AO BO CO t =− 2 CA CB

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：97.12.24 班級

範

圍 3-1 圓方程式

座號

姓名一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選) xy 平面上，下列各組條件中，何者恰可決定一圓？

(A)圓心為 A(− 1，− 2)，且與 x 軸及 y 軸都相切 (B)過點 A(− 1，− 2)，B(1，2)，C(5，10)

(C)與 x 軸，y 軸及直線 x + y = 1 都相切

(D)圓心在直線 x − y + 3 = 0 上，又過點 A(− 1，− 2)，B(1，2) (E)過四點 O(0，0)，D(1，0)，E(0，1)，F(

2

1，¹ ² 2

− )

【解答】(D)(E)

【詳解】

(A)與 x 軸及 y 軸都相切的圓，其圓心必為( , ), ( ,t t t −t)，且在直線 x − y = 0 或 x + y = 0 上，

若以 A(− 1，− 2)為圓心，不合。即沒有圓滿足此條件 (B)∵ A，B，C 共線 ∴ 沒有圓過此三點

(C)與 x 軸，y 軸及 x + y = 1 都相切的圓，在第一象限有 2 個，第二、四象限各有 1 個，共 4 個

(D)設圓心為 C(t，t + 3)，由CA = CB = 半徑，

得唯一的解，即恰可決定圓心

2 2 2

(

t

+1) + + +(

t

3 2) = −(

t

1) + + −(

t

3 2)² 2

t

= − ( 2,1)− ，半徑 10 的唯一圓

(E)∵ ∠DOE = 90° ∴ △DOE 的外接圓之圓心為斜邊中點 C(

2 1，

2 1)

∵ 半徑 CO= 1 ² 1 ² ( ) ( )

2 + 2 = 22

，又 ²

OF = 2 ，∴ O，D，E，F 四點共圓 二、填充題( 每題 10 分)

1. A(1，2)，B(− 3，1)，求以AB為直徑的圓K方程式，得。(一般式)

【解答】 x² + y² + 2x − 3y − 1 = 0

【詳解】

直徑式：(x − 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 1) = 0，得x² + y² + 2x − 3y − 1 = 0

2. 已知一圓通過兩點A (1，− 2)和B (4，3)，且圓心在y軸上，則此圓的方程式為。

【解答】x² + (y − 2)² = 17

【詳解】

設圓心坐標為O(0，t)，此圓過A(1，− 2)及B(4，3)，則 AO = BO

∴ 1² + (t + 2)² = 4² + (t − 3)² ⇒ 1 + t² + 4t + 4 = 16 + t² − 6t + 9 ⇒ 10t = 20

⇒ t = 2，半徑= 1² +(2+2)² = 17 ，即此圓方程式為x² + (y − 2)² = 17 3. 直線y = mx + 4 通過圓x² + y² + 2x − 6y − 1 = 0 之圓心，則m = 。

【解答】1

【詳解】

x

² + y² + 2x − 6y − 1 = 0 ⇒ (x + 1)² + (y − 3)² = 11，

第 1 頁

(2)

第 2 頁

∴y = mx + 4 過圓心(− 1，3) 代入⇒3= − +m 4, m = 1

4. 通過三點(1，− 1)，(0，2)，(2，− 2)三點的圓方程式是，其圓心 = 。

【解答】x² + y² − 10x − 4y + 4 = 0，( 5，2)

【詳解】

設圓C為x² + y² + dx + ey + f = 0

三點代入圓C ⇒ 得

則C：x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

) 2 2 (

) 2 0 (

) 1 1 (

，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

− + +

= + + + +

= +

− + +

0 2

2 4 4

0 2

0 4 0

0 1

1

f e d

f e

f e d

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

4 4

10

f e d

2 + y² − 10x − 4y + 4 = 0 ⇒ (x − 5)² + (y − 2)² = 25，故圓心( 5，2) 5. 圓心在(− 2，3)，且通過(2，0)之圓的方程式為。

【解答】(

x

+2)²+(

y

−3)² = 52

【詳解】

圓心 A(− 2，3 )，點 P(2，0)，則半徑 r =AP = ( 2 2)− − ²+ −(3 0)² = 5

2 2

(

x

2) (

y

3) 2

⇒ + + − = 5

6. 設A(3，2)，B(− 1，5)，若點P滿足PA= 2PB，則一切P點所成圖形的方程式為 3x² + 3y² + dx +

ey + f = 0，求數對(d，e，f ) = 。

【解答】(14，− 36，91)

【詳解】

設點P為(x，y)，則PA= 2PB ⇒

PA

²= 4

PB

²

⇒(x − 3)² + (y − 2)² = 4 [(x + 1)² + (y − 5)²]

⇒3x² + 3y² + 14x − 36y + 91 = 0， (d，e，f ) = (14，− 36，91)

7. 圓C與y軸交於點A( 0，13)，B( 0，5)，若圓C面積為 25

π

，則圓C的方程式為。

【解答】(

x

±3)²+(

y

−9)² = 52 ，x

5 5

2 + y² ± 6 x − 18y + 65= 0

【詳解】∵ 圓C與y軸交於點A(0，13)，B(0，5)，則圓心可設為( ,

設圓C： ，B(0，5)代入

∴ C： 或 x

9 ) h

2 2

(

x

−

h

) +(

y

−9) =2 ⇒

h

²+16=25,

h

= ±3

2 2

(

x

±3) +(

y

−9) =2 ² + y² ± 6 x − 18y + 65= 0 8. 圓 3x² + 3y² + 12x − 6y + 1 = 0 的圓心坐標為。

【解答】圓心( −2，1)

【詳解】

x

² + y² + 4x − 2y + 3

1= 0 ⇒ (x + )2 ² + (y − 1)² = ¹ 4 1 ¹

3 3

− + + = 4，圓心( −2，1) 9. 圓心在直線y = 2x + 3 上且過兩點(1，2)，(− 2，3)的圓之方程式為。

【解答】(x + 1)² + (y − 1)² = 5

【詳解】

圓心在直線y = 2x + 3 上，設圓心C(t，2t + 3)

設A(1，2)，B(− 2，3)，則CA = CB ⇒(t − 1)² + (2t + 3 − 2)² = (t + 2)² + (2t + 3 − 3)²

(3)

⇒t = − 1，C( − 1，1 )，CA = ( 1 1)− − ²+ −(1 2)² = 4+ = 5 ，所求方程式(x + 1)1 ² + (y − 1)² = 5 10.三直線 3x + y = 5，2x − y = 5，x − 3y = − 5 所圍成三角形的外接圓之方程式為。

【解答】x² + y² − 6x − 2y + 5 = 0

【詳解】

求三角形頂點坐標 3x + y = 5……c，2x − y = 5……d，x − 3y = − 5……e 解cd得交點(2，− 1)，解ce得交點(1，2)，解de得交點(4，3)

設外接圓的方程式為x² + y² + dx + ey + f = 0，頂點代入得

⇒ ⇒ d = − 6，e = − 2，f = 5，所求方程式x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + + + +

= +

− + +

0 3

4 9 16

0 2

4 1

0 2

1 4

f e d

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= + +

−

= + +

−

= +

−

25 3

4

5 2

f e d

2 + y² − 6x − 2y + 5 = 0

11.已知圓C₂與圓C₁：x² + y² − 2x − 4y − 4 = 0 有相同的圓心，且平分C₁的面積，則C₂的方程式為

。

【解答】(x − 1)² + (y − 2)² = 2

9 2 2

2

x

2

y

4

x

8

y

1

⇒ + − + + = 0

【詳解】

圓C₂與圓C₁同心，且平分C₁的面積，所以C₂的面積為C₁面積的¹

2，C₂的半徑為C₁半徑的 1 2

C

1：(x − 1)² + (y − 2)² = 3²，⇒ C2半徑 1 3

2 3 2

r

= × = ，圓心(1

C

, 2)

2：(x − 1)² + (y − 2)² = 3 )² (

2 ，⇒ (x − 1)² + (y − 2)² = 2

9 2 2

2

x

2

y

4

x

8

y

1

⇒ + − + + = 0

12.設x，y為實數，且滿足x² + y² + 2x + 4y − 4 = 0，則x² + y²的最小值為。

【解答】14 − 6 5

【詳解】

x

² + y² + 2x + 4y − 4 = 0 ⇒ (x + 1)² + (y + 2)² = 9，

設x = − 1 + 3cos

θ

，y = − 2 + 3sin

θ

x

² + y² = (− 1 + 3cos

θ )

² + ( − 2 + 3sin

θ )

² = 14 − 6cos

θ

− 12sin

θ

2 1

14 6 5(sin cos )

5 5

= − θ⋅ + θ⋅

= 14 − 6 5 sin(

θ

+

ϕ

)，其中cos

ϕ

= 2

5，sin

ϕ

= 1 5 ，又− ≤1 sin(θ + ϕ ≤ ⇒) 1 ∴x² + y²最小值為 14 − 6 5

13.一圓C過點(2，1)且與兩坐標軸均相切，則圓C的方程式為。（有二解）

【解答】(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

【詳解】

圓C過第一象限的點(2，1)且與x軸，y軸均相切⇒圓心必在第一象限內且與x軸，y軸等距

第 3 頁

(4)

設圓心(t，t)，t > 0，半徑t，則圓的方程式為(x − t)² + (y − t)² = t²

過點(2，1) ⇒ (2 − t)² + (1 − t)² = t² ⇒ t² − 6t + 5 = 0 ⇒ t = 1 或t = 5 故圓的方程式為(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

14.若P為x² + (y − 1)² = 4 上的任一點，令O為原點，Q為(3，− 4)，則△POQ面積的最大值為。

【解答】 2 13

【詳解】

P為x

² + (y − 1)² = 4 上的任一點，設P(x，y) = (2cos

θ

，1 + 2sin

θ )， θ

∈ R

∵ = (2cos

θ

，1 + 2sin

θ )，

= (3，− 4)

∴ △POQ面積 =

____\

OP

____\

OQ

4 | 3

sin 2 1 cos

| 2 2 1

−

+

θ

=

2

1|( − 8cos

θ

− 3 − 6sin

θ )|

= | − 3sin

θ

− 4cos

θ

− 2 3|

= | 5(

5 3sin

θ +

5

4cos

θ

) + 2 3|

= | 5(sin

θ

cos

φ + cos θ sin φ

) + 2

3|，其中（sin

φ

= 5

4，cos

φ

= 5 3）

= | 5sin(

θ

+

φ

) + 2

3|，故當sin(

θ

+

φ

) = 1 時，△POQ面積的最大值為 2 13

15.設方程式x² + y² − 2mx + 2(m − 2)y + 4m² − 2 = 0

(1)若圖形為一圓，則範圍為_______________________。

(2)若m = a時，使圓之面積b為最大，則數對(a，b) =

m

_____ 。

【解答】(1) − < < 31 m (2)(− 1，8

π

)

m m m m

> ⇒ − − < − + < 1

m

3

【詳解】

原式配方 ⇒ C：(x² − 2mx + m²) + [y² + 2(m − 2)y + (m − 2)²] = − 4m² + 2 + m² + (m − 2)² − 4m² + 2 + m² + (m − 2)²= − 2m² − 4m + 6

(1)一圓⇒ − 2m² − 4m + 6 0 ² 2 3 0, ( 3)( 1) 0， − < <

(2)r² = − 2m² − 4m + 6 = − 2(m + 1)² + 8 當m = − 1 時，r² = 8，即最大面積

π r

² = 8

π

16.過圓C：x² + y² − 2x + 4y − 11 = 0 內一點A(− 2，− 1)的所有弦的中點軌跡方程式為。

【解答】x² + y² + x + 3y = 0

【詳解】

C：(x − 1)

² + (y + 2)² = 4²，圓心B(1，− 2)

圓內過A(− 2，− 1)的所有弦的中點軌跡即為以AB為直徑之圓 方程式為(x − 1)(x + 2) + (y + 2)(y + 1) = 0，即x² + y² + x + 3y = 0

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