四階幻方探秘
劉源俊
一、 緒言
劉曾适先生曾於 1964∼65 年間研究 4 × 4 幻方 (magic square of order 4), 自行發展 出一套方法找出共 880 種, 並全數整理排序。 到 2000 年左右, 他又重新整理, 寫成 《幻方探 秘》 一書的手稿。 本文乃根據該稿, 用較為簡潔的數學語言改寫成通俗文字。
二、 從三階幻方談起
在探討四階幻方前, 應先探討三階幻方。 大家應該都看過
這一三階幻方 :
4 9 2 3 5 7 8 1 6
。 將 1 到 9 的九個數字排列成
方陣, 其中各行 (columns)、 各列 (rows) 及兩個對角線 (di- agonals) 三數字的和均為 15。
《易 · 繫辭》 上有 「河出圖, 洛出書」 一語, 所謂 《洛書》 指的是右邊這一圖, 相傳四、 五千 年前就出現了。 說穿了, 洛書就是三階幻方的圖像表示。 我國漢代稱此種幻方為 「九宮」。
三階幻方共有幾種? 將這一幻方逆時鐘旋轉 (rotation) 90◦, 或旋轉 180◦, 或旋轉 270◦, 或以對角線為軸轉置 (transposition), 共可得 8 個型; 但因為彼此相關, 我們將此 8 個型當成 一種。 不難證明, 三階幻方就只有一種。
此 8 型幻方如何排序? 先比左上角數字 — 愈小愈放在前頭, 再比其右的數字, 再比更其 右的數字, · · · 然後依序比下一列, · · · 。 把排在最前頭的作為代表型, 則三階幻方的代表型是
2 7 6 9 5 1 4 3 8
。
為研究方便, 我們先將幻方 「降級」— 每個數字都減 1, 然後轉化為 3 進位表示法, 再分
47
解為兩個三階 「元方」 (elemental magic squares)1 的 「拼合」2, 如下:
2 7 6 9 5 1 4 3 8
降級⇒
1 6 5 8 4 0 3 2 7
轉化⇒
01 20 12 22 11 00 10 02 21
分解⇒
0 2 1 2 1 0 1 0 2
1 0 2 2 1 0 0 2 1
。
用符號表示: 若 M 代表三階幻方
2 7 6 9 5 1 4 3 8
, L 代表三階元方
0 2 1 2 1 0 1 0 2
, 則
M= 3L + L′′′+ I ⇔ LL′′′; 在此, L′′′ 表示 L 逆時鐘轉 90◦ (順時鐘轉 270◦), I 代表三階 1
方陣
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, 表示兩個元方的拼合, ⇔ 表示左右兩者相當 (equivalent)。 又,
轉置的符號記為 ∼, 則顯然 ˜L= L。
三階元方只有一種, 但有四型; 前述 L 是代表型, 另外三型依上述排序記為 L′′′、 L′ 及 L′′, 分別表示順時鐘旋轉 270◦, 或旋轉 90◦ 及旋轉 180◦。這四型元方共有 16 種拼合方式, 拼 出來的不一定是幻方, 例如 LL 或 LL′′; 但若拼出幻方, 則不外前述八型, 都屬同一種, 例如 LL]′′′ = LL′。
三、 高階幻方
由上述推而廣之, 我們可以定義 n 階幻方 (magic square of order n):
將 1 到 n2 的 n2 個自然數排成方陣 M ≡ [mij], i, j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, 其中元素滿足 下列關係者, 稱之為 n 階幻方:
Xn k=1
mik = Xn
k=1
mkl= Xn k=1
mkk = Xn
k=1
m′kk= n
2(n2+ 1),
上式中, m′ij 係方陣 M′ ≡ [m′ij] 的元素, 而 M′ 是 M 順時鐘旋轉 90◦ 後的方陣。
換言之, n 階幻方的各行、 各列及兩個對角線上的 n 個元素的和均相等, 為 n2(n2+ 1)。
我們約定 n 階幻方的排序方式: m11 較小的排在最前; m11 相同時, m12 較小的排在前;
m12 又相同時, 則 m13 較小的排在前; 依此類推。 比較了第一列後, 再比較第二列; 依此類推。
1這裡, 「元方」 特指可用以拼合成幻方的基元方陣。 n 階元方的每一元素數字都屬 {0, 1, . . . , n − 1}, 而每行與每列諸數字的和都等於
1
2n(n − 1)。
2兩個 n 階元方 [aij] 與 [bij] 的 「拼合」 記為 [aij][bij], 定義為 [aijbij], 其中每一元素 aijbij是 n 進位數, 其值是 n · aij+ bij。
四、 四階幻方
根據前面的原理, 我們來研究四階幻方。 四階幻方式將 1 到 16 的數字排在 4 × 4 的方陣 裡, 各行、 各列及對角線 4 個元素的和是 34。
10 世紀的印度廟 (the Parshvanath Jain temple in Khajuraho) 中展示一饒富趣味的
幻方
7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
, 下文再說。 我國宋代數學
家楊輝 (約 1238∼約 1298) 在他的 《續古摘奇演算 法》 上卷中製作了十三幅 「縱橫圖」, 其中包括一幅
四階的 「陽圖」:
4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13
。
後人研究四階幻方, 共得 880 種, 1693 年法國人 de Bessy 曾予列出3。 但各人用的方法 五花八門, 欠缺系統。 今日用計算機來計算並列出所有四階幻方, 當非難事, 網路上也可以查到 所有四階幻方的資料4。 但有系統地從基本原理加以探究, 方具教育意義。
五、 四階幻方的形成
先從第 1 種 M1 =
1 2 15 16 12 14 3 5 13 7 10 4 8 11 6 9
與第 880 種 M880 =
7 14 4 9 15 6 12 1 2 3 13 16 10 11 5 8
探討起。
比照前述三階幻方的做法: 先降級, 轉化為 4 進位表示法, 再分解:
1 2 15 16 12 14 3 5 13 7 10 4 8 11 6 9
降級⇒轉化⇒
00 01 32 33 23 31 02 10 30 12 21 03 13 22 11 20
分解⇒
0 0 3 3 2 3 0 1 3 1 2 0 1 2 1 2
0 1 2 3 3 1 2 0 0 2 1 3 3 2 1 0
3Bernard Frenicle de Bessy, Des Quarrez ou Tables Magiques.
4www.magic-squares.net/order4list.htm.
7 14 4 9 15 6 12 1 2 3 13 16 10 11 5 8
降級⇒轉化⇒
12 31 03 20 32 11 23 00 01 02 30 33 21 22 10 13
分解⇒
1 3 0 2 3 1 2 0 0 0 3 3 2 2 1 1
2 1 3 0 2 1 3 0 1 2 0 3 1 2 0 3
於是看到幾種四階 「元方」, 其性質卻大為不同: 各元方的各行與各列數字和雖都是 6, 但
0 0 3 3 2 3 0 1 3 1 2 0 1 2 1 2
的兩對角線數字和各為 7 與 5,
0 1 2 3 3 1 2 0 0 2 1 3 3 2 1 0
的兩對角線數字和各為 2
與 10。
1 3 0 2 3 1 2 0 0 0 3 3 2 2 1 1
與
2 1 3 0 2 1 3 0 1 2 0 3 1 2 0 3
的兩對角線數字和則都是 6。 為什麼會是 7、5,
2、10, 6、6 這些數字出現呢? 因為降級後的幻方, 四個數字和必須是 30, 而 4m + n = 30 這 一整數方程式的正整數解不難用代入法求得, 有下列:
(m, n) = (6, 6), (7, 2) 或 (5, 10)。
顯然, 欲研究四階幻方, 應先弄清楚 0, 1, 2, 3 四個數字組成的 「元方」。 將兩個元方 「拼 合」, 復加篩選, 即可望獲得所有的四階幻方。
先將總和為 6 的 0 到 3 的數列列出, 發現共有 40 組 (0 0 3 3 類有 6 組, 0 1 2 3 類有 24 組, 1 1 1 3 類有 4 組, 1 1 2 2 類有 6 組), 依序為 : 0 0 3 3, 0 1 2 3, . . ., 3 3 0 0。
再將這些數列組成 「元方」, 要求其各行、 各列的數目和均為 6。 可以組成幻方的元方是其 中一部份, 可分為三大類, 分別命名為 A、B 及 C。 A 類元方的對角線上諸數字的和都為 6; B 類元方對角線上諸數字的和, 一為 7, 一為 5; C 類元方對角線上諸數字的和, 一為 2, 一為 10。
顯然, A 類元方須與 A 類元方拼合, 而 B 類元方須與 C 類元方拼合, 才能形成幻方。 換言 之, 四階幻方須為 AA 或 BC 之形式。
其次探討 A, 共得 38 種, 依序名為 A1 到 A38, 例舉其各代表型如下:
A1 =
0 0 3 3 1 3 0 2 3 1 2 0 2 2 1 1
, A2 =
0 0 3 3 2 2 1 1 3 1 2 0 1 3 0 2
, . . . , A38 =
1 3 0 2 3 2 1 0 0 1 2 3 2 0 3 1
。
B 共有 52 種, 依序名為 B1 到 B52, 例舉其各代表型如下:
B1 =
0 0 3 3 1 2 1 2 3 1 2 0 2 3 0 1
, B2 =
0 0 3 3 1 3 0 2 2 1 2 1 3 2 1 0
, . . . , B52=
1 2 1 2 3 3 0 0 0 1 2 3 2 0 3 1
。
C 共有 24 種, 依序名為 C1 到 C24, 例舉其各代表型如下:
C1 =
0 0 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 0 0
, C2 =
0 0 3 3 1 1 2 2 3 3 0 0 2 2 1 1
, . . . , C24 =
1 2 1 2 3 0 3 0 0 3 0 3 2 1 2 1
。
進一步探究, 可發現 AA 可共形成 656 種幻方, BC 可共形成 224 種, 合共 880 種。
以下是一些例子: M1 ⇔ B5C13, M2 ⇔ B10Cf1, M3 ⇔ B10Cf2, M4 ⇔ B5C3′′, M5 ⇔ B5C17, M6 ⇔ B10C5′′, M7 ⇔ B10C16, M8 ⇔ A1A25, . . ., M880⇔ A36′′A5′。
總之, 880 種四階幻方的來源元方都已找出, 有完整的表列可供查考。 每一種幻方有其特 定的編號, 當無疑義。
六、 完美幻方
在 880 種四階幻方中, 有一些 (共 48 種) 特別有趣, 因為它們每個經 「輪轉變換」 (cyclic transformation, 指第 1 行 → 第 2 行 → 第 3 行 → 第 4 行 → 第 1 行, 或第 1 列 → 第 2 列 → 第 3 列 → 第 4 列 → 第 1 列) 後, 變為另一種幻方。 這 48 種可輪轉幻方 (cyclic magic squares) 各歸於三個群 (groups), 每群 16 種。
這些幻方的每相鄰四格的數字的和, 或每個正方形四角數字的和, 或每個長條矩型的四角
數字的和, 都是 34。 舉例:
M102=
1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4
⇔ A9A29。
不難發現, 這類幻方的任意斜線上任何兩個跳間數字的和都是17。 在文獻中, 有稱此類幻 方為 「完美幻方」 (perfect magic squares) 的。
不難證明, 所有完美幻方須是 AA 形式, 其元方也必須具可輪轉性。 具輪轉性的元方共有 7 種, 臚列其代表型如下:
A9=
0 1 2 3 2 3 0 1 1 0 3 2 3 2 1 0
, A11 =
0 1 2 3 3 2 1 0 1 0 3 2 2 3 0 1
, A16=
0 1 3 2 3 2 0 1 0 1 3 2 3 2 0 1
, A20=
0 2 1 3 3 1 2 0 2 0 3 1 1 3 0 2
,
A23=
0 2 3 1 3 1 0 2 0 2 3 1 3 1 0 2
, A29=
0 3 1 2 3 0 2 1 2 1 3 0 1 2 0 3
, A34=
1 0 3 2 3 2 1 0 0 1 2 3 2 3 0 1
。
其中 A9、 A11、 A20、 A29 與 A34 屬同一類, 其每行與每列都有 0, 1, 2, 3 四個數字, 乃 是一些特殊的 「拉丁方陣」 (Latin squares); A11 與 A20的兩對角線也都含此四數字, 另三種 則不同。 A16 與 A23 屬另一類, 其每列與兩對角線都有 0, 1, 2, 3 四種數字, 而每行則非是。
前述第一類可輪轉拉丁方陣元方共可拼合成兩群 (32 種) 完美幻方, 且名為 PM1 及 PM2。
PM1 群包含 : M102、 M174、 M785、 M690; M104、 M201、 M473、 M565; M828、 M365、 M279、 M530; M623、 M393、 M281、 M748。 M102 已見前述, 可作此群的代表; 而 M623 =
4 5 11 14 15 10 8 1 6 3 13 12 9 16 2 7
就是前述 10 世紀出現在印度的那個幻方的轉型。
PM2 群包含: M107、 M171、 M788、 M691; M109、 M204、 M294、 M396; M839、 M532、
M292、 M355; M621、 M560、 M469、 M744。 M107 =
1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4
⇔ A9Ag29 可作此群
的代表。
前述第二類可輪轉元方又可拼合成另一群 (16種) 完美幻方, 且名為 PM3。 PM3 群包含:
M116、 M177、 M485、 M537; M117、 M178、 M305、 M375; M647、 M704、 M304、 M372; M646、
M702、 M483、 M536。 M116=
1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6
⇔ A16Ag16 可作此群的代表。
進一步觀察, 可發現以上三群間還存在一種微妙的關係 — 彼此可以轉換, 因此可說是 「同 宗」。這一轉換關係可名為 「心隅對調」 (center-corner exchange) 即將幻方中心四個數字與四 隅的四個數字各自調換。 例如屬於 PM1 群的第 1 種 M102(⇔ A9A29) 經心隅對調, 再旋轉 90◦, 就變成了屬於 PM2 群的第 11 種 M292(⇔ A9A29′) :
1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4
心隅對調⇒
13 8 10 3 12 1 15 6 7 14 4 9 2 11 5 16
旋轉⇒
2 7 12 13 11 14 1 8 5 4 15 10 16 9 6 3
。
又如屬於 PM1 群的第 2 種 M174(⇔ A20Ag20′) 經心隅對調, 再旋轉 90◦, 就變成了屬 於 PM3 群的第 16 種 M536(⇔ A23A]23′′)。
這 48 種完美幻方 (共 384 型) 不止各自本身有著美妙的平衡 (balance) 性質, 其彼此間 又存在著如此奇妙的聯繫, 不禁讓人讚嘆!
七、 結語
在眾多完美幻方中, 如要舉一種最具代表性的, 筆者 以為非 M828(⇔ A34Ag29′) 莫屬。 這一幻方相對於中心點 而言, 特別的平衡, 因為除了具有前述完美幻方的諸多性質 外, 單數格內諸數字的平方和剛好等於雙數格內諸數字的平 方和: 12 + 72 + 132 + 112 + 102 + 162 + 62 + 42 = 122+ 142+ 82+ 22+ 32+ 52+ 152+ 92 = 748。
筆者在 2001 年曾寫一首詩 〈異元太衡 — 完美幻方頌〉, 引申念及 「和而不同」、 異元共生 的政治哲理:
連續數目一十六, 排成四方有妙形: 行列斜連和相等, 各方四角會加成。
橫豎輪旋呈異貌, 心隅對調見同宗。 小道可觀蘊啟示, 異元共濟生太衡。
又, 德國人 Albrecht D¨urer 於 1514 年的繪畫裡, 顯 示牆上掛了一幅幻方的圖; 換成本文的表示法, 乃 M175 =
1 12 8 13 14 7 11 2 15 6 10 3 4 9 5 16
, 與前述楊輝的 「陽圖」 (M176 的轉型)
相類似。 它雖非可輪轉, 卻有高度的規則性 — 相加為 17 的
任何兩個數字都排在對稱的位置上。 而且, 兩對角線上所有數字的平方和剛好等於其它所有數 字的平方和。
從以上探討四階幻方所用的方法, 當可窺見高階幻方的堂奧。
—本文作者任教東吳大學—
2015 Taipei Conference on Complex Geometry
日 期 : 2015 年 12 月 19 日 (星期六) ∼ 2015 年 12 月 23 日 (星期三) 地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段 1 號 天文數學館 6樓演講廳
詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw
