中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內 熱-生物對流流場分析

Flow analysis of thermo-bioconvection of gravitaxis microorganisms in Newtonian fluid saturated porous media

系 所 別：機 械 工 程 學 系 研 究 所 學號姓名：M 0 9 6 0 8 0 0 1 王志豪 指導教授：許 隆 結 博 士

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月

摘 要

本論文針對牛頓流體飽合多孔性介質內趨地性微生物進行熱-生 物對流流場分析，假設流體為牛頓流體同時滿足 Boussinesq 近似，並 考慮以達西(Darcy)模型來描述流體的動量方程式，對於多孔性材質內 的溫度分佈，文中採用局部熱不平衡的模式，以兩個方程式來分別描 述多孔性材質內液體與固體的溫度。趨地性微生物其游動速度以統計 的平均常數來表示，本文中探討不同參數（如熱雷里數 Thermal Rayleigh Number, 生物對流雷里數 Bioconvection Rayleigh Number, 無因次兩相熱傳係數 Non-dimensional Interphase Heat Transfer Coefficient,…等），對趨地性微生物造成之熱-生物對流流場之影響。

模擬結果顯示，在不同的無因次兩相熱傳係數(H)下，會讓溫度 梯度產生的浮力隨著 增大而降低，因而降低熱-生物對流現象。隨 著熱雷里數

H

Ra增加，會有分歧現象產生，而造成不同渦漩的流場。

當生物對流雷里數Rb較小時，需要有較大的熱雷里數Ra才能有對流 發生，而分岔現象也會在較高的熱雷里數才發生。反之，越大的生物 對流雷里數Rb則在較低的熱雷里數Ra時即能產生對流現象。

關鍵詞：熱-生物對流、局部熱不平衡、多孔性介質、趨地性微生物

Abstract

This thesis investigates the thermo-bioconvection induced by gravitactic microorganisms in Newtonian fluid-saturated porous media.

The Darcy model and the Boussinesq approximation are utilized in the momentum equation to simulate flow velocity in the porous media. The local non-equilibrium model is applied by using two equations to separately describe the temperature distributions of solid and liquid phases in the porous media. A constant value of the motile velocity is considered for the gravitactic microorganism. The flow regimes of thermo-bioconvection is discussed in terms of dimensioinless parameters such as thermal Rayleigh number, bioconvection Rayleigh number, Pelect

number and the interface heat transfer coefficient.

The results show that the temperature gradients decrease with the increase of dimensionless interface heat transfer coefficient (H). As a result, the thermo-bioconvection is repressed. As the thermo-Rayleigh number increases, bifurcations that lead to flow patterns with different cells will occur. When bio-Rayleigh number is small, convection and bifurcation will start until large thermo-Rayleigh number is reached.

However, thermo-bioconvection could happen at small thermo-Rayleigh number when bio-Rayleigh number is large.

Keywords：thermo-bioconvection、local thermal non-equilibrium model、porous media、gravitactic microorganisms

誌 謝

首先最感謝的人是我的恩師許隆結博士，從大學部到研究所這段 路，他都不辭辛勞的教導我，常常在我遇到瓶頸的時候適時地幫助 我，因為學生不才，有句話我很想跟老師說，謝謝您!因為有您才成 就我的學習路。

研究期間，也感謝師伯陳俊宏博士在生活上的指點與照顧，讓我 學到很多事。在此也感謝我的口試委員，北台灣科學技術學院邱弘興 博士、桃園縣中壢市南亞技術學院楊飛龍博士和工研院機械所台中分 區鄭志平博士對於論文的細心評閱，並提供寶貴的意見，使得論文內 容更加完善。

感謝 93 級學長郭子瑋給於我很多論文及學業上的指點，感謝 94 級學長廖乙安、業祖銘、李森正、劉家原；感謝 95 級學長趙亦琦、

黃宏業、王立夫、林于凱；感謝 96 級學長施人豪、吳思諺及張偉麒 對學弟的照顧，這幾年來一起度過的快樂時光，也感謝學弟黃俊嘉、

李安城、陳正文、龍治偉、許翔硯和董子儀給我生活中的樂趣。

最後感謝我爸媽和兩個姊姊在背後默默的支持與付出，也感謝我 的女友，給我很多自己的時間，讓我順利的完成學業。

目 錄

摘 要………...i

Abstract………..ii

誌 謝………...…...…...………...iii

目 錄………...iv

圖 目 錄………..………...…………vi

符號說明………...……..…viii

第一章 緒論………..1

1.1 研究動機………1

1.2 文獻回顧………3

1.3 研究目的………7

1.4 研究方法………7

第二章 數學理論與模型建立………..8

2.1 物理模型………8

2.2 數學方程式推導………9

第三章 結果與討論………14

3.1 無因次兩相熱傳係數(H)對系統流場之影響…...…………..14

3.2 熱雷里數(Ra)對系統流場之影響……..……...…..………….20

3.3 生物對流雷里數(Rb)對系統流場之影響………....26

第四章 結論………29 參考文獻………..31

圖 目 錄

【圖一】多孔性材質物理模型………..7

【圖二】在相同的生物雷里數(Rb=1)，而不同無因次兩相

熱傳係數( )之流場分佈圖(a) =1，(b)H=10，

(c) =100...15

H H

H

b=1、H=1、 a=70 條件下的(a)流線圖，(b)微

R R

【圖三】

生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....16

【圖四】Rb=1、H=10、Ra=70 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....17

【圖五】Rb=1、H=100、Ra=70 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....18

【圖六】Rb=1、H=10、Ra=90 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....21

【圖七】Rb=1、H=10、Ra=100 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....22

【圖八】Rb=1、H=10、Ra=450 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....23

【圖九】Rb=1、H=10、Ra=750 條件下的(a)流線圖，(b)微 生物濃度分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固

體溫度(T_s)分佈圖………....24

【圖十】當 =10、H Rb=1 時，流場分佈圖……..…...………....26

【圖十一】當 =10、H Rb=10 時，流場分佈圖….…..……...…….…...…26

【圖十二】當 =10、H Rb=100 時，流場分佈圖...….26

【圖十三】當 =10、H Rb=500 時，流場分佈圖...…………...…27

【圖十四】當 =10、H Rb=1000 時，流場分佈圖…..…………...….……27

符號說明

c

d 多孔性介質層厚度（Thickness of Porous Media）。

Dn 微生物擴散係數(Diffusivity of Microorganisms)。

gG

重力 (Gravity)。

H 無因次兩相熱傳係數(Non-dimensional Interphase Heat Transfer Coefficient)。

h 固體與液體的熱傳係數(Interphase Heat Transfer Coefficient)。

iK

x 邊界單位法向量(x Unit Normal Vector to the Boundaries)。

Kj

y 邊界單位法向量(y Unit Normal Vector to the Boundaries)。

q 微生物流動通量(Flux of Microorganisms)。

K 滲透率(Permeability)。

k 熱傳導係數(Thermal Conductivity)。

L 多孔性介質層寬度（Width of Porous Media）。

Le 路易斯數(Lewis Number)。

n0 初始微生物濃度(Concentration of Microorganisms)。

n 平均微生物濃度(Average Concentration of Microorganisms)。

n 無因次微生物濃度(Non-dimensional Concentration of Microorganisms)。

P 壓力(Pressure)。

Pe 培萊克特數(Pelect Number)。

Ra 熱雷里數(Thermal Rayleigh Number)。

Rb 生物對流雷里數(Bioconvection Rayleigh Number)。

t

Tf 流體溫度(Temperature of Fluid)。

Ts 固體溫度(Temperature of Solid)。

Tl 多孔性材質下端溫度(Bottom Temperature of Porous Media)。

Tu 多孔性材質上端溫度(Upper Temperature of Porous Media)。

u

x 方向速度(Velocity in x-directions)。

u

v

w

y 方向速度(Velocity in y-directions)。

z 方向速度(Velocity in z-directions)。

V 微生物游動速度(Velocity of Microorganism)。

x

希臘符號

α 流體與固體熱擴散係數比(Diffusivity Ratio)。

ε 孔隙度(Porosity)。

ξ 渦度(Vorticity)。

η 孔隙度修正熱傳導係數比(Porosity-modified Conductivity Ratio)。

μ 流體的黏滯性(Viscosity of Fluid)。

ρ 流體密度(Density of Fluid)。

β 流體的體膨脹係數(Volumetric Expansion Coefficient of Fluid)。

ψ 無因次流線(Dimensionless Stream)

θ 微生物的平均體積 (Average Volume of Microorganism)。

κ

下標

0 初始值。

f 液體的物理性質。

s

MAX 最大值。

→

上標 向量

~

第一章 緒論

1.1 研究動機

近年來，有關懸浮液中游動微生物(Motile Micro-organisms)的研 究裡，可發現某些微生物及細菌具有自我推進(Self-propelled)的能 力，且會向某些特定方向游動。造成它們往特定方向游動的趨動力依 不同的菌種可分成:

1. 趨地性(Gravitaxis)：懸浮液中的菌類及微生物會往地心引力或反 地心引力方向游動之能力，少數的菌類因自身結構造成反地心引 力的方向運動。

2. 嗜氧性(Oxytaxis)：需消耗氧氣的菌類及微生物會向氧濃度高的方 向移動，稱之為嗜氧性。

3. 趨光性(Phototaxis)：某些細菌對光線的反應，一般是朝光源的方 向運動，稱之為正趨光性；反之，遠離光源的細菌，稱之為負趨 光性。

4. 化學驅向性(Chemotaxis)：細菌會受到糖類或胺基酸的吸引，及 遠離有害物質和細菌代謝的廢棄物，這種趨向化學引誘劑和遠離 驅除劑的運動，稱為化學趨向性。

微生物因上述四種動力而聚集在培養皿上層時，若微生物較培養 液重，向上游動聚集的結果產生懸浮液不穩定的密度分佈，而導致對

流的發生，此過程類似熱對流，故名之為生物對流（Bioconvection）。

除了游動生物的本身濃度分佈造成對流效應外，流體的溫度分佈 與游動生物濃度分佈偶合所造成之對流現象加以探討，此現象通稱熱 -生物對流（Thermo-Bioconvection）。

通常將多孔性材質內流體與固體視為熱平衡狀態，故以一個方程 式來表示流體與固體的平均溫度。但在許多實際應用上，多孔性介質 內的流體與固體並不處於熱平衡，需將流體和固體的溫度分開處理。

實驗人員在不同菌類或微生物的培養皿中，常觀察到因生物對流 造成的一些複雜的對流圖案(例如：漩渦、六角形、噴射狀、旋轉狀 等)。生物對流會造成培養皿內的不穩定性而影響實驗的進行，也可 能影響微生物的分佈，使位於底部因缺乏營養素而處於休眠狀態 (Inactive)的微生物無法再活化(Reactivate)，因此瞭解其生物流場，對 培養皿裡的微生物將有進一步的了解。

1.2文獻回顧

目前研究生物對流現象，通常都將生物對流內的懸浮液視為連續 體模型(Continuum Models of the Suspension)，流體內微生物濃度則以 變數形式出現，配合傳統的流體力學模型來描述整體懸浮液因微生物 游動所造成的不穩定流動特性。Childress等人[1]基於Navier-Stokes方 程式配合Boussinesq近似考慮推導出連續體模型，探討趨地性的微生 物引發之生物對流問題。Fujita與Watanabe[2]以Childress的模型方程 式計算生物對流問題，並發現隨著生物對流雷里數(Bioconvection Rayleigh Number)增加，流場經由一連串的分歧(Bifurcation)進入渾沌 (Chaos)行為。

Taheri等人[3]也以Childress的連續模型，分析不同的寬高比與不 同的培萊克特數 (Pelect Number)下，矩形空穴內趨地性微生物對 流所形成之流場圖形，也發現了分歧的現象。Wager[4]發現重力會影 響綠蟲藻的游動而使其聚集。Ghorai與Hill[5-7]在一系列的文章中利 用Stream-Vorticity方法來解流場分佈，探討趨地性生物造成之二維噴 流(Plume)的穩定性與發展，並比較不同起始條件與高寬比之影響。

Pe

除了游動微生物的本身濃度分佈造成之對流效應外，近年來，開 始將流體的溫度分佈與游動生物濃度分佈偶合造成之對流現象進行 探討，此現象通常稱為熱-生物對流(Thermo-Bioconvection)。 對這類

常在熱流體內有嗜熱性(Thermophilic)微生物存在時發生的問題，

Kuznetsov [8]進行一系列的分析，包括趨地性與嗜氧性微生物造成之 熱-生物對流(Thermo-Bioconvection)現象，研究中發現溫度場不均勻 分佈下的微生物懸浮液比等溫懸浮液更不穩定。Nield與Kuznetsov [9]

研究培養皿由底部冷卻之熱-生物對流穩定性，並發現由底部冷卻會 穩定懸浮液，但在某些情況下會有振盪對流(Oscillatory Convection) 產生。 Alloui等人[10]更利用數值方法解熱-生物對流之流場分佈，並 發現當熱雷里數(Thermal Rayleigh Number)增加時，對流之流場會由 次臨界分歧(Subcritical Bifurcation)過渡到超臨界分歧(Supercritical Bifurcation)。

除了上述針對各種不同單純微生物懸浮液造成之生物對流做分 析外，近六年來，在多孔性介質中之生物對流現象亦吸引研究學者的 注意。Kuznetsov與Jiang [11]推導在液體飽合多孔介質中連續體模型 的生物對流方程式，他們利用達西模型(Darcy Model)描述多孔介質中 之流動行為，結果發現多孔性介質有一個臨界滲透率，當滲透率低於 臨界滲透率時，不會有生物對流發生而造成微生物聚集在上表層。

之後Kuznetsov的研究團隊，更針對多孔性介質內包括趨地性微生 物、嗜氧性微生物所造成之生物對流以及熱-生物對流進行一系列的 探討[12-19]。這些研究中利用穩定性分析得到多孔性介質內各種生物

對流的穩定條件，並分析微生物游動速度、培養液黏滯性等參數對臨 界滲透率的影響。Nguyen-Quang等人[20]探討多孔性材質內趨地性生 物對流的穩定性，將微生物游動速度的影響做更詳細的探討，結果發 現當游動速度很小時，流場為平行流(Parallel Flow)，而當游動速度增 加時，則對應為較窄的流場圖型(Flow Pattern)。

由上面的文獻回顧可知道多孔性介質內的生物對流與熱-生物對 流不僅有廣泛的應用性，且具有研究的價值，例如微生物強化油回收 系統[21,22]。上面文獻中皆考慮多孔性材質內液體與固體達到熱平衡 而以一個方程式來表示液體與固體的平均溫度(例如：Kuznetsov[8]、

Alloui等人[10])。然而，在很多實際應用上，多孔性介質內固體和液 體並不處於熱平衡，此時必需將固體和液體的溫度分開處理。Nield 和Bejan[23]及Pop與Ingham[24]利用兩個方程式來分別模擬多孔性材 質內液體與固體的溫度分佈，透過一對流項來模擬液體與固體間的熱 傳 遞 ， 此 模 型 一 般 稱 為 局 部 熱 不 平 衡 模 型 (Local Thermal Non-equilibrium Model)。Rees等人[25-27]在一系列的報告中研究液體 與固體局部熱不平衡對於多孔性材質內熱對流的影響及對流體臨界 雷里數的影響。施人豪[28]利用修正的達西(Modified Darcy)模型來描 述流體的動量方程式，在多孔性介質內發現臨界培萊克特數值約為 3，且發現路易斯數對穩定性的影響，其值越大時對流現象較不易發

生。吳思諺[29]發現嗜氧性微生物在多孔性介質內的熱生物對流，會 有臨界培萊克特數值約為1，不同的培萊克特數與氧消耗率與擴散率 的比值之間的改變，亦會影響系統之穩定性。

1.3研究目的

由文獻可知，探討多孔性材質內熱-生物對流的研究中，將固體 與液體溫度以熱平衡模型來處理溫度分佈的問題。但考慮多孔性介質 內的固體與液體溫度不同的差異，故本文採用局部熱不平衡模型來考 慮多孔性介質內的固體與液體溫度分佈，以了解兩相溫度不平衡對流 場的影響。因在地球上的生物都處在地心引力的狀態下，而趨地性微 生物在多孔性介質內的對流現象，常發生在自然界中，例如:地底下 砂層中含微生物的飽和水層。所以本論文針對牛頓流體飽合多孔性介 質內趨地性微生物進行熱-生物對流流場研究。

1.4研究方法

本論文假設多孔性飽合材質內含有趨地性微生物，所造成之熱- 生物對流流場分佈的現象。材質內流體為牛頓流體，對於趨地性游動 微生物的游動速度與重力場有關。統計量而言，此游動速度通常可假 設成一常數[30]，以局部熱不平衡模型的兩方程式分別描述固體與液 體的溫度。

利用有限差分法，對空間項使用中間差分法，對時間項使用後差 分法，將數學式離散化後，利用 ADI (Alternating Direction Implicit) 方法解此二維暫態問題，探討各種參數對流場、溫度場及微生物濃度 場分佈的影響。

第二章 數學理論與模型建立

2.1 物理模型

【圖一】多孔性材質物理模型

考慮如圖一所示之流體飽合多孔性介質層的厚度為d，微生物流 動通量為 ，q iG為 x 邊界單位法向量，

Gj

為 y 邊界單位法向量，q ii =0 與q ji =0表示邊界無微生物穿透，飽合層下端邊界溫度保持在 ，而

上端邊界溫度保持在

)

而有聚集在飽合層的上端傾向，同時微生物的密度高於多孔性介質內 的流體密度，因此會發生熱-生物對流。

Tl

(

u l u

T T >T

2.2數學方程式推導

對於此模型流體的動量方程式，考慮以達西(Darcy)模型來描述，

並假設流體為牛頓流體且流場滿足Boussinesq假設，則我們將動量方 程式[23]表示成:

(

)

0 0 ( )

f = − Tf −Tu + Δ n

ρ ρ ρ β ρθ (2)

其中 為流體速度、

u P

n

不可壓縮流流體的連續方程式為:

0

∇iu = (3) 假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物濃度滿足

n q

t

∂ = −∇

ε ∂ i (4) 其中

q=nu+nV - Dn∇n (5) q為微生物的流動通量、ε為孔隙度(Porosity)。方程式(5)等號的 右邊三項分別代表流體對流、微生物游動速度與微生物濃度擴散造成 之流動通量。其D_n為擴散係數，此擴散係數已經將多孔性介質的孔

隙度效應加入考慮。

溫 度 分 佈 將 考 慮 多 孔 性 材 質 固 體 與 液 體 處 在 熱 不 平 衡 狀 態 (Thermal Non-equilibrium)，因此以兩個方程式模型[21,22]來描述液體 與固體的溫度分佈分別如下：

( )_f T^f ( )_{f f f} 2 _f ( _s )

c c u T k T h T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

ε ρ ∂ ρ i ε T_f (6) (1 )( )_s T^s (1 ) _s 2 _s ( _{s f})

c k T h T

t

− ∂ = − ∇ −

ε ρ ∂ ε −T (7) 其中T為溫度、c為比熱(Specific Heat)、k為熱傳導係數(Thermal Conductivity)、 為固體與液體的熱傳係數(Interphase Heat Transfer Coefficient)、下標s及f分別代表固體與液體的物理性質。

h

上述方程式即已足夠描述引發之熱-生物對流問題。方程式(1)-(7) 配合下面邊界條件：

0 :

x= u= =v 0, T =T_l, q ji =0 (8)

:

x= L u= =v 0, T =T₀, q ji =0 (9)

0 :

y = u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q ii =0 (10)

:

y =d u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q ii =0 (11) 將方程式(1)–(11)以下面參數來無因次化：

(

)

⁽

⁾

⁽

_{) ( ) (}

⁾

_{( )}

( )

= − +

  

f l u f

T T T T T_u，^{Ts =}

(

)

^{( )}

f

c t= k

 ρ

d t (13)

此問題得到無因次方程式為：

f 0

K∇ +P T + n u+ =

ε ^{Ra Rb} (14)

iu 0

∇ = (15)

n q

t

∂ = −∇

∂ i (16)

2 ( )

f

f f s f

T u T T T T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

∂ i H (17)

2 (

s _{s s f})

T T T T

t

∂ = ∇ − −

∂ H

α η (18)

而無因次的邊界條件可改寫成 0 :

x= u= =v 0, T =T_l, q ji =0 (19)

:

x= L u= =v 0, T =T₀, q ji =0 (20)

0 :

y = u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q ii =0 (21)

:

y =d u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q ii =0 (22) 方程式（14）以及邊界條件中的 是微生物流動通量，對趨地性 微生物可表示成：

q

q=un+Pen−Le∇n (23)

上面無因次方程式中：

0 f

g ΔTKd

= ρ β

Ra εμκ 為熱雷里數（Thermal Rayleigh Number）；

0 f

g Δ n Kd

= θ ρ

Rb εμκ 為生物對流雷里數（Bioconvection Rayleigh Number）；

n

f

= D

Le εκ 為路易斯數(Lewis Number)；

n

Vd

=D

Pe 為培萊克特數（Pelect Number）。α =κ κ_f / _s為流體與固體熱擴散係數比（Diffusivity Ratio）；

(1 )

f s

k

= k η −ε

ε 為孔隙度修正熱傳導係數比（Porosity-modified Conductivity Ratio）； ²

f

hd

= k

H ε 為無因次兩相熱傳係數(Non-dimensional Interphase Heat Transfer Coefficient）。

統合牛頓流體飽合多孔性介質內趨地性微生物的熱-生物對流問 題，將方程式（14）-（18）引入 Vorticity（ξ）與 Dimensionless Stream

（ψ ）函數，可得到下列新的方程式：

ξ = −∇2ψ (24)

2 Tf n

x x

∂ ∂

∇ = −

∂ ∂

ψ Ra Rb (25)

2 (

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + = ∇ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f f

f s f)

T T T

T T T

t y x x y

ψ ψ

H (26)

2 (

s _{s s f})

T T T T

t

∂ = ∇ − −

∂ ηH

α (27)

趨地性微生物濃度分佈方程式

∂∂ +∂ ∂∂ ∂ +⎛⎜⎝∂∂ + ⎞⎟⎠∂∂ = ∇2

n n n

t y x x y n

ψ ψ

Pe （28）

起始條件與邊界條件：

在t=0時，假設趨地性微生物的濃度是均勻分佈，則

(

)

n x y = （29）

f s 0

T T

ψ = = = （30）

假設邊界壁面為不滲透，則對趨地性微生物，流體在邊界的速度 與溫度及微生物濃度分佈滿足：

0 :

x= 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0

u x x x

ψ = = ^∂ = ^∂ = ^∂ =

∂ ∂ ∂ （31）

/ :

x=L d 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0

u x x x

∂ ∂ ∂

= = = = =

∂ ∂ ∂ （32）

ψ 0 :

y= 0, 0, 1, 1, ∂

= = = = =

∂

f s

u T T n n

ψ Pe y （33）

1:

y= 0, 0, _f 0, _s 0, n

u T T n

ψ = = = = =^∂y

Pe ∂ （34）

模擬的時候取x=L d/ =1

第三章 結果與討論

將方程式(20)-(24)配合邊界條件方程式(25)-(30)，用有限差分 法將數學方程式離散化，經過格點測試，當格點 51x51 與 101x101 時，

並無太大的差異，為了方便計算，故本文格點採用 51x51。利用 Fortran 帶入副程式 tridiagonal matrix 演算法去做數值模擬，收斂條件為

1

, ,

1 ,

n n

i j i j

n i j

f f

f

+ +

− ≤δ ，其中流體與固體溫度收斂條件取δ =10⁻⁷，當δ 取 或

時，會造成系統未發展就收斂。濃度收斂條件取 。將得到

的數據放入繪圖軟體去了解流場的狀態，使用 Excel 做出流場分佈 圖。對H、

10⁻5

10⁻6 δ =10⁻⁸

Rb、Ra分次改變三種不同參數，去探討這些參數對流場 之影響。

3.1 無因次兩相熱傳係數( )對系統流場之影響 ^H

本節主要是針在相同的生物對流雷里數Rb與改變無因次兩相熱 傳係數H，隨著熱雷里數Ra逐漸變大，探討無因次兩相熱傳係數 對H 系統之流場的變化。

由【圖二(a)】可知當生物對流雷里數Rb=1、無因次兩相熱傳係 數 =1，熱雷里數H Ra漸漸增大時，在熱雷里數Ra=49 可以發現分岔 發生，會由熱傳導過渡成熱對流現象，對流流線圖如【圖三(a)】所示，

此結果與 Alloui Z.等人[10] 研究結果有相同的趨勢，【圖三(b)】趨地

聚集。隨著流體開始流動，會造成溫度分佈出現變化，從【圖三(c)】

可以發現流體溫度開始有彎曲現象發生。隨著增加無因次兩相熱傳係 數至H=10，【圖二(b)】發現熱雷里數Ra=59 才會有熱傳導到熱對流 的分岔現象發生，【圖二(c)】當無因次兩相熱傳係數 =100 時，熱傳 導到熱對流的分岔現象延遲至熱雷里數

H

Ra=64 才發生。由【圖三(c)】、

【圖四(c)】、【圖五(c)】三張流體溫度分佈圖，可知隨著無因次兩相 熱傳係數 為 1、10、100 時，流體溫度分佈顯示流場對流效果降低，

同時固體與液體的溫度在較高的 值會較接近；由此可知，相同的生 物對流雷里數

H

H

Rb，在較低無因次兩相熱傳係數 下，固體與液體間 的熱傳會降低，此時液體的對流會增加，因此在較低熱雷里數

H

Ra下 就能產生對流。較高無因次兩相熱傳係數H條件下，固體與液體間的 熱交換有穩定流場的作用，故在較高的熱雷里數Ra才能發生對流，

這是因為液體與固體進行熱交換的同時，會讓液體的溫度分佈較均 勻，因此降低溫度梯度產生的浮力。流體的溫度分佈同時也影響生物 濃度分佈，無因次兩相熱傳係數 增大，對流幾乎不存在，此時濃度 分佈如【圖五(b)】所示，生物濃度呈現層狀分佈。H=1 與 =10 對流 發生時，濃度分部曲線會有彎曲現象，兩者互相比較，在H=1 時有 較強的對流發生，濃度分佈會比 =10 時較為均勻。

H

H

H

(a)

(b)

(c)

【圖二】在相同的生物雷里數(Rb=1)，而不同無因次兩相熱傳係數( ) 之流場分佈圖(a)

H

= 1

H

H = 10

H = 100

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖三】Rb=1、H=1、Ra=70 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度分 佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(T_s)分佈圖

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖四】Rb=1、H=10、Ra=70 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(Ts)分佈圖

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖五】Rb=1、H=100、Ra=70 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(Ts)分佈圖

3.2 熱雷里數( Ra )對系統流場之影響

本節主要是針在固定的生物對流雷里數Rb與固定無因次兩相熱 傳係數H，探討隨著熱雷里數Ra逐漸變大對系統之流場的影響。利 用繪圖軟體，將模擬數據繪出(a)流線圖、(b)微生物濃度分布圖、(c) 流體溫度(T_f )分布圖、(d)固體溫度(Ts)分布圖，使本節可得知模擬的 流場與分佈現象。

由【圖六(a)】與【圖七(a)】得知在熱雷里數Ra=90 和 100 時，ψ_MAX 會忽然從 3.8 降低至 1.89，流線圖由ㄧ個渦流變成兩個渦流，表示對 流在此又發生分歧(bifurcation)現象，【圖六(b)】因渦流是逆時針轉 動，故趨地性微生物會聚集在左上角，【圖七(b)】左邊的渦流是順時 針、右邊的渦流是逆時針，此時趨地性微生物會聚集在上蓋兩個渦流 中間。在一個渦流下，流體逆時針流動，【圖六(c)】、【圖六(d)】顯示 液體與固體的溫度分佈隨著流體對流而等溫線在左邊向下彎曲而右 邊向上彎曲。在兩個渦流下，【圖七(c)】、【圖七(d)】液體與固體溫度 的等溫線受到對流的影響而在多孔層中間向下彎曲。

當熱雷里數Ra漸漸遞增，發現分歧現象會更加明顯，【圖八(a)】

當熱雷里數Ra=450 流線圖會變成三個渦流，【圖八(b)】趨地性微生 物會集中在上蓋兩個渦流中間及右上角的角落。而本文用兩條不同的 溫度方程式來模擬多孔性介質，【圖八(c)】、【圖八(d)】明顯看出固體

與液體不同的溫度分佈現象，【圖九(a)】熱雷里數Ra=750 時ψ_MAX也 忽然驟降至 7.4，變成四個渦流，【圖九(b)】趨地性微生物會聚集在 上蓋右邊兩個渦流及左邊兩個渦流中間，而【圖九(c)】、【圖九(d)】

在多孔性材質內使用局部熱不平衡模型，液體與固體溫度分佈會有明 顯差異，此時對流強烈，液體在多孔性層中間會有溫度較均勻的區 域，在靠近上下壁面附近有較大的溫度梯度，而固體的等溫線方面，

除在多孔性層中間溫度隨 x 軸呈波浪狀外，在靠近上下壁面附近的溫 度梯度則比單純熱傳導情況下溫度梯度稍大。

由上分析可知，在自然對流狀態隨著熱雷里數Ra增大，會影響流 體的穩定性，造成分歧現象產生，趨地性微生物亦會受到對流影響，

而聚集在不同地方。

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖六】Rb=1、H=10、Ra=90 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(T_s)分佈圖

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖七】Rb=1、H=10、Ra=100 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(T_s)分佈圖

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖八】Rb=1、H=10、Ra=450 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(Ts)分佈圖

(a)流線圖 (b)微生物濃度分佈圖

【圖九】Rb=1、H=10、Ra=750 條件下的(a)流線圖，(b)微生物濃度 分佈圖，(c)流體溫度(T_f )分佈圖與(d)固體溫度(Ts)分佈圖

3.3 生物對流雷里數( Rb )對系統流場之影響

生物雷里數Rb對流場的影響由【圖十】至【圖十四】來說明。在

=10 時，【圖十】至【圖十四】分別是

H Rb為 1、10、100、500 及 1000

下的流場分岔圖。由【圖十】可看出第一個顯示熱傳導到熱對流的分 岔發生在熱雷里數Ra值約 60 時，此時對流流場為一個渦流。當生物 雷里數Rb增加至 10 時，【圖十一】顯示第一個熱傳導到熱對流的分 岔發生在熱雷里數Ra值約 20 時，與Rb=1 的值相比，顯示對流提早 發生，此時形成的流場也是一個渦流。當Rb繼續增加至 100 時，【圖 十二】顯示在Ra=0 時即會有對流發生，表示Rb增大至 100，在上下 板沒有溫差下，單純由生物游動即能發生對流，此時發生的生物對流 流場為一個渦流，隨著熱雷里數增加，流場會繼續有分岔發生，形成 兩個、三個或四個渦流的流場。當Rb增加至 500 時，【圖十三】也顯 示在Ra=0 時即會有對流發生，此時發生的生物對流流場為兩個渦 流，隨著熱雷里數Ra增加，流場會繼續有分岔發生，形成三個或四 個渦流的流場。【圖十四】顯示Rb=1000 時，流場隨熱雷里數增加的 分岔圖，此時單純的生物對流(Ra=0)下流場為兩個渦流，隨著熱雷里 數Ra由零漸增至 1000，流場並未進一步發生分岔產生更多渦流的形 態，顯示生物對流強度已經大到足以決定流場型態，也就是說上下板 溫差在此時並不影響流場的結構。

【圖十】當 =10、H Rb=1 時，流場分佈圖

【圖十一】當H=10、Rb=10 時，流場分佈圖

【圖十二】當H=10、Rb=100 時，流場分佈圖

【圖十三】當H=10、Rb=500 時，流場分佈圖

【圖十四】當H=10、Rb=1000 時，流場分佈圖

第四章 結論

本文利用ADI數值方法將方程式以有限差分法去模擬趨地性微生 物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱生物對流現象，利用 Fortran 帶入 副程式 tridiagonal matrix 演算法去做數值模擬分析。研究重點在於 局部熱不平衡模式來考慮多孔性介質內固體與液體溫度分佈，用兩個 溫度方程式去模擬計算對熱生物對流的影響。再將不同情況下熱雷里 數Ra和生物對流雷里數Rb去做進一步的分析，發現皆會影響趨地性 微生物流場的發展。

由模擬計算的結果，可歸納出下列三點結論:

1.因本文採用局部熱不衡模型，能描述在多孔性介質內熱交換的 影響，當無因次兩相熱傳係數H較小的時候，固體與液體間的熱傳會 降低，此時液體的對流會增加，但無因次兩相熱傳係數H增大之後，

因為固體與液體進行熱交換時，會讓液體的溫度分佈較均勻，有穩定 流場的作用。

2.固定生物對流雷里數Rb和固定無因次兩相熱傳係數 的條件 下，發現熱雷里數

H

Ra逐漸增加時，會影響到流場變化，進而出現分 歧的現象，單獨一個渦流會隨著熱雷里數Ra增大而發展到多個渦流 系統，因為熱雷里數Ra會影響到流體溫度的浮力項，使得趨地性微 生物運動方向會受到溫度分佈的影響，而聚集在上蓋兩個渦流中間或

是上蓋的角落。

3.在相同的兩相熱傳係數 下，發現生物對流雷里數H Rb較小時，

發生首次分岔的熱雷里數Ra值較高，隨著生物對流雷里數Rb增加，

發生首次分岔的熱雷里數Ra會遞減，當生物對流雷里數Rb為1000 時，熱對流已經不足以影響流場結構。

參 考 文 獻

[1] Childress S., Leavndowsky M. and Spiegel E. A., “Pattern formation in a suspension of swimming microorganisms: equations and stability theory,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 63, pp. 591-613, 1975

[2] Fujita S. and Watanabe M., “Transition from periodic to non- periodic oscillation observed in a mathematical model of bioconvection by motile micro-organisms,” Physica D: Nonlinear Phenomena, Vol. 20, pp. 435-443, 1986.

[3] Taheri M., Bilgen E., “Bioconvection of gravitactic micro-organisms in rectangular enclosures,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 50, pp. 4652-4660, 2007.

[4] Wager H., “On the effect of gravity upon the movement and aggregation of Euglena virides Ehrb., and other micro-organism,”

Philosophical Transaction of the Royal Society of London. Series B, Vol. 201, pp. 333-390, 1911.

[5] Ghorai S. and Hill N. A., “Development and stability of gyrotactic plumes in bioconvection,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 400, pp.

1-31, 1999.

[6] Ghorai S. and Hill N. A., “Wavelengths of gyrotactic plumes in bioconvection,” Bulletin of Mathematical Biology, Vol. 62, pp.

429-450, 2000.

[7] Ghorai S. and Hill N. A., “Periodic arrays of gyrotactic plumes in bioconvection,” Physics of Fluids, Vol. 12, pp. 5-22, 2000.

[8] Kuznetsov A. V., “The onset of bioconvection in a suspension of gyrotactic microorganisms in a fluid layer of finite depth heated from below,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 32, pp. 574-582, 2005.

[9] Nield D. A. and Kuznetsov A. V., “The onset of bio-thermal convection in a suspension of gyrotactic microorganisms in a fluid layer: oscillatory convection,” International Journal of Thermal Sciences, Vol. 45, pp. 990-997, 2006.

[10] Alloui Z., Nguyen T. H. and Bilgen E., “Numerical investigation of thermo-bioconvection in a suspension of gravitactic micro- organisms,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol.

50, pp. 1435-1441, 2007.

[11] Kuznetsov A. V. and Jiang N., “Numerical investigation of bioconvection of gravitactic microorganisms in an isotropic porous medium,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 28, pp. 877-886, 2001.

[12] Kuznetsov A. V. and Avramenko A. A., “A 2D analysis of stability of bioconvection in a fluid saturated porous medium-estimation of the critical permeability value,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 29, pp. 175-184, 2002.

[13] Kuznetsov A. V. and Avramenko A. A., ”Stability analysis of bioconvection of gyrotactic motile microorganisms in a fluid saturated porous medium,” Transport in Porous Media, Vol. 53, pp.

95-104, 2003.

[14] Kuznetsov A. V. and Avramenko A. A., “Analysis of stability of bioconvection of motile oxytactic bacteria in a horizontal fluid saturated porous layer,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 30, pp. 593-602, 2003.

[15] Kuznetsov A. V. and Avramenko A. A., “The effect of deposition and declogging on the critical permeability in bioconvection in a porous medium,” Acta Mechanica, Vol. 160, pp. 113-125, 2003.

[16] Kuznetsov A. V. and Jiang N., “Bioconvection of negatively geotactic microorganisms in a porous medium: the effect of cell deposition and declogging,” International Journal of Numerical Methods in Heat and Fluid Flow, Vol. 13, pp. 341-364, 2003.

[17] Kuznetsov A. V., Avramenko A. A. and Geng P., ”A similarity solution for a falling plume in bioconvection of oxytactic bacteria in a porous medium,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 30, pp. 37-46, 2003.

[18] Nield D. A., Kuznetsov A. V. and Avramenko A. A., “The onset of bioconvection in a horizontal porous-medium layer,” Transport in Porous Media, Vol. 54, pp. 335-344, 2004.

[19] Kuznetsov A. V., “The onset of thermo-bioconvection in a shallow fluid saturated porous layer heated from below in a suspension of oxytactic microorganisms,” European Journal of Mechanics B/Fluids, Vol. 25, pp. 223-233, 2006.

[20] Nguyen-Quang T., Bahloul A. and Nguyen T. H., “Stability of gravitactic micro-organisms in a fluid-saturated porous medium,”

International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 32,

[21] Fogler H. S. and Stewart T. L. “Biomass piug development and propagation in porous media,”Biotechnology Bioengineering, Vol.

72, pp. 353-363, 2001.

[22] Fogler H. S. and Kim D. S., “Biomass evolution in porous media and its effect on permeability under starvation conditions,” Bio- technology Bioengineering, Vol.69, pp. 47-56, 2000.

[23] Nield D. A. and Bejan A., Convection in Porous Medium, ed., Springer-Verlag, New York, 1999.

2^nd

[24] Pop I., and Ingham D. B., Convection Heat Transfer: mathematical and computation modeling of viscous fluids and porous media, Pergamon, Oxford, UK, 2001.

[25] Rees D.A.S. and Pop I., “Free convective stagnation point flow in a porous medium using thermal non-equilibrium model,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 26, pp. 945-954, 1999.

[26] Rees D.A.S. and Pop I., “Vertical free convective boundary layer flow in a porous medium using a thermal non-equilibrium model,”

Journal of Porous Medium, Vol. 3, pp. 31-44, 2003.

[27] Banu N. and Rees D.A.S., “Onset of Darcy-Benard convection using a thermal non-equilibrium model,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, pp. 2221-2228, 2002.

[28] 施人豪, “趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱-生物對 流穩定性分析,” 中華大學機械與航太工程研究所, 碩士論文, 2008.

[29] 吳思諺, “嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱-生物對 流穩定性分析,” 中華大學機械與航太工程研究所, 碩士論文, 2008.

[30] Alloui Z., Nguyen T. H. and Bilgen E., “Stability analysis of thermo-bioconvection in suspension of gravitatic microorganisms in a fluid layer,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 33, pp. 1198-1206, 2006.