單元六 幻方
在 10 個阿拉伯數字中，9 是最值得歌頌的，它的神奇、崇高，無所不在。
▲ 中國的神話傳說中，龍生有 9 子。
▲ 希臘羅馬神話中，9 大行星代表 9 尊天神。
▲ 北京故宮，有房九千九百九十九間半，城牆高九米九，每扇午門上有九排門 釘，每排九個。
▲ 三教九流，九流分「上九流」、「中九流」及「下九流」。
▲ 九重、九霄、九泉、九州、九歌。
▲ 中國古書《周易》，稱三為天數，而九是天數的極數。
▲ 中國的農曆，從冬至開始數九，九天為一段，數完九個九，嚴冬已過，正所 謂「九九加一九，耕牛遍地走」。
)
● 以 9 為模
將任何一個 2 位數以上的數，若隨意改變原來數的數字的位置，得到二 個新的數，則此二數相減所得的數必是九的倍數，換言之，此二數以 9 為模 時同餘。例如 28825252 改為 52522882，或 88552222，而88552222−52522882
9 4003260 36029340= ×
= 。你可以試試你家的電話號碼看看。很玄嗎？讓我
們來看看為何會這樣。
為了方便說明，底下將利用一個數學符號，這個符號是德國偉大的數學 家高斯創造的。後輩的數學家給他一個稱號—數學王子。德國紙幣中 10 元馬 克，印有他晚年的肖像。
(
mb
a≡ mod ，表示以 為模時， 與 同餘，例如 23 被 9 除會餘 5，
41 被 9 除也是餘 5，就可簡單地寫成
m a b
(
mod9)
23
41≡ 。底下幾個式子便可回答 上述的問題。
(
mod9)
1 10≡
(
mod9)
2 1 1 10 10
20≡ + ≡ + ≡
(
mod9)
3 1 1 1 10 10 10
30≡ + + ≡ + + ≡ 依此類推，可得
100≡10≡1
(
mod9)
1000≡100≡10≡1
(
mod9)
進而
3000≡3
(
mod9)
500≡5
(
mod9)
40≡4
(
mod9)
8≡8
(
mod9)
所以
(
mod9)
8 4 5 3 8 40 500 3000
3548≡ + + + ≡ + + + 其中
魔方陣
除數
同餘
mod=module
(
mod9)
2 20 8 4 5
3+ + + = ≡
也就是說，以 9 為模時，3548 這個數與它本身所有數字之和同餘。像這樣的 關係，對任何數都成立。所以
(
mod9)
2 2 2 2 5 5 8 8
88552222≡ + + + + + + +
(
mod9)
2 8 8 2 2 5 2 5
52522882≡ + + + + + + +
上面二式就說明了88552222−52522882=36029340是 9 的倍數。把 36029340 中每個數字相加看看，得到 54，為 9 的倍數，是巧合嗎？不是的。這是真理。
● 美麗的幻方
傳說古代夏禹治水時，有隻烏龜從洛水中出現，此龜背上有九組不同點 數所組成的圖案，後人把這種圖案稱為「洛書」，也叫九宮圖或縱橫圖。現今 印度地區護身符上的符文，仍可見「洛書」。
若將這九組不同點數的圖案，換成數字來看，剛好是 1 至 9，而且若這 些數字依照在龜背上的位置，填入一個3×3的正方形方格中，剛好如下表。
2 9 4 7 5 3 6 1 8
仔細看看上表，不難看出其特殊之處：每一列、每一排及每條對角線上的數 字和皆為 15。像這樣的數字（自 1 開始的連續數字）方格，現今稱為幻方或 魔方陣（magic square）。上表是最小的幻方，叫三階幻方，再來就是四階、
五階、…。
問題來了，要如何將自 1 開始的連續數字填入正方形方格中，而能形成 幻方？對三階幻方而言，不是件難事。南宋數學家楊輝有一個妙招：「九子斜 排。上下對易，左右相更。四維挺出」。 說明如下：
（1）九子斜排
河洛話
偶數的點是黑色的，
奇數的點是白色的
九宮圖
15 直：行(column)
橫：列(row)
1 4 2 7 5 3
8 6 9 （2）上下對易，左右相更
9 4 2 3 5 7
8 6 1
（3）四維挺出
4 9 2
↖ ↗
3 5 7
↙ ↘
8 1 6
4 9 2 3 5 7 8 1 6
排幻方之前，有一件事要先確定的：每一列、每一排及每條對角線上的 數字和應為多少？對三階幻方而言，1 至 9 的總和為 45，45÷3=15，所以每 一列、每一排及每條對角線上的數字和皆為 15。四階幻方呢？1 至 16 的總和 為 136，所以是 。下面這個式子可以幫助我們求得 n 階幻方的每 一列、每一排及每條對角線上的數字和。
34 4 136÷ =
2 ) 1 (n2 + n
1514 年當時著名的德國藝術家杜勒，創作的木刻版畫「憂鬱」（見下圖）， 就出現一個四階幻方。這個幻方美麗而迷人，遠遠超過普通的幻方。
上圖中右上角的幻方如下表。
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
杜勒從來都沒說明這幅作品的象徵意義，所以後人也不知為何出現幻方。底 下我們就來看看這個幻方的一些奇特之處。
▲ 四個角落的數字和也是 34。
▲ 四個角落上，每個2× 方塊裡的數字和也都是 34。 2
▲ 中央2× 方塊裡的數字和也是 34。 2
▲ 對角線的數字和，等於非對角線的數字和
▲ 對角線數字的平方和，等於非對角線數字的平方和。
162 +102 +72 +12 +42 +62 +112 +132
=32+22+82+122+142+152+92+52 =748
▲ 對角線數字的立方和，等於非對角線數字的立方和。
163+103+73+13+43+63+113+133
=33+23+83+123+143+153+93+53=9248
▲ 對角線數字的平方和，等於第一、第三列數字的平方和。
162 +102 +72 +12 +42 +62 +112 +132
=162+32+22+132+92+62+72+122 =748
▲ 對角線數字的平方和，等於第二、第四列數字的平方和。
▲ 對角線數字的平方和，等於第一、第三行數字的平方和。
162 +102 +72 +12 +42 +62 +112 +132
=162+52+92+42+22+112+72+142 =748
▲ 對角線數字的平方和，等於第二、第四行數字的平方和。
▲ 具有下列美麗的對稱性：
2+8+9+15=3+5+12+14=34 22+82+92+152 =32+52+122+142 =374 23+83+93+153 =33+53+123+143 =4624
▲ 上、下相鄰數字的和，構成美妙的對稱性：
13
4 9
21 5 16
= +
= +
21 15 6
13 10 3
= +
= +
21 14 7
13 11 2
= +
= +
13 1 12
21 8 13
= +
= +
▲ 左、右相鄰數字的和，構成美妙的對稱性：
19 15 4
15 6 9
15 10 5
19 3 16
= +
= +
= +
= +
15 1 14
19 12 7
19 8 11
15 13 2
= +
= +
= +
= +
還有 748、9248、374 及 4624 皆為 34 的倍數。
以下是一個排四階幻方的方法。
步驟 1：將 1 至 16 依序寫在 4 個列上，如下圖。
16 15 14 13
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
16 15 14 13
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
步驟 2：在對角線位置的數字不動，其餘位置的數字，以對稱對角線的方式，
上與下、左與右互換即完成，如下圖。
16 2
3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
16 2
3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
排三階的幻方簡單，四階的幻方也不難排，但排五階以上的幻方就不是 容易的事了。楊輝排三階幻方的方法，可推廣用來排五階，甚至於七階或任 何的奇數階幻方。六階以上的偶數階幻方則比奇數階更難。以下介紹五階與 六階幻方的排法。
● 五階幻方的快速排法
21
22 16
23 17
11
24 18
12 6
25 19
13 7
1
20 14
8 2
15 9
3
10 4
5
21
22 16
23 17
11
24 18
12 6
25 19
13 7
1
20 14
8 2
15 9
3
10 4
5
23 10
17 4
11
6 18
5 12
24
19 1
13 25
7
2 14
21 8
20
15 22
9 16
3
23 10
17 4
11
6 18
5 12
24
19 1
13 25
7
2 14
21 8
20
15 22
9 16
3
(1+2+...+25)/5=65
● 六階幻方的排法 排法之一
步驟 1：將一個四階幻方的每個位置的數字都加 10 後，填入 6 × 6 的 36 個方 格中間的 20 個，如下圖。
26 25 13 23
15 21 20 18
19 17 16 22
14 24 25 11
26 25 13 23
15 21 20 18
19 17 16 22
14 24 25 11
步驟 2：將剩下的 20 個數字，以同行或同列不能有任意之和為 37，但總和為 111 的方式填入剩下的 20 個方格(從對角線的四個角落填 1，2，35，36 較容 易)，即完成，如下圖。
28 26 15 19 14 9
7 25
13 23 30
2 32
33 34 1
5 21 17 24
36 4
3 35
8 20
18 29
27 16
22 10
31 25
11 6
28 26 15 19 14 9
7 25
13 23 30
2 32
33 34 1
5 21 17 24
36 4
3 35
8 20
18 29
27 16
22 10
31 25
11 6
排法之二
步驟 1：將 36 個方格分成如田字的四區，左上角那一區排 1~9 的幻方，將此 幻方的每個數字加 9 後複製到右下角那一區；加 18 後複製到右上角那一區；
加 27 後複製到左下角那一區，如下圖。
10 14 18 19 23 27
16 12
34 32 30
20 22
2 9 4
17 13 26 21
15 33
28 35
11 29
36 31
24 6
1 8
25 7
5 3
10 14 18 19 23 27
16 12
34 32 30
20 22
2 9 4
17 13 26 21
15 33
28 35
11 29
36 31
24 6
1 8
25 7
5 3
步驟 2：將左上區第 2 列的中間格、其餘兩列的第 1 格，與左下區的相對應 格互換即完成，如下圖。
10 14 18 19 23 27
16 12
34 32 30
20 22
2 9 4
17 13 26 21
15 33
28 35
11 29
36 31
24 6
1 8
25 7
5 3
10 14 18 19 23 27
16 12
34 32 30
20 22
2 9 4
17 13 26 21
15 33
28 35
11 29
36 31
24 6
1 8
25 7
5 3
10 14 18 19 23 27
16 12
34 5 30
20 22
2 9 31
17 13 26 21
15 33
28 8
11 29
36 4
24 6
1 35
25 7
32 3
10 14 18 19 23 27
16 12
34 5 30
20 22
2 9 31
17 13 26 21
15 33
28 8
11 29
36 4
24 6
1 35
25 7
32 3
1+2+...+n=n(n+1)/2
