Sperner 引理及其應用
潘建強 · 邵慰慈
一 . 背景
1911 年, L. Brouwer [3] 發表了一個著名的不動點定理, 它對分析、 拓樸等多方面都有深 刻的影響。 此定理表述為:
對任意一連續函數 f : Bn→ Bn, 其中 Bn 是 n 維球體, 則 f 必定在 Bn 中存在著不動 點 (即存在 x ∈ Bn 使得 f (x) = x) 。
在一維的情況下, B1 即是實數線上的一個閉區間 [a, b] , 其中 a < b。 我們很容易由中間 值定理 (Intermediate value theorem) 得出上述結果。 可是在高維度的情況下, 就必須應用 較為成熟的數學方法來證明。
1928 年, 一位年輕的德國數學家 E. Sperner (當時他只得 25 歲) 發現了一個相當簡單 的證明, 他利用組合學的方法證明了 Brouwer 不動點定理 (見 [1, 7]) 。 他的證明可說是相 當優美, 其應用也不單於此。 本文將簡單介紹 Sperner 引理及應用它去證明對 Brouwer 不動 點定理在二維空間中的情況 (讀者可利用數學歸納法由二維情況推廣到高維的情), 同時亦應用 Sperner 引理證明一則數學遊戲必存在唯一的勝方和在帶寬問題上的一則應用。
在證明這些結論的過程中, 我們必須要利用一些圖論的知識, 有興趣的讀者可參考 [2] 或 其他圖論的書。
二 . Sperner 引理及其證明
Sperner 引理 [7]: 給定一個 ‘大’ 三角形 V1V2V3, 並將它三角化 (把它畫分成有限多個 較 ‘細’ 的三角形且每個 ‘細’ 三角形的邊都是另一個 ‘細’ 三角形的邊或落在 ‘大’ 三角形的邊 上)。 若將各頂點以下述的規定標記:
• 頂點 Vi 的標號為 i, i = 1, 2, 3;
42
• 在 ViVj 邊上的頂點只可以用 i 或 j 作為標號;
• 不在 ‘大’ 三角形邊上的頂點可隨意以 1, 2 或 3 作為標號;
則至少存在一個 ‘細’ 三角形其三個頂點的標號分別 為 1, 2 及 3。
右圖是一個已標號的三角化三角形的例子。 劃 上陰影的 ‘細’ 三角形就是 Sperner 引理結論中所
說的三角形。 1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 3
3
3
3 3
V1 V2
V3
要證明這個引理是不太因難的, 我們只須以下一個引理, 這個引理在一般的圖論書上是第 一個出現的定理, 我們不妨稱它為握手引理。
握手引理: 設 G 為一圖, 則 G 的所有頂點的度數之和等於兩倍邊的數目。 (註: 頂點的度 數定義為該點所連接邊的數目。)
證明: 由於 G 中每一條邊都被相關聯的兩個端點計算了兩次, 因此 G 中所有頂點的度數 之和必等於邊數的兩倍, 所以證畢。
現在我們可證明 Sperner 引理了。
1 1
1
1 1 1 2
2 2 2
2
3
3
3
3 3
V1 V2
V3
Sperner 引理證明: 設 T 為已三角化的三角 形 V1V2V3, 其頂點的標記方法是根據 Sperner 引 理中所要求的。 考慮 T 的半對偶圖 T′, 其中 T′ 的 頂點是 T 的面, 為了表示 T′ 的點, 我們在 T 中每 一個 ‘細’ 三角形和無限面內劃一個小圓點 (如下圖 的白圓點), 兩白圓點有一連線當且僅當這兩點所代 表的面其公共邊的兩端點分別標著 1 和 2。 見右圖:
我們很容易看出半對偶圖 T′ 中的頂點, 除對應著無限面的頂點外, 其度數不超過2。 在 T′ 中度數為 1 的頂點對應著 T 中標著 1, 2 及 3 的 ‘細’ 三角形所組成的面; 度數為 2 的頂點對 應著T 中只標著 1 及 2 的 ‘細’ 三角形所組成的面; 度數為 0 的頂點只對應著T 中不同時標著 1 和 2 的 ‘細’ 三角形所組成的面。 因為在 V1V2 邊上只得單數多條邊的兩端點是分別記號為 1 及 2 的, 所以, 在半對偶圖中對應著無限面的頂點的度數是單數。 若 T′ 中沒有度數為 1 的頂 點, 那麼其頂點度數之和必為單數, 這與握手引理相矛盾。
因此, 結論就是必定存在一 ‘細’ 三角形, 其三個頂點的標號分別為 1, 2 及 3。 命題證畢。
三 . Sperner 引理與 Brouwer 不動點定理的聯繫
以下就 Brouwer 不動點定理在二維的情形作出證明。 考慮在 R3 中的一個三角形 ∆, 其 頂點分別為 e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) 及 e3 = (0, 0, 1)。 因為 ∆ 和 B2 是同構, 所以我們 只須證明任何連續函數 f : ∆ → ∆ 都存在一不動點便可。 我們利用反證法, 假設 f : ∆ → ∆ 中沒有不動點。 若 T 代表三角形 ∆ 經三角化後所得的圖。 以 δ(T ) 代表 T 中 所有 ‘細’ 三角 形之中最大之邊長。
我們可利用以下的三角化方法找出 ∆ = T1, T2, T4, . . ., 使 δn = δ(T2n) → 0。
T2 是將 ∆ 分割為兩層且由四個全等的三角形組成, 各三角形的邊長是原三角形 ∆ 邊長 的 12 。 T4 是將 ∆ 分割為四層且由十六個全等的三角形組成, 其邊長是原三角形 ∆ 邊長的 14
。 如此類推, 我們很容易觀察到 δn= δ(T2n) → 0。
e1 e2
e3
T2
e1 e2
e3
T4
對於在 T2k 上任意一頂點 v = (v1, v2, v3), 記 f (v) = (f (v)1, f(v)2, f(v)3), 我們有 0 ≤ vi, f(v)i ≤ 1, i = 1, 2, 3。 我們給予 v 以下的一個標號:
λ(v) = min{i : f (v)i < vi},
換句話說, λ(v) 就是最小的指標 i 使 f (v) − v 的第 i 項座標值為負數。 λ(v) 是良好定義的 (well-defined) , 因為 v 和 f (v) 都在 ∆ 中, 所以 v 和 f (v) 是在平面 x + y + z = 1 上, 因此 v1+ v2+ v3 = 1 及 f (v)1+ f (v)2+ f (v)3 = 1。 但由我們的假設, f 在 ∆ 中沒有不 動點, 因此 f (v) − v 不是零向量, 又因為 P3
i=1
(f (v)i− vi) = 0, 那麼, 至少存在某指標 i 使 f(v)i− vi <0。
事實上, λ(v) 滿足 Sperner 引理的要求, 其理由如下: 首先由於 f (ei) − ei 只可在第 i 個座標上為負數, 故 ei 的標號必為 i; 再者, 若 v 在 ei 的對邊上, 則 vi = 0。 所以 f (v)i− vi
不可能是負數, 換句話說, v 的標號不可能是 i。
根據 Sperner 引理, 在 T2k 中必存在一 ‘細’ 三角形其頂點 {vk:1, vk:2, vk:3} 的標號分別 為 1, 2 及 3。 不失一般性, 設 λ(vk:i) = i, i = 1, 2, 3。 vk:1, vk:2及 vk:3的距離最多是 δk。 因
∆ 是一緊緻 (compact) 集合, 在 {vk:1}k≥1中必存在一子集合收歛於 v∗ = (v1∗, v∗2, v∗3) ∈ ∆。
在該子集合中, 當 k → ∞ 時, δk→ 0, 即 vk:1, vk:2 和 vk:3 同時趨向於 v∗。
由於 f (vk:1)i <(vk:1)i 及 f 是連續的, 我們有 f (v∗)1 ≤ v1∗。 同樣地, f (v∗)2 ≤ v2∗ , f(v∗)3 ≤ v3∗。 又
P3
i=1(f (v)∗i − vi∗) = 0, 所以 f (v∗)i = v∗i, 因而 f (v∗) = v∗。矛盾, 命題證 畢。
四 . 一則在三角形棋盤上的遊戲
在上一節中已看到 Sperner 引理的威力。 在 這一節中, 我們介紹一個在三角形棋盤上的遊戲, 同時利用 Sperner 引理證明該遊戲必存在唯一的 勝利者。
所謂三角形棋盤, 就是一個大三角形板, 其頂 點為 V1, V2 及 V3。 把這個三個形板畫分成一些全 等的 ‘細’ 三角形且這些 ‘細’ 三角形的邊與該三角 形板之邊平行。 我們記 Tl為有 l 層的三角形棋盤。
例如: T5
V1 V2
V3
定義一: 線段的相交點稱為該三角形棋盤的頂點。
定義二: 將三角形板的周界分解為 P1, P2 及 P3 三直線段使得 Vi 6∈ Pi, 即 P1= (V2, . . . , V3)
P2= (V1, . . . , V3) P3= (V1, . . . , V2).
定義三: 設 S 為該三角形棋盤頂點的子集。 將 S 的點聯同以 S 的點作為兩端點的邊所 組成的圖稱為 S 的衍生子圖。
定義四: 設 S 為該三角形棋盤頂點的子集。 如果 S 至少包含著 P1, P2 及 P3 中各一頂 點及其衍生子圖是連通圖, 則 S 稱為連通集。
以下是兩連通集 (白色的點) 的例子:
例一:
P1
P2
P3
T5
V1 V2
V3
例二:
P1
P2
P3
T5
V1 V2
V3
遊戲的玩法:
用具: (1) 三角形棋盤 Tl (5 ≤ l ≤ 10 中等程度; l > 10 高等程度)。
(2) 兩種顏色的棋子 (白色及黑色)。
玩法: 此乃二人遊戲, 每人分別使用不同顏色的棋子。 各人輪流將棋子放在三角形棋盤的頂點 上, 若其中一人的棋子能組成一連通集 (見定義四), 那人就是得勝者。
這遊戲的規則簡單, 但原來背後也和 Sperner 引理有關呢!
定理一: 在三角形棋盤 Tl 上下棋, 若以上述的遊戲規則, 則總有一位且只有一位得勝者 (換句話說, 這遊戲沒有和局)。
證明: 我們首先證明黑棋子和白棋子不能同時 為連通集。 不然的話, 設 B 為黑棋子的連通集, W 為白棋子的連通集。 因此在 P1 上, 存在一頂點 b ∈ B 及 w ∈ W 。 不失一般性, 設 b 在 V3 及 w 之間。
由於 W 是連通的, 我們可找到一條以 W 的 點為頂點所組成的路徑使得它連接在到 P2 上, 這 條路徑把 Tl 分成上下兩部分, 那麼集 B 就不可能 連通了 (不能連接點 b 與 P3 上的頂點)。
b P1
P2
P3
V1 V2
V3
w
現在假設出現和棋的情況, 即在 Tl 上每個頂點都放滿了棋子, 但 W 和 B 都不是連通集。
對任意的頂點 v, 至少存在著一條直線段 P1, P2 或 P3 使 v 不能透過和本身同顏色的棋子到 達。 我們定義各頂點 v ∈ Tl 的標號為
λ(v) = min{i : v 不 能 透 過 和 本 身 相 同 顏 色 的 棋 子 到 達 Pi}.
這樣, 我們對每一個 Tl 上的頂點都以 1, 2 或 3 作了標記。 很容易觀察到其標號滿足 Sperner 引理的要求。 根據此引理, 在棋盤上存在一 ‘細’ 三角形其頂點分別以 1, 2 及 3 為標號。 由白 鴿巢原理得知這三個頂點中至少有 2 個頂點的棋子顏色是相同。 不失一般性, 我們設標號為 1, 2 的頂點上棋子的顏色為黑色, 並且記這兩頂點分別為 a1 及 a2。 根據定義, a1 不能透過黑色 的棋子通往 P1 而 a2 則可。 因 a1 與 a2 是相鄰, 而 a2 上的棋子也是黑色的。 那麼 a1 能通過 a2, 再由 a2 通過一些黑色的棋子到達 P1。矛盾, 命題證畢。
我們留下一個問題讓讀者想想, 先下棋者是否有利? 若是, 他的必勝策略如何?
上述的遊戲還可以加以變化, 下棋者不一定要在開始比賽前預先選定好棋子的顏色, 棋手 可以在每下一步棋時才選用他認為最有利的顏色棋子, 誰下一棋子後得到一個同色的連通集便 是勝方, 這樣的比賽會更加有趣。
根據上述定理, 同樣不會和局。 同樣地, 我們留下上述的問題給讀者, 希望不久的將來有人 提出解答來。
五 . 三角形棋盤上的帶寬問題
隨著電腦科技的發展, 為了提高矩陣在電腦中計算的速度, 如方陣的行列式 (determi- nant), 矩陣相乘等等, 工程界在 1950 年代中提出了方陣中帶寬 (bandwidth) 的重要性。 給 定一方陣 M, 所謂方陣的帶寬問題就是找一對稱排列矩陣 M′, 使所有非零項 m′ij 的最大的
|i − j| 值最小, 這裡所說的方陣對稱排列是指將方陣 M 的行 (column) 重排後, 將它的列 (row) 也相應地重排。 換句話說, 就是希望找一排列使在矩陣中非零的數項集中排在主對角線 附近, 這可使電腦的記憶需求降低, 同時也可增快其計算的效率。
相對於方陣的帶寬問題, 圖的帶寬問題起源自 1962 年的 Jet Propulsion Laboratory。
當時 L. H. Harper 和 A. W. Hales 在考慮一些在超正方體 (hypercube) 上的編碼方法。 及 後, R. R. Korfhage [5] 對圖的帶寬問題作了一系列的研究。 1967 年, F. Haray 在 Prague 的圖論會議上發表了圖的帶寬問題的理論及其研究方向。 Papadimitriou [6] 在 1976 年證明 了圖及方陣的帶寬問題是 NP-Complete。 現今很多圖論專家對圖的帶寬的上界和下界作出了 不少的研究, 並且精確地計算出一些特殊圖的帶寬。
現在從基本定義及記號開始。 給定一個無向圖 G = (V, E), 其中 V 為點集, E 為邊集, 且假設點的數目是 n, 即 |V | = n。 對任意一個對射 f : V → {1, 2, . . . , n} 都稱為在 V 上的 一個標號。 對某標號 f , 所有邊的兩端的最大標號差定義為
B(G, f ) = max
xy∈E|f (x) − f (y)|,
xy 表示以 x 及 y 為端點的邊。 B(G, f ) 稱為圖 G 在標號 f 下的帶寬, 而 B(G) = min
f B(G, f )
則稱為圖 G 的帶寬。 (註: 若考慮圖 G 的鄰接矩陣 (adjacent matrix) M, 則圖的帶寬問題 就等價於方陣 M 的帶寬問題。)
定理二: 設 Tl 是一三角形棋盤的圖 (見第四節), 其帶寬 B(Tl) = l + 1。
要證明上述定理, 我們必須利用以下的定理:
定理A: 考慮在三角形棋盤中所組成的圖, 若在其頂點上分別記上兩種不同的顏色。 那麼 必存在一種且僅有一種顏色之頂點的集合為連通集。
註: 此定理的證明須用到 Sperner 引理。 事實上在第四節中已給出了證明!
定理二的證明: 設 Tl的頂點集合為 V 及其標號為 f 。 根據標號 f 的記號次序 (以標號的 大小作為先後, 小者為先) , 當某頂點已被標號時, 我們記該頂點為黃色, 所有和這些記為黃色的 頂點相鄰的頂點記為紅色, 其餘的頂點記為藍色。 所以若我們已把 i 個頂點標號為 1, 2, . . . , i, i≤ |V | 時, 以 Yi, Ri 及 Bi 分別代表黃色, 紅色及藍色的頂點的集合。
對任意一 i, 1 ≤ i ≤ |V |, 所有在 Yi 中的頂點其標號必少於或等於 i。 所以必存在一頂點 v′ ∈ Ri 使得其標號至少等於 i + |Ri|。 (即 f (v′) ≥ i + |Ri| ), 而在 Yi 中必存在一頂點 v′′
和 v′ 相鄰。 那麼
|f (v′) − f (v′′)| ≥ |Ri| 所以 B(Tl) ≥ |Ri|, 1 ≤ i ≤ |V |。
現在設 i 是首個指標使 Yi+1 為一連通集 (見第四節), 即 Yi 不是一連通集。 設 v ∈ Yi+1, f(v) = i + 1, Yi+1= Yi∪ {v}.
明顯地, v ∈ Ri, 所以 Bi ∩ Yi+1 = ∅。 根據定理 A, Bi 不是連通集, 所以我們得出 Bi
及 Yi 均不是連通集。 由於沒有任何在 Bi 的頂點與 Yi 相鄰, 所以 Bi∪ Yi 是不連通。 根據定 理 A, Ri 是一連通集。 所以我們有 B(Tl) ≥ |Ri| ≥ 最小連通集的基數。
現在我們證明 Tl 中的最小連通集基數為 l + 1。 當 l = 1 時, 設 H 為該最小連通集的衍 生子圖, 則 H 為一樹, 且其頂點的基數為 2 = l + 1。 所以當 l = 1 時, 命題成立。
假設當 l = k 時命題成立。 現設 l = k + 1, 設 H′ 為 Tk+1 的最小連通集的衍生子 圖, 則 H′ 為一樹且 Pj ∩ H′ 只得 1 個頂點 (j = 1, 2, 3), 這裡的 Pj 的定義見第四節。 設 x ∈ P1∩ H′, 則 x 的度數為 1。 把 x 及它相連的邊從 H 中拿掉得出的圖記成 H′ − x, 則 H′− x 是在 Tl 的最小連通集衍生子圖, 根據歸納法假設 |H′− x| = k + 1 所以 |H′| = k + 2。
根據數學歸納法, 在 Tl 中的最小連通集的基數為 l + 1。 所以 B(Tl) ≥ l + 1。
接下來, 我們實際給出一個標號, 標記的方法如下: 最頂一層的一點標記為 1; 第二層的兩 點由左至右分別標記為 2 及 3; 第三層的三點由左至右標記為 4, 5 及 6; 按這規律如此下去標 記, 直至第 l+1 層為止。 我們不難看出 Tl 在這標號下的帶寬為 l+1。 這證明了 B(Tl) ≤ l+1。
綜合以上的結果我們得知 B(Tl) = l + 1, 定理證畢。
註: 上述證明乃參照 R. Hochberg, C. McDiarmid 和 M. Saks [4] 的文章某定理的證 明改寫過來。
參考文獻
1. M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs From The Book, Springer, 1999.
2. J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, New York: Macmil- lan, 1976.
3. L. Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen, 71 (1911), 97- 115.
4. R. Hochberg, C. McDiarmid and M. Saks, On the bandwidth of triangulated triangles, Discrete Math., 138 (1995), 261-265.
5. R. R. Korfhage, Numberings of the vertices of graphs, Computer Science Department Technical Report, 5, Purdue University, Lafayette, IN, 1966.
6. C. H. Papadimitriou, The NP-completeness of the bandwidth minimization problem, Computing, 16 (1976), 263-270.
7. E. Sperner, Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes, Abh.
Math. Sem. Hamburg, 6 (1928), 265-272.
—本文第一作者潘建強 (K. K. Poon) 任教於香港教育學院數學系, 研究興趣包括 複分析、 複動力系統及圖論等。 第二作者邵慰慈 (W. C. Shiu) 為香港浸會大學數學系副教授, 研究興趣包括圖論、 組合學、 數論及代數學等。—
