偶數階幻方的快速構作

偶數階幻方的快速構作

梁彩麗 梁培基

摘要: 本文給出一種構作 n(n = 4k及4k + 2) 階幻方的方法, 當 n = 4k(k = 1, 2, . . .) 時, 其構作速度之快與在紙上直接書寫自然數的速度差不多, 所以稱為“直 接書寫法”。

幻方, 就目前來說大致可分為四類: 和 幻方 [1][2]、 平方幻方 [3]、 雙重幻方 [4][5]及 功能組合幻方 [6][7]。 構作方法有十幾種, 和 幻方 (本文所述均指和幻方) 的造法更多, 在 計算機問世以前的幾千年裡, 人們用手寫筆 算 (或珠算) 來構作和計算幻方, 因此, 渴望 找到一種造法簡單速度較快的方法。 法國人 魯貝爾 1693 年發表了一種“東北法”

^[3]

, 可以 極方便的造出 n = 2k + 1(k = 2, 3, . . .) 階 幻方, 對於偶數階幻方的構作, 傳統的方法是 在一個數陣的基礎上移動元素或調換元素的 位置來生成幻方, 本文給出的方法可以較方 便的造出偶數階幻方, 這個方法也適用於計 算機構作幻方。

定義 1: 將 n

²

個連續自然數 1, 2, . . .,

n

²

排列成一個 n 階方陣, 若每行、 每列及 兩條對角線上 n 個元素之和都等於定值 (這 個定值叫作幻和, 記作 S

n

), 這個方陣稱為幻 方, 其幻和 S

n

= n(n

²

+ 1)/2。

定義2: 由 n

²

個互不相同的自然數 (不 是 1, 2, . . . , n

²

, 這 n

²

個連續自然數) 構成 的幻方, 稱為“增廣幻方”。

一. 4 k 階幻方的構作

利用下述定理可造出 n = 4k(k = 1, 2, . . .) 階幻方。

定理 1: 設 H = (h

ij

) 為 n(n = 4k; k = 1, 2, . . .) 階方陣, 若

h

ij

=









n(i − 1) + j i, j =

 1, 2, . . . , k, 3k + 1, 3k + 2, . . . , n.

k + 1, k + 2, . . . , 3k n (n − i + 1) − j + 1 i =

 1, 2, . . . , k, 3k + 1, 3k + 2, . . . , n; j = k + 1, k + 2, . . . , 3k.

k + 1, k + 2, . . . , 3k; j = 1, 2, . . . , k, 3k + 1, 3k + 2, . . . , n









88

則 H = (h

ij

) 是一個 4k 階幻方。

證明: H(h

ij

) 陣的任意一行上 n 個元 素之和為

n

X

j=1

h

ij

= 2k[n(i − 1) + n(n − i + 1) + 1]

= 2k(n

²

+ 1) = n(n

²

+ 1)/2 (i = 1, 2, . . . , n)

同理可證任意一列上 n 個元素之和為

n(n

²

+ 1)/2。 由構作方法知, H = (h

ij

) 陣 的兩條對角線上都由 2k 個其和等於 n

²

+ 1

的元素對所組成, 故它們的和為

n

X

i=1

h

ii

= 2k(n

²

+ 1) = n(n

²

+ 1)/2 (i = 1, 2, . . . , n)。

n

X

i=1

h

_i,n−i+1

= 2k(n

²

+ 1) = n(n

²

+ 1)/2 (i = 1, 2, . . . , n)。

圖 1 與圖 2 是利用上述方法造出的 4 階 與 8 階幻方, 圖中的虛線為“井”字形分塊線。

1 12 8 13

15 6 10 3

14 7 11 2

4 9 5 16

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .

... ...

1 9 48 40 32 24 49 57

2 10 47 39 31 23 50 58

62 54 19 27 35 43 14 6

61 53 20 28 36 44 13 5

60 52 21 29 37 45 12 4

59 51 22 30 38 46 11 3

7 15 42 34 26 18 55 63

8 16 41 33 25 17 56 64

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

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.

... .

...

圖 1. S

4

= 34 圖 2. S

8

= 260

為了便於記憶, 我們將上述定理編成下 述歌訣:

方陣分為井字形, 四角中心順序行, 其餘 四邊逆序寫, 4k 階幻方便刻成。

二. 4 k + 2 階幻方的構作

當 n = 4k + 2(k = 1, 2, . . .) 時, 我 們把 n 階方陣分為兩部分—–外層部分與中 心部分, 外層部分包括第 1 行、 第 n 行與第 1 列、 第 n 列; 中心部分包括第 2, 3, . . . , n−1

行與第 2, 3, . . . , n − 1 列 (其實是一個 4k 階方陣), 這個方法稱為“分層法”。

圖 3 是用“分層法”造出的 6 階幻方 (其

內層是一個 4 階增廣幻方)。

1 6 8 35 28 33

34 11 22 18 23 3

32 25 16 20 13 5

30 24 17 21 12 7

10 14 19 15 26 27

4 31 29 2 9 36

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .

... ...

1 6 8 11 18 88 85 99 92 97

98 19 27 66 58 50 42 67 75 3

96 20 28 65 57 49 41 68 76 5

94 80 72 37 45 53 61 32 24 7

89 79 71 38 46 54 62 31 23 12

84 78 70 39 47 55 63 30 22 17

14 77 69 40 48 56 64 29 21 87

15 25 33 60 52 44 36 73 81 86

10 26 34 59 51 43 35 74 82 91

4 95 93 90 83 13 16 2 9 100

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

.

... .

...

圖 _{3. S}

₆

_{= 111} 圖_{4. S}

₁₀

_{= 505}

當 k > 1 時, 設 A = (a

ij

) 為 4k + 2(k = 2, 3, . . .) 階幻方, 其構作方法 按如下步驟進行:

外層部分的構作

1. 先將 1, 2, . . . , 10 這十個元素按表 1 所示固定在各自的位置上, 使第1行 (列)、 第 n 行 (列) 上 3 個元素之和都等於 15。

j 1 n n − 1 2 — 4 n 1

a _ij 1 4 10 3 5 7 2 9 6 8

i 1 n n − 2 n − 1 2 3

外層的其它元素按下列規則填寫:

a

ij

=





































11, 12, . . . , k + 9 (i = 4, 5, . . . , k + 2; j = 1) k + 10, k + 11, . . . , 2k + 8 (i = n; j = 5, 6, . . . , k + 3) 2k + 9, 2k + 10, . . . , 3k + 7 (i = 2k + 2, 2k + 3, . . . , 3k; j = n

3k + 8, 3k + 9, . . . , 5k + 5 (i = 1; j = 2k + 3, 2k + 4, . . . , 4k) 5k + 6, 5k + 7, . . . , 6k + 4 (i = 3k + 1, 3k + 2, . . . , 4k − 1; j = n) 6k + 5, 6k + 6, . . . , 7k + 3 (i = n; j = k + 4, k + 5, . . . , 2k + 2) 7k + 4, 7k + 5, . . . , 8k + 2 (i = k + 3, k + 4, . . . , 2k + 1; j = 1





































此時填寫完了外層各邊上的

¹

2

個元素,

各邊元素之和都等於

(k − 1)(8k + 13) + 15 = 8k

²

+ 5k + 2。

2. 令左 (右) 上角與右 (左) 下角對稱 的兩元素之和等於 n

²

+ 1, 令每行 (列) 關於 本行 (列) 水平 (垂直) 對稱的兩元素之和都 等於 n

²

+ 1。

中心部分的構作

按照定理 1 提供的方法, 構作一個 4k 階增廣幻方 B = (b

ij

), 其元素由 2n − 1, 2n, . . . , n

²

− 2n + 2 所組成, 容易證明 B = (b

ij

) 陣的每行、 每列及兩條對角線上 諸元素之和為 2k(2n − 1 + n

²

− 2n + 2) = 2k(n

²

+ 1)。 我們把 B = (b

ij

) 陣作為 A = (a

ij

) 陣的中心部分:

(b

ij

) = a(i + 1, j + 1)

圖 4 是利用“分層法”造出的 10 階幻方。

現在來證明 A = (a

ij

) 是 4k + 2(k >

1) 階幻方。

由於構成 A = (a

ij

) 陣的元素是由 n

²

個連續自然數 1, 2, . . . , n

²

所組成的, 故只須 證明 A = (a

ij

) 陣的每行、 每列及兩條對角 線上 n 個元素之和都等於幻方的幻和即可。

(i) 外層部分: 由構作方法知, A = (a

ij

) 陣的第 1 行、 第 n 行與第 1 列、 第 n 列上 n 個元素之和都等於 n(n

²

+ 1)/2, 故 它們各自的元素之和都等於幻方的幻和。

(ii) A = (a

ij

) 陣的第 2 行至第 n − 1 行, 各行中 n 個元素之和為

n

X

j=1

a

ij

= 2k(n

²

+ 1) + n

²

+ 1

= (2k + 1)(n

²

+ 1)

= n(n

²

+1)/2 (i = 2, 3, . . . , n−1) 同理可證 A = (a

ij

) 陣的第 2, 3, . . . , n − 1 列及兩條對角線上 n 個元素之都等於 n(n

²

+ 1)/2。

所以, 利用上述“分層法”造出的 n 階方 陣 A = (a

ij

) 是一個 n 階幻方。

參考資料

1. 李儼, 中算史論叢, 科學出版社 (1953)。

2. 梁宗巨, 世界數學史簡編, 遼寧人民出版社 (1980)。

3. 戴文賽, 戴文賽科普創作選集, 科學普及出版 社 (1980)。

4. J. Demes and A. D. Keedwell,

“Latin Squares and Their Applica- tions,”(1974)。

5. 梁培基, 顧同新, 平方幻方與雙重幻方的構 造, 數學傳播, 3(1989) 65-69。

6. 梁培基, 顧同新, 多功能組合幻方, 數學傳播, 2(1990) 82-89。

7. 梁培基, 洛書古今談, 自然雜志, 6(1991) 454-457.

8. 梁培基, 張航輔, 張俠輔, 幻方的一種構作方 法, 雲南大學學報, 4(1989) 310-319。

9. 林克瀛, 漫談魔方陣, 科學月刊, 三卷, 十期。

10. 林克瀛, 魔方陣的性質, 科學月刊, 十一卷, 十 二期。

11. Ku Tung-Hsin and W. D. Wallis. The Development Combinatories, Math.

Scientist, 1986, 11, 33-43。

12. 梁培基, 雙 重 幻 方, 數 學 研 究 與 評 論, 2(1982) 14。

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本文作者任教於中國河南省封丘縣科協

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