回文數定理與回文數幻方
梁培基
引言 : 尋找 「196」 的回文數, 是迄今為止沒有解決的難題。 數學家用傳統的 「顛倒相加法」 算 到 3 億多位也沒有找到 196 的回文數, 計算機的速算功能, 在這裏黯然失色。 既然此路不通, 何 不另闢蹊徑。 本文給出一種方法可以得到任意數的回文數, 解決了 「196」 的回文數問題, 同時 也解決了 196 的一連串顛倒數 (887, 1675, 7436· · · ) 得不到的回文數問題。 並給出由回文數 組成的幻方及平方幻方等。
著名數學家美籍華裔李學數教授在他撰寫的 《數學與數學家的故事》 第 4 冊 [1], 第 3 章
「回文數、 鏡反數和華林問題」 一文中, 介紹了 「回文數」 與 「回文對聯」。 李學數教授文、 理兼 優, 知識淵博, 著作豐碩, 尤其擅長撰寫古今中外數學家奮鬥勵志的故事, 對激勵青少年學習數 學起到了巨大的推動作用。 他用生花之妙筆撰寫了古典式回文對聯、 回文詩詞, 這些詩詞可以 從前到後讀, 也可以反過來從後向前讀。 經過正讀與反讀, 有的意思相近, 有的意思迥異, 令人 耳目一新, 敬佩有加。 又介紹了回文數問題及華林問題, 深入淺出, 發人深省。 能看到李學數教 授的 《數學與數學家的故事》 是人生之幸事, 不僅給自己充足了勤奮學習的正能量, 甚至可以影 響N 代人! 不看此書, 懊悔莫及。
一、 回文數與回文對聯
「回文數」 是數論中一個有趣的問題。 它的定義是: 如果 2 位 (或 2 位以上) 數, 從左向右 (從前向後) 讀與從右向左 (從後向前) 讀, 完全一樣, 我們稱這種數為 「回文數」。 例如: 11, 161, 8778 等, 都是回文數。
對聯是我國特有的一種文學形式, 它短小精粹, 妙趣橫生。 在茫茫 「聯海」 中有一種倒讀、
順讀其文字或音調都一樣的對聯, 稱為 「回文對聯」。 例如 : 鬥雞山上山雞鬥, 龍隱岩裏岩隱龍。
還有: 上河老和尚, 有心交新友; 之前, 這幅聯是 「孤聯」, 沒人對出。 我們給出:「原莊小狀元, 聞 有會友文。」 與之匹配。 並附上四句以紀念之 : 老和尚以文會友, 小狀元對答如流, 忘年交情投 意合, 傳佳話萬古千秋。
人們不禁要問, 先有回文對聯呢? 還是先有回文數?
二、 賈憲三角形與回文數
對於上面的問題有無答案, 我們姑且不論。 在數學方面記載 「回文數」 最早的書籍是宋代 楊輝著的 《注解九章演算法》 (1261年) , 並有自注: 「出 《解鎖》 算術, 賈憲用此術。」 如圖1 [1]。
在我國, 把圖1 稱為 「賈憲 (約1200 年) 三角形。」 在歐洲叫做 「帕斯卡 (1653 年) 三角形。」 但 是, 比中國晚了幾百年矣!
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
圖 1
圖 1 的其他功能和在數學方面的巨大貢獻, 本文暫且不提。 僅從 「回文數」 方面進行分析, 我們發現從第 2 行至第 5 行的 11, 121, 1331, 14641 都是回文數。 它們分別是 11 的 1、 2、
3、 4 次方之積。
還有,
1112= 12321 11112= 1234321
... ...
1111111112= 12345678987654321 及
222= 484 2022= 40804 3072= 94249 上面的回文數都是完全平方數, 不妨稱為 「平方回文數」。
當人們發現 11 的 1、 2、 3、 4 次方之積都是回文數時, 希望用 「類推法」 尋找 11k(k > 4) 次冪構成的回文數, 又請電腦來助陣, 不幸的是, 至今未果。 但是也沒法證明不存在 11k(k > 4) 次冪構成回文數。
另外還有, 用一個數, 乘以該數的顛倒數, 而得到回文數。 如:
12 × 21 = 252 112 × 211 = 23632
... ...
111112 × 211111 = 23456965432
這類回文數稱為 「顛倒乘積型回文數」。 然而, 並不是任意數與它的顛倒數的乘積都能構成 回文數。
還有在素數裏尋找回文數, 例如: 101, 373, 11411, . . ., 19891 都是回文數。 在素數家族 裏, 既是素數又是回文數的 「數」, 如鳳毛麟角。
那麼, 怎樣得到更多的回文數呢?
三、 回文數的一般構造方法
目前, 人們採用 「首尾顛倒相加法」 來得到回文數。 這個方法是, 把給定的 2 位 (或 2 位以 上) 數, 進行首尾顛倒之後, 與原來的數相加, 得到一個新數。 如果這個新數不是回文數, 再把 這個新數首尾顛倒過來, 與新數相加, . . ., 經過多次 「首尾顛倒相加」, 直到得到回文數為止。
例如:
125 + 521 646 一個顛倒就得到了回文數。 再如:
437 + 734 1171 + 1711 2882 經過兩次顛倒得到了回文數。
讀者不妨試驗一下, 很多數字經過有限次 「首尾顛倒相加」, 都能任其擺佈得到回文數。 但 是 「196」 這個數, 個性十足, 非常特殊, 經過很多次顛倒相加也不肯成為回文數, 用高級電腦經 過數億萬次的 「顛倒」[2], 仍然 「它行它素」 不肯變成回文數。 高級電腦也無奈它何!「電腦」 真是 成了 「電惱」!
在這裏, 我們把回文數分為 「奇數位回文數」 和 「偶數位回文數」 兩種類型。 例如 161 是
3 位數, 3 是奇數, 所以稱為 「奇數位回文數」, 8778 是 「偶數位回文數」。 其實, 把偶數位回文 數中間兩個相同的數去掉一個, 就成為奇數位回文數。
四、「偶數位回文數」 的構作方法
定義: 設 A、B 為不相等的兩個整數, 用 AB 表示 10A + B, 這裏的 AB 不是乘法關係的 A × B, 下同。
若 1000 × A + 100 × B + 10 × B + A, 得到的 ABBA, 稱為 4 位回文數 H4, 一個 n 位的回文數記作 Hn。 由 2 位數 AB, 生成 4 位數 ABBA 的 H4 回文數的方法。
定理1: 設
H4 = [101 × AB + 9 × (B − A)] (1) 則 H4 為回文數。
證明: 由定義知, 兩個不相等的數 AB 得到的 4 位 ABBA 回文數 H4 為:
1000A + 100B + 10B + A (2) 把 (1) 式展開
H4= 101(10A + B) + 9(B − A)
= 1010A + 101B + 9B − 9A
= 1001A + 110B (3)
(2)−(3) 得
1000A + 100B + 10B + A − (1001A + 110B) = 0
定理 1 證畢。
兩個例子: 當 A = 1, B = 2 時, 及 A = 5, B = 2 時, 代入 (1) 得 101 × 12 + 9 × (2 − 1) = 1212 + 9 = 1221.
101 × 52 + 9 × (2 − 5) = 5252 + (−27) = 5225.
以上是由 2 位數 AB 經過計算得到的 4 位數回文數 H4。 下面介紹由 3 位數 ABC 得到的回文數 H6。
定義2: 設 A、 B、 C 為不相等的 3 個整數, 用 ABC 表示 100A + 10B + C。
若 100000A + 10000B + 1000C + 100C + 10B + A 得到的 ABCCBA 稱為 6 位回 文數 H6。
由 3 位數 ABC, 生成 6 位數 ABCCBA 的回文數 H6 的方法:
定理2: 令:
H6 = 1001(ABC) + 99(C − A) (4) 則 H6 為回文數。
證明: 由定義知, 3 個數構成的 H6 回文數為
100000A + 10000B + 1000C + 100C + 10B + A (5) 把 (4) 展開:
H6= 1001(100A + 10B + C) + 99(C − A)
= 100100A + 10010B + 1001C + 99C − 99A
= 100001A + 10010B + 1100C (6) (5)−(6) 得:
100000A + 10000B + 1000C + 100C + 10B + A − (100001A + 10010B + 1100C) = 0
定理 2 證畢。
下面, 我們給出 ABC = 729 及 ABC = 196 的例子 當 ABC = 729 時, 把 ABC 代入 (4) 得
H6 = 1001 × 729 + 99 × (9 − 7) = 729729 + 198 = 729927.
當 ABC = 196 時,
1001 × 196 + 99 × (6 − 1) = 196196 + 495 = 196691.
當 ABC = 887 (196 的顛倒數之和), 把 ABC 代入 (4) 得
1001 × 887 + 99 × (7 − 8) = 887887 + (−99) = 887788.
五、 高位回文數的構作
世界上的各種事物都存在著 「分」 與 「合」 的現象。 三國演義說得好: 「分久必合, 合久必 分。」 在構作高位回文數時, 我們把 「分」 與 「合」 派上了用場。
在這裏, 我們介紹 「分拆插入法」。 例如, 要得到 4 位數 ABCD 生成的 8 位數回文數 H8
的方法:
設 ABCD 為 1639 為例, 按如下步驟進行
1. 先將 1639 分為 16 與 39 兩部分, 按照 2 位數生成 4 位回文數的方法, 生成兩個 H4。 2. 將 16 代入下 (1) 式, 得
101 × 16 + 9 × (6 − 1) = 1616 + 45 = 1661.
再將 39 代入 (1) 式, 得
101 × 39 + 9 × (9 − 3) = 3939 + 54 = 3993.
3. 把 1661 從中間分開, 分為 16 與 61;
4. 把 16 排列在 H8 的第 1 位、 第 2 位上, 第 3 位至第 6 位插入 3993, 第 7 位、 第 8 位是 61 的位置。
5. 將它們對號入座 16399361 就完成了一個 8 位數的回文數 H8。 利用上述方法可以得到由 2k (k = 2, 3, . . .) 個數生成 2 × 2k 的回文數
設 k = 3 的 6 位數 ABCDEF = 246889, 生成 12 位數的回文數 H12, 的例子, 把 246889 分為 24 與 68 及 89 三部分, 分別代入 (1) 式, 得
101 × 24 + 9 × (4 − 2) = 2424 + 18 = 2442, 101 × 68 + 9 × (8 − 6) = 6868 + 18 = 6886;
101 × 89 + 9 × (9 − 8) = 8989 + 9 = 8998.
把 3 個 4 位數的回文數按照分拆插入法的順序, 對號入座, 得 H12 = 246889988642。
也可以按照 3 位數生成 6 位回文數 H6 的方法如下:
把 246889, 分拆為 246 與 889 兩部分, 將其分別代入 (4) 式, 得 1001 × 246 + 99 × (6 − 2) = 246246 + 396 = 246642, 1001 × 889 + 99 × (9 − 8) = 889889 + 99 = 889988.
分拆插入得: H12= 246889988642。 結果相同, 殊途而同歸。
我們知道, 任意正整數 n (n > 1), 可表為
n = 2k, n = 2k + 1, (k = 1, 2, . . .)
當 n = 2k 時, 我們利用構作 k 組 2 位數回文數的方法, 得到任意 n 位數的 2n 位的回文數 H2n。
當 n = 2k + 1 時, 我們構作 k − 1 組 2 位數回文數的與一個 3 位數的方法得到 2(2k + 1) 位的回文數。
196 是一個奇怪的數, 利用傳統的 「顛倒相加法」, 得不到回文數, 它的一連串顛倒數也得 不到回文數。 我們用新的方法把 196 及其 「一連串顛倒數也得不到回文數」 的數代入 (1) 式或 者 (4) 式, 使之得到它們各自的回文數:
當 ABCD = 1675 (196 的第 3 輪顛倒數之和)。
令: H8 = 10001 × 1675 + 999 × (5 − 1) + 90 × (7 − 6) = 16751675 + 3996 + 90 = 16755761.
當 ABCD = 7436 時 (196 的第 4 輪顛倒數之和)。
令: H8 = 10001×7436+999×(6−7)+90×(3−4) = 74367436+(−999)+(−90) = 74366347.
當 ABCDE = 13783 時 (196 的第 5 輪顛倒數之和), 可以構造一個 2 位數 「13」 代入 (1) 式, 再構造 3 位數 「783」 代入 (4) 式的回文數, 利用 「分拆插入法」 得到 4 + 6 = 10 位 數的回文數:
(1) 把 「13」 代入 (1) 式 H4 = 101 × AB + 9 × (B − A) 得
101 × 13 + 9 × (3 − 1) = 1313 + 18 = 1331;
(2) 把 「783」 代入 (4) 式 H6 = 1001(ABC) + 99(C − A) 得
1001 × 783 + 99 × (3 − 7) = 783783 − 396 = 783387.
(3) 按照分拆插入法把 1331 分拆為 13 與 31, 之後在 13 與 31 之間插入 783387, 就可以得 到 10 位數的 H10= 1378338731.
同樣的方法, 可以得到 52524 與 95049 (196 的第 6、 7 輪顛倒數之和) 各自的 10 位回文數, 請讀者自己完成。
當 ABCDEF = 189108 時 (196 的第 8 輪顛倒數之和) , 可以分為 189 與 108 兩部
分, 把 189 與 108 分別代入 (4) 式得
1001 × 189 + 99 × (9 − 1) = 189189 + 792 = 189981;
1001 × 108 + 99 × (8 − 1) = 108108 + 693 = 108801.
按照分拆插入法把 189981 分拆為 189 與 981, 之後在 189 與 981 之間插入 108801, 就可 以得到 12 位數的 H12= 189108801981。
同樣的方法可以得到 991089 (196 的第 9 輪顛倒數之和) 的 12 位回文數, 從略。
至此, 解決了 「196」 及其一連串顛倒數的回文數問題。
應驗了蘇東坡的名言:
蘇東坡曰 : 「天下無語不成對」 (指對聯) ; 我們對之 : 「世上有數能轉回」 (回文數) 。
六、 回文數幻方
回文數的問世為數字家族增添了迷人的斑斕色彩, 回文數奇妙的性質 [2, 3, 4], 吸引了眾 多數學愛好者為之折腰, 用回文數構造幻方是一個新課題, 廣大幻方愛好者趨之若鶩。 回文數在 茫茫數海之中已經是鳳毛麟角, 而既是素數、 又是回文數 「雙重身份」 的數, 更是寥若晨星。 能 否利用這種數字構造出幻方? 回答是肯定的。 圖 2、 圖 3、 圖 4, 是鐘明 (四川一位數學教師) 等幻友, 創作的 「回文素數幻方」。
定義: 回文數幻方, 回文素數幻方。
由回文數排列成的幻方, 叫 「回文數幻方」。 如果一個幻方的元素既是回文數, 又是素數, 稱 為 「回文素數幻方」。
3 階回文素數幻方 作者 鐘明 牛國良 曾學涵
189595981 103212301 146858641 103818301 146555641 189292981 146252641 189898981 103515301
圖2. S3 = 439666923.
圖 2 是由回文素數構成的 3 階幻方, 它不僅滿足幻方的性質, 而且有如下奇妙的性質; 把 這個幻方同時去掉各個元素的首位數和末位數, 稱為 「剪頭去尾」。 經過 「剪頭去尾」 之後, 剩下
的方陣仍然是 「回文數幻方」。 這樣再次繼續 「剪頭去尾」, 剩下的方陣仍然滿足 「回文數幻方」
的性質。 直到剩下一兵一卒 「一位數時」, 仍然保留著幻方的 「氣節」, 雖然元素相同。 圖 3 是依 次 「剪頭去尾」 之後剩下的 4 個 3 階回文數幻方 (雙粗線為界) :
8959598 0321230 4685864 95959 32123 68586 595 212 858 9 1 5 0381830 4655564 8929298 38183 65556 92929 818 555 292 1 5 9 4625264 8989898 0351530 62526 98989 35153 252 898 515 5 9 1 S3 = 13966692 S3 = 196668 S3 = 1665 S3 = 15
圖 3
100050001 104222401 114848411 108434801 157555751 12721 16661 33533 76367 103939301 109444901 156434651 101060101 114232411 74747 35153 12821 16561 157444751 111070111 103323301 104949401 108323801 15551 13831 77477 32423 104333401 103828301 109333901 167454761 100161001 36263 73637 15451 13931 119343911 156545651 101171101 103212301 104838401
圖 4: S4 = 139282. 圖 5: S5 = 585111365.
如果對於圖 4 的 4 階 「回文素數幻方」, 進行 「剪頭去尾」 之後, 每個元素剩下的 3 位數 的回文數, 它們仍然滿足 「回文數幻方」 的性質。 圖 5 亦然。 請讀者自己驗證。
七、 回文數平方幻方的構造
筆者構造出平方幻方 [5], 本文利用回文數構造出 8 階與 9 階回文數平方幻方, 圖 6 是 一個用 3 位回文數構成的 8 階平方幻方, 這個幻方的 1 次幻和具有全對稱幻方的性質, 其幻 和 S8 = 3916。 它的 2 次幻和只滿足每行、 每列及兩條對角線等於定值, 即 S82 = 2349524。
這個幻方同樣具有 「剪頭、 去尾」 的性質, 但是與圖 3、 圖 4 所講的 「剪頭去尾」 是有區別, 前 面的 「剪頭去尾」 是在一個幻方中同時進行的兩種 「手術」, 即既 「剪頭」 又 「去尾」。 而這裏的
「剪頭、 去尾」 是在兩個幻方中進行的, 或者說分兩次進行的, 先 「剪頭」 使之成為一個幻方; 再
「去尾」 又組成一個幻方。 我們在 「剪頭、 去尾」 之間插入 「、」 號以示區別。 在這裏, 對圖 6 進 行 「剪頭」 手術: 去掉每個元素的第 1 位數, 「剪頭」 之後, 剩下的元素仍然是平方幻方 (圖7)。
而 「去尾」, 則是去掉圖 6 每個元素的末位數, 「去尾」 之後, 剩下的也是平方幻方 (圖 8)。 圖 9 是將圖 7 與圖 8 的各個元素合併為 4 位回文數之後, 得到的平方幻方。 亦即, 對於圖 8 的各 個元素乘以 100, 再加上圖 7 相同位置上的元素, 就變成 4 位數的回文數平方幻方圖 9。 充分 彰顯了能 「分」 能 「合」 的性質。
202 323 848 565 636 717 474 151 171 454 737 616 545 868 303 222 727 606 161 444 313 232 555 878 858 575 212 333 464 141 626 707 343 262 505 828 777 656 131 414 434 111 676 757 808 525 242 363 666 747 424 101 252 373 818 535 515 838 353 272 121 404 767 646
圖 6: S8 = 3916, S82 = 2349524.
02 23 48 65 36 17 74 51 71 54 37 16 45 68 03 22 27 06 61 44 13 32 55 78 58 75 12 33 64 41 26 07 43 62 05 28 77 56 31 14 34 11 76 57 08 25 42 63 66 47 24 01 52 73 18 35 15 38 53 72 21 04 67 46
20 32 84 56 63 71 47 15 17 45 73 61 54 86 30 22 72 60 16 44 31 23 55 87 85 57 21 33 46 14 62 70 34 26 50 82 77 65 13 41 43 11 67 75 80 52 24 36 66 74 42 10 25 37 81 53 51 83 35 27 12 40 76 64 圖 7: S8 = 316, S82 = 16724. 圖 8: S8 = 388, S82 = 23060.
2002 3223 8448 5665 6336 7117 4774 1551 1771 4554 7337 6116 5445 8668 3003 2222 7227 6006 1661 4444 3113 2332 5555 8778 8558 5775 2112 3333 4664 1441 6226 7007 3443 2662 5005 8228 7777 6556 1331 4114 4334 1111 6776 7557 8008 5225 2442 3663 6666 7447 4224 1001 2552 3773 8118 5335 5115 8338 3553 2772 1221 4004 7667 6446
圖 9: S8 = 39116, S82 = 233849924.
看到圖 6, 圖 7, 圖 8 的 3 個幻方, 勾起了語文老師呂振洲先生猜字謎的回憶: 一車在前, 兩車隨後, 三車飛奔轟轟響; 一口在上, 兩口在下, 三口嘖嘖品瓊漿。 (猜二字, 轟, 品) 看到圖 7
與圖 8, 是由圖 9 所包含的幻方。 亦即圖 9 是圖 7 與圖 8 的 「母幻方」, 想起古人一副對聯:
「稻草捆秧父抱子, 竹籃提筍母懷兒。」
讀者朋友, 在這裏是 「父抱子」 呢? 還是 「母懷兒」? 雖然寫這段文章的時間是父親節。
看到圖 6∼圖 9 四個幻方的圖形, 想起少年時期數學教師周太順老師的一道趣味算題:
問牧童幾隻羊? 答曰: 前邊 3 隻羊, 後邊 3 隻羊, 左邊 3 隻羊, 右邊 3 隻羊。 (至少幾隻羊?) 。 我們還可以作如下變換, 使得改變後的方陣仍然成為平方幻方:
我們發現, 從圖 6 到圖 15, 由一個平方幻方, 衍生出一系列的平方幻方, 而生生不息。 應 驗了老子的至理名言 「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬, . . .」
2200 3322 8844 5566 6633 7711 4477 1155 1177 4455 7733 6611 5544 8866 3300 2222 7722 6600 1166 4444 3311 2233 5555 8877 8855 5577 2211 3333 4466 1144 6622 7700 3344 2266 5500 8822 7777 6655 1133 4411 4433 1111 6677 7755 8800 5522 2244 3366 6666 7744 4422 1100 2255 3377 8811 5533 5511 8833 3355 2277 1122 4400 7766 6644
S8= 39908, S82= 249906140.
2020 3232 8484 5656 6363 7171 4747 1515 1717 4545 7373 6161 5454 8686 3030 2222 7272 6060 1616 4444 3131 2323 5555 8787 8585 5757 2121 3333 4646 1414 6262 7070 3434 2626 5050 8282 7777 6565 1313 4141 4343 1111 6767 7575 8080 5252 2424 3636 6666 7474 4242 1010 2525 3737 8181 5353 5151 8383 3535 2727 1212 4040 7676 6464
S8= 39188, S82= 235235060.
圖 10. 把圖9的第4位數移到第1位, 其元素 變成 AABB 型平方幻方。
圖 11. 把圖10的中間兩數對換。 其元素變成 ABAB 型平方幻方。
4040 6464 16968 11312 12726 14342 9494 3030 3434 9090 14746 12322 10908 17372 6060 4444 14544 12120 3232 8888 6262 4646 11110 17574 17170 11514 4242 6666 9292 2828 12524 14140 6868 5252 10100 16564 15554 13130 2626 8282 8686 2222 13534 15150 16160 10504 4848 7272 13332 14948 8484 2020 5050 7474 16362 10706 10302 16766 7070 5454 2424 8080 15352 12928
S8= 78376, S82= 940940240.
2021 3233 8485 5657 6364 7172 4748 1516 1718 4546 7374 6162 5455 8687 3031 2223 7273 6061 1617 4445 3132 2324 5556 8788 8586 5758 2122 3334 4647 1415 6263 7071 3435 2627 5051 8283 7778 6566 1314 4142 4344 1112 6768 7576 8081 5253 2425 3637 6667 7475 4243 1011 2526 3738 8182 5354 5152 8384 3536 2728 1213 4041 7677 6465
S8= 39196, S82= 235313444.
圖 12. 對圖 11 的每個元素乘以 2, 得到的平 方幻方。
圖 13. 對圖 11 的各個元素都+1, 得到的平 方幻方。
2011 3223 8475 5647 6354 7162 4738 1506 1708 4536 7364 6152 5445 8677 3021 2213 7263 6051 1607 4435 3122 2314 5546 8778 8576 5748 2112 3324 4637 1405 6253 7061 3425 2617 5041 8273 7768 6556 1304 4132 4334 1102 6758 7566 8071 5243 2415 3627 6657 7465 4233 1001 2516 3728 8172 5344 5142 8374 3526 2718 1203 4031 7667 6455
S8= 39116, S82= 234530324.
1011 2223 7475 4647 5354 6162 3738 506 708 3536 6364 5152 4445 7677 2021 1213 6263 5051 607 3435 2122 1314 4546 7778 7576 4748 1112 2324 3637 405 5253 6061 2425 1617 4041 7273 6768 5556 304 3132 3334 102 5758 6566 7071 4243 1415 2627 5657 6465 3233 1 1516 2728 7172 4344 4142 7374 2526 1718 203 3031 6667 5455
S8= 31116, S82= 164298324.
圖 14. 對於圖 11 各個元素減去 9, 得到的 平方幻方。
圖 15. 對於圖 14, 各元素減去 1000, 得到 的平方幻方。
八、 五位回文數 8 階平方幻方
圖 16 是一個 8 階回文數平方幻方, 它的 1 次幻和具有全對稱幻方性質。 圖 16 中的各個 子陣 H、 Z、 A、 B 分別代表幻方、 自然數方陣、 A 方陣、 B 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是:
H = (hij) = Z[(aij), (bij)] (i, j = 1, 2, . . . , 8) 即: 幻方的元素取自 Z 陣的第 (aij) 行, 第 (bij) 列所對應的元素。
例如: h(1,1) 的元素, 應該取 Z 陣的 第 (a1,1) 行, 第 (b1,1) 列所對應的元素。 我們發現 (a1,1) 位置上的數是 2, (b1,1) 位置上的數是 5, 即應該取 Z 陣第 2 行、 第 5 列上的元素 35653, 然 後把 35653 填寫在 h(1,1) 的位置上。 餘類推。 我們稱這個方法為 「方陣定位法」[6]。
H :
35653 47574 91019 63336 78287 86168 54445 22722 24742 52425 88188 76267 61316 93039 45554 37673 87178 75257 23732 51415 46564 38683 62326 94049 92029 64346 36663 48584 53435 21712 77277 85158 41514 33633 65356 97079 84148 72227 28782 56465 58485 26762 74247 82128 95059 67376 31613 43534 73237 81118 57475 25752 32623 44544 96069 68386 66366 98089 42524 34643 27772 55455 83138 71217
S8= 479204, S28= 32864655044.
A:
2 3 8 5 6 7 4 1
1 4 7 6 5 8 3 2
7 6 1 4 3 2 5 8
8 5 2 3 4 1 6 7
3 2 5 8 7 6 1 4
4 1 6 7 8 5 2 3
6 7 4 1 2 3 8 5
5 8 3 2 1 4 7 6
Z:
21712 22722 23732 24742 25752 26762 27772 28782 31613 32623 33633 34643 35653 36663 37673 38683 41514 42524 43534 44544 45554 46564 47574 48584 51415 52425 53435 54445 55455 56465 57475 58485 61316 62326 63336 64346 65356 66366 67376 68386 71217 72227 73237 74247 75257 76267 77277 78287 81118 82128 83138 84148 85158 86168 87178 88188 91019 92029 93039 94049 95059 96069 97079 98089
B:
5 7 1 3 8 6 4 2
4 2 8 6 1 3 5 7
7 5 3 1 6 8 2 4
2 4 6 8 3 1 7 5
1 3 5 7 4 2 8 6
8 6 4 2 5 7 1 3
3 1 7 5 2 4 6 8
6 8 2 4 7 5 3 1
圖16. 五位回文數 8 階平方幻方。 構造圖 16 的自然數方陣。
我們可以改變圖 16 各個元素的位置, 或者 「剪頭」, 「去尾」; 或者挑選其中的元素搭配: 前 (後) 2 位、 3 位、 4 位数使之滿足平方幻方的性質。 圖 17∼圖 24 是變換後的平方幻方。
356 475 910 633 782 861 544 227 247 524 881 762 613 930 455 376 871 752 237 514 465 386 623 940 920 643 366 485 534 217 772 851 415 336 653 970 841 722 287 564 584 267 742 821 950 673 316 435 732 811 574 257 326 445 960 683 663 980 425 346 277 554 831 712
S8= 4788, S82= 3281460.
653 574 19 336 287 168 445 722 742 425 188 267 316 39 554 673 178 257 732 415 564 683 326 49 29 346 663 584 435 712 277 158 514 633 356 79 148 227 782 465 485 762 247 128 59 376 613 534 237 118 475 752 623 544 69 386 366 89 524 643 772 455 138 217
S8= 3204, S82= 1699044.
圖 17. 用圖 16 各元素的前 3 位數構成的平 方幻方。
圖 18. 用圖 16 各元素的後 3 位數構成的平 方幻方。
565 757 101 333 828 616 444 272 474 242 818 626 131 303 555 767 717 525 373 141 656 868 232 404 202 434 666 858 343 171 727 515 151 363 535 707 414 222 878 646 848 676 424 212 505 737 161 353 323 111 747 575 262 454 606 838 636 808 252 464 777 545 313 121
S8= 3916, S82= 2349524.
3553 4774 9119 6336 7887 8668 5445 2222 2442 5225 8888 7667 6116 9339 4554 3773 8778 7557 2332 5115 4664 3883 6226 9449 9229 6446 3663 4884 5335 2112 7777 8558 4114 3333 6556 9779 8448 7227 2882 5665 5885 2662 7447 8228 9559 6776 3113 4334 7337 8118 5775 2552 3223 4444 9669 6886 6666 9889 4224 3443 2772 5555 8338 7117
S8= 48004, S82= 330640244.
圖 19. 用圖 16 各元素中間的 3 位數構成的 回文數平方幻方。
圖 20. 用圖 16 各元素兩邊各 2 位數構成的 回文數平方幻方。
3565 4757 9101 6333 7828 8616 5444 2272 2474 5242 8818 7626 6131 9303 4555 3767 8717 7525 2373 5141 4656 3868 6232 9404 9202 6434 3666 4858 5343 2171 7727 8515 4151 3363 6535 9707 8414 7222 2878 5646 5848 2676 7424 8212 9505 6737 3161 4353 7323 8111 5747 2575 3262 4454 9606 6838 6636 9808 4252 3464 2777 5545 8313 7121
S8= 47916, S82= 328585524.
5653 7574 1019 3336 8287 6168 4445 2722 4742 2425 8188 6267 1316 3039 5554 7673 7178 5257 3732 1415 6564 8683 2326 4049 2029 4346 6663 8584 3435 1712 7277 5158 1514 3633 5356 7079 4148 2227 8782 6465 8485 6762 4247 2128 5059 7376 1613 3534 3237 1118 7475 5752 2623 4544 6069 8386 6366 8089 2524 4643 7772 5455 3138 1217
S8= 39204, S28= 235375044.
圖 21. 用圖 16 各元素前 4 位數構成的平方 幻方。
圖 22. 用圖 16 各元素後 4 位數構成的平方 幻方。
35 47 91 63 78 86 54 22
24 52 88 76 61 93 45 37
87 75 23 51 46 38 62 94
92 64 36 48 53 21 77 85
41 33 65 97 84 72 28 56
58 26 74 82 95 67 31 43
73 81 57 25 32 44 96 68
66 98 42 34 27 55 83 71
S8= 476, S82= 32564.
53 74 19 36 87 68 45 22
42 25 88 67 16 39 54 73
78 57 32 15 64 83 26 49
29 46 63 84 35 12 77 58
14 33 56 79 48 27 82 65
85 62 47 28 59 76 13 34
37 18 75 52 23 44 69 86
66 89 24 43 72 55 38 17
S8= 404, S82= 24644.
圖 23. 用圖 16 各元素的前 2 位數構成的平 方幻方。
圖 24. 用圖 16 各元素的後 2 位數構成的平 方幻方。
九 、 9 階回文數平方幻方
圖 25 是一個 9 階回文數平方幻方, S9 = 4950, S92 = 3291285。 各個子陣 H、 Z、 A、
B 分別代表: 幻方、 自然數方陣、 A 方陣、 B 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是:
H = (hij) = Z[(aij), (bij)] (i, j = 1, 2, . . . , 9) 即: 幻方的元素取自 Z 陣的第 (aij) 行, 第 (bij) 列所對應的元素。
例如: h(1,1)的元素, 應該取 Z 陣的第 (a1,1) 行, 第 (b1,1) 列所對應的元素。 我們發現 (a1,1) 位置上的數是 8, (b1,1) 位置上的數是 7, 即應該取 Z 陣第 8 行、 第 7 列上的元素 777, 然後 把 777 填寫在 h(1,1) 的位置上。 餘類推。 我們稱這個方法為 「方陣定位法」[6]。
H: 幻方
777 383 565 212 424 909 646 858 131 616 828 101 747 353 535 272 484 969 242 454 939 676 888 161 717 323 505 363 575 787 404 919 222 838 141 656 808 111 626 333 545 757 464 979 282 434 949 252 868 171 686 303 515 727 585 767 373 929 202 414 151 636 848 121 606 818 555 737 343 989 262 474 959 232 444 181 666 878 525 707 313
Z 陣:
101 202 303 404 505 606 707 808 909 111 212 313 414 515 616 717 818 919 121 222 323 424 525 626 727 828 929 131 232 333 434 535 636 737 838 939 141 242 343 444 545 646 747 848 949 151 252 353 454 555 656 757 858 959 161 262 363 464 565 666 767 868 969 171 272 373 474 575 676 777 878 979 181 282 383 484 585 686 787 888 989
圖25. S9 = 4950, S92 = 3291285.
8 9 7 2 3 1 5 6 4 7 3 5 2 4 9 6 8 1
2 3 1 5 6 4 8 9 7 6 8 1 7 3 5 2 4 9
5 6 4 8 9 7 2 3 1 2 4 9 6 8 1 7 3 5
7 8 9 1 2 3 4 5 6 3 5 7 4 9 2 8 1 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 6 3 5 7 4 9 2
4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 9 2 8 1 6 3 5 7
9 7 8 3 1 2 6 4 5 5 7 3 9 2 4 1 6 8
3 1 2 6 4 5 9 7 8 1 6 8 5 7 3 9 2 4
6 4 5 9 7 8 3 1 2 9 2 4 1 6 8 5 7 3
A 陣 B 陣
十、 結語
回文數是個新問題, 196 回文數的難題, 不知難壞了多少 「數學頭腦」。 回文數幻方更是一 個新問題, 由此可以繁衍出類似的: 回文數幻圓、 回文數幻星, 等等, 希望有興趣的朋友進一步 鑽研開發, 得到更加優秀的結果。
還是古人那句話: 嚶其鳴矣, 求其友聲。
誠摯感謝 : 審稿老師的認真審核與修改, 並提出寶貴的意見和建議。
再感謝 50 多年前教語文的呂振洲老師, 認真審核文章發現其中一個重要的疏漏。 為激勵 幻友開發研究多出新成果, 呂老師語重心長的寫道:「研讀回文, 拍案喜驚。 回文數字, 變換無窮。
令人激盪, 妙趣橫生。 待研開發, 繁衍新生。」
附錄 : 8 階回文數雙重幻方淺探
「回文數雙重幻方」 是一塊未開發的處女地, 筆者嘗試造出一個回文數雙重幻方以饗幻友, 由於數術低微, 心餘力竭, 未能如願, 今將 「半成品」 奉獻給大家, 期待著幻方愛好者把這點瑕 疵修正過來, 當然, 我要重書修改者一筆。
H:
20000002 30300303 88000088 55500555 11011011 44444444 70077007 60666606 11111111 44044044 70777707 60066006 20200202 30000003 88800888 55000055 70700707 60000006 11100111 44000044 88888888 55055055 20222202 30033003 88088088 55555555 20022002 30333303 70000007 60600606 11000011 44400444 50055005 80888808 33033033 22222222 66000066 77700777 40000004 10100101 66600666 77000077 40400404 10000001 50555505 80088008 33333333 22022022 40444404 10011001 66666666 77077077 33300333 22000022 50500505 80000008 33000033 22200222 50000005 80800808 40044004 10111101 66066066 77777777
上面是一個 「積幻方」— 每行、 每列及兩條對角線之積:
Π8 =6.1578252597,6582307873,7263039017,3732771407,5601656783,9322613120 (61位 數)
並且, 它們的每行、 每列 8 元素之和都等於 380000016, 但是兩條對角線之和不相等, 故 權且稱為 「積幻方」。
左對角線上 8 元素之和等於 379843816, 右對角線上 8 元素之和等於 380156216。
各行之和:
380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016
各列之和:380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016
距離完整的雙重幻方, 僅僅差對角線之和不相等。參考資料
1. [美]李學數。 數學與數學家的故事, 第4 冊。 上海科學技術出版社。 2015。
2. [美]陳以鴻(譯)。 數學的奇妙。 上海科技教育出版社。 2001。(西奧妮．帕帕斯)。
3. 任現淼。 趣味數學365。 北京廣播學院出版社。 1993。
4. 吳振奎等。 名人趣題妙解。 天津教育出版社。 2001。
5. 梁培基, 顧同新。 平方幻方與雙重幻方的構造。 數學傳播季刊, 13(3), 65-69 , 1989。
6. 梁培基, 張航輔, 張俠輔。 幻方的一種構造方法。 雲南大學學報, 11(4), 1989。
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本文作者任職中國河南省封丘縣科協—
2016 全國技專院校 「文以載數創作獎」 作品選集
偶數奇數 文 / 游筑銦
就算再數下去, 我們仍然擦肩而過。
不會有偶然的相遇, 也不會有奇特的邂逅。
—本文作者就讀南亞技術學院時尚設計科—
