商高定理

(1)

商高定理

陳國裕

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A

B

D C E

△ABC ∼ = △ECD

則

AC ² + BC ² = AB ²

商高定理:

一個無言的證明

1. 引言

商高定理在東方較早被發現, 後來西方人才發現了這個定理。以當時的交通狀況推想應該不是由東方傳到西方, 而是各自獨立發展出來的。或許在其他的地區曾發現過, 只是後人未加以注意。就好像十進位, 由於生活上的需求, 很多原始部落都是自行發展而不是由外面傳入, 以此推之, 商高定理應該也是

如此, 不過, 歷史上即使沒有商高與畢達哥拉斯, 這定理還是會被發現, 只不過是他們比其他人更早發現罷了。從古到今有很多人對這定理有興趣, 到目前累積有數百種的證明方法, 在這些方法之中, 大多是利用拼圖或是一般平面幾何的方法, 簡捷易懂。

2. 思考過程與證明

對於一個正方形 ABCD, 如果AB = 1, 則此正方形的周長為4單位, 面積為1平方單位, 這是大家都很容易看到的, 如果再多注意看一下並且多想一想, 有的人會把對角線連起來, 因而聯想到這條對角線到底有多長?

對一個長方形而言, 也是會有相同的問題。既然想到問題, 下一個步驟很自然是要解決問題。因為每個人想到的東西不見得一樣, 所以才會有各式各樣的證明方法。在數學問題中, 一題多解是大家常常思考的方向, 由於這個想法, 才使我想證明商高定理。

正方形面積的兩種計算 : (1) 邊長平方 (2) 兩對角線乘積除以 2。

符號使用說明 : 以 ABCD 表示四邊形 ABCD 的面積, △ABC 表示三角形 ABC 的面積等。

73

(2)

在 △ABC 中, ^∠ C = 90度, 短股 BC = a, 長股 AC = b, 斜邊 AB = c。

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A B

D C

圖一

正方形 ABCD 中, (圖一) AC, BD 兩對角線互相垂直且 AC = BD, 如果 AB = 1, 則 1 = ABCD = AC × BD/2 = AC ² /2, ^∴ AC ² = 2, 又 AC > 0, ^∴ AC =

√ 2。用這個方法, 可以解決等腰直角三角形斜邊長的問題。

性質甲 : 任意凸四邊形中, 如果兩對角線互相垂直, 則此四邊形面積等於兩對角線乘積除以 2。

以下證明的方法要利用這個性質, 因為它很淺顯, 所以不再對它作太多的說明。

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A B

D C

C ^′ D ^′

圖二

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A C

F D

B E

G

1 2 3

圖三

如果不是等腰直角三角形時, 把 D 往右移至 D ^′ , (圖二) C 往下移至 C ^′ 且 DD ^′ = CC ^′ 。 △ABC ^′ 全等於 △BCD ^′ (SAS), 正方形的兩條對角線經過這樣的移動之後, 發現這兩條線的垂直特性並沒有改變, 也就是說 AC ^′ ⊥BD ^′ , 再利用性質甲而得到證法一。

證法一 (圖三): 正方形 ACDF 中,

△ACB 全等於 △CDE。 ^∵ ^∠ 1 = ^∠ 2,

∠ 1 + ^∠ 3 = ^∠ 2 + ^∠ 3 = 90 ^◦ , ^{∴ ∠} AGC = 90 ^◦ , AB⊥CE。

ACDF = △AEF + ACBE +△BDE AF ² = AF ×EF /2+AB×CE/2

+BD×DE/2,

b ² = b×(b−a)/2+c×c/2+(b−a)×a/2, 2b ² = b ² − ab + c ² + ab − a ² ,

b ² = c ² − a ² , a ² + b ² = c ² 。

將證法一加以簡化 (圖三), 我們發現

△AEF 跟 △ABC 與 △CDE 並沒有重

疊, 因此把它去掉就得到證法二。

(3)

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A C

D

B E

G

圖四

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A C

D

B E

G

H 圖五

證法二 (圖四): 梯形 ACDE =

ACBE + △BDE

(DE + AC) × DC/2 = AB × CE/2 +BD × DE/2

(a + b) × b/2=c × c/2 + (b − a) × a/2 ab + b ² = c ² + ab − a ²

b ² = c ² − a ² a ² + b ² = c ²

在證法二中 (圖四), 因為 ACBE = c ² /2 而我們想證 c ² = a ² + b ² , 即 c ² /2 = a ² /2 + b ² /2, 因此如果能把 ACBE 分成 a ² /2, b ² /2 的和, 則定理證出, 再看一

下圖四, 可能會先看到 △ACE = b ² /2, 剩下就是要看 △BCE 是否等於 a ² /2, 結果 △BCE = BC × DE/2 = a × a/2 = a ² /2, 再看一下圖四, 發現 △BDE 可能也是多餘的, 先把它去掉試試看, 如果把

△BDE去掉, 那就不容易做, 因為 △ACE 中, 以 AC 為底, 不容易看出它的高是 b, 所以把 △BDE 去掉不是一個很好的方法, 但是又希望它消失, 圖形看起來才會更簡潔。

在前面提到 △ACE 中, 以 AC 為底, 不容易看出它的高是 b, 那就不妨把 AC 的高 EH(圖五) 畫出, 到這裡可以看出 △CDE 全等於 △EHC, 有了 △EHC 就不必依賴 BD 與 DE, 因此可以把這兩條線段擦掉, 使得圖形看起來更簡潔而得到下面的證法三。

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A C

B E

H 圖六證法三 (圖六):

△ABC 全等於 △ECH

ACBE = △ACE + △BCE

AB ×CE/2=AC ×EH/2+BC ×CH/2 c ² /2 = b ² /2 + a ² /2

c ² = b ² + a ²

因為在定理中要有斜邊的平方, 而平方

的產生是要互相垂直才能用到面積, 聯想到

(4)

如果把三角形旋轉 90 度也一樣會有斜邊互相垂直的情形出現, 而旋轉中心要定在那裡, 考慮這個問題之後, 又有好幾種的證明方法。旋轉中心可能在直角三角形的頂點或是斜邊的中點, 計算面積時, 用到全部圖形的面積或是只利用部分面積, 都是可以思考的方向。

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Q R

P S

C E

D F

B

A

O

圖七以斜邊中點為旋轉中心。

證法四 (圖七):

△ABC 中, ^∠ C = 90 ^◦ , 以斜邊 AB 中點 O 為中心, 把 △ABC 按逆時針旋轉 90 ^◦ 至 △DEF , 則 AEBD 為正方形。作正方形 PQRS, 我們看出 △AEP , △EBS,

△BDR, △DAQ 均全等 (AAS)

P E = BS = DR = AQ, 又 DR = F S,

∴ P E = F S。

EF = BC = a, P S = AC = DF = b,

∴ P E = F S = (b − a)/2 = BS。

ES = a + (b − a)/2 = (b + a)/2,

△EBS = ES × BS/2 = ((b + a)/2)

((b − a)/2)/2 = (b ² − a ² )/8,

△AEP +△EBS + △BDR + △DAQ + ADBE = P QRS,

4△EBS + ADBE = P QRS, AB = DE = c,

4(b ² − a ² )/8 + AB × DE/2 = P S ² , (b ² − a ² )/2 + c ² /2 = b ² ,

b ² − a ² + c ² = 2b ² , c ² = a ² + b ² 。

證法五 (圖七): ADCBF E 的面積=

ADBE +△BCD+△EF B =△AEF +

ADCF +△BCF , ^∵ △BCD = △BCF (同底等高) ^∴ ADBE + △EF B =

△AEF + ADCF 。

AB × DE/2 + EF × BS/2

= EF × AP /2 + AC × DF /2,

c ² /2+EF ×BS/2=EF ×CS/2+b ² /2, c ² = b ² + EF × (CS − BS),

c ² = b ² + EF × BC, c ² = b ² + a ² 。

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A

B

C

D F

E 1

2 圖八

以直角點為旋轉中心。

(5)

證法六 (圖八): 以C為頂點, 把△ABC 旋轉90 ^◦ 至△DEC。 ^∠ 2 + ^∠ ABC = ^∠ 1 +

∠ ABC = 90 ^◦ 。 ∴ ∠ BF E = 90 ^◦ 。

△ABD =△ABE+△BCE+△ACD, AB ×DF /2=AB×EF /2+BC×CE/2

+AC × CD/2,

AB ×(DF −EF )=BC ×CE +AC ×CD, AB × DE = BC × CE + AC × CD, c × c = a × a + b × b,

c ² = a ² + b ² 。證法七 (圖八):

△BCE + △ACD =△ADE + △BDE BC × CE/2 + AC × CD/2 =

DE × AF /2 + DE × BF /2 BC × CE + AC × CD

= DE × (AF + BF ) = DE × AB a × a + b × b = c × c

a ² + b ² = c ²

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A H C

D E

B

圖九

以直角三角形中, 較大銳角頂點為旋轉中心。

證法八 (圖九): 以 B 為頂點, 把

△ABC 按順時針旋轉 90 ^◦ 至 △EBD

△ABE + △ABC = ACBE

= △AEH + BCHE

AB × BE/2 + AC × BC/2 =

AH × EH/2 + (BC + EH) × CH/2 c × c + b × a = (b − a) × (b + a) +(a + b + a) × a

c ² + ab = b ² − a ² + 2a ² + ab c ² = b ² + a ²

證法九 (圖九):

△ABE =△ABD+△BDE+△ADE, AB × BE/2 = BD × BC/2

+DE × BD/2 + DE × AH/2, AB × BE = BD × BC

+DE × CH + DE × AH, AB × BE = BD × BC + DE

×(CH + AH),

AB × BE = BD × BC + DE × AC, c × c = a × a + b × b

c ² = a ² + b ²

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A

B

C E D

F G

圖十

(6)

以直角三角形中, 較小銳角頂點為旋轉中心。

證法十 (圖十): 以 A 為頂點, 把

△ABC 按逆時針旋轉 90 ^◦ 至 △AF E。

ACDF = △F BD+△ABF +△ABC, (AC + DF ) × AE/2 = BD × DF /2 +AB × AF /2 + AC × BC/2。

(b + b + a) × b/2 = (b − a) × (b + a)/2 +c × c/2 + b × a/2,

2b ² + ab = b ² − a ² + c ² + ab, b ² + a ² = c ² 。

證法十一 (圖十):

△F EG ∼ △F DB, F E : F D = EG : BD, a : (a + b) = EG : (b − a), EG = a(b − a)/(a + b)。

AG = AE −EG =b − (ab − a ² )/(a + b)

= (ab + b ² − ab + a ² )/(a + b)

= (a ² + b ² )/(a + b),

△ABF = △AF G + △ABG,

AB × AF /2=AG×EF /2+AG×DE/2

= AG × (EF + DE)/2=AG × DF /2, c × c = (a ² + b ² )/(a + b) × (a + b), c ² = a ² + b ² 。

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A

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B

C

D E

F 圖十一

在圖八中, 把 △CDE 向左平移, 使 E 與 A 點重合。

證法十二 (圖十一):

△ABD + △BDF = ADF B

= ACF D + △ABC, AB × AD/2 + DF × BF /2

= (DF + AC) × DE/2+AC × BC/2, c × c + (b − a) × (b + a)

= (b − a + b) × b + b × a, c ² + b ² − a ² = 2b ² − ab + ab, c ² = a ² + b ² 。

3. 結語

在數學上的證明題大概沒有任何一個定

理的證明方法比商高定理來得多。能採用不

同的方法去思考證明或解決問題, 是學習數

學的一種樂趣, 也是促使我們進一步學習的

動機。在數學的學習過程中, 如果只是一昧地

記定義、定理及解題的方法, 而不肯用自己的

(7)

商高定理

商高定理

陳國裕

A

B

D C E

△ABC ∼ = △ECD

AC 2 + BC 2 = AB 2

商高定理:

一個無言的證明

1. 引言

2. 思考過程與證明

對於一個正方形 ABCD, 如果AB = 1, 則此正方形的周長為4單位, 面積為1平方 單位, 這是大家都很容易看到的, 如果再多注 意看一下並且多想一想, 有的人會把對角線 連起來, 因而聯想到這條對角線到底有多長?

正方形面積的兩種計算 : (1) 邊長平方 (2) 兩對角線乘積除以 2。

符號使用說明 : 以 ABCD 表示四 邊形 ABCD 的面積, △ABC 表示三角形 ABC 的面積等。

73

在 △ABC 中, ∠ C = 90度, 短股 BC = a, 長股 AC = b, 斜邊 AB = c。

A B

D C

圖一

正方形 ABCD 中, (圖一) AC, BD 兩 對角線互相垂直且 AC = BD, 如果 AB = 1, 則 1 = ABCD = AC × BD/2 = AC 2 /2, ∴ AC 2 = 2, 又 AC > 0, ∴ AC =

√ 2。 用這個方法, 可以解決等腰直角三角形 斜邊長的問題。

性質甲 : 任意凸四邊形中, 如果兩對角線 互 相垂直, 則此四邊形面積等於兩對角線乘 積除以 2。

以下證明的方法要利用這個性質, 因為 它 很淺顯, 所以不再對它作太多的說明。

A B

D C

C ′ D ′

圖二

A C

F D

B E

G

1

2 3

圖三

證法一 (圖三): 正方形 ACDF 中,

△ACB 全等於 △CDE。 ∵ ∠ 1 = ∠ 2,

∠ 1 + ∠ 3 = ∠ 2 + ∠ 3 = 90 ◦ , ∴ ∠ AGC = 90 ◦ , AB⊥CE。

ACDF = △AEF + ACBE +△BDE AF 2 = AF ×EF /2+AB×CE/2

+BD×DE/2,

b 2 = b×(b−a)/2+c×c/2+(b−a)×a/2, 2b 2 = b 2 − ab + c 2 + ab − a 2 ,

b 2 = c 2 − a 2 , a 2 + b 2 = c 2 。

將證法一加以簡化 (圖三), 我們發現

△AEF 跟 △ABC 與 △CDE 並沒有重

疊, 因此把它去掉就得到證法二。

A C

D

B E

G

圖四

A C

D

B E

G

H 圖五

證法二 (圖四): 梯 形 ACDE =

ACBE + △BDE

(DE + AC) × DC/2 = AB × CE/2 +BD × DE/2

(a + b) × b/2=c × c/2 + (b − a) × a/2 ab + b 2 = c 2 + ab − a 2

b 2 = c 2 − a 2 a 2 + b 2 = c 2

在證法二中 (圖四), 因為 ACBE = c 2 /2 而我們想證 c 2 = a 2 + b 2 , 即 c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2, 因此如果能把 ACBE 分 成 a 2 /2, b 2 /2 的和, 則定理證出, 再看一

下圖四, 可能會先看到 △ACE = b 2 /2, 剩 下就是要看 △BCE 是否等於 a 2 /2, 結 果 △BCE = BC × DE/2 = a × a/2 = a 2 /2, 再看一下圖四, 發現 △BDE 可能也是多餘的, 先把它去掉試試看, 如果把

△BDE去掉, 那就不容易做, 因為 △ACE 中, 以 AC 為底, 不容易看出它的高是 b, 所以把 △BDE 去掉不是一個很好的方法, 但是又希望它消失, 圖形看起來才會更簡潔。

A C

B E

H 圖六 證法三 (圖六):

△ABC 全等於 △ECH

ACBE = △ACE + △BCE

AB ×CE/2=AC ×EH/2+BC ×CH/2 c 2 /2 = b 2 /2 + a 2 /2

c 2 = b 2 + a 2

因為在定理中要有斜邊的平方, 而平方

的產生是要互相垂直才能用到面積, 聯想到

Q R

P S

C E

D F

B

A

O

圖七 以斜邊中點為旋轉中心。

AC ² + BC ² = AB ²

對於一個正方形 ABCD, 如果AB = 1, 則此正方形的周長為4單位, 面積為1平方單位, 這是大家都很容易看到的, 如果再多注意看一下並且多想一想, 有的人會把對角線連起來, 因而聯想到這條對角線到底有多長?

符號使用說明 : 以 ABCD 表示四邊形 ABCD 的面積, △ABC 表示三角形 ABC 的面積等。

在 △ABC 中, ^∠ C = 90度, 短股 BC = a, 長股 AC = b, 斜邊 AB = c。

正方形 ABCD 中, (圖一) AC, BD 兩對角線互相垂直且 AC = BD, 如果 AB = 1, 則 1 = ABCD = AC × BD/2 = AC ² /2, ^∴ AC ² = 2, 又 AC > 0, ^∴ AC =

√ 2。用這個方法, 可以解決等腰直角三角形斜邊長的問題。

性質甲 : 任意凸四邊形中, 如果兩對角線互相垂直, 則此四邊形面積等於兩對角線乘積除以 2。

以下證明的方法要利用這個性質, 因為它很淺顯, 所以不再對它作太多的說明。

C ^′ D ^′

△ACB 全等於 △CDE。 ^∵ ^∠ 1 = ^∠ 2,

∠ 1 + ^∠ 3 = ^∠ 2 + ^∠ 3 = 90 ^◦ , ^{∴ ∠} AGC = 90 ^◦ , AB⊥CE。

ACDF = △AEF + ACBE +△BDE AF ² = AF ×EF /2+AB×CE/2

b ² = b×(b−a)/2+c×c/2+(b−a)×a/2, 2b ² = b ² − ab + c ² + ab − a ² ,

b ² = c ² − a ² , a ² + b ² = c ² 。

證法二 (圖四): 梯形 ACDE =

(a + b) × b/2=c × c/2 + (b − a) × a/2 ab + b ² = c ² + ab − a ²

b ² = c ² − a ² a ² + b ² = c ²

在證法二中 (圖四), 因為 ACBE = c ² /2 而我們想證 c ² = a ² + b ² , 即 c ² /2 = a ² /2 + b ² /2, 因此如果能把 ACBE 分成 a ² /2, b ² /2 的和, 則定理證出, 再看一

下圖四, 可能會先看到 △ACE = b ² /2, 剩下就是要看 △BCE 是否等於 a ² /2, 結果 △BCE = BC × DE/2 = a × a/2 = a ² /2, 再看一下圖四, 發現 △BDE 可能也是多餘的, 先把它去掉試試看, 如果把

H 圖六證法三 (圖六):

AB ×CE/2=AC ×EH/2+BC ×CH/2 c ² /2 = b ² /2 + a ² /2

c ² = b ² + a ²

圖七以斜邊中點為旋轉中心。

△ABC 中, ^∠ C = 90 ^◦ , 以斜邊 AB 中點 O 為中心, 把 △ABC 按逆時針旋轉 90 ^◦ 至 △DEF , 則 AEBD 為正方形。作正方形 PQRS, 我們看出 △AEP , △EBS,

((b − a)/2)/2 = (b ² − a ² )/8,

4(b ² − a ² )/8 + AB × DE/2 = P S ² , (b ² − a ² )/2 + c ² /2 = b ² ,

b ² − a ² + c ² = 2b ² , c ² = a ² + b ² 。

ADCF +△BCF , ^∵ △BCD = △BCF (同底等高) ^∴ ADBE + △EF B =

c ² /2+EF ×BS/2=EF ×CS/2+b ² /2, c ² = b ² + EF × (CS − BS),

c ² = b ² + EF × BC, c ² = b ² + a ² 。

證法六 (圖八): 以C為頂點, 把△ABC 旋轉90 ^◦ 至△DEC。 ^∠ 2 + ^∠ ABC = ^∠ 1 +

∠ ABC = 90 ^◦ 。 ∴ ∠ BF E = 90 ^◦ 。

c ² = a ² + b ² 。證法七 (圖八):

a ² + b ² = c ²

以直角三角形中, 較大銳角頂點為旋轉中心。

△ABC 按順時針旋轉 90 ^◦ 至 △EBD

c ² + ab = b ² − a ² + 2a ² + ab c ² = b ² + a ²

c ² = a ² + b ²