是 說，他們在練習中沒有類化出解題的原則，以 致無法自動化。這表現在有困難直接抽取數學 事實且無法遷移。
本研究排除生理問題，也排除閱讀困難，
提出在數學基礎概念上有學習障礙的兒童，他 們在數學計算上主要困難發生在加法進位、減 法和借位減法。其計算特徵是：
1.與同儕比較，數學學習障礙學生計算時 習慣輔以外力，如手指、點頭和口語幫助數算。
2.他們計算所使用的時間比同年級學生長。
3.經過短期密集練習，他們運算的速度改 善不多。
4.既使經過練習，在某類題型上可以正確
作答，但一當變化題型，他們的錯誤率增加，
計算時間也變長。
本研究推論，數學學習障礙學生的困難在 不能類化學習經驗，因而帶出直接抽取數學事 實的困難、錯誤和時間反應上不容易整理出一 系統、自動化的問題以及學習遷移的困難。這 些特徵可以做為使用篩選工具外，行為觀察的 依據。
至於人口比例上，以嘉義市學童數來看，
沒有閱讀障礙的數學學習障礙學生大約佔學習 障礙人口的 0.3％。這比例是不是偏低？由於國 內沒有數學學習障礙學生比例資料可供參考，
以國外資料來作比較。Kosc（1974）在 375 位 11 歲學生中找出 24 位學生有數學學習障礙 ， 佔 6.4％。由於 Kosc 使用的工具在文中沒有詳 細介紹，研究者由其分類猜測 Kosc 所使用的工 具接近一般成就測驗，與本研究採用的篩選工 具不一樣。與本研究所使用基礎數學概念評量 較 接 近 的 是 Geary （ 2003 ） 所 提 出 算 數
（arithmetic）學習障礙。Geary（2003）根據幾 個小型算數學習障礙研究，估計數學學習障礙 學生約在 5 至 8％之間。但是 Geary（2003）在 文中特別提出這些數據中可能包括 ADHD 和閱 讀障礙兒童，大約各佔 20 至 30％。若排除 ADHD 和閱讀障礙者，比例大約在 0.3％至 0.5％之間，與本研究的推估比較接近。
本研究所提出數學學習障礙學生的特徵著 重在基礎數學概念的計算行為。在各種數學課 題中，這一批學生只算是「算數學習障礙」。未 來，研究者以為可以進一步探討不同類型的數 學學習障礙，如 Kosc（1974）或 Geary（1993）
的分類，更確認不同類型數學學習障礙學生的 特徵。實務上，依據本次研究結果，研究者建 議，
1.家長與老師要接受是有學生在基礎數學 如個位數加法、個位加十位進位加法、個位數 減法、十位數字減個位數借位減法等計算上有
困難學習。這些學生不能以一般的學習障礙看 待之。
2. 為 確 認 所 篩 選 的 學 生 是 數 學 學 習 障 礙 者，需觀察一些時間以確定學生即使經一般的 教學也無法改善其學習狀況，特別是運算所使 用的時間。
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The Diagnosis of Arithmetic Learning Disabilities
Hwawei Ko
National Central University
ABSTRACT
This study is to examine the nature of arithmetic disabilities. The researcher identified school children from 2nd grade to 6th grade who have average IQ scores and average reading levels and yet have difficulty performing basic arithmetic skills such as single or double digits addition and subtraction. With further intensive training, these students’ rate of correctness might improve but the speed of arithmetic calculation was still lag behind their counterparts. Also they cannot avoid adopting overt behavior to help counting such as using fingers. It is certain these children have trouble automatizing arithmetic skills. It is suggested that their learning situation should be otherwise considered. Moreover, the basic arithmetic skill test developed by this study is proved valid and reliable. It can be used as a diagnostic tool to coin arithmetic learning disabled children.
Keywords: arithmetic learning disabilities, basic arithmetic skills Bulletin of Special Education, 2005, 29, 113-126
National Taiwan Normal University, Taiwan, R.O.C.
