國立高師大附中103學年度第2學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科試題

C B A

O D

L P

F M Q

P Q

O

A

國立高師大附中103學年度第2學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科試題

一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1.如圖﹐A B C D四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點﹕　

(1)A (2)B (3)C (4)D 2..設k為一常數﹐若方程式

2 2

2 1

1 7

x y

k  k 

  表一橢圓且與雙曲線

2 2

75 9 1 x y

 

有相同的焦點﹐則k的值為 (1) 9 (2) 9或8 (3) 10 (4) 10或9

二、多重選擇：(每題6分,共30分；答錯1個選項扣3分，答錯2個或2個以上選項不給分) 1.下列哪些為真﹖　

(1)坐標平面上﹐直線L x 1 0及點F (1 , 0)﹐若點P使得^{d P L( , )PF}﹐則所有點P的圖形 為拋物線　

(2)坐標平面上﹐拋物線 的準線為L y 2 0﹐焦點為F (1 , 0)﹐那麼 的對稱軸為 x 1 0

(3)拋物線y 4x²的焦點為(0 , 1)

(4)拋物線y² 4x的準線方程式為x 1

(5)拋物線 的準線L﹐焦點F如圖﹒設P為 上的點且P在L上的投影點為 Q﹐若M為P在^QF上的垂足﹐則M為^QF的中點﹒

2. .如圖﹕二階方陣P變換將A B C D映成A1 B1 C1 D1﹐再經Q變換映成A2 B2 C2 D2﹐ 再經R變換映成A3 B3 C3 D3﹐且T變換表示P Q R三個變換的合成﹐即T變換將

A B C D映成A3 B3 C3 D3﹒試問下列選項哪些正確﹖　

(1)

2 0 P 0 1

  

 

(2)

0 1

1 0 Q   

  

 

(3)

1 1

2 2

1 1

2 2

R

  

 

 

 

 

  (4)

2 1 2 2 1

2 T

  

 

 

   (5)若過A B C D的

圖形方程式為x² y² 1﹐則過A3 B3 C3 D3的圖形方程式為5x² 6xy 5y² 8

x y

O A

B

C D

1 1

P

x y

O

C1 A1

B1

D1

2

Q

x y

O

C2

A₂

B₂ D₂

R

x y

O C3

A3

B₃

D3

y= x y=x

3.下列敘述哪些為真﹖　

(1)坐標平面上兩定點F' ( 2 , 3) F (2 , 3)﹐若點P使得^{|PF PF| 2} ﹐則所有點P所成的圖 形為以F' F為焦點的雙曲線　

(2)若兩雙曲線 1 2有相同的漸近線﹐則 1與 2為全等的雙曲線 (3)雙曲線 1

2 2

25 9 1 x  y 

與雙曲線 2

2 2

25 9 2 x  y 

﹐有相同的頂點﹑焦距及貫軸長　 (4)若兩雙曲線 1 2有相同的漸近線﹐則 1與 2必為共軛雙曲線　

(5)設點A為圓O外一點﹐如圖﹒若Q為圓O上一點且^QA的垂直平分線

x y

O (0,2)

x y

O

D( 4,0) C(4,0)

AB 與直線OQ相交於點P﹐則所有點P所成的圖形為雙曲線﹒

4.設xy平面上 滿足方程式^{| (x2)2(y5)2  (x4)2(y3) | 62 } ﹐試問下列敘述哪些是正 確的﹖　

(1) 的圖形可以當成兩個拋物線　 (2) 的貫軸所在直線是兩漸近線的角平分線　 (3)3x 4y 1 0是 的對稱軸　 (4)

17 11 ( , )

5  5

是 的頂點　 (5)

14 7 ( , )

5 5

是 的頂點﹒

5.若拋物線x ay² by c通過點(0,2)﹐且其圖形如圖所示﹐

則下列各數哪些為負數﹖　

(1) a (2) b (3) c (4) b² 4ac (5) 5a 2b c 三、填充題(共60分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1.一雙曲線的中心為(2,3)﹐貫軸平行y軸﹐共軛軸長為4﹐一漸近線之斜率為1﹐則此雙曲線 方程式為____________

2.圓C1 (x 3)² y² 4﹐圓C2 (x 2)² y² 1﹐今有一動圓與圓C1 C2均相切﹐則此動圓 之圓心軌跡方程式為____________

3.拋物線 y² 8x的焦點為F P為 上的動點﹐若點A(4, 2)﹐則當PA PF 有最小值時﹐

此時P點坐標為____________

4.已知雙曲線貫軸長為6﹐共軛軸長為4﹐貫軸方程式為x 2y 3 0﹐若其中一條漸近線的 斜率為m且m 0﹐則m ____________

5.如圖 坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形 另 一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過C(4,0)與D( 4,0)且皆以 y軸為對稱軸﹐皆以F(0, 3)為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩 曲線的頂點A B的距離AB____________

6.設△AOB中﹐O為原點﹐A(3, 1) B在第一象限內﹐且∠AOB ﹐若tan 4 3﹐且 5

OB OA﹐則B的坐標為____________

7.設雙曲線

2 2

: 1

4 16 x y

   P

為其上動點﹐

F1 F₂

為其兩焦點﹐若

1 5

PF 

﹐求 PF2

= 8.橢圓

2 2

: 1

25 9 x y

  

上相異三點





A x y 9

4,5 B 

 

 





C x y

分別至焦點

 

F

之距離成等差 數列﹐求x1x2的值為

9.設橢圓 之兩焦點為F1與F2﹐短軸頂點為A與B﹒若△AF1F2為正三角形﹐且邊長為6﹐則此橢 圓之正焦弦長為____________

10.已知等軸雙曲線 的一條漸近線為x y 0﹐中心的坐標(1, 1)且 過點(4,0)求 的共軛 雙曲線 的頂點

國立高師大附中103學年度第2學期高二期末考自然組( 仁 ~ 信 )數學科答案卷

高二 班 座號 號 姓名 一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1 2

二、多重選擇：(每題6分,共30分；答錯1個選項扣3分，答錯2個或2個以上選項不給分)

1 2 3 4 5

三、填充題(每格6分，共60分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

國立高師大附中103學年度第2學期高二期末考自然組( 仁~信 )數學科參考答案 一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1 2

4 3

二、多重選擇：(每題6分,共30分；答錯1個選項扣3分，答錯2個或2個以上選項不給分)

1 2 3 4 5

245 125 15 235 125

三、填充題(共60分，配分如下)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分數 10 18 26 34 42 48 54 56 58 60

1 2 3 4

( 3)2

4

y ( 2)² 4 1 x

 

2 2

( 1)

2 1

1 6

4 x y

 

或

2 2

( 1)

2 1

9 4

4 x y

 

(

,

)

5 6 7 8

1 ^{( 13, 9)}

9 8

9 10

9