多孔介質熱彈性力學的無限域及半無限域穩態基本解

提要 141：Hankel 轉換之應用

筆者的研究工作與 Hankel 轉換之應用密切相關，因此就舉兩例加以解釋，說明如下。

多孔介質熱彈性力學的無限域及半無限域穩態基本解

呂志宗

中華大學土木工程學系

呂宗龍

國立屏東科技大學車輛工程技術系

摘 要

本文模擬線彈性飽和多孔介質為均質均向性之 無限域及半無限域，引用積分轉換方法，分別研討出 飽和多孔介質受任意方向點作用力源、點熱源與點補 注水源作用時之穩態基本解。所研討出之三維基本解 為以邊界元素法解析多孔介質的熱彈性力學問題之 基礎。

關鍵詞：多孔介質，無限域，半無限域，基本解。

緒 論

多孔介質熱彈性力學理論(thermoporoelasticity) 係由壓密(consolidation)理論開始發展，而合理的多孔 介質三維壓密理論則由Biot[1，2]首先研討出，許多 探討多孔介質彈力問題的研究，均是引用此一理論建 立數學模式。為探討多孔介質在受熱狀態下之力學行 為變化，在後續的研究中，Schiffman[3]曾引用Fourier 定律，以熱傳導的觀念說明多孔介質中之熱量傳輸現

象，建立多孔介質之熱彈性力學理論。相關之多孔介 質熱彈性力學理論模式尚有許多不同的型式，有些是 定義新的力學參數[4]建立理論模式，有些則是增加考 慮熱對流效應的影響[5]，但均是以Biot[1，2]所建立 之多孔介質彈性力學理論模式為基礎。

近來，以邊界元素法(boundary element method) 解析多孔介質之熱彈力問題是一個重要的研究方 向，而以邊界元素法解析物理問題之重要關鍵為需獲 得適用之基本解(fundamental solution)。以往相關問題 之基本解的研究，多不考慮多孔介質中之熱量及溫度 場的變化[6-12]，而有考慮溫度變化效應的多孔介質 無 限 域(full-space) 基 本 解 ， 首 先 是 由 Smith 與 Booker[13]提出的。然而文獻[13]並未考慮半無限域 (half-space)之基本解，若半無限域之適用基本解可以 獲得，將有助於以邊界元素法解析多孔介質之半無限 域熱彈性力學問題。基於此，本文除探討無限域模式 之基本解外，亦將進一步研討多孔介質之半無限域基 本解。

數學模式中，模擬飽和多孔介質為均質均向性之 線彈性體，考慮孔隙流體的流動遵守質量平衡定理與 Darcy定律，熱量之擴散傳輸服從熱平衡方程式與

Fourier定律。所研討出之基本解，係考慮介質內部受 到定速率補注之點熱源、點水源、以及任意方向之點 作用力源作用時所引致之力學行為變化。數學模式之 解析係採用積分轉換方法(integral transform)，所研討 出之基本解為穩態的閉合解。

本文共研討出五種多孔介質熱彈性力學的穩態 基本解。其中四種基本解為半無限域之穩態基本解，

這四種基本解的主要差異為所考慮之半平面邊界的 滲流及熱流邊界條件並不完全相同；第五種則是無限 域之穩態基本解。可應用這些基本解與已推導完成之 邊界積分方程式[14]，撰寫邊界元素計算程式，解析 牽涉熱流場變化所引致的多孔介質力學問題。

數學模式

數學模式中之多孔介質模擬分成兩種情況，分別 為無限域及半無限域多孔介質。為方便解析及說明，

本 文 考 慮 無 限 域 及 半 無 限 域 多 孔 介 質 內 ， 均 於



^{r, , z}

 

^{ 0 0, ,h}



位 置 承 受 任 意 方 向 之 點 作 用 力 源



^{F F F}r, _, z



作用，且單位時間內有Q體積之水源和

W熱量之熱源持續補注於多孔介質中之同一點，如圖

1與圖2所示。點源作用於其他位置所引致之基本解，

僅需將所研討出之解作適當之座標平移即可。

若以介質位移



^{u u u}r, ,_ z



、超額孔隙水壓力p(壓

力為正)、及介質溫度變化量 等為基本變數，模擬

多孔介質為均質均向性之飽和線彈性體，考慮孔隙流 體的流動遵守質量平衡定理與Darcy定律，熱量之擴

散傳輸服從熱平衡方程式與Fourier定律，並讓座標z

軸通過作用源點，則考慮固體介質與孔隙水為可壓縮 之理論模式的基本控制方程式可以圓柱座標



^{r, , z}



表示為[14]：

 

G u G r

G r r

u u

r

r

      r

 

2 2 1 2 

 

^









 

 

 

^{ }

 

   

 3

1 2 1

2 1

1 2

 

 

 



u 

u

s

B

p r

G

r









     

 F  

r^r   r z h 0， (1a)

 

G u G r

G r r

u u

r

     r 

 

2 2 1 1 2 

   

 









 

 

 

^{ }

 

   

 3

1 2 1

1 2 1

1 2

  1

  

 







u u

s

B r

p G

r









     

 F  

r^   r z h 0， (1b)

   

 

 

G u G

z B

p

z z

u u

    

 

2 2 1 3

1 2 1

   

 









 

 



2 1

1 2 G

z

s 







 ^{ F}

    

^



^

r^z   r z h 0， (1c)

     

k p Q

r r z h

w ²      0， (1d)

     

 _t ^W   

r r z h

 ²  0， (1e)

式 中  ² ²₂ 1  1₂ ²₂  ²₂













r r r r  z ；

 

 x =Dirac-delta函數；

^

    









 u

r r

u u

r u

z

r 1 r z ，

是多孔介質之體積應變量；_B= Skempton孔隙水壓力 參數；_G=多孔介質之剪力係數(shear modulus)；k= 多孔介質之滲透係數(permeability)；_u=不排水情況 (undrained) 下 所 測 得 之 多 孔 介 質 柏 松 比 (Poisson’s ratio)； 

  

 1

1 2 ， =排水情況(drained)下所測得之

多孔介質柏松比；²



¹

  

1 2 2 3

G^s  G _s

  

   ， 係多

孔介質之Lame常數；_s=固體介質之線性熱膨脹係數

(linear thermal expansion coefficient)；_w=孔隙水之單

位重；_t=多孔介質之熱傳導係數。

數學模式中之邊界條件有三類，分別為力學邊界 條件(mechanical boundary condition)、滲流邊界條件 (hydraulic boundary condition) 、 與 熱 流 邊 界 條 件 (thermal boundary condition)。若考慮多孔介質為無限

域，則其在深遠邊界上



^{z }



^{之各種物理變化量可}

考慮為不受作用源的影響，即：

  ^{ }

lim , , , , , , , ,

z u u u pr z

 _   0 0 0 0 0， (2a)

   

lim , , , , , , , ,

z u u u pr z

 _   0 0 0 0 0。 (2b)

數學模式中若考慮多孔介質為半無限域情況，則 其無限深遠處



^{z }



之邊界條件與式(2a)相同；然

而其在z 0之半平面邊界上力學邊界條件係考慮為

有效應力(effective stress)ij沒有變化，即：

     

   

rz r G u rr z

z

u r

, , , , r, ,

0 0 0

   0

 

 







 ， (3a)

     

   

  

z r G u r z

z r

, , , , u r, ,

0 0 1 0

   0

 

 







 ， (3b)

       

    





zz r G u rr

r r

, , , , u r, ,

0 2 1 0 1 0

   



















 



 u r

r

r , ,0 ^

 

^ _



^

  

^



2 0 2 1

1 2 0 0

   

  



 u r

z r

z , , s

, , ，(3c)

式中有效應力ij與總應力(total stress)ij的關係為：

 

   

   

  

ij ij

u u

B p ij

  

 

3

1 2 1 ， (4)

其中ij為Kronecker delta函數，當 i 時，j ij 1 ， 當i 時，j ij  0 。

半平面邊界上



^{z 0}



之滲流邊界條件，可分別考 慮為完全透水情況或完全不透水情況，即：

 

p r, ,0 0， (5)

 



 p r z , , 0

 。 (6) 0

z0之半平面邊界的熱流邊界條件，可分別考

慮為保持恆溫狀態或隔熱狀態，即半平面邊界不產生 溫度變化或無熱量變化：

 

 r, ,0 0， (7)

 





 r z

, ,0  。 (8) 0

本文將分別研討上述各種不同邊界條件下，多孔介質 熱彈性力學的無限域及半無限域穩態基本解。

積分轉換解析

數學模式之解析是採用Fourier指數積分轉換與 Hankel積分轉換方法。首先對數學模式中之變數 作 Fourier指數積分轉換，則式(1a)至式(1e)變換為：

 





















2

2

2

2

2

2 2

2

2

1 2 1 1 1 1

r r r z    r r r r r U_r

 

  











  

   

   









 

  

i r r r r U U

r z

 2 1 1₂ 1  2_{2 } 2 1 ² z





 

 

 

 

 

 

3 1 2 1

 

 

u

GB u

P r





 

 

 2 1

1 2

 



s

r







   

1  0

r F

G^r r z h ， (9a)

 

   









 

 i 2 1 r r1 r1 r2 U_r

2 2





 

      

 















2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 1 1

r r r z  r r U



   

  

   

 

i r

U z i

GB

P r

z u

u

    

 

2 1 1 3

1 2 1





 

 

i 

r

 s 

 2 1

1 2

 ^1_r ^F_G^{ }

  

^{r z h}



^0， (9b)



^21



_^_{ }^_{r z}^{2 1}_{r z}^_^Ur^{i }



^{2 1}



¹_r ^_^U_z^

   

 















2 2

2 2

2 2

1 2

r r r r  z U_z

 

 

 

 

 

3 1 2 1

 

 

u

GB u

P z





     

 

   

2 1 1 2

1 0

 

  

s z

z r F

G r z h





 ， (9c)













2 2

2 2

2 2

1

r r rr  z P



 



 ^1_r^Q_k^{  w}

  

^{r z h }



^0，(9d)













2 2

2 2

2 2

1

r r rr  z



 



  ^1

  

^



^0

r

W r z h

t  ，(9e)

式 中  為 Fourier 指 數 積 分 轉 換 參 數 ；



^{U U U P}r, _, z, , 為

 

^{u u u p}r, , , ,_ z  之Fourier指數積分



轉換函數：

         



^{U r z}r , ; ,^{U r z}_ , ; ,^{U r z}z , ; ,^{P r z}, ;, ^{r z}, ;



   





0^{u u u pr, , , , z  expi d}

2 ； (10)

其反轉換係定義為：

         



^{u r}r , , , ^{z u r}_ , , , ^{z u r}z , , , ^{z p r}, , , ^z  ^r, ,^z



 

^{ }

 







1

2 _ 



U U U P_r, , _z, , exp i 。 (11)

式(9a)至式(9e)甚為複雜，不易直接以Hankel積分轉換 方法處理，需作適當之變數變換。令：

 U_r iU_， U_riU_， (12)

則式(9a)至式(9e)可以 、 、U_z、P、 表示。將 代入新函數 與 後之式(9a)加式(9b)暨式(9a)減式 (9b)，再分別對其中之r變數作1階與1階之 Hankel積分轉換，同時式(9c)、式(9d)與式(9e)亦分別 對其中之_r變數作 階之Hankel積分轉換，則可將聯 立偏微分方程式化簡為聯立常微分方程式如下：

   

2 d²₂ ² 2 1 ² 2 1 ²

dz 



 

  











  

   ^~   ^~

   

 

 

   

 

2 2 1 6

1 2 1

   

  

dU

dz^z GB ^u P

u

~ ~

 

 

_{ }

 

  

 

4 1 1 2

2 ₁ 0

 

  ^  _

s Fr iF

G z h

~ ， (13a)



2 1



² 2



2 1



2

2 2 2

      

 

  













~ ~

 d 

dz

   

 

 

   

 

2 2 1 6

1 2 1

   

  

dU

dz^z GB ^u P

u

~ ~

 

 

_{ }

 

  

 _ 

4 1 1 2

2 ₁ 0

 

  ^   _

s Fr iF

G z h

~ ，(13b)

   

 21^d  21 dz

d dz

~ ~

 

 

 

 

  

 

  

 

2 2 6

1 2 1

2

2 2

   

 

d

dz U

GB

dP

z dz

u u

~ ~

   

 

   

4 1 1 2

2 ₀ 0

 

  _

s d z

dz F

G z h

~

， (13c)

 

d

dz P Q

k^w z h

2

2 2

0 0

 

 

   

 

  _

~ ， (13d)

 

d dz

W z h

t 2

2 2

0 0

 

 

   

 ^~    _ ， (13e)

式中 為Hankel積分轉換參數； 、^~  、^~ U^~_z、P^~、^~ 分別為 、 、U_z、P、 之Hankel積分轉換函數：

  ^{ }  

~ ; , , ;

 z  



0^r r z J_¹ r dr， (14a)

  ^{ }  

~ ; , , ;

 z  



0^r r z J_¹ r dr， (14b)

  ^{ }  

~ ; , , ;

U z_z   



0^r U r z_z  J_ r dr， (14c)

  ^{ }  

~ ; , , ;

P z  



0^r P r z J_ r dr， (14d)

  ^{ }  

~ ; , , ;

 z  



0^r r z J_ r dr； (14e)

其反轉換係定義為：

     

 r z, ; 



0^~ z; ,  J_¹  r d ， (15a)

     

 r z, ; 



0^~ z; ,  J_¹  r d ， (15b)

     

U r z_z , ; 



0^U z~_z ; ,  J_  r d ， (15c)

     

P r z, ; 



0^P z~ ; ,  J_  r d ， (15d)

     

 r z, ; 



0^~ z; ,  J_  r d 。 (15e)

式(13a)至式(13e)之通解(general solution)包含齊 性解(homogeneous solution)與非齊性解兩部分，其解 析過程相當繁瑣，但有標準方法可循，經仔細研討 後，可得 、^~  、^~ U^~_z、P^~、 之通解如下： ^~

         

~ ; , exp exp

 z   C₁C z₂ z  C₃C z₄ z

 

 

 

  

 





 

   F iF

G z h z h

r 

 



   

1 2

2 1

16 1

exp 1

 

  

  

 













   _

F iF

G z h z h

r 





   

2 1

16 1

exp 1

   

  

 

 

   F

G^z 2 1 z h z h

8 ⁰



 exp  _

 

 

 

 

     

 





 

 3

1 2 1

1 8

1

2

 

 



  

u u

w

GB

Q k

z h ^exp



^{ }z h



^₀



 



    

 













 2 1

1 2

1 8

1

2

 

    

s

t

W z h ^exp



^{ }z h



^₀，(16a)

         

~ ; , exp exp

 z   C₅C z₂ z  C₆C z₄ z

 

  

  

 













  

F iF

G z h z h

r 





   

2 1

16 1

exp 1

 

 

 

  

 





 

   _ F iF

G z h z h

r 

 



   

1 2

2 1

16 1

exp 1

 

 

 

 

 

   F

G^z 2 1 z h z h

8 ⁰



 exp   _

 

 

 

 

    

 





 

 3

1 2 1

1 8

1

2

 

 



  

u u

w

GB

Q k

z h ^exp



^{ }z h



^₀

 

 

 

   

 













  

2 1 1 2

1 8

1

2 0

 

      _

s t

W z h

z h

exp ， (16b)

 

~ ; ,

U z_z   C  C C

 

  

 



1 2

2 1

2 1

1 1

2

1 2 5

 

 

 

 



 

1

2 1

3 1 2 1

1

 7

 

  

u

GB u C

 

 

 



  

 1

2 1

2 1 1 2

1

9 2



 

  

s C C z exp z

   

 



 1 2

2 1

2 1

1 1

2

3 4 6

C  C C

 

 

 

 

 



 

1

2 1

3 1 2 1

1

 8

 

  

u

GB u C

 

 

 



  

  1

2 1 2 1

1 2 1

10 4



 

  

s C C z exp z

 

 

  

 

 

   F iF

G z h z h

r 





 

2 1

16 exp ¹

   

    

 

   _ F iF

G z h z h

r 





 

2 1

16 exp ¹

 

 

 

 

 

   F

G^z 2 1 z h z h

8

1 2 1

8 ⁰



 



 exp   _

 

 

  ^{ }

 

 

 

 

   3

1 2 1

1

8 ⁰

 

 



   _

u u

w

GB

Q k

z h exp z h

 

 

 







 

   2 1

1 2

1

8 ⁰

 

      _

s

t

W z h

z h

exp ， (16c)

     

~ ; , exp exp

P z  C₇ z C₈ z

 

Q  

k^w z h



   _

2 1

exp 0 ， (16d)

     

~ ; , exp exp

 z  C₉ z C₁₀ z

 

 W  

z h 2 t

1

 exp  0_， (16e)

式中^{C i}i



 1, ,10



為待定係數，其值可由數學模式中 所欲滿足之邊界條件得出。本文所考慮之多孔介質邊 界條件，分別為1、無限域中之無限深遠



^{z }



^邊

界條件；2、半無限域中之半平面



^{z 0}



^{邊界條件與}

無限深遠



^{z }



^{邊界條件。}

半無限域中之無限深遠



^{z }



^{邊界條件係考慮}

各物理量均不受點源的影響，如式(2a)所示，至於地 表半平面



^{z 0}



之邊界條件則可區分為以下四種情 況，即：1、半平面邊界



^{z 0}



^{上無應力變化、完全}

透水、及保持恆溫狀態，如式(3a)至式(3c)、式(5)、

與式(7)所示；2、半平面邊界



^{z 0}



^{上無應力變化、}

完全不透水、及保持恆溫狀態，如式(3a)至式(3c)、式 (6)、與式(7)所示；3、半平面邊界



^{z 0}



^{上無應力變}

化、完全透水、及保持隔熱狀態，如式(3a)至式(3c)、

式(5)、與式(8)所示；4、半平面邊界



^{z 0}



^上無應力

變化、完全不透水、及保持隔熱狀態，如式(3a)至式 (3c)、式(6)、與式(8)所示。

以上所述不同種類之邊界條件亦需作適當之積 分轉換，方能研討出式(16a)至式(16e)所示通解中之積 分轉換域待定係數^{C i}i



 1, ,10



，各項係數C_i均與 參數 及  有關。應用 U_riU_、 U_riU_之 關係式，以及式(10)之Fourier指數積分轉換公式、與 式(14a)至式(14e)所示之Hankel積分轉換公式，則無限 域中無限深遠處



^{z }



^{之邊界條件可表為：}

  ^{ }

lim ~, ~

,~ ,~,~

, , , ,

z U Pz

    0 0 0 0 0 ， (17a)

   

lim ~,~,~ ,~,~ , , , ,

z U Pz

     0 0 0 0 0 。 (17b)

同理，半無限域中之無限深遠



^{z }



^邊界條件

可表為式(17a)之型式。而半無限域中之半平面邊界



^{z 0}



若考慮其無應力變化，則：

     

~ ; ,

~ ; , ~ ; ,

F G d

dz U_z

1 0 0

0 0

   

  

  











 ， (18a)

     

~ ; ,

~ ; , ~ ; ,

F G d

dz U_z

2 0 0

0 0

   

  

  











 ， (18b)

     

~ ; , ~ ~ ~

S G dU

zz 0   1  2 dzz

  

 

    ^{ }

 

   







 



3 1 2 1

2 1

1 2 0

0

 

 

 



u

u

s

GB P~ ~ z ，(18c)

其中 、^~  、^~ U^~_z、P^~、 如式(14a)至式(14e)所示，~ 而F^~₁、F^~₂、S^~_zz係定義為：

 

^{ }

 

~ exp

F₁ r _rz i _z i d J r dr

0 2 0 1

  











^{        ，(19a)}

     

~ exp

F₂ r _rz i _z i d J r dr

0 2 0 1

  











^{       ， (19b)}

 

 

~ exp

S_zz  r _zz i d J r dr











^ 0^{    } 2

0 。 (19c)

若考慮半平面邊界



^{z 0}



^{為完全透水情況，則式}

(5)之滲流邊界條件中之變數  與變數 r 分別經由 Fourier指數積分轉換與Hankel積分轉換後，積分轉換 域之完全透水邊界條件可表為：

 

~ ; ,

P 0   ； (20) 0

若考慮半平面邊界



^{z 0}



為完全不透水，則滲流邊界 條件式(6)中之變數  與變數 r 分別經由Fourier指數 積分轉換與Hankel積分轉換後，其積分轉換域之邊界 條件可表為：

 

dP dz

~ 0; ,

  0

 。 (21)

與熱流相關之半平面邊界



^{z 0}



^{若考慮為恆溫}

現象，如式(7)所示，則其中之變數 與變數 r 分別作

Fourier指數積分轉換與Hankel積分轉換後，其積分轉 換域之邊界條件為：

 

~ ; ,

 0   ； (22) 0

與熱流相關之半平面邊界



^{z 0}



^{若考慮為隔熱情}

況，如式(8)所示，則其中之變數  與變數 r 分別作 Fourier指數積分轉換與Hankel積分轉換後，此積分轉 換域邊界條件為：

 

d dz

~ ; ,

 0  0

 。 (23)

將式(16a)至式(16e)所示之積分轉換域



^{z; ,  通}



解代入以上所示之力學、滲流與熱流等邊界條件，即 可研討出滿足積分轉換域邊界條件之積分轉換域基 本解。所探討出之積分轉換域基本解再引用式(15a) 至式(15e)之Hankel反轉換公式、^Ur 



 



2與

 

U_    2i之關係式、以及式(11)所示之Fourier 指數反轉換公式，再配合相關之積分公式[15]，即可 研討出實數域之基本解。

無限域及半無限域之基本解

1、無限域基本解

經仔細研討後知，無限域之基本解可表為：

    ^{   }

u r_r , , z  F_rcosF_sin f r z₁ , F f r z_{z 2} ,

   

Qf r z₃ , Wf r z₄ , ， (24a)

    ^{ }

u r_ , , z  F_cosF_rsin f r z₅ , ， (24b)

    ^{   }

u r_z , , z  F_rcosF_sin f r z₆ , F f r z_{z 7} ,

   

Qf r z₈ , Wf r z₉ , ， (24c)

 

p r z Q k R

w

a

,  

 4

1 ， (24d)

 

 r z W

t Ra

,  4

1 ， (24e)

式中函數 ^{f r z i}i

 

,  1, ,9



與R_a分別定義為：

     

f r z

G R

r

a Ra

1

2 3

1

16 2 1 1 2 1

,     

 



   ， (25a)

   

f r z

G r z h

R_a

2 3

2 1

, 16 

 ， (25b)

   

 

 

f r z

kGB

r R

w u

u a

3

3

16 1 2 1

,  

 

  

   ， (25c)

 

^_ ^ _

f r z r

R

s

t a

4

1

8 1 2

,  



 

  ， (25d)

 

f r z

G R_a

5

2 1 16 ,   1

 ， (25e)

   

f r z

G r z h

R_a

6 3

2 1

, 16 

 ， (25f)

       

f r z

G R

z h

a Ra

7

2

3

1

16 2 1 1

2 1

,      











   ，(25g)

   

 

 

f r z

kGB

z h R

w u

u a

8

3

16 1 2 1

,  

 

   

   ， (25h)

 

^_ ^ _

f r z z h

R

s

t a

9

1

8 1 2

,  



  

  ， (25i)

 

R_a  r² z h ² 。 (25j)

利用文獻[13]可檢驗出所推導出之無限域基本解 是正確的。

2、 半無限域基本解

半無限域基本解之型態係隨所滿足之半無限域 地表邊界的滲流及熱流條件不同而有所差異，分別列 示如下。若考慮半平面邊界無應力變化、完全透水、

且保持恆溫狀態，則其半無限域基本解為：

       

u r_r , , z  F_rcosF_sin g r z₁ , F g r z_{z 2} ,

   

Qg r z₃ , Wg r z₄ , ， (26a)

     

u r_ , , z  F_cosF_rsin g r z₅ , ， (26b)

    ^{   }

u r_z , , z  F_rcosF_sin g r z₆ , F g r z_{z 7} ,

   

Qg r z₈ , Wg r z₉ , ， (26c)

 

p r z Q

k R R

w

a b

,   

 



 4

1 1 ， (26d)

 

 r z W

R R

t a b

,   

 

 4

1 1 。 (26e)

若考慮半平面邊界無應力變化、完全不透水、且 保持恆溫狀態，則其半無限域基本解為：

    ^{   }

u r_r , , z  F_rcosF_sin g r z₁ , F g r z_{z 2} ,

   

Qg r z₃^* , Wg r z₄ , ， (27a)

    ^{ }

u r_ , , z  F_cosF_rsin g r z₅ , ， (27b)

    ^{   }

u r_z , , z  F_rcosF_sin g r z₆ , F g r z_{z 7} ,

   

Qg r z₈^* , Wg r z₉ , ， (27c)

 

p r z Q

k R R

w

a b

,   

 



 4

1 1 ， (27d)

 

 r z W

R R

t a b

,   

 

 4

1 1 。 (27e)

若考慮半平面邊界無應力變化、完全透水、且保 持隔熱狀態，則所研討出之半無限域基本解為：

       

u r_r , , z  F_rcosF_sin g r z₁ , F g r z_{z 2} ,

   

Qg r z₃ , Wg r z₄^* , ， (28a)

     

u r_ , , z  F_cosF_rsin g r z₅ , ， (28b)

    ^{   }

u r_z , , z  F_rcosF_sin g r z₆ , F g r z_{z 7} ,

   

Qg r z₈ , Wg r z₉^* , ， (28c)

 

p r z Q

k R R

w

a b

,   

 



 4

1 1 ， (28d)

 

 r z W

R R

t a b

,   

 

 4

1 1 。 (28e)

若考慮半平面邊界無應力變化、完全不透水、且 保持隔熱狀態，則其半無限域基本解為：

       

u r_r , , z  F_rcosF_sin g r z₁ , F g r z_{z 2} ,

   

Qg r z₃^* , Wg r z₄^* , ， (29a)

     

u r_ , , z  F_cosF_rsin g r z₅ , ， (29b)

    ^{   }

u r_z , , z  F_rcosF_sin g r z₆ , F g r z_{z 7} ,

   

Qg r z₈^* , Wg r z₉^* , ， (29c)

 

p r z Q

k R R

w

a b

,   

 



 4

1 1 ， (29d)

 

 r z W

R R

t a b

,   

 

 4

1 1 。 (29e)

以 上 各 式 中 之 函 數 ^{g r z}i

 

,



^{i 1, ,9}



^{、 g r z}i*

 

,



^{i 3 4 8 9, , ,}



^{、R r z}b

 

, 以及^{R r z}b*

 

, 等分別定義為：

     

g r z

G R

r

a Ra

1

2 3

1

16 2 1 1 2 1

,     



  

  

 



4 2 1

2 1

1 2

2 1

2 2

2

 



 R 

r

b R Rb b*

   

    



2 2 1 ₃ 2 1

2

 hz  3

R

r

b Rb

， (30a)

     

g r z

G

r z h R

r

a R Rb b

2 3

1

16 2 1 4

2 1

,    _*

 





  



   

  

2 1 r z h₃

R_{b }



_

 

^{ }



 6 2 1 hrz z h₅

R_b ， (30b)

   

 

 

g r z

kGB

r R

r R

w u

u a b

3

3

16 1 2 1

,   _*

   



  

  

  

  



2 2 1

2 1

3

hrz R

hr R R

rz

b b b R Rb b



 ^{* *} ， (30c)

   

 

 

g r z

kGB

r R

r R

hrz R

w u

u a b b

3 3

3

16 1 2 1

* 2

,   *

    



  

  

 



2 1

2 1



 hr

R R_{b b}^{*  }



^



^

 4 1 rz

R R_{b b}^* ， (30d)

   

 

g r z r

R r R

hrz R

s

t a b b

4 3

1

8 1 2

,   _* 2

   



 

 

 

  



2 1

2 1



 hr R R

rz

b b R Rb b

* * ， (30e)

 

^_ ^ _

g r z r

R

r R

hrz R

s

t a b b

4 3

1

8 1 2

2 1

2 1

* ,   2

  

 



 



 

 



 ，(30f)

   

g r z

G R_a R_b

5

1 2

16 2 1 1 4 2 1

2 1

,      1







   



 

2 21 hz₃ R_b 





 2

2 1

2 2



 r

R R_{b b}^* ， (30g)

         

g r z

G

r z h R

r z h

a Rb

6 3 3

1

16 2 1 2 1

,   

  





  

 

4

2 1



 r

R R_{b b}^* _



_

 

^{ }



 6 2 1 hrz z h₅

R_b ， (30h)

       

g r z

G R

z h

a Ra

7

2

3

1

16 2 1 1

2 1

,      





  

   

 

   

4 1

2 1

1 2 1

2 2

3



 

R

z h

b Rb

     

     



 2 2 1 ₃ 6 2 1

2

 hz  5

R

hz z h

b Rb

， (30i)

   

 

 

g r z

kGB

z h R

z R

w u

u a b

8

3

16 1 2 1

,  

 

 





  

  

 

 

   



2 1

2 1

2

3



 h R

hz z h

b Rb

， (30j)

   

 

  ^{ }

g r z

kGB

z h R

z R

w u

u a b

8

3

16 1 2 1 4 1

* ,  

 

   





  

   

 

 

  

2 1

2 1

2

3



 h R

hz z h

b Rb

  



4sinh¹z h

r ， (30k)

 

^_ ^ _

g r z z h

R z R

s

t a b

9

1

8 1 2

,  



 





 

 

 

 

   



2 1

2 1

2

3



 h R

hz z h

b Rb

， (30l)

 

^_ ^ _ ^{ }

g r z z h

R

z h R

hz z h R

s

t a b b

9 3

1

8 1 2

2 1 2 1

* ,   2



  



  





 

 





 

 

 



 8 

2 1²

 1

 ^sinh z h

r ， (30m)

 

R_b r² z h ² ， (30n)

 

R_b^* r² z h ² z h。 (30o)

利用文獻[16，17]所研討出之結果並作適當的化 簡，以及滲流問題與熱傳問題所具有之類比性質，可 知所推導出之半無限域穩態基本解應為正確結果。

以上所研討出之無限域及半無限域穩態基本 解，係以圓柱座標系統



^{r, , z}



^{表示，並考慮作用源是}

作用於座標



^{0 0, ,h}



位置所得出之結果。若引用其他座 標系統或作用源係作用於其他座標位置，則基本解之 函數型態僅需作適當之座標平移或旋轉等轉換，即可 獲得所需之結果。

結 論

本文已研討出均質均向性之線彈性飽和多孔介 質熱彈性力學理論的無限域及半無限域穩態基本 解，其中之半無限域基本解的邊界條件有考慮四種不 同情況，即考慮半無限域地表邊界分別為透水或不透 水、恆溫或隔熱等狀態。應用此基本解，再配合已推 導出之邊界積分方程式[14]，即可撰寫邊界元素計算 程式，解析多孔介質之邊界值問題。

誌 謝

本 文 係 在 國 科 會 研 究 計 畫 NSC85-2211-E-216-001補助下所完成之部分研究結 果，特此申謝。