複分析五講 第四講 Riemann 映射定理

複分析五講 第四講 Riemann 映射定理

龔 昇 · ^張德健

4.1. 共形映射

複變函數論中另一個重要組成部分是 Riemann 共映射理論, 這個理論的基本觀點是將全 純函數 w = f (z) 看作為將 z 平面上的區域到 w 平面上的區域的映射。 也就是說, 從幾何觀 點來看待與處理全純函數。 在第一講中我們已經提過, 若 f^′(z) 6= 0, 則 w = f (z) 看作一個映 射是有共形性, 故稱之為共形映射, 或全純映射。

首先觀察下面這個事實: 若 Ω ⊆ C 為一個區域, 經過全純映射 w = f (z) 後得到 f (Ω), 則 f (Ω) 仍是一個區域。

我們只要證明 f (Ω) 為連通開集合。 若 w₁, w2 為 f (Ω) 中任意兩點, 在 Ω 內有 z₁, z2

使得 w1 = f (z1), w2 = f (z2)。 因為 Ω 為連通區域, 故在 Ω 中有 r(t) 連接 z1 及 z2, 而顯 然 f (r(t)) ⊂ f (Ω) 連接 w₁, w2, 故 f (Ω) 為連通集合。

設 w0 是 f (Ω) 中任一點, 由第二講中的定理 2.15, 對於充分小的 ρ > 0, 存在 δ > 0, 使 得 D(w₀; δ) 內任一點 w, 在 D(z0; ρ) 內存在一點 z, 使得 f (z) = w0 即 D(w₀; δ) ⊂ f (Ω), 故 f (Ω) 為開集合。 上述的結果也稱為開映射 (open mapping) 定理: f 將開集合映為開集 合。

在第一講中我們已經定義過在區域 Ω ⊆ C 上定義的函數 f (z) 稱為單葉 (univalent), 如果 f (z₁) = f (z₂) 若且唯若 z₁ = z₂。 於是可以有如下的結果。

若 f (z) 在區域 Ω ⊆ C 上單葉且全純, 則任一點 z ∈ Ω, 有 f^′(z) 6= 0。 反之, 若在點 z₀ ∈ Ω, f^′(z₀) 6= 0, 則在點 z₀ 的一個鄰域內 f (z) 是單葉的。

對這個結果的證明並不困難, 我們現在略述如下。 若 f (z) 在區域 Ω ⊆ C 上單葉且全純, 但是有 z₀ ∈ Ω, 使得 f^′(z₀) = 0 於是 z₀ 是函數 f (z) − f (z₀) 的 m 階零點, 而 m ≥ 2。 由 第二講中的定理 2.15, 對於 w0 = f (z0) 的鄰域內的 w, f (z) − w 在 z0 的鄰域內恰有 m 個 零點。 這與 f (z) 在 Ω 上單葉的假設相矛盾。 反之, 若 f^′(z0) 6= 0, 則 z0 是 f (z) − f (z0) 的

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簡單零點, 由第二講中的定理 2.15 知道, 對充分小的 ρ, 存在 δ > 0, 使得 D(f (z0); δ) 中任一 點 w, f (z) − w 在 D(z₀; ρ) 中只有一個零點, 即只有一個 z 使得 f (z) = w。 取 ρ1 < ρ, 使 得 f (D(z0; ρ1)) ⊂ D(w0; δ)。 故 f (z) 在 D(z0; ρ1) 上是單葉的。

此外我們也很容易證明下面的結果: 若 w = f (z) 在 Ω 上單葉全純, 將 Ω 映為 U 則 反函數 z = g(w) 在 U 上單葉全純, 將 U 映為 Ω, 因此, 單葉全純映射也稱為 雙全純映射 (biholomorphic mapping)。

下面的事實是直觀的, 但它的證明卻是十分複雜, 故述而不證。

Jordan 定理: 一條簡單封閉曲線 γ 把複平面分成兩個區域, 其中一個是有界的, 稱為 γ 的內 部, 另一個是無界的, 稱為 γ 的外部, γ 是兩個區域的共同邊界。

現在我們來證明下面定理。

定理4.1: 若 Ω ⊆ C 為一區域, γ 為 Ω 內可求長簡單封閉曲線。 其內部 U ⊆ Ω。 若 f (z) 在 Ω 上全純, 把 γ 雙方單值地映為簡單封閉曲線 Γ, 則 w = f (z) 在 U 上單葉, 將 U 映為 Γ 的內部 V 。

證明: 若 w₀ 不在 Γ 上, 由幅角原理函數知道 f (z) − w₀ 在 γ 內的零點個數 N 等於 1

2πi I

γ

f^′(z) f (z) − w0

dz = ± 1 2πi

I

Γ

dw w − w0

. 當 w0 在 Γ 的外部時,

I

Γ

dw w − w0

= 0,

所以 N = 0, 即 f (z) − w0 在 U 內無零點。 當 w0 在 Γ 的內部時, 則 1

2πi I

Γ

dw w − w0

= 1, 所以 ¹

2πi

H

γ f^′(z)

f (z)−w⁰dz = ±1。 因為 N 為非負整數, 故 N = 1 即 f (z) − w0 在 U 內只 有一個零點。 當 z 沿 γ 正方向繞一圈時, w = f (z) 沿 Γ 正方向繞一圈。 當 w0 在 Γ 上時, 則 f (z) − w0 在 U 內無零點。 如果不是這樣, 那我們可以找到 z0 ∈ U 使得 f (z₀) = w0

於是有 D(w₀; δ) ⊂ f (U)。 對於 D(w₀; δ) 中每一點 w₁, f (z) − w₁ 在 U 內有零點。 取 w1∈ D(w0; δ) 且位於 Γ 之外, 則與 f (z) − w1 在 U 內無零點相互矛盾, 定理之證明因而完 畢。

下面我們舉一些最簡單的雙全純映射的例子。

例 4.1: 在第二講中我們已證明, 將單位圓盤 D(0; 1) 映為自己的單葉全純映射有而且只有 w = e^iθ z − a

1 − ¯az; a ∈ D(0; 1), θ ∈ R. (4.1)

例 4.2: 將上半平面 Im(z) > 0 映為單位圓盤 D(0; 1) 的單葉全純映射有而且只有 w = e^iθz − a

z − ¯a, Im(a) > 0, θ ∈ R. (4.2) 很明顯的, 這個變換將 Im(z) = 0 映為 |w| = 1。 (4.2) 也可以表示為

z = ¯aw − e^iθa w − e^iθ ,

將|w| = 1 映為 Im(z) = 0。 由定理 4.1 知道, 此映射將 D(0; 1) 單葉全純地映為 Im(z) > 0。

反之, 如有 w = f (z) 將 Im(z) > 0 單葉地映為 D(0; 1)。 已知 (4.2) 將 Im(z) > 0 單葉全 純地映為 D(0; 1), 記此映射為 ψ(z), 則 f ◦ ψ⁻¹ 將單位圓盤映為單位圓盤。 由例 4.1 知道, f ◦ ψ⁻¹ 必為 (4.1) 的形式, 記作 φ, 即 f ψ⁻¹ = φ。 故 f = φ ◦ ψ, 而此仍為 (4.2) 的形式。

同樣可以證明:

例 4.3: 將上半平面 Im(z) > 0 映為上半平面 Im(w) > 0 的單葉全純映射有而且只有 w = az + b

cz + d, 其中 a, b, c, d ∈ R, 而且 ad − bc > 0。

在第三講中我們提到, 所有分式線性變換 nw = az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ C, ad − bc = 1o

所組成的群是擴充複平面 C ∪ {∞} 的亞純自同構群 Aut(C^∗)。 這個群與二階特殊線性群 SL(2, C) 在

w = az + b cz + d ↔

"

a b c d

#

對應下相互一一對應

假設 z = ^aw+b_cw+d 為任意分式線性變換, 如將直線看成是半徑為 ∞ 的圓, 則對於分式變換, 有如下的性質: 分式線性變換將圓變為圓。 這可證明如下:

若 z = x + iy, 則任意圓可以寫成

α(x² + y²) + βx + γy + δ = 0, 且可取 α, β, γ, δ 均為實數。 這方程式也可寫成

αz¯z +1

2β(z + ¯z) + 1

2iγ(z − ¯z) + δ = 0,

或可寫成

Az¯z + Bz + ¯B ¯z + C = 0 (4.3) 這裡 A = α, C = δ 為實數, B = ¹₂β + _2i¹γ 為複數。 若 α = 0, 即 A = 0, 則 (4.3) 表示一 條直線, 否則 (4.3) 表示一個圓。 而任一分式線性變換 z = ^aw+b_cw+d 是由平移 z = w + b, 伸縮 z = aw 及 z = _w¹ 等三種變換所組成, 而這三種變換都是將圓變為圓的, 這只要一一驗證便可 得知。 若將 z = w + b 代入 (4.3) 中, 我們便得到

Aw ¯w + (A¯b + B)w + (Ab + ¯B) ¯w + Ab¯b + Bb + ¯B¯b + C = 0, 這仍是 (4.3) 的形式。 若將 z = aw 代入 (4.3) 式中, 得

Aa¯aw ¯w + Baw + ¯B¯a ¯w + C = 0, 這也是 (4.3) 的形式。 最後若將 z = _w¹ 代入 (4.3) 式中, 得

Cw ¯w + ¯Bw + B ¯w + A = 0, 這仍是 (4.3) 的形式, 故分式線性變換將圓映為圓。

若 z1, z2, z3, z4 為 C^∗ 中的四個點, 至少有三個點是不相同的, 我們稱 (z1, z2, z3, z4) = (z1 − z3)(z2− z4)

(z₁ − z₄)(z₂− z₃)

為這四個點的 交比 (cross ratio) 。 若這四個點中有任一點為 ∞, 則用極限來定義交比。 例如 (∞, z2, z3, z4) = (z2− z₄)

(z2− z3)

於是可以證明, 在分式線性變換 w = ^az+b_cz+d下, 將 z1, z2, z3, z4 變為 w1, w2, w3, w4, 則 (w1, w2, w3, w4) = (z1, z2, z3, z4),

即交比在分式線性變換下是不變的, 也就是: 交比在分式線性變換群下是個不變量。 這個證明 是容易的, 只要將 w = ^az+b_cz+d 直接代入 (w1, w2, w3, w4), 經過計算便可得出結果。

反過來, 如果有一個函數 f (z₁, z2, z3, z4) 在分式線性變換群下是個不變量, 則 f 只是交 比的一個函數。 即在這種意義下在分式線性變換群下的不變量本質上只有交比。 這可證明如下, 若 T 表示分式線性變換, 由假設

f (T z1, T z2, T z3, T z4) = f (z1, z2, z3, z4)

對任意 T 都成立。 取 T1 = z − z4, 則

f (z₁, z₂, z₃, z₄) = f (z₁− z₄, , z₂ − z₄, z₃− z₄, 0);

取 T₂ = ¹_z 則

f (z1, z2, z3, z4) = f ( 1 z1− z4

, 1 z2− z4

, 1 z3− z4

, ∞);

取 T3 = z −_z3−z¹ ₄ 則

f (z1, z2, z3, z4) = f z3− z₁

(z1− z4)(z3− z4), z3− z₂

(z2− z4)(z3 − z4), 0, ∞

; 取 T₄ = ^(z1−z_(z⁴₃^)(z_−z³₂^−z₎ ⁴⁾z 則

f (z1, z2, z3, z4) = f(z3− z₁)(z2− z₄)

(z1− z4)(z3− z2), 1, 0, ∞

= f ((z1, z2, z3, z4), 1, 0, ∞) 這便完成了證明。

4.2. 正規族 (Normal Family)

在 Riemann 共形映射理論中, 最重要也是最深刻的定理便是 Riemann 映射定理, 我們 現在就來討論這個定理。

定理4.2(Riemann 映射定理): 若 Ω ⊆ C 為單連通區域, 其邊界點多於一點, z0 為 Ω 中任意 一點, 則在 Ω 上存在唯一的單葉全純函數 f (z), 將 Ω 映到單位圓盤 D(0; 1) 上, 且 f (z0) = 0, f^′(z₀) > 0。

在這個定理中要求邊界點多於一點是十分自然的。 如果 Ω 的邊界點只有一點, 我們不妨 假設這個點是∞, 若 f (z) 將它映到單位圓盤, 則由 Liouville 定理知道, 這個函數是常數。

由 Riemann 映射定理我們立即得到 : 在 C 中任意兩個邊界多於一點的單連通區域都有 單葉全純函數將一個映為另一個。

若 Ω₁, Ω₂ 為 C 中的兩個區域, 且存在一個單葉全純函數, 將 Ω₁ 映到 Ω₂ 上, 則稱 Ω₁, Ω2 是 全純等價 (holomorphic equivalent) 的。 於是 Riemann 映射定理表明 : 任意邊界點 多於一點的單連通域都是全純等價的。 任意單連通區域是相互拓樸等價的, 即可以經過連續變 換將一個區域變到另一個區域, 這是顯然的。 而 Riemann 映射定理告訴我們: 拓樸等價導出 全純等價, 這當然是十分深入的定理。 在下一講中我們還可以看到這個定理在高維情形是不成 立的 (Poincar´e 定理), 這就更突出這個定理在單複變函數論中的特殊地位。

這個定理的證明要依賴全純函數的正規族 (normal family) 的概念。 正規族的概念是函 數論中的一個基本概念在某種意義上與集合論中的緊緻 (compact) 集合相當。 在下一講中我 們將作進一步討論。

定義 4.1: 在區域 Ω 上的函數族 F 稱為正規的, 如果 F 中任一序列中一定有子序列在 Ω 的 任一緊緻部分集合上一致收斂, 即在 Ω 上內閉一致收斂。

定理4.3(Montel 定理): 若 Ω ⊆ C 為一區域, F 為 Ω 上的全純函數族, 若存在正的常數 M 使得

|f (z)| ≤ M 對所有的 z ∈ Ω, f ∈ F 都成立, 則 F 是一個正規族。

為了要證明 Montel 定理, 我們要先證明定理 4.4 (Arzel`a-Ascoli 定理), 這是一個有廣 泛應用的定理, 在第五講中我們仍會用到。

定義 4.2: 若 F = {f } 為區域 V ⊆ Rⁿ 上的函數族, 若對任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得對 滿足 |z − w| < δ 的任意兩點 z, w ∈ V , 及任意 f ∈ F ,

|f (z) − f (w)| ≤ ε 成立, 則稱 F 為 等度連續 (equicontinuous)。

定義 4.3: 若 F = {f } 為區域 V ⊆ Rⁿ 上的函數族, 若存在一個正數 M > 0, 使得任意 z ∈ V , f ∈ F

|f (z)| ≤ M 成立, 則稱 F 為 一致有界 (uniformly bounded)。

定理 4.4(Arzel`a-Ascoli 定理) : 設 K 為 Rⁿ 中的緊緻集合。 若函數族 F = {fν} 是等度連 續及一致有界的則 F 中有子序列在 K 上一致收斂。 換句話說, 在緊緻集合上等度連續及一致 有界可導出一致收斂。

證明 : 在 K 上存在一個到處稠密的序列 {ξ_k}, 例如取具有有理座標的點的全體集合。 由於 F 在 K 上一致有界, 故對 ξ₁, 在 {fν(ξ1)} 中可以找到一個收斂的子序列 {fν1k(ξ1)}。 然後 在 {f_ν1k(ξ2)} 中可以找到一個收斂的子序列 {fν2k(ξ2)}, . . ., 這樣一直進行下去, 就得到陣列

ν11< ν12< · · · < ν1j < · · · , ν21< ν22< · · · < ν2j < · · · ,

... (4.4)

νk1< νk2 < · · · < νkj < · · · , ...

這裡每一行是前一行的子序列, 且 lim

j→∞fνkj(ξk) 對所有的 k 都存在。 顯然 νjj 是嚴格遞增序 列, 也是 (4.4) 中每一行的子序列。 因此 {fνjj} 是 {fν} 的一個子序列, 在所有的點 ξk 上收 斂, 為簡單起見, 記 νjj 為 νj。

由於 F 在 K 上等度連續, 故給定 ε > 0, 可取到 δ > 0, 使得對任意兩個點 ξ, ξ^′ ∈ K 及 f ∈ F , 只要 |ξ − ξ^′| < δ, 即可導出

|f (ξ) − f (ξ^′)| < ε/3.

由於 K 為緊緻集合, 故可以用有限個半徑為 δ/2 的鄰域來覆蓋 K。 在每一個這樣的鄰域中取 一點 ξ_k, 於是存在一個 N, 使得當 ℓ, j > N 時

|fνℓ(ξk) − fνj(ξk)| < ε/3

成立, 對於每一點 ξ ∈ K, 一定可以找到一個點 ξ_k, 使得 |ξk− ξ| < δ。 於是

|f_νℓ(ξ) − fνℓ(ξk)| < ε/3 及 |fνj(ξ) − fνj(ξk)| < ε/3 成立。 因此當 ℓ, j > N 時

|f_νℓ(ξ) − fνj(ξ)| ≤ |fνℓ(ξ) − fνℓ(ξk)| + |fνℓ(ξk) − fνj(ξk)| + |fνj(ξk) − fνj(ξ)|

< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

成立。 由於 K 為緊緻集合, 故 {fνj} 在 K 上一致收斂, 定理之證明完畢。

在這裡我們還要注意兩點 :

(1) 定理 4.4 中的條件, 等度連續及一致有界不僅僅是一致收斂的充分條件, 而且也是必要條 件, 讀者不妨自行證之。

(2) 定義 4.2 及定理 4.4 中的等度連續的概念, 用的是歐氏空間度量, 如果改用其他的度量, 這 個定理依然成立。 這在第五講中會用到, 我們在此不再重證此定理。

現在我們用 Arzel`a-Ascoli 定理來證明 Montel 定理。

定理4.3 的證明 : 對於 z0 ∈ U, 一定存在 R > 0 使得 ¯D(z0; R) ⊂ U。 由於 U 為一開集合, 故其餘集 U^C 為閉集合。 由於 ¯D(z0; R) ∩ U^C = ∅, 故在這兩個集合之間有一正的距離, 即存

在 ρ > 0, 當 z ∈ ¯D(z0; R), w ∈ U^C 時, |z − w| > ρ。 對任意 z ∈ ¯D(z0; R), 任意 f ∈ F , 在圓盤 ¯D(z; δ), 上用 Cauchy 不等式, 得到

|f^′(z)| ≤ M ρ 記 ^M

ρ = C 於是對任意 z, z^′ ∈ ¯D(z0; R), 我們有

|f (z) − f (z^′)| ≤ C|z − z^′|

這表明 F 在 ¯D(z0; R) 上是等速連續的。 事實上, 任給 ε > 0, 只要取 δ = ε/C 即可!

若 K 為 U 上任意一個緊緻部分集合, 我們可以用有限個 ¯D(z0; R) 來覆蓋它, 故 F 在 K 上也是等速連續的。 由 Arzel`a-Ascoli 定理, F 中任意序列 {fν}, 可以找到一個子序列 {fνk} 在 K 上一致收斂, 所以可以用證明定理 4.4 中已用過的對角線方法證明在 {fν} 中存 在這樣的子序列{f_νk}, 在 U 中所有的緊緻部分集合上一致收斂。 定理的證明因而完畢。

4.3. Riemann 映射定理

現在我們將應用 Montel 定理來證明 Riemann 映射定理。

定理4.2 的證明 : 不妨假設 U 為一有界區域。 固定一點 z0 ∈ U, 記 F = {σ(z)} 為單葉全純 函數族, 這裡 σ(z) 為單葉全純函數將 U 映入 D(0; 1) 之中, 且 σ(z0) = 0。 這樣的函數族 F 是非空的, 這是因為 U 是有界的, 故存在 R > 0, 使得 U ⊆ D(0; R)。 函數 σ(z) = _2R¹ (z−z0) 將 z0 映為 0, 全純且單葉, 且滿足 |σ(z)| < _2R¹ (R + R) = 1, 故 σ ∈ F 由此得出 F 6= ∅。

由於 F 中的函數為全純且有界 (上界為 1), 故由 Montel 定理, F 為正規族。 定義 M = sup{|σ^′(z0)| : σ ∈ F }

若 ¯D(z0; r) 為一個能夠包含在 U 中的以 z0 為中心, r 為半徑的閉圓盤, 於是由 Cauchy 不 等式 |σ^′(z0)| ≤ ¹_r。 故 M ≤ ¹_r, 現在我們要證明在 F 中存在 σ0 使得 σ₀^′(z0) = M。 由 M 的定義, 知道在 F 中存在一個序列 σj, 使得 |σ_j^′(z0)| → M。 由於 F 為正規族, 故序列 {σj} 中有子序列 {σjk} 在 U 中任一個緊緻集合上一致收斂到 σ0。 由於 |σ_j^′(z0)| → M, 故

|σ₀^′(z0)| = M。 將 σ0 乘以模為 1 的複數, 得到一個新的 σ₀ 使得|σ₀^′(z0)| = M。

現在我們來證明 : σ0 在 U 上為單葉的。 這裡我們要應用到幅角原理。 若 Q, R 為 U 中 兩個不同的點, 且 0 < S < |Q − R|。 在 ¯D(R; S) 上, 考慮函數 ψ_k(z) = σ_jk(z) − σ_jk(Q)。

由於 σ_j 為單葉的, ψ_k 在 ¯D(R; S) 上不等於零, 由 Hurwitz 定理, 其極限函數 σ0(z) − σ0(Q) 或是恆等於零, 或是在 ¯D(R; S) 上恆不等於零。 由於 σ^′₀(z0) = M > 0, 故 σ0 不可能恆等於

零。 因此, 對所有 z ∈ ¯D(R; S) 有 σ0(z) 6= σ0(Q), 特別有 σ0(R) 6= σ0(Q)。 由於 R, Q 為 在 U 上任意選取的兩個點, 故 σ0 為單葉的。

最後我們要證明 σ₀ 將 U 映到 D(0; 1) 為一映成函數。 由於 U 為單連通區域, 如果 F 為 U 上不等於零的全純函數, 則可在 U 上定義 log F 為

log F (z) = Z

γz

F^′(ξ)

F (ξ)dξ + log F (z0),

這裡 γ_z 為從 z₀ 到 z 的逐段 C¹ 曲線。 由於 U 是單連通的, 故這樣定義的 log F (z) 是不依 賴於路徑 γ_z 的選取! 定義了 log F (z), 就可以定義 F (z) 的 α 次方。

F^α(z) = exp(α log F (z)), α ∈ C.

如果 σ0 不是將 U 映成 D(0; 1), 則存在點 β ∈ D(0; 1)\σ0(U)。 令 ϕβ(ξ) = ξ − β

1 − ¯βξ,

於是 µ(ξ) = (ϕβ ◦ σ0(ξ))^1/2 是在 U 上定義的全純函數。 若 τ = µ(z0), 令 ϕτ(ξ) = ξ − τ

1 − ¯τ ξ 及

ν(ξ) = |µ^′(z0)|

µ^′(z0) (ϕτ ◦ µ(ξ)), 於是 ν ∈ F 。 但是 ν(z0) = 0 及

|ν^′(z0)| = 1 + |β|

2|β|^1/2M > M,

這與 σ₀ 的定義相互矛盾。 故 σ₀ 必須是映成函數。 這樣的 σ₀ 就是 Riemann 映射定理中所需 的 f 。 如果還存在另外一個單葉函數 g(z) 也有這個性質, 則 F (z) = f (g⁻¹(z)) 是單位圓盤 上的一個自同構, 且 F (0) = 0, F^′(0) > 0。 由第二講中的定理 2.18 單位圓盤上的全純自同 構群定理知道 F (z) = z! 故 f (z) = g(z)。 如果 U 是一個無限區域, 則可用變換將 U 變成有 界區域, 定理因而證畢。

由 Riemann 映射定理我們知道: 存在單葉全純函數將單連通區域 U 內的點與單位圓盤 內的點一一對應。 現在問題是 : 邊界上有沒有相對應的關係? 事實上, 單連通區域可以有十分 複雜的邊界, 這裡我們只敘述一個最簡單的情形而不予證明。

若 U 為由一條 Jordan 曲線 Γ 所圍成的區域, 若 w = f (z) 為 U 上的單葉全純函數, 將 U 映成到單位圓盤 D(0; 1), 則 f (z) 可以擴充到 Γ 上, 使得 f (z) 在 ¯U 上連續, 並且在 Γ 上的點與單位圓週|w| = 1 上的點之間有一一對應關係。

4.4. 對稱原理 (Symmetric Principle)

定理4.5 : (Painlev´e 定理)若 U₁, U₂ 是兩個區域, U₁∩ U₂ = ∅, ∂U₁∩ ∂U₂ = γ, 這裡 γ 為 一段可求長的曲線 (端點不在內)。 若 f₁, f₂ 分別在 U₁, U₂ 上全純, 在 U₁∪ γ 及 U₂∪ γ 上 連續, 且在 γ 上 f1(z) = f2(z), 則函數

f (z) =











f₁(z), z ∈ U₁ f1(z) = f2(z), z ∈ γ f2(z), z ∈ U2

在 U1 ∪ U2 ∪ γ 上全純, f1 與 f2 稱為越過邊界 γ 互為解析延拓。

圖1

證明 : 由已知的條件知道 : f 在 U1∪ U2∪ γ 上連續, 在 U1 及 U2 上全純, 所以我們只要證 明 f 在 γ 上全純。 設 z₀ ∈ γ, 取 r 使得 D(z0; r) ⊂ U = U1∪ U2∪ γ。 設 Γ 是 D(z0; r) 內 任一可求長的簡單封閉曲線。 若 Γ 在 U₁∪ γ 之內, 則由 Cauchy 積分定理知道

Z

Γ

f (z)dz = Z

Γ

f1(z)dz = 0.

同理, 若 Γ 在 U₂∪ γ 之內, 則 Z

Γ

f (z)dz = Z

Γ

f₂(z)dz = 0.

若 Γ 同時屬於 U1 及 U2, 令 Γ1 為屬於 U1 的部分, Γ2 為屬於 U2 的部分, 而 γ 在 Γ 的內部 的部分記作 Γ0, 則

Z

Γ

f (z)dz = Z

Γ1+Γ0

f1(z)dz + Z

Γ2−Γ⁰

f2(z)dz = 0.

故由 Morera 定理, f (z) 在 D(z0; r) 上全純, 特別在 z = z0 處全純, 而 z0 為 γ 上任一點, 故 f (z) 在 U 上全純。 定理的證明因而完畢。

由 Painlev´e 定理, 可推導出下面定理。

定理 4.6 : 對稱原理 (Symmetric Principle)設區域 U 位於實數軸的同一側, 其邊界包含有 實數軸上的線段 γ (端點不在內)。 若 f (z) 在 U 上全純, 在 U ∪ γ 上連續, 且 f (z) 在 γ 上 取實值, 則一定存在一個函數 F (z), 在 U ∪ U^′ ∪ γ 上全純, 且在 U 內 F (z) = f (z), 這裡 U^′ 為 U 關於實數軸的對稱區域, 且 F (¯z) = F (z)。

證明 : 在 U ∪ U^′∪ γ 上定義函數

F (z) =







f (z), z ∈ U ∪ γ;

f (¯z) z ∈ U^′.

這樣的函數滿足 F (¯z) = F (z)。 現在要證明 F (z) 在 U ∪ U^′ ∪ γ 上全純, 先證 F (z) 在 U^′ 上全純。 若 z0 ∈ U^′, z 是 z0 的鄰域內的一點, 則

F (z) − F (z₀) z − z0

= f (¯z) − f (¯z₀) z − z0

=f (¯z) − f (¯z₀)

¯ z − ¯z0

 故

z→zlim⁰

F (z) − F (z0)

z − z₀ = f^′(¯z0).

又由於 f (z) 在 γ 上取實值, 即 f (x₀) = f (x0), 當 x0 ∈ γ。 故當 z ∈ U^′ 時,

z→xlim⁰

z∈U ′

F (z) = lim

z→x⁰

z∈U ′

f (¯z) = lim

z→x⁰

z∈U ′

f (¯z) = f (x₀) = f (x₀)

故 F (z) 在 U^′ ◦ γ 上連續。 由 Painlev´e 定理, F (z) 在 U ∪ U^′ ∪ γ 上全純。 定理 4.6 的證 明因而完畢。

定理 4.6 還可敘述成更為一般的形式。

定理 4.6^′ : (對稱原理) 設 U 位於直線 l 的同一側, 其邊界包含 l 上一線段 γ (端點不在內)。

若 f (z) 在 U 上全純, 在 U ∪ γ 上連續, 且 f (z) 在 γ 上的值位於直線 L 上, 則存在 F (z)

在 U ∪ U^′ ∪ γ 上全純, 在 U 內 F (z) = f (z), 這裡 U^′ 為 U 關於 l 對稱的區域。 若 z1, z2

為 U ∪ U^′∪ γ 內關於 l 對稱的兩點, 則 F (z₁), F (z₂) 是關於 L 對稱的兩點。

證明 : 用變換 Z = az + b 將 l 變換成實數軸, W = cw + d 將 L 變成實數軸, 然後再變換 回到 z, w 即可!

對稱原理還可以推廣成, 將定理 4.6 中的 γ 改成一段圓弧, 同樣可以解析延拓。

4.5. Riemann 曲面 (Riemann surfaces) 的一些例子

在 Riemann 映射定理中指出, 任意兩個邊界多於一點的單連通域是全純等價的, 即存在 雙方單值 (即單葉) 的全純映射, 將一個映為另一個。 如果全純映射不是雙方單值 (即單葉) 的, 如多值函數或無窮多值函數, 則如何建立起映射的一一對應呢? 這就要有 Riemann 曲面的 概念。 Riemann 曲面是複分析中極為重要的概念, 可以用很長的篇幅來討論, 例如讀者可參考 L.V. Ahlfors and L. Sario [1] 或 J. B. Conway [2] 的書籍。 但作為通俗的介紹, 我們只能 用舉例的方法來描述一下什麼是 Riemann 曲面。

在第一講中討論初等函數時, 我們已經看到, 對於冪函數 w = z^α, α = a + ib, 當 b 6= 0 時, w = z^α 是無窮多值函數; 當 b = 0 而 a = n 為整數時, w = zⁿ 為單值函數, 但其反函數 不是單值函數。 當 z 在角形區域 ^(k−1)2π_n < arg(z) < ^k2π_n , k = 1, 2, . . . , n 中變動時, w = zⁿ 將任一這樣區域映為整個 w 平面除去正實軸。 這個映射是一對一的, 也是全純的。 每個這樣的 角形區域就像在正實數軸上有一“切割” (cut)。 於是這 n 個角形區域對應到 n 張 w 複平面 加上切割。 將這 n 張平面按 k = 1, 2, . . . , n 進行排列, 然後將前一張的切割的下邊與後一張 的切割的上邊黏起來, 而第 n 張切割的下邊與第一張的切割的上邊黏起來 (這樣做看起來似乎 不可能, 除非這些張自己相交, 但這裡是指讓第 n 張的切割的下邊與第一張的切割的上邊相等 同)。 於是這樣就構成了一個 Riemann 曲面。 稱每一張平面為 Riemann 曲面的一葉 (sheet) 或稱為 Riemann 曲面的一個分支 (branch) 。 明顯地看出, 當點 z 在 z 平面上變動時, 相應 的點 w 在 Riemann 曲面上變動, 並且 z 平面與 Riemann 曲面之間的點是相互一一對應的。

可以用任意從 0 到 ∞ 的射線取代正實數軸作為切割。 這樣得到的 Riemann 曲面與原來 得到的 Riemann 曲面是等同的, 但在對 Riemann 曲面進行討論之前須說明是如何切割的。

點 w = 0 有特殊位置, 它聯繫著所有的分支, 一條曲線圍繞 w = 0 旋轉必須轉 n 圈後 才能封閉, 這樣的點稱為支點 (branch point)。如果將 z = ∞ 也考慮在內, 則 ∞ 點也是一個 支點。 一般來說, 一個支點不必聯繫所有的分支, 如果它聯繫 m 個分支, 則稱此為 m − 1 階 (order) 的支點。

同樣我們可以討論 w = e^z = e^x+iy 的 Riemann 曲面。 這函數將帶狀區域 (k − 1)2π <

y < k2π 映為 w 平面的一個分支, 而切割為正實數軸。 有無窮多分支互相黏接, 而 w = 0 不 在 Riemann 曲面上, 因 e^z 永不為零。

反過來, 若函數為 w = z¹ⁿ, 而 n 為大於 1 的正整數, 則這函數將 n 個分支的 Riemann 曲面映為 w 平面, 而且相互一一對應。 同樣 w = log z 將無窮多分支的 Riemann 曲面映為 w 平面, 而且相互一一對應的。

因此, 在討論 Riemann 曲面與複平面之間的對應時, 往往必須指明, 這個討論是在 Rie- mann 曲面的那一個分支上進行。

4.6. Schwarz − Christoffel 公式

Riemann 映射定理是一個存在定理, 至於如何具體寫出這個映射來, 卻不是件簡單的事。

在 4.1 節中只是舉了幾個最簡單的例子。 下面我們要給出一個多邊形映射到上述平面的具體公 式, 這個公式稱為 Schwarz − Christoffel 公式。

若 −∞ < a₁ < a₂ < · · · < a_n < +∞, 為 n 個實數, 取 a₀ = −∞, a_n+1 = +∞。 若 α1, α2, . . . , αn, 為 n 個實數, 滿足 α1+ α2 + · · · + αn+ 1 < n, 且令

β(t) = (t − a1)^α1−1· · · (t − an)^αn−1, (4.5) 則顯然有

Z _∞

−∞

|β(t)|dt < ∞.

當 t < ak 時, 取

(t − ak)^αk−1 = exp

(αk− 1) log(t − ak) 這樣的一個分支, 使其幅角為 π(αk− 1)。 於是當 t < a1 時,

arg β(t) = πh

[α1+ α2+ · · · + αn) − ni

; 當 t 在 (a_k−1, a_k) 這線段上時

arg β(t) = πh

[αk+ · · · + αn) − (n − k + 1)i

, 2 ≤ k ≤ n;

當 t 在 (a_n, +∞) 這線段上時,

arg β(t) = 0.

於是定義了 n + 2 個複數 w_k = c

Z ak

0

(t − a₁)^α1−1· · · (t − a_n)^αn−1dt, 0 ≤ k ≤ n + 1, (4.6)

這裡 c 為一個正的實數, 在上半平面 ¯H = {z ∈ C : Imz ≥ 0} 定義函數 f (z) = c

Z z 0

β(t)dt, (4.7)

這函數顯然在 H = {z ∈ C : Imz > 0} 上是全純的。 而在實數軸上有: 當 x ∈ (a_k−1, ak) 時 (1 ≤ k ≤ n + 1),

f (x) = w_k−1+ c Z x

ak−1

β(t)dt

= w_k−1+ ce^i[(αk−1)π+···+(αⁿ−1)π]

Z x ak−1

|β(t)|dt.

於是 f (x) − w_k−1 在區間 (a_k−1, ak) 上有相同的幅角 [(αk− 1)π + · · · + (αn− 1)π], 而其 絕對值由 0 增長到

lk = c Z ak

ak−1

|β(t)|dt. (4.8)

故 x 在區間 [a_k−1, a_k] 中變動時, 則 f 在區間 δ_k−1 = [w_k−1, w_k] 中變動。 δ_k−1 的幅角為 (αk− 1)π + · · · + (α_n− 1)π, 長度為 l_k。

要證明 w0 = wn+1, 我們只要證明: 對任給 ε > 0, 存在 R > 0, 使得當 z ∈ ¯H 及

|z| ≥ R 時, |w₀− f (z)| ≤ ε 成立即可。 因為這表明

z→∞lim f (z) = wn+1= w0

這可證明如下 : 由於

Z _∞

−∞

|β(t)|dt < +∞, 故任給 ε > 0, 存在 R1 > 0 使得

Z _−R1

−∞

|β(t)|dt ≤ ε/2, 於是當 −∞ < x < −R1 時, 有

  w⁰− c

Z x 0

β(t)dt   ≤

Z _−R1

−∞

|β(t)|dt ≤ ε/2

當然可以選取 R₁ ≥ max{|a₁|, . . . , |a_n|}。 取 z₀ = ρ0e^iθ0, 而 ρ0 ≥ R₁, 0 ≤ θ0 ≤ π, 於是

|f (z₀) − f (ρ₀)| = c  

Z θ0

0

(ρ₀e^iθ− a₁)^α1−1· · · (ρ₀e^iθ− a_n)^αn−1ρ₀e^iθdθ  

≤ cρ0(ρ0− R1)^{α1+α2+···αn−n}.

由於 α1+· · · αn< n−1, 故當 ρ0 → ∞ 時, 上式 → 0。 故有 R ≥ R1, 使得當 ρ0 = |z0| ≥ R 時, |f (z0) − f (ρ0)| ≤ ε/2。 因此, 當 |z| ≥ R, Imz ≥ 0 時, |f (z) − w0| ≤ ε。 這就證明了 w0 = wn+1。, 於是 f 將 R ∪ {+∞} 映到閉 (n + 1) 邊形 △, 其邊為 δ₀, δ1, . . . , δn, 其頂點 為 w0, w1, . . . , wn= w0。

若假設 0 < α_k < 2, 則可證這個多邊形在頂點 w_k 處, 其內角為 α_kπ。 這可證明如下 : 由於 β(t) 可寫成 β_k(t)(t − ak)^αk−1, 這裡 βk(t) = Q

j6=k

(t − aj)^αj。 顯然 βk(t) 在 ak 點 的一個鄰域 U 中是全純的, 故可展開成 Taylor 級數

βk(t) = a0,k+ a1,k(t − ak) + · · · , a0,k6= 0.

於是當 z ∈ U ∩ ¯H 時, 有 f (z) = wk+ c

Z z ak

(a0,k+ a1,k(t − ak) + · · · )(t − ak)^αk−1dt

= w_k+ ca_0,k αk

(z − a_k)^αkh

1 + α_k

αk+ 1 ·a_1,k a0,k

(z − a_k) + · · ·i .

當 z 沿著傾角 θ 的直線趨於 a_k 時 (0 ≤ θ ≤ π), f (z) 沿著一條曲線趨於 w_k, 而在 wk 點處, 其切線的傾角為 arg(a0,k) + αkθ, 這是因為 c > 0 及 αk > 0。 在 ¯H 中作一個以 ak 為中心 的小半圓, 使之全包含在 U ∩ ¯H 之中。 讓 z 在這個小半圓的週邊上變動, 從 θ = 0 到 θ = π, 這樣 f (z) 在一條 Jordan 曲線上變動從 δ_k−1 上的點變到 δk 上的點, 而 f (z) 的幅角也由 arg(a0,k) 變到 arg(a0,k) + αkπ。 故在頂點 wk 處的內角為 αkπ。 而在頂點 w0 = wn+1 處的 內角為 ((n − 1) − (α₁+ · · · + αn))π > 0, 這是因為 n + 1 邊形的內角和為 (n − 1)π, 特別 當 α1+ · · · + αn = n − 2 時, 則頂點 w0 處的內角為 π, 即此為 n 邊形。

公式 (4.7) 就叫做 Schwarz − Christoffel 公式, 這裡 β(t) 由公式 (4.5) 所定義, 而 α1+· · ·+αn< n−1。 公式 (4.7) 將上半平面映為 n+1 邊形, 其頂點分別為 w0, w1, . . . , wn, wn+1= w0, wj(j = 0, 1, . . . , n + 1) 由公式 (4.6) 所定義。 多邊形的邊為 [w_k−1, wk], (k = 1, . . . , n + 1), 其長度為 l_k, 由公式 (4.8) 所給出。 若 0 < α_j < 2 (j = 1, . . . , n), 則在頂點 wk處的內角為 αkπ(k = 1, . . . , n)。 在 w0 = wn+1 處的內角為 [(n−1)−(α1+ · · ·+ αn)]π。

當然, 如果把公式 (4.6) 寫成更一般的形式 wk = c

Z ak

0

(t − a1)^α1−1· · · (t − a_n)^αn−1dt + c^′, 0 ≤ k ≤ n + 1, 則公式 (4.7) 還可以寫成更一般的形式

f (z) = c Z z

0

β(t)dt + c^′, (4.9)

這裡 c, c^′ 為兩個正的常數。 公式(4.9) 也是 Schwarz − Christoffel 公式。

附錄 A. Poincar´e 定理

在本講中提到了一個十分深刻的 Riemann 映射定理, 大致上講這個定理告訴我們兩個區 域若拓樸等價一定導出全純等價。 但 Poincar´e 定理卻說, 不存在雙全純映射將 Cⁿ (n ≥ 2) 中的單位球映為多圓柱。 這裡 z = (z1, . . . , zn) ∈ Cⁿ, 單位球定義為 B(0; 1) = {z ∈ Cⁿ :

n

P

j=1

|zj|² < 1}, 多圓柱定義為 Dⁿ(0; 1) = {z ∈ Cⁿ : |z1| < 1, . . . , |zn| < 1}。 我們在此給 出 Poincar´e 定理的一個證明, 目的就是要指出單複變與多複變函數論之間存在一些本質性的 差異!

為了簡化符號, 我們只討論 C² 的情形。 有興趣的讀者可參考其它相關文獻, 如 R. E.

Greene and S. G. Krantz [3] 及 S. G. Krantz [K]。 一個映射 f (z) = (f1(z), f2(z)) 稱 為在區域 (連通開集合) Ω ⊆ C² 上全純, 若 f₁(z) 及 f₂(z) 為區域 Ω 上的全純函數。 函數 g(z) = g(z1, z2) 稱為在區域 Ω ⊆ C² 上全純, 若固定任意的變數 z₁ 或 z₂, g(z) 是餘下兩個 變數的全純函數。 全純映射稱為是雙全純 (biholomorphic), 如果映射是一對一, 映成, 且 f⁻¹ 也是全純的。

要證明 Poincar´e 定理, 我們要先討論在 Ω 上的全純自同構群。 現在先看一下 C² 中單位 球及雙圓柱上的全純自同構群。 回顧在定出單位圓盤上的全純自同構群時, 主要是用了 Schwarz 引理, 在多複變的情形, 我們要應用推廣了的 Schwarz 引理, 這便是 Cartan 的兩個定理。

定理 A.1 (Cartan 定理) : 若 Ω ⊆ C² 為有界區域, p ∈ Ω, 若 f = (f₁, f2) 為全純映射, 將 Ω 映入到 Ω, 且 f (p) = P , Jf(p) = I, 則 f (z) ≡ z, 這裡 Jf(z) 為 f 在 z 點的 Jacobi 矩 陣, 即

Jf(z) =







∂f₁

∂z1

∂f₂

∂z2

∂f2

∂z₁

∂f2

∂z₂





. I 為單位 2 × 2 方陣。

證明 : 不妨假設 p = 0。 我們可用反證法, 如果定理不成立, 則 f (z) 在 0 點可以展開成 Taylor 級數

f (z1, z2) = z + Am(z) + · · · ,

這裡 Am(z) = (A⁽¹⁾m (z), A⁽²⁾m ) 為第一個出現不為 0 的項, 這裡 A⁽¹⁾m (z), A⁽²⁾m (z) 為 m 次齊 次多項式 (m ≥ 2)。

記 f¹ = f , f² = f ◦ f, . . . , f^j = f^j−1◦ f (j ≥ 2), 於是 f¹(z) = z + Am(z) + · · · ,

f²(z) = f (z) + Am(f (z)) + · · · ,

= z + Am(z) + Am(z) + · · · ,

= z + 2A_m(z) + · · · , (A.1) ...

f^j(z) = z + jAm(z) + · · · .

由於 Ω 是有界區域, f 將 Ω 映入到 Ω, 故由 Montel 定理知 {f^j} 為正規族, 即有子序列 {f^jk} 當 j_k → ∞ 時, f^jk → F 。 再由 Weierstrass 定理知, f^jk 的 m 階導數在 0 點的值 收斂到 F 的 m 階導數在 0 點的值。 由 (A.1), f^jk 的 m 階導數在 0 點的值當 jk → ∞ 時是趨於 +∞ 的。 另一方面, F 的 m 階導數在 0 點的值不可能為 +∞, 由此得到矛盾, 故 Am(z) ≡ 0 必須在 Ω 上成立, 即 f (z) ≡ z。 定理因而證畢。

定理 A.1 在單複變的情形 Ω 為單位圓盤 D 時成為 : 若全純函數 f (z) 將 D 映入到 D, f (0) = 0, f^′(0) = 1, 則 f (z) ≡ z, 即 Schwarz 引理等號成立的那個部分。

下面我們來證明 Cartan 的另一個定理。

若 Ω ⊆ C² 為一個區域, 假設任一點 (z1, z2) ∈ Ω, 任一實數 θ ∈ R, 有 (e^iθz1, e^iθz2) ∈ Ω, 則稱 Ω 為一圓形區域 (Circular Domain)。

定理 A.2 (Cartan 定理) : 若 Ω ⊆ C² 為有界圓形區域, f 為將 Ω 映到 Ω 自身的雙全純映 射, 且 f (0) = 0, 則 f 為線性映射, 即 f (z) = Az, 其中 A 為一常數 2 × 2方陣。

證明 : 令 θ ∈ [0, 2π], ρθ(z1, z2) = (e^iθz1, e^iθz2), 考慮映射 g = ρ_−θ◦ f⁻¹◦ ρ_θ◦ f, 則

Jg(0) =

"

e^−iθ 0 0 e^−iθ

#

J_f⁻¹(0)

"

e^iθ 0 0 e^iθ

#

Jf(0) = I.

由於 g(z) 將 Ω 映入到 Ω, 且 g(0) = 0, J_g(0) = I, 故由定理 A.1 知道 g(z) ≡ z, 此即

f ◦ ρθ = ρθ◦ f. (A.2)

將 f 在 0 點附近展開成收斂冪級數 f (z) =

X∞ j,k=0

ajkz^j₁z₂^k = X^∞

j,k=0

a⁽¹⁾_jkz₁^jz^k₂, X∞ j,k=0

a⁽²⁾_jkz₁^jz₂^k

於是

ρ_θ◦ f = (e^iθf₁, e^iθf₂) = X^∞

j,k=0

a⁽¹⁾_jke^iθz^j₁z₂^k, X∞ j,k=0

a⁽²⁾_jke^iθz₁^jz^k₂ 而

f ◦ ρθ = X^∞

j,k=0

a⁽¹⁾_jk(e^iθz1)^j(e^iθz2)^k,

∞

X

j,k=0

a⁽²⁾_jk(e^iθz1)^j(e^iθz2)^k

= X^∞

j,k=0

a⁽¹⁾_jke^i(j+k)θz₁^jz₂^k,

∞

X

j,k=0

a⁽²⁾_jke^i(j+k)θz₁^jz₂^k .

由 (A.2), 比較係數即得所有 ajk = 0 除去 j + k = 0 及 j + k = 1, 即得 f (z) 在 0 點附近 為線性的, 故由全純函數的唯一性, 我們便知 f (z) 在整個 Ω 上為線性的。 定理因而證畢。

這個 Cartan 定理, 在單複變的情形, 若 Ω 為單位圓盤 D 時: 若全純單位函數 f (z) 將 D 映到 D 本身且 f (0) = 0, 則 f (z) = e^iθz。

有了定理 A.1 及 A.2, 我們現在便可計算出 C² 中單位球及雙圓柱上的全純自同構群。 若 Ω 為 C²中的區域, 如果存在將 Ω 映為自身的雙全純映射 f (z), 則稱此映射為 Ω 上的全純自同 構 (holomorphic automorphism) 或 雙全純自同構 (biholomorphic automorphism)。Ω 上 所有的全純自同構的全體組成一個群, 這個群稱為 Ω上全純自同構群 (group of holomorphic automorphisms), 記作 Aut(Ω)。

定理A.3: Aut(D²(0; 1)) 是由雙全純映射 w =

e^iθ1 z1 − a1

1 − ¯a1z1

, e^iθ2 z2− a2

1 − ¯a2z2

 (A.3)

及

w =

e^iθ2 z2 − a₁

1 − ¯a₁z₂, e^iθ1 z1− a₂ 1 − ¯a₂z₁

 (A.4)

的全體所組成, 這裡 z = (z1, z2) ∈ D²(0; 1), a1, a2 ∈ D(0; 1), θ1, θ2 ∈ [0, 2π]。

證明 : 若 φ(z) ∈ Aut(D²(0; 1)), 且 φ(0) = ξ = (ξ1, ξ2), 定義 ψ(z) = z1− ξ1

1 − ¯ξ1z1

, z2− ξ2

1 − ¯ξ2z2

,

則 g ≡ ψ ◦ φ ∈ Aut(D²(0; 1)), 且 g(0) = 0。 由定理 A.2,

g(z) = Az = (z₁, z₂)





a11 a12

a₂₁ a₂₂



= (a₁₁z₁+ a₂₁z₂, a₁₂z₁+ a₂₂z₂).

由於 g ∈ Aut(D²(0; 1)), 故

|a11z1+ a21z2| < 1, |a12z1 + a22z2| < 1.

對任意 (z1, z2) ∈ D²(0; 1) 都成立, 這立即導出 |aij| < 1 (i, j = 1, 2)。 取 z^1,k=

(1 − 1 k) ¯a11

|a11|, (1 − 1 k) ¯a21

|a21|

∈ D²(0; 1),

z^2,k= (1 − 1

k) ¯a12

|a₁₂|, (1 − 1 k) ¯a22

|a₂₂|

∈ D²(0; 1), 則

g(z^1,k) = (1 −1

k)(|a11| + a21|), (1 − 1

k)¯a11a12

|a₁₁| + ¯a21a22

|a₂₁|

∈ D²(0; 1),

g(z^2,k) = (1 −1

k)a₁₁¯a₁₂

|a12| +a₂₁¯a₂₂

|a22|



, (1 − 1

k)(|a12| + a₂₂|)

∈ D²(0; 1), 於是

(1 − 1

k)(|a11| + |a21|) < 1, (1 − 1

k)(|a12| + |a22|) < 1.

讓 k → ∞, 即得

|a₁₁| + |a₂₁| ≤ 1 |a₁₂| + |a₂₂| ≤ 1. (A.5) 另一方面,

(1 −1

k, 0) ∈ D²(0; 1), (0, 1 − 1

k) ∈ D²(0; 1), g(1 − 1

k, 0) = (1 − 1

k)a11, (1 − 1 k)a12

∈ D²(0; 1), g(0, 1 − 1

k) = (1 − 1

k)a21, (1 − 1 k)a22

∈ D²(0; 1), 當 k → ∞ 時, (1 − ¹_k, 0) 及 (0, 1 − _k¹) 趨於 ∂D²(0; 1), 所以

(a₁₁, a₁₂) ∈ ∂D²(0; 1) 及 (a₂₁, a₂₂) ∈ ∂D²(0; 1) 於是

max{|a11|, |a₁₂|} = 1 max{|a21|, |a₂₂|} = 1. (A.6) 要 (A.5), (A.6) 同時成立, 只有下列兩種情形:

(1) a11 = 1, a12= 0, a21= 0, |a22| = 1, (2) a12 = 1, a11= 0, a22= 0, |a21| = 1,

也就是 A 只有下列兩種情形:

(1) A =

"

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

; (2) A =

"

0 e^iθ1 e^iθ2 0

# .

於是得到

(1) ψ ◦ φ(z) = z

"

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

= (z1e^iθ1, z2e^iθ2), 或

(2) ψ ◦ φ(z) = z

"

0 e^iθ1 e^iθ2 0

#

= (z2e^iθ2, z1e^iθ1),

若 φ = (φ₁, φ2), 則 (1) 即是

 φ1− ξ1

1 − ¯ξ1φ1

, φ2− ξ2

1 − ¯ξ2φ2

= (z1e^iθ1, z2e^iθ2),

即

φ1− ξ₁ 1 − ¯ξ1φ1

= z1e^iθ1, φ2− ξ₂ 1 − ¯ξ2φ2

= z2e^iθ2. 從而得到

φ = (φ1, φ2) =

e^iθ1ξ₁e^−iθ1 + z₁

1 + ¯ξ₁e^iθ1z₁, e^iθ2ξ₂e^−iθ2 + z₂ 1 + ¯ξ₂e^iθ2z₂

 , 而此即為 (A.3) 的形式。 同樣在 (2) 的情形, φ 為 (A.4) 的形式, 定理因而證畢。

現在我們要計算單位球上的全純自同構群。 首先, 當 a ∈ C, |a| < 1, 直接計算可以得到 φ_a(z₁, z₂) = z1− a

1 − ¯az1

,(1 − |a|²)^1/2z2

1 − ¯az1

∈ Aut(B(0; 1)). (A.7) 由於

z1− a 1 − ¯az1

2

+  

(1 − |a|²)^1/2z2

1 − ¯az1

2

= |z₁|²− 2Re(¯az₁) + |a|²+ (1 − |a|²)|z2|²

|1 − ¯az₁|² 上式的右邊小於或等於

1 − |a|²− 2Re(¯az₁) + |a|²+ |a|²|z₁|²

|1 − ¯az1|² = 1

若且唯若 (z1, z2) ∈ B(0; 1), 故 (A.7) 成立。 顯然, (φa)⁻¹ = φ_−a。 一個 2 × 2 的方陣 U 稱 為 酉方陣 (unitary matrix), 若 U ¯U^t = I, 這裡 ¯U^t 為 U 共軛轉置。 而映射 w = U(z) 稱 為 酉旋轉 (unitary rotation)。

定理 A.4: 若 g ∈ Aut(B(0; 1)), 且 g(0) = 0, 則 g 為酉旋轉, 即 g(z) = zA, 而 A 為一酉 方陣。

證明 : 由於 B(0; 1) 為圓形區域, 故由定理 A.2 知, g(z) = zA, 而 g 將單位向量映到單位向 量。 若

A =

"

a₁₁ a₁₂ a21 a22

# ,

(α, β) 為一單位向量, 則 (α, β)

"

a11 a12

a₂₁ a₂₂

#

= (γ, δ) 也是單位向量, 而 γ = a11α + a21β, δ = a12α + a22β。 於是

|a₁₁α + a₂₁β|²+ |a₁₂α + a₂₂β|² = 1 (A.8) 取 α = 1, β = 0 及 α = 0, β = 1, 則得到

|a₁₁|²+ |a12|² = 1 及 |a21|² + |a22|² = 1. (A.9) 將 (A.9) 代入 (A.8) 中, 我們得到

Re

(a11¯a21+ a12¯a22)α ¯β

= 0.

取 α = √¹

2, β = √¹

2 及 α = √ⁱ

2, β = √¹

2, 則得到 Re

a11¯a21+ a12¯a22

= 0, Im

a11¯a21+ a12¯a22

= 0, 所以

a₁₁¯a₂₁+ a₁₂¯a₂₂= 0. (A.10) 由 (A.9) 及 (A.10), 我們便得到 A 為一酉方陣。

定理A.5: Aut(B(0; 1)) 中每一元素均可表為最多兩個酉旋轉及一個 φa的複合, 即 Aut(B(0; 1)) 是由酉旋轉及 φa 及其複合所組成。

證明 : 若 f ∈ Aut(B(0; 1)), f (0) = α, 則有酉方陣 U 使得 αU = (|α|, 0)。 作 g(z) = φ_|α|◦ U ◦f (z), 這裡 φ_|α|是由公式 (A.7) 所定義, 將 (|α|, 0) 映為 0 點。 於是 g(z) ∈ Aut(B(0; 1)), 且

g(0) = φ_|α|◦ U ◦ f (0) = φ_|α|◦ U ◦ α = 0.

由定理 A.4 得知

g(z) = zV = V (z) 其中 V 為酉方陣, 於是

f (z) = U⁻¹◦ ϕ_−|α|◦ V (z) 這便證明了定理 A.5。

現在我們終於可以證明 Poincar´e 定理了。

定理A.6: (Poincar´e 定理)不存在雙全純映射 Φ 將 D²(0; 1) 映到 B(0; 1) 上。

證明 : 我們用反證法。 假設存在這樣的雙全純映射 φ 將 D²(0; 1) 映為 B(0; 1), 且 φ(0) = α, 則 Φ = φ_α◦ φ 也是一個雙全純映射, 將 D²(0; 1) 映成 B(0; 1), 且 Φ(0) = φ_α◦ φ(0) = 0, 這裡 φ_α 是由公式 (A.7) 所定義。 若 Λ ∈ Aut(D²(0; 1)), 則

Λ 7→ Φ ◦ Λ ◦ Φ⁻¹ ∈ Aut(B(0; 1)) (A.11) 建立起這兩個群之間的同構。 現考慮在 Aut(D²(0; 1)) 及 Aut(B(0; 1)) 令原點不動的子群, 分別記作 Aut0(D²(0; 1)) 及 Aut0(B(0; 1)), 則 (A.11) 建立起這兩個子群的同構。

由定理 A.3 Aut0(D²(0; 1)) 是由所有的雙全純映射 w =

e^iθ1z1, e^iθ2z2

= (z1, z2)

"

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

(θ1, θ2 ∈ R)

組成, 也就是這個群由所有的 ("

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

, θ1, θ2 ∈ R )

組成。

由定理 A.5 Aut0(B(0; 1)) 由所有的雙全純映射 w = zV U⁻¹

組成, 這裡 U, V 為酉方陣。 由於酉方陣之逆及乘積仍為酉方陣, 故 Aut₀(B(0; 1)) 由所有的 w = zX 組成, 這裡 X 為酉方陣, 也就是這個群由所有的酉方陣所組成, 即為酉群 (unitary group) SU(2)。

如果存在雙全純映射將 D²(0; 1) 映到 B(0; 1), 則由 (A.11) 建立起 Aut0(D²(0; 1)) 到 Aut₀(B(0; 1)) 的群同構, 即

("

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

, θ₁, θ₂ ∈ R )

與 SU(2)同構, 但這是不可能的,

因為群 ("

e^iθ1 0 0 e^iθ2

#

, θ1, θ2 ∈ R )

為 Abel 群, 而 SU(2) 不是 Abel 群, 於是得到矛盾。

故這樣的雙全純映射 Φ 是不存在的, 這便證明了 Poincar´e 定理。

總結來說, Poincar´e 定理指出 Riemann 映射定理在 Cⁿ(n ≥ 2) 時是不對的, 即兩個區 域是拓樸等價的未必是全純等價。 於是就引出了 Cⁿ 中區域的分類問題, 即如果兩個區域拓樸 等價, 什麼時候全純等價呢? 這個問題距離解決還很遙遠, 希望更多的年輕人投入這個方向的 研究!

參考文獻

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2. J. B. Conway, Function of One Complex Variable, Springer-Verlay, 1986.

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5. S. Gong and Y. Gong, Concise Complex Analysis, revised edition, World Scientific, 2007.

6. 龔昇與張德健, 微積分五講, 第一講, 「數學傳播」, 第 30 卷, 第 1 期, 25-35; 第二講, 「數學傳播」, 第 30 卷, 第 2 期, 12-27; 第三講, 「數學傳播」, 第 30 卷, 第 3 期, 31-41; 第四講, 「數學傳播」, 第 30 卷, 第 4 期, 20-31; 第五講, 「數學傳播」, 第 31 卷, 第 1 期, 17-29。

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(1930∼2011)

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Georgetown Univer-

sity

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