強制振動下轉子/靜子交互作用之數值研究
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(2) 值，交界處網格之選擇受到較大的限制。對 區域交界面處之邊界處理，除 Rai 外另有 Giles [ 2 ] 及顏 [ 3 ] 等之方法。Giles 使用剪 性網格 (Shearing Cells) 及時間傾斜計算面 (Time-Inclined Computational Plane)之觀念， 來探討轉子/靜子交互作用之流場。顏 [ 3 ] 在無結構性網格上建立補綴邊界處理方法， 同時兼顧守恆性及準確性。除了上述文獻之 研究外，渦輪機非穩態流場分析在許多文獻 上已有深入之探討，例如 Giles [ 4 ] , Sharma et al. [ 5 ] , Doorly & Oldfield [ 6 ] 及 Yang et al. [ 7 ] 等。這些文獻中，主要在研究葉片尾 流／震波及轉子/靜子之交互作用等。當考慮 葉片振動時，目前之文獻(例如 Gerolymos [ 8 ] ， He [ 9 ] ，Bendiksen [ 10 ]，Huff [ 11 ] 和 Hwang & Yang [ 12 ] 等)大部份只探討單 一列葉片之流場，而未考慮轉子／靜子交互 作用之存在 。 Gerolymos [ 8 ]提出當葉片受 振動時，網格為適應其變形之處理步驟。此 種非線性步驟，其最大特徵是可作大位移來 配合網格因葉片振動所產生格點位置的變 化。為節省 CPU 時間，He [ 9 ] 提出小範圍 動態格點的技巧,限定只有在環繞葉片附近 之格點可以變形。在多重 Cascade 葉片中， Bendiksen [10] 以 H-mesh 處理葉片翼前緣 處網格受振動之變化。Huff [ 11 ] 以 C-grid 環繞葉片來調整因葉片振動後新格點之位 置，使其網格不致因振動而產生交錯的現象。. accuracy and reliability of the present scheme when the moving zone and dynamic grids are existed. Then, the rotor/stator interaction flow phenomena and the related aerodynamic behaviors are investigated, where the stator is oscillated with different values of periods. Keywords：Forced Vibration, Rotor/Stator Interaction, TVD Finite Volume Scheme, Unstructured Mesh 二、緣由與目的 在航空或工業用渦輪機之發展上，常因 材料疲勞而造成葉片斷裂。造成這種現象的 一個主要原因是葉片產生振動(顫振或強制 振動)，而葉片振動往往是非穩態空氣動力作 用其上之故。在渦輪機中，轉子／靜子間之 相對運動及葉片本身振動將使得流場現象變 的十分複雜。為了解複雜流場之物理現象及 相關之氣動力特性，發展一套模式來預測轉 子／靜子在強制振動下之交互作用行為是一 必需且價值的工作。由於近年來計算機及數 值計算法之迅速發展，本研究將區域隱式有 限體積法結合相對運動區域交界面之處理與 動態格點法來求解具移動網格效應之歐拉方 程式，以探討強制振動下轉子／靜子交互作 用之問題。 對於本計畫所探討之問題，如果使用單 一區域格點，則轉子與靜子交界面附近之網 格會因其相對運動而扭曲進而產生不準確之 數值結果。一般常用的解決方法係將格點區 分成兩部分，但如何有效解決交界面通量守 恆 (Flux Conservation) 與變數連續性則是另 一重要之問題。Rai [ 1 ] 在補綴格點（Patched Grid）上發展一種顯式區域數值法(Explicit Zonal Scheme)，以處理交界面上通量守恆之 問題。此顯式區域數值法能夠保持交界面處 之通量守恆，且所需的 CPU 時間少。然而為 準確求得各區域交界處輔助網格上的變數. Hwang & Yang [ 12 ] 運用改良式高斯－西德 法(Gauss-Seidel)來求解靜力平恆式。在動態 格點計算中，內部疊代至收斂方才決定新格 點的位置，並以幾何守恆定律來描述因網格 運動而產生的通量變化。接著利用區域隱式 有限體積法在動態三角形網格上求解歐拉方 程式，以探討振動串聯葉片之流場現象。 三、研究方法 為著有效且準確的探討葉片振動下轉. 2.
(3) 子/靜子交互作用非穩態流，其採用之研究方 法必需具有下列特性:(1)轉子/靜子交界面處 之網格不可扭曲，且在此交界面之通量守 恆；(2)葉片振動下之網格不可過度扭曲或交 錯；(3)數值計算法需考慮因格點移動所產生 之通量變化，且時間及空間準確(包含流場中 有震波存在時)。經由上述描述，本計畫在四 邊形和動態三角形網格上建立一套可靠之歐 拉方程式求解法。有關統御方程式、有限體 積法、邊界處理與動態格點法等討論如下: 統御方程式 為模擬強制振動下二維非黏性轉子／靜 子交互作用流場，具移動網格效應之二維非 穩 態 歐 拉 方 程 式 (Euler Equation) 是 被 採 用： ∂ ∫ U dA + ∫ F ⋅d l = 0 ∂t Ω ∂Ω. (4)式中之參數如文獻 13 與 14 所示。 利用雙參數法且將通量函數予以泰勒級 數展開，可得下列線性化方程式： Li (∆ U. −. . CK. 對四邊形網格. k =1. [(. ). 1 IN ∑ F i + F k ⋅ d l ik − Rik φ ik 2 k =1. ⋅ d l . n. n +1. n − d l . (5). . θ. =. θ M 2 (1 + β ) n. IN. . . ∆α . ik. − R ik Ψ. . (Λ ik ) R ik− 1 1 − . ∆ α ik ∆ α ik. . n. n. . n +1 . ik. 而得。除了自由流測試外，本計畫所探討之 轉子／靜子交互作用流場皆為超音速流。對 於超音速流，因為流場的訊息只往下游傳 遞，故所有變數在入口邊界條件被給定。而 在出口邊界上，流體的靜壓、密度與速度分 量皆由相鄰之內部網格外差而得。由於振動 情形的加入，所定義的週期由其特性不同， 將分成為滿足空間週期性的移動週期 (Tm) 和上下擺動所產生的振動週期 (Tv)。前者係 指轉子移動兩葉片間距離所需的時間；後者. (3). ]. ). 為求解(5)式，採用修正型高斯-西德(Modified Gauss-Seidel)數值法[13, 14]。在求解疊代過 程中，先由第一個網格掃至最後一個網格， 再從最後一個網格回掃至第一個網格。有關 此數值法之詳細描述請參閱文獻 13 和 14。 邊界處理 葉片表面假設為絕熱，且垂直於表面上 的流體速度分量為零。其他變數如平行面上 之速度分量、密度及壓力，由內點直接外差. 表為： ∑ ( F ⋅d l )ik =. k. . 利用區域隱式全變量遞減有限體積數值法 [13,14]，上式中之 Q i (U ) 在卡式座標系統中可 IN. n +1. M ikn = ∂ F ⋅ d l ∂U. , i i. (. IN θ ∑ Fi + F k 2 (1 + β ) k =1 . ik A + ∑ M ik + Rik Ψ (Λ ik ) Rik−1 1 − CI = I 2(1 + β ) k =1 ∆αik ∆t i . (2). 對三角形網格. U n −1 ∆ An −1 ∆t i. 且. k =1. 3 IN = 4. An ∆ U n −1 ∆t i. k =1. 其中數值通量函數 (Numerical Flux Function) Qi (U ) 表示如下： ∑ ( F ⋅ d l ) ik. ( ). IN. 而 dl 則是沿著積分路徑上的微小距離。至於 U，E 和 G 請參閱文獻 13。 有限體積法 對任意三角形或四邊形網格 i ，(1)式可 改寫為：. IN. 1 β Q Un + 1+ β i 1+ β. L i ( ∆ U n ) = CI ∆ U in + ∑ CK k ∆ U kn. 界。 F = E i + G j ，d l = ndl 和 n 係單位法向量，. )=. =−. 其中. 上式中，Ω與 ∂Ω 分別代表流場之區域與邊. Q i (U. ) = Re s in. n ∆ An β + − U ∆ t 1 + β i. (1). ∂ ( UA ) i = − Q i ( U ) ∂t. n. (4). 3.
(4) α I = 2.51 deg 和 K = 0.0814。此測試所用之. 則是靜子由開始振動之起始位置，經一段時 間後回擺到起始位置所經過的時間。本計畫 在計算區域之上下邊界(圖 1)採用空間上的 週期性邊界條件，至於在區域交界面附近(圖 1, 2)，Rai [ 1 ] 的顯式區域數值法被應用至網 格中心有限體積法上以處理交界面兩邊通量 傳送問題。 動態格點法 在本計算中，非結構性三角形與結構性 四邊形網格之混合系統被應用於二維非黏滯 流場。為容易且準確的處理非穩態轉子／靜 子交互作用流場交界面之通量守恆，在區域 與區域間附近共建立四排四邊形網格(圖 2)。為求得葉片振動時之瞬間網格位置，本 研究採用修正型高斯－西德法求解靜力平衡 方程式 [13]。隨著葉片之振動，網格的形狀 將會改變，因此必須小心處理通過網格邊界 之通量值。 Thomas 與 Lombard [ 15 ] 及 Vinokur [ 16 ] 所提出之幾何守恆律是被採 用。. 網格系統包含單一區域，共有 6300 個網格 及 3449 個節點(圖 2)。由圖 3 收斂情形確定 動態網格法在單一區域(無交界面處理)翼剖 面上下擺動時之可靠性。 接著設靜子與轉子之翼剖面為拋物線弧形，網格系統分成兩個區域(圖 2)。區域一 (轉子部份)包含 3154 個網格及 1747 個節 點，區域二 (靜子部份) 包含 3146 個網格及 1743 個節點。首先將區域一與區域二之入出 口邊界、週期性邊界和翼表面上的流體變數 定為自由流場之流體性質，而處理靜子振動 模式與上述的方法相同。與上一測式不同， 入口馬赫數定為 1.5 和區域－轉子以 0.1 馬赫 的速度向下移動。由圖 4 的收斂情形可確認 本數值法在結合交界面處理與靜子擺動時之 可行性。 轉子與強制振動下靜子間之交互作用 在本計算中，轉子與靜子之翼剖面仍設 為拋物線－弧形。在靜子部份作振幅為 1 度 大小的上下擺動，而入口流之流體速度仍維 持在 1.5 馬赫和轉子部份仍以 0.1 馬赫的速度 向下位移。求解非穩態歐拉方程式且結合區 域間交界面之處理與區域二靜子振動之動態 網格技巧可探討受強制振動下靜子與移動轉 子間之交互作用及相關之物理現象。本計畫 中，以移動週期的時間與擺動週期時間相同 (Tm=Tv) 、 移動週期的時間為擺動週期時. 四、結果與討論 自由流測試 為評估本數值方法的可行性，進行下列 兩種自由流之測試。首先在轉子不動下，為 評估具拋物線－弧形翼剖面之靜子振動情 形，取 1/2 弦長 (chord) 位置為基準點做上 下擺動，其表示如下：. α = α o + α I sin (ωt. ). 其中 α , α 0 , α I , 和 ω. 間的一半 (Tm=1/2Tv) 和移動週期的時間為 擺動週期時間的二倍 (Tm=2Tv) 等三種不 同組合進行計算。 圖 5 為靜子上、下表面中點 (Midpoint) 壓力隨時間的變動情形。為使移動週期與擺 動 週 期 時 間 相 同 (Tm=Tv) ， 此 時 K ＝ 0.2076，也就是一個移動週期的時間與振動 週期的時間同為 10 秒鐘。在 Tm/Tv=1 時， 可明顯看出大約在第二個週期開始後，壓力 分佈逐漸形成週期性的變動。此外，由 圖. (6) 分別代表瞬時. 攻角、平均攻角、振幅和振動頻率。振動頻 率 ω 與訂正頻率(Reduced Frequency) K 的關 係式為 K = ωc 2V ∞ ，其中 c 為弦長。此測 試全流場馬赫數定為 0.755， α 0 = 0 deg， 4.
(5) 5(a) 得知，當 Tm/Tv=0.5 時靜子上表面中 點之壓力值分別在奇數 (1,3,5.....) 移動週期 數 (Tm) 時，有相同之壓力值。由此可得知 其形成週期性的時間為 Tm/Tv=1 時間的兩 倍；同理，Tm/Tv=2 其形成週期性的時間為 Tm/Tv=1 時間的一半。 圖 6 為靜子之 (a) 升力係數及 (b) 力矩 係數分佈圖。由 (a) 圖上可看出，靜子受上 游轉子向下位移的影響，升力值在靜子擺動 最低處有降低且扭曲的情形且在最高處 ( α = 1.0 deg)之升力值亦有大量減低的現象 產生。在圖(b)之力矩係數圖同樣也有分佈曲 線不規則的現象，特別是在靜子攻角為-1.0 度處力矩係數分佈有大量減低的現象產生。 由此可得知在靜子處流體性質，強烈地受前 方轉子位移的影響。 圖 7 至圖 10 為轉子/靜子在不同相對位 置的流場等壓圖。在不同瞬間與文獻 [ 17 ] 所得結果(非強制振動)比較，可看出源自轉子 尾端的斜震波傳遞至兩區域間時，並不會因 轉子移動而產生不連續的情形。轉子尾緣的 斜震波會因為轉子的位移逐漸與靜子上端的 斜震波接近，而靜子上擺的作用則加快兩震 波交會的時間。隨著轉子的下移，來自轉子 後緣的兩斜震波交會點，慢慢的由靜子上表 面移至下表面附近。由於靜子下擺使靜子端 的有效攻角為負值，使得靜子下表面的震波 因膨脹的效應而減弱，上表面則有震波交會. 驗證本計畫所提方法之可行性及正確性，先 以兩種自由流經過振動靜子與移動或靜止轉 子來作測試。接著由超音速流經過移動轉子 與振動靜子之等壓線圖，可確定本數值法可 正確處理交界面處之接合情形。為進一步了 解強制振動與轉子位移對靜子氣動力的影 響，則可由升力係數與力矩係數分佈說明其 變化情形。在本計畫也探討移動週期與擺動 週期的關係，由靜子上、下表面之壓力值得 知壓力分佈仍具週期性且隨移動週期與擺動 週期變化而有所影響。最後，由流場之等壓 線圖可得知震波之變化及靜子部份之流場受 到移動轉子與強制振動之影響。總之，本計 畫預期之工作項目皆已完成。 六、參考文獻 [1] Rai, M. M., “A Conservative Treatment of Zonal Boundaries for Euler Equation Calculation,” Journal of Computational Physics, Vol. 62, Feb. 1986, pp. 472-503. [2] Giles, M. B., “Stator/Rotor Interaction in a Transonic Turbine,” Journal of Propulsion and Power, Vol. 6, No. 5, Sept.-Oct., 1990, pp. 621-627. [3] 顏隆文,“無結構三角形網格上轉子/靜子 之 Euler 解”，成大航太所碩士論文， 1993。 [4] Giles, M. B., “Calculation of Unsteady Wake/ Rotor Interactions,” AIAA Paper 87-0006, Jan. 1987. [5] Sharma, O, P., Butler, T. L., Renand, E., Milsaps, Jr., K., Dring, R. P., and Joslyn, H. D., “Rotor-Stator Interaction in Multi-Stage Axial Flow Turbines,” AIAA Paper 88-3013, July 1988. [6] Doorly, D. J., and Oldfield, M. L.G., “Simulation of the Effects of Shock Wave Passing on a Turbine Rotor Blade,” ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, Vol. 107, Oct. 1985, pp. 998-1006. [7] Yang, R. J., Lin, S. J., and Rai, M. M.,. 集中的現象；反之，上擺的作用會使上表面 會有膨脹效應的生成。 五、成果自評 在本計畫中使用區域隱式積分法與動態 格點法來模擬強制振動下靜子/轉子之交互 作用行為。在區域交界面之邊界處理上，則 是以 Rai 之虛擬網格的觀念來達到通量守 恆。修正型高斯－西德隱式數值法被用來求 得在靜子小角度強制振動下之網格分佈。為. 5.
(6) “Unsteady Aerodynamics of Rotor-Stator Interaction in a Turbine Stages,” AIAA Paper 88-0360, Jan. 1988. [8] Gerolymos, G. A., “Numerical Integration of the Blade-to- Blade Surface Euler Equations in Vibrating Cascades,” AIAA Journal, Vol. 26, No. 12, pp. 1483-1492, 1988. [9] He, L., “An Euler Solution for Unsteady Flows Around Oscillating Blades,” ASME Journal of Turbomachinery, Vol. 112, No. 4, pp. 714-722, 1990. [10] Bendiksen, O. O., “Euler Calculations of Unsteady Transonic Flow in Cascades,” AIAA Paper 91-1104, 1991. [11] Huff, D. L., “Numerical Analysis of Flow Through Oscillating Cascade Sections,” Journal of Propulsion and Power, Vol.8, No. 4, pp. 815-822, 1992. [12] Hwang, C. J., and Yang, S. Y., “ Euler Solutions for Transonic Oscillating Cascade Flows Using Dynamic Triangular Meshes,” Transactions of the ASME, Journal of Turbomachinery, Vol. 117, No.3, July 1995, pp. 393-400. [13] Hwang, C. J., and Yang, S. Y., “Locally Implicit Total Variation Diminishing Schemes on Mixed QuadrilateralTriangular Meshes,” AIAA Journal, Vol. 31, No. 11, 1993, pp. 2008-2015. [14] Hwang ,C. J., and Liu, J. L., “Locally Implicit Total － Variation － Diminishing Schemes on Unstructured Triangular Meshes,” AIAA Journal, Vol. 29, No. 10, 1991, pp. 1619-1626. [15] Thomas, P. D., and Lombard, C. K., “Geometric Conservation Law and Its Application to Flow Computations on Moving Grids,” AIAA Journal, Vol. 17, No.10, 1979, pp. 1030-1037. [16] Vinokur, M., “An Analysis of FiniteDifference and Finite-Volume Formulations of Conservation Laws,” Journal of Computational Physics, Vol.. 81, No.1, 1989, pp. 1-52. [17] 楊政勳,“轉子/靜子非穩態流交互作用之 數值研究,”成大航太所碩士論文,1993。. 圖 1 轉子/靜子相對運動示意圖. 圖 2 拋物線-弧形轉子/靜子網格圖. 6.
(7) (b). 圖 3 拋物線－弧形靜子振動下自由流測試之數 值收斂圖 (M ∞ = 0.755, α I = 2.51 deg, 圖 5 靜子(a)上表面中點處與(b)下表面中點處壓. and k = 0.0814). 力隨時間變化圖. LOG(L2-norm) T/Tm 圖 4 結合拋物線－弧形轉子位移與拋物線－弧 形靜子振動之自由流測試的數值收斂圖 (a). 圖 6 (a) 升力係數分佈圖與 (b) 力矩係數分佈圖 ( M ∞ = 1.5, α I = 1.0 deg and K = 0.2076). 7.
(8) 圖 8 瞬時等壓線圖 (T = 4.25Tm): (a) 非強制振 圖 7 瞬時等壓線圖 (T = 4.0 Tm): (a) 非強制振. 動，(b) Tm = Tv，(c) Tm = 1/2Tv and (d) Tm. 動，(b) Tm = Tv，(c) Tm = 1/2Tv and (d) Tm. = 2Tv. = 2Tv. 8.
(9) 圖 9 瞬時等壓線圖 (T = 4.5Tm): (a) 非強制振. 圖 10 瞬時等壓線圖 (T = 4.75Tm): (a) 非強制振. 動，(b) Tm = Tv，(c) Tm = 1/2Tv and (d) Tm. 動，(b) Tm = Tv，(c) Tm = 1/2Tv and (d) Tm. = 2Tv. = 2Tv. 9.
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