4 微分的應用
4.2 均值定理
均值定理
均值定理 (或者稱平均值定理, Mean Value Theorem) 是在微 積分中重要性僅次於微積分基本定理的重要定理,它可以推 導出許多重要的成果。在這之前我們需要先了解另外一個定 理:
其實我們可以先從圖形來觀察為何這個定理會成立。
[定理] (羅爾定理, Rolle’s theorem) f 滿足下列三個條件 (1) f 在 [a,b] 閉區間上連續
(2) f 在 (a,b) 開區間上可微 (3) f(a) = f(b)
則存在 (a,b) 中一點 c, 滿足 f’(c) = 0.
均值定理
下列幾種不同函數的圖形滿足前述的三個條件。
(c)
(b)
(d) (a)
均值定理
我們可以從上圖看到,不論是哪一種函數的圖形,一定會有 至少一點,其切線剛好是水平線,也就是切線斜率 f‘(c) = 0 。 至少從這些圖形來看,羅爾定理的結果是合理的。
範例二
證明 x3 + x – 1 = 0 只有恰好一個實根 解:
首先我們可以利用連續函數的中間值定理,證明至少有一根 存在。
考慮 f(x) = x3 + x – 1 ,則有 f(0) = –1 < 0 以及 f(1) = 1 > 0 。 由於 f 為多項式,因此是連續函數,利用中間值定理可知道 在 0,1 之間存在點 c 使 f(c) = 0 。
範例二 / 解
接著為了證明沒有其他實根,我們將利用反證法。
假設存在兩個根 p, q ,不失一般性下可假設 p < q,則此時 有 f(p) = 0 = f(q) 。
由於 f 為多項式,可知 f 在 [p, q] 上連續,在 (p, q) 上可微。
根據羅爾定理,存在 (p,q) 上一點 r 滿足 f’(r) = 0 。
但一方面, f’(x) = 3x2 + 1 > 0 為恆正。因此我們得到矛盾。
是故 f(x) 最多只有一個根。
cont’d
均值定理
現在我們利用羅爾定理來證明這個重要的定理。這個均值定 理一開始是由法國數學家 約瑟夫‧拉格朗日 (Joseph
Lagrange) 所提出:
均值定理
我們可以先從幾何的觀點來看:在 (a,f(a)) 與 (b,f(b)) 我們可 以連上連接兩點圖形的割線。於是均值定理的意思便是:存 在點 c 其切線斜率恰好等於 a, b 間的割線斜率。
範例三
接著我們舉一個例子來體會一下均值定理,假設
f(x) = x
3 – x, a = 0, b = 2.同樣,因為 f 為多項式因此我們可知 f 在 [0,2] 上連續,在 (0,2) 上可微分。
根據均值定理的敘述,我們希望可以找到 (0, 2) 上一點 c , 滿足
f(2) – f(0) = f (c)(2 – 0)
範例三
計算 f(2) = 6,
f(0) = 0,
f (x) = 3x
2 – 1 因此我們希望有6 – 0 = (3c2 – 1)(2 – 0 )
= 6c2 – 2
因此可算出 開方得 c = 但由於在 (0,2) 上,
cont’d
範例三
下圖可以描繪這個取 c 的過程
在 c 點的切線恰好平行 OB 割線。
圖六
cont’d
均值定理
範例五
接著我們看這個定理的一些應用。假設 f(0) = –3 ,對任意 x 有 f
(x)
5 。則 f(2) 可能的最大值為?解:
假設 f 可微分,也因此處處為連續。
特別的我們考慮在閉區間 [0, 2] 上的均值定理,因此存在 c 滿足
f(2) – f(0) = f (c)(2 – 0)
範例五 / 解
故
f(2) = f(0) + 2f (c) = –3 + 2f
(c) 由於 f(x)
5 ,所以 f(c)
5 。因此有
f(2) = –3 + 2f (c)
–3 + 10 = 7 可知 f(2) 可能的最大值便是 7 。在這一題裡面我們藉由均值定理,從已知函數導數的範圍,
可以對這個函數的變化作一個估計。
cont’d
均值定理
另外從均值定理我們可以推導出一些基本常用的性質:
[定理]
(1) 若 f’(x) 在 (a,b) 上處處為 0 ,則 f 在 (a,b) 上為常數。
(2) 若在 (a,b) 上有 f’(x) = g’(x) ,則 f(x) 和 g(x) 只相差一個常數。
均值定理
注意到在這個性質中,函數在整條區間上的可微跟連續性都 是必要條件,我們假設現在有這樣的函數
f 之定義域為 D = {x | x ≠ 0} ,且在 D 上恆有 f(x) = 0 。但 顯然 f 並非常數函數。