產業分析講義
黃鈺娟 A960L142
第一章 現值 終值與淨現值
一、現值、終值
1.現值(Present Value; PV)
(1)將投資方案未來的現金流量(Cash Flow; CF))以反應風險的折現率複利求算 目前時點(即現在，time=t=0)的價值。
(2)折現率=利率(interest rate; i=r=k)=投資報酬率 (3)現值=及投資的本金(Principals;P)
2.終值(Future Value; FV)：
(1)一筆投資本金透過市場利率複利求算未來某特定時點(time=t=n)的價值。
(2)終值=本金+利息=本利和 3.實例：
(1)PV=100 ，i=10%， t=n=1，2，3
FV1=PV × (1+i)1=100 × (1+10%)1=100+10=110 FV2=FV1× (1+i)1=110 × (1+10%)1=110+11=121
=[PV × (1+i) 1] × (1+i) 1=PV × (1+i) 2=100 × (1+10%)2=121 FV3=FV2× (1+i)1=121 × (1+10%)1=121+12.1=133.1
=[PV × (1+i) 2] × (1+i) 1=PV × (1+i) 3 =100 × (1+10%)3=133.1 (2)
11 1 i
PV FV 100=
1 10%
1110
22 1 i
PV FV 100=
1 10%
2121
33 1 i
PV FV 100=
1 10%
31 . 133
(3)
利率= 10%
時間=本金 100
時間=t 終值利率因子=(1+i)t
終值=現值*終值利率因
子 利息 每年的利息
1 1.1 110 10 10
2 1.21 121 21 11
3 1.331 133.1 33.1 12.1
時間=t 現值利率因子=1/(1+i)t 現值=終值*現值利率因子
1 0.9091 100
2 0.8264 100
3 0.7513 100
二、淨現值(Net Present Value；NPV)
1.定義：將投資方案未來一系列的現金流量以反應風險的折現率複利折現加總並 扣除原始投資成本(Initial Investment Qutlay；I0)後的值。
2.公式：
n
t
t
t I
i NPV CF
1
1 0 =效益-成本 3.決策準則：
NPV > 0 → 接受或採行此投資方案 NPV < 0 → 拒絕或不採行此投資方案
三、年金(Annuity; A)、年金現值與貸款攤銷表之編製
(一)年金：只在分析的期限內，每期且定期等額的支付或收入(Payment; PMT) 或收入
(二)年金現值利率因子(Present Value Interest Factor for an Annuity; PVIFA) PVIFA=
K
K
K
K
n
1
... 1 1
1 1
1 1
1
3 2
1
=
1
)... 1 1
1 1
1 1 1 (
1
1 2
1
1
K K K K n
(有限項等比級數數列之和= )
1
) 1
( 公比
公比
首項 項次
Sn=
)) 1 ( ( 1 1
) 1 ) ( 1 1 (
k
a k n
=
1
)... 1 1
1 1
1 1 1 (
1
1 2
1
1
K K K K n
=
1 1
) 1 ( 1 1
) ) 1 ( 1 1 ( 1 ) 1 (
1
K K K
n
=
1 1
) 1 (
1 1 1
) ) 1 ( 1 1 ( 1 ) 1 (
1
K K
K K
n
=
KK K
K n
) 1 1
1 1 ( 1
1
1
== 折現率
現值利率因子
) 1
) 1 ( 1 1 ( 1
K K n
(三)年金現值(Present Value for an Annuity；ＰＶＡ)
年金現值＝年金（即分期付款的金額）×年金現值利率因子 ＰＶＡ＝Ａ(or PMT) × PVFA
(四)適用時機－分期付款(installment)購屋及購車的分析
Ex：某人打算在台南市永康區永大路附近購買一棟透天厝，經仲介提供諮 詢給定下列資料：
現金價＝＄4,500,000，分期付款條件為－頭期款＄１,500,000，貸款＄
3,000,000 在年利率 2%下，分 20 年 240 個月償還，試求(1)每月分期付款金額為 多少？
(2)在每月的分期付款金額中，有多少是屬於本金償還？有多少為利息支付？
ANS：
(1)根據 年金現值=年金(即分期付款的金額) ×年金現值利率因子
年金現值利率因=
12 2%
12 1 2%
- 1 1 1
K K 1 - 1 1
240
折現率 現值利率因子
n
PVA=A(or PMT) × PVFA
PVIFA=
12 2%
12 1 2%
- 1
1 240
=197.6740
3,000,000=A(or PMT) × 197.6740
每月的分期付款金額=A(or PMT)=3,000,000/197.6740=15,176.50 (五) 年金終值(Future Value for an Annuity；FVA)
1.適用時機：儲蓄型保單到期的價值、子女未來教育及生活的基金、退休的生 涯規劃
2. 年金終值利率因子(Future Value Interest Factor for an Annuity；FVIFA) FVIFA=1(1K)n11(1K)n2 1(1K)n3...1(1K)11
= (1K)n11(1K)n2 1(1K)n3 ...(1K)1 1
=1(1K)1(1K)2 ...(1K)n1 (有限項等比級數列之和=
公比 公比
首項 項次
1
) 1
( )
Sn= K
K K
K K
K n 1 (1 )n (1 )n 1 )
1 ( 1
) ) 1 ( 1 (
1
3.年金終值=年金(即分期付款的金額) ×年金終值利率因子
FVA=A(or PMT) × PVIFA
4.實例：某人在婚前就做完其終生的生涯及退休規劃書，打算從 25 歲起每月定 存 5000 元，直到 60 歲止，在年利率為 1%下，是其其在 60 歲退休時其存款基金 本利和為若干？
ANS：存款基金本利和=每月定存 × 年金終值利率因子 FVA=A(or PMT) × PVIFA
=5000 ×
12
% 1 12 1
% 1 1
12 35
X
=5000 × 502.6329 =2,513,164.39
四、一年中不同計息次數下的終值與現值 1.連續複利(Continuously Compounding)
運用羅比達法則(L’Hospital Rule) ...
71827 . 2 1)
1 (
lim e1 m
m m
FV3=PV×(1 ) m PVe 50e12%371.6665 m
K n k n
五、名目年利率與有效年利率
1.名目年利率(Nominal Annual Rate)=年百分比利率(Annual Percentage Rate;APR)=一般報章雜誌或銀行大廳牌告的利率=12%
2.有效年利率(Effective Annual Rate;EAR)=考慮到不同計息方式下的真實報酬率
3.FV3=PV×(1+k=ARP/m)n×m=50×(1+12%/2)3×2=70.93 =50×(1+有效年利率)3=70.93 (1+有效年利率)3=70.93/50=1.4186
→有效年利率=EAR=1.4186(1/3)-1=0.12312.36%
= 1 0.1236 50
93 .
3 70
4.有效年利率=EAR=(1+APR/m)m-1=(1+12%/2)2-1=0.1236=12.36%
m→∞有效年利率=EAR=ek-1=e12%-1=12.75%
5.年百分比利率(Annual Percentage Rate; APR) 18%，每月複利一次的貸款，其有效 利率為何？
有效年利率=EAR=(1+APR/m)m-1=(1+18%/12)18-1=19.56%
6.作業：
某人投資共同基金，每月固定支出 5000 元，在投資報酬率為年利率 6%之下，
投資 5 年，試求：(1)某人 5 年後的本利和為多少？
(2)某人的 APR 及 EAR 分別是多少？
(3)若某人 5 年後不領回本利和，希望分 6 年按月領回，在折現 率為 4%之下，每月可領回多少？
ANS：(1)共同基金本和=每月定存×年金終值利率因子 FVA=A(or PMT)×FVIFA
=5000×
12
% 6 12 1
% 1 6
12 5
=5000×69.770031
=348,850.15
(2)APR=名目年利率=年百分利率=6%
EAR=有效年利率=EAR=(1+APR/m)m-1=(1+6%/12)12-1=6.17%
(3) 年金現值=年金(即分期付款的金額) ×年金現值利率因子
年金現值利率因子=
12 4%
12 1 4%
- 1 1 1
K K 1 - 1 1
72
折現率 現值利率因子
n
PVA= A (or PMT) ×PVIFA
PVIFA=
12 2%
12 1 4%
- 1
1 72
=63.9174
348,850.15 =A (or PMT) ×63.9174
每月的分期付款金額= A (or PMT) =5,457.82
