反幻方定理

反 幻方定理

梁培基、 邱荷生

一、 幻方與反幻方

若把n²個連續自然數1, 2, · · · , n², 按照 某種規則排成一個n階方陣, 使得每行、 每列 及兩條對角線上n個元素之和都相等, 則稱這 個方陣為幻方。 圖 1 是一個 3 階和幻方。

4 9 2 3 5 7 8 1 6

圖1

對於任意的n ≥ 3, 都可構造出n階幻方, 而 且有很多種構造方法。

若把n²個連續自然數1, 2, · · · , n², 按照 某種規則排成一個n階方陣, 使得每行、 每列 及兩條對角線上n個元素之和都不相等, 則稱 這個方陣為反幻方。

當n ≥ 3的奇數時, 馬丁．加德納 (Martin Cardner) 給出一個構造反幻方的 方法^[1], 圖 2 是他構造的 3 階與 5 階反幻方。

1 → 2 → 3

↓ 8 → 9 4

↑ ↓

7 ← 6 ← 5

1 2 3 4 5

16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9

圖2

二、 反幻方的構造

我們給出一個方法, 對於任意n ≥ 3階 的反幻方, 都可以構造出來, 圖 3 是n = 3, 4, 5 階的反幻方。

1 2 7 3 4 8 5 6 9

1 2 3 13 4 5 6 14 7 8 9 15 10 11 12 16 1 2 3 4 21

5 6 7 8 22 9 10 11 12 23 13 14 15 16 24 17 18 19 20 25

圖3

這種構造方法可用下述定理來說明。

定理: 若n(n ≥ 3)階方陣為A = [aij]

a_ij =



 

 

 

 

 

 

(i − 1)(n − 1) + j i= 1, · · · , n, j = 1, · · · , n − 1 n(n − 1) + i i= 1, · · · , n,

j = n 則A是一個n階反幻方。

1

2

₈₁

₁₂

證: A的各列元素之和為:

a_i =

n

X

j=1

a_ij

= 3

2(n − 1)n + (i − 1)(n − 1)²+ i, i= 1, · · · , n 。

A各行元素之和為:

b_j =

n

X

i=1

a_ij

= nj+ 1

2(n − 1)n(n + 1) − n(n − 1), j = 1, · · · , n − 1。

b_n = n²(n − 1) + 1

2n(n + 1)。

A的左對角線上元素之和為:

c=

n

X

i=1

a_ii= 1

2n²(n − 1) + 2n − 1。

A的右對角線上元素之和為:

d = a1,n+a2,n−1+a3,n−2+. . .+an,1

= [n(n − 1) + 1]+[a21+(n − 2)]

+ [a31+(n − 3)]+· · ·+[an−1,1+1]+an1

=

n

X

i=1

a_i1+1

2(n − 2)(n − 1)+n(n − 1)+1

= (n − 1)(n²− n + 2 2 )+1

2(n − 2)(n − 1) + n(n − 1)+1

= 1

2n²(n − 1)+n(n − 1)+1。

顯然,bn大於任何其它n個元素之和, 以 及a_i < a_i+1, bj < b_j+1。 因此, 要證明A是 反幻方, 只須證明:

(一) ai 6= bj i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , n − 1。

(二) c 6= d。

(三) c 6= ai, i = 1, · · · , n。

(四) c 6= bj, j = 1, · · · , n − 1。

(五) d 6= ai, i = 1, · · · , n。

(六) d 6= bj, j = 1, · · · , n − 1。

假若a_i = bj, 即 3

2n(n − 1)+(i − 1)(n²− 2n)+2i − 1

= nj +1

2(n − 1)n(n + 1)−n(n − 1)。

必有 n|(2i − 1)。 因 0 < 2i − 1 < 2n,這只 有 2i − 1 = n。 先以2i − 1 = n代入上式, 並以n除上式後可得

5

2(n − 1) + (i − 1)(n − 2) + 1

= j +1

2(n − 1)(n + 1)。

再以n = 2i − 1代入上式後可得

5(i−1)+(i−1)(2i−3)+1 = j +(i−1)2i。

由此可得 (i−1)|(j−1), 即 j−1 = k(i−1)。

代入上式, 並以i − 1除上式後可得 5 + 2i − 3 = k + 2i。

由此可得k = 2, 即j = 2i − 1 = n。 矛盾。

若i = 1, 則有n = 1。 也矛盾。 故 (一) 是對 的。

假若c = d, 即 1

2n²(n−1)+2n−1 = 1

2n²(n−1)+n(n−1)+1,

反幻方定理

₃

即 n|2。

這也是矛盾的, 故 (二) 也是對的。

假若c = ai,i = 1, · · · , n。 即 1

2(n − 1)n²+ 2n − 1

= 3

2(n − 1)n + (i − 1)(n − 1)²+ i。

這必有(n − 1)|2(i − n)。 即或者(n − 1)|2, 或者(n − 1)|(i − n)。

若(n − 1)|2, 則有n = 3, i = ⁹₅。 矛盾。

若(n − 1)|(i − n)。 即或者i = 1, 或者i = n。

若i = 1, 則有¹₂n² + 2 = ³₂n, 即n|4。

令n = 4, 則得10 = 6, 矛盾。

若i = n, 則有 1

2n² + 1 = 3

2n(n − 1)²。

即n = 1。 這也是矛盾的。 故 (三) 也是對的。

假若c = bj,j = 1, · · · , n − 1。 即 1

2(n − 1)n²+ 2n − 1

= nj + 1

2(n − 1)n(n + 1) − n(n − 1)。

這樣必有n|2。 這是矛盾的。 故 (四) 是對的。

假若d = ai,i = 1, · · · , n, 即 1

2n²(n − 1) + n(n − 1) + 1

= 3

2(n − 1)n + (i − 1)(n − 1)²+ i。

此時必有(n − 1)|2(i − 1), 即(n − 1)|2 或 (n − 1)|(i − 1)。

若(n − 1)|2, 則有n = 3, i = ¹¹₅。 矛盾。

若(n − 1)|(i − 1), 即或者i = 1, 或者i = n。

若i = 1, 則得n²(n − 1) = n(n − 1)。

這只有n = 0 或 1。 矛盾。

若i = n, 則得 1

2n²+ n = 3

2n+ (n − 1)²+ 1, 即n² − 3n + 4 = 0, 也矛盾。 故 (五) 是對 的。

假若d = b_j,j = 1, · · · , n − 1。 即 1

2n²(n − 1) + n(n − 1) + 1

= nj + 1

2(n − 1)n(n + 1) − n(n − 1)

即n|2。 矛盾。 故 (六) 是對的。(定理證完) 推論: 在上述定理的A = [aij]中

a_ii+ a(n−i+1)(n−i+1) = ai(n−i+1)+ a(n−i+1)i

(i, j = 2, · · · , n − 1)

證明:

a_ii+a(n−i+1)(n−i+1)

= (i − 1)(n − 1)+i+(n − i + 1 − 1)(n − 1) +n − i+1

= (i − 1)(n − 1)+(n − i)(n − 1)+n + 1

= (n − 1)²+(n + 1), a_i(n−i+1)+a(n−i+1)i

= (i − 1)(n − 1)+n − i+1+(n − i + 1 − 1) (n − 1)+i

= (n − 1)²+(n + 1) (證完)

三、 反幻方的變換排列

4

₈₁

₁₂

我們對反幻方A = [aij]實施轉置變換 及鏡像反射變換, 變換後的方陣仍然是反幻 方。 因此, 我們有

引理1． 如果A = [aij]n×n是反幻方, 那 麼

B = [bij] = [aj,n+1−i] C = [cij] = [an+1−i,n+1−j] D = [dij] = [an+1−j,i] E = [eij] = [aji] F = [fij] = [an+1−i,j] G = [gij] = [ai,n+1−j] H = [hij] = [a_i+k,j+k]

其中 k = (n + 1) − (i + j)

也都是反幻方。

證明: 顯然。

還 可 對 本 文 所 構 造 之 反 幻 方A = [aij]的行 (列) 作對換, 而得到反幻方。 我 們有

引理2 ． 對換反幻方A = [aij]的對稱行 (列), 得到的方陣仍然是反幻方。

證明: 由推論可得引理2 成立。

參考文獻

[1] 白羊, 反幻方, 科學晝報,1987 年 2 期。

—本文作者分別任職於河南省封邱縣科協與

河南省數學學會_—