N AO OH AO BO CO DO r = ?

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.10.19 班級

範

圍 2-1 空間幾何(2)

座號

姓 名 一、計算題(須過程) (每小題 5 分)

1、 設一正四面體之稜長為 a，過頂點作垂直底面的線段。求此正四面體的：

(1)高；(2)體積；(3)

外接球半徑R=

? (4)

內切球半徑

r = (5) ?

相鄰兩面夾角的餘弦值？

(6)二歪斜稜之距離

。 答案：(1)

⁶

3 a；

(2)

12

2 a³；(3) 4

6 a ；(4) 12

6 a ；(5) 3 1

解析：

(1)

HM = 1

3 DM 1 3 3 2 a

= ⋅ = 3

6 a

∴

AH = AM²−HM² 3 ² 3 ² =

( ) ( )

2 a 6 a

= − 6

3 a

(2)四面體體積

¹

=3

△BCD

⋅AH = 1 3 ² 6

3⋅ 4 a ⋅ 3 a 2 ³ 12 a

=

。

(4)

令內切球球心O﹐內切球半徑r﹐連

AO

﹐

BO

﹐

CO

﹐

DO

則四面體ABCD之體積= O – ABC體積 + O− BCD體積 + O − ACD體積 + O ABD體積 且O – ABC體積 = O BCD體積 = O

−

− − ACD體積 = O − ABD體積 ⇒ 1 3 ² 6

3⋅ 4 a ⋅ 3 a= 4 × ( 3 1．

4

3 a²．r) ⇒ 即 6

4r= 3 a，故 r 1 4AH

= =

12 6 a

(3)外接球球心即內切球球心，外接球半徑 = R 則

AO

+

OH

=AH ⇒ R + r =

3

6 a ⇒ R = 3

6 a − 12

6 a = 4

6 a (即 3 R=4AH )

(5)

相鄰兩面面角的角度∠ AMD

在△AMD中﹐AM =DM= 2

3a，AD= a 設∠ AMD = θ

由餘弦定理知cosθ =

a a

a a a

2 3 2

2 3

2 ) ( 3 2 )

( 3 ^{2 2 2}

．

．

− +

=

2 3 2 1

=3 1

(6)取AD中點

N

，連

MN

，則MN ⊥BC MN, ⊥ AD，

二歪斜稜之距離即

MN

， ^{2 2} 3 ² 1 ² 2

, ( ) (

2 2

a )

2 2

AN = MN = AM −AN = a − a = a

2、 設有一座金字塔﹐底面為正方形，四個側面皆為正三角形，各邊（稜）長為 1﹐

(1)設底面與側面的夾角為 α，試求 sinα 之值﹒

(2)設相鄰兩側面的夾角為 β，試求 tanβ 之值﹒

(3)試求此金字塔之高﹒

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答案：

(1) 3

6 ；(2) − 2

2

；(3) 2

2

解析：

(1)

Δ AMN

中，

MN

=

CD

=1，AM =

AN

= 2

3

∴

cos α =

cos∠AMN =

2 1 3 2

2 ) ( 3 2 ) ( 3

1^{2 2 2}

．

．

− +

=

3 1

sinα =

1 cos −

²

α

= )² 3 ( 1

1− =

3 6

(2) ΔABD^中，BD=

2

，

2

= 3

= DH BH

∴ cos

β

=cos∠BHD =

2 3 2 2 3

) 2 ( 2 ) ( 3 2 )

( 3 ^{2 2 2}

．

．

− +

= 3

−1⇒

β

為鈍角

tanβ =− sec²

β

−1= 1₂ cos

β

1

− − −

1

3 ) ( 1

1

2

−

−

= − 2

2

(3)AF垂直且平分

MN

，△AMF 為一直角三角形 ∴ AF= ² )²

2 (1 2 )

( 3 − =

2 2

3、如圖四角錐 S - ABCD 的底面是邊長為 1 的正方形﹐側稜

SB

與底面 ABCD 垂直﹐若

SB

=

3

﹐ 則 sin∠ASD =﹖

答案： 5

1 解析：

因

SB

垂直平面 ABCD

⇒ SB

⊥BD

SB

⊥BA，又 ABCD 為正方形，AD⊥AB

⇒ SA

⊥AD（三垂線定理）， BD=

1 + 1

=

2

，

SB

=

3

直角ΔABD^中，

SD

=

( 2 )

²

+ ( 3 )

² =

5

直角

Δ SAD

中，sin∠ASD =

SD AD

=

5 1

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