三角函数在定义域内是否有反函数？
x y
0
x y sin
c c c c c c
对于 [-1 ， 1] 上每一个 ， 在 R 上有无数多个值与其对应 ,
所以，函数 没有反函数。
y
y
sin ( )
y x x R
能否在实数集 R 内适当取一个子集 A ，使 y=sinx ， x
∈A 所确定的从 A 到 [-1 ， 1] 的对应是一一对应？
使 y=sinx （ x∈A ）有反函数
y
x 1
-1 2
2
• X 与 y 一一对应
• 值域仍为 [-1 ，
•1] 包含锐角集合 , 具有奇偶
只要选取函数 y=sinx 的任意一个单调闭区间做 A ， 都有反函数
即 ],( )
, 2 [ 2
,
sin
x x k k k Z y
2 ] 2 ,
[ ,
sin
x x
y
性质 定义域
值域 奇偶性 单调性
图象
0 xy
2
2
1
- 1
0 x
y
2
2
- 1 1
2] 2 , [ ,
sin
x x y
] 1 , 1 [ ,
arcsin
x x
y
x
y sin y arcsin x , x [ 1 , 1 ]
2 ] 2 , [
x
] 1 , 1 [ y
] 1 , [ 1
x
2 ] 2 , [
,
x2 ] 2 , [ y
奇 函 数 奇 函 数
上单调递增
在 ]
, 2
[ 2 在 [ 1 , 1 ] 上单调递增
x
x ) arcsin
arcsin(
0 x y
2
2
1
-1
2 ] 2 , [
,
sin
x x y
] 1 , 1 [ ,
arcsin
x x
y
2
2
-1 1
反 正 弦 函 数 的 图 象
0 x y
2
2
1
-1
2 ] 2 , [
,
sin
x x y
] 1 , 1 [ ,
arcsin
x x
y
2
2
-1 1
反 正 弦 函 数 的 图 象
解析式 定义域
值域 奇偶性 单调性
图象
0 xy
2
2
1
- 1
0 x
y
2
2
- 1 1
2] 2 , [ ,
sin
x x y
] 1 , 1 [ ,
arcsin
x x
y
x
y sin y arcsin x
2 ] 2 , [
x
] 1 , 1 [ y
] 1 , [ 1
x
2 ] 2 , [
,
x2 ] 2 , [ y
奇 函 数 奇 函 数
上单调递增
在 ]
, 2
[ x 2 在 [ 1 , 1 ] 上单调递增
x ) sin(arcsin
] 1 , [1
arcsin( x ) arcsin x x
] 1 , [1
x
x x )
arcsin(sin ]
, 2 [ 2
x
0 x y
2
1
-1
y cos, x [ 0 , ]
] 1 , 1 [ ,
arccos
x x
y
2
-1 1
解析式 定义域
值域 奇偶性 单调性
图象
x
y cos , x [ 0 , ]
] , 0 [
x
] 1 , 1 [
y y [ 0 , ] ] 1 , [ 1
x
x y arccos
0 x
y
2
1
-1 y cos,x[0,] 0
x y
] 1 , 1 [ ,
arccos
x x
y
2
-1 1
非奇非偶 非奇非偶
上单调递减
在 [ x 0 ) , ] x 在 [ 1 , 1 ] 上单调递减 cos(arccos
] 1 , 1 [
x x
x ) arccos arccos(
] 1 , 1 [
x
x x )
arccos(cos x [ 0 , ]
0 x y
2
2
tan , ,
y x x 2 2
（）
2
2
arctan ,
y x x R
解析式 定义域
值域 奇偶性 单调性
图象
tan
y x y arctan x
）
（ , 2 2
x
R y
R x
）
（ , 2 , 2
x）
（ , 2 2
y
奇 函 数 奇 函 数
）上单调递增 在（ , 2
2
在R 上单调递增
R x arctan( x ) arctan x
R x
arctan(tan ) x x （ ）
, 2 2
x
tan(arctan ) x x
0 x
y
2
2
tan , ,
y x x
（）
0 x
y
2
2
arctan ,
y x x R
