110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽)

1

110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽)

筆試（一）試題卷

編號： （學生自填）

注意事項：

(1) 時間：2 小時（13:30～15:30）

(2) 配分：每題皆為 7 分 (3) 不可使用計算器

(4) 請將答案依序寫在答案卷內 (5) 學生自評預估得分(每題 0 ~7 分)

一、

試求所有不小於 1 的實數 , ,x y z ，滿足

 

min x+xyz, y+xyz, z+xyz = x− +1 y− +1 z−1

，

其中

min{ , , } p q r

表示 , ,p q r 三數的最小值。

二、

如圖，

ABC

的內心為 I ，其內切圓與BC CA AB 的切點分別是, ,

D E F , ,

。 直線

CI DF ,

交於點 P ，點

Q

在

BI

的延長線上，它與 B 在直線

PC

的相反 兩側，且滿足PQ +BC

s

，其中

s

是

ABC

的半周長。令

AH

垂直 BC 於 點

H

。試證： (1)

A I F P , , ,

四點共圓； (2)

P Q D H , , ,

四點共圓。

三、

設

a

_n 及

b

_n 為公比不相等的兩個等比數列，而c_n =



a_n+



b_n都不等於

0

， 其中

  ,

為非零實數。令 n 次多項式

f x

_n

( ) = c x

_n ⁿ

+ c x

_n−1 ⁿ⁻¹

+ + c x c

₁

+

₀。已 知對於正整數

n  2

，多項式

f x

_n

( ) + x f

² _n−2

( ) x

除以x f_n−1( )x 的餘式皆為次數小 於或等於

1

的多項式，試證：乘積a b 是一與_{n n} n 無關的常數。

2

110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽)

筆試（二）試題卷

編號： （學生自填）

注意事項：

(1) 時間：2 小時（16:00～18:00）

(2) 配分：每題皆為 7 分 (3) 不可使用計算器

(4) 請將答案依序寫在答案卷內 (5) 學生自評預估得分(每題 0 ~7 分)

一、

在平行四邊形

ABCD

中，點 E 在

BC

上，點 F 在

CD

上，且

AE

交

BD

於點 P，

AF

交

BD

於點 Q。設C 是以 P 為圓心、_P

BP

為半徑的圓，而C 是以 Q 為圓心、 QD_Q 為半徑的圓，且兩圓的交點為

R R ,

。試證： BE DF =CE CF 的充要條件為

120

 BRD = 

。

二、

試問有多少組整數數對

( )

^{a b, ，滿足}

^{1    a b 2021}

^，且 ₂²

9 ab a b a b a

+ +

+ +

為整數？

三、

用 0 和 1 排成的

n

項數列中，滿足連續兩項為 0, 0 的組數與連續兩項為 1,1 的組數相等之數列稱為「

n

項的平衡數列」。例如： 8 項數列 0,0,0,1,1,0,1,1 中，連續兩項為 0, 0 的有 2 組，連續兩項為 1,1 的也有 2 組；因此，數列 0,0,0,1,1,0,1,1為「 8 項的平衡數列」。試問對任意的正整數

n

，有多少種

n

項的平衡數列？

3

110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽) 口 試 試 題

注意事項：

(1) 試卷共 2 題，參賽者可先在本試卷上作答，思考時間 20 分鐘；

(2) 攜帶本試卷到口試教室應試，答辯時間 20 分鐘，並繳回本試卷；

(3) 口試完成後由助理引導至 M212 教室，繼續作答獨立研究。

學生 編號：

一、

設有 n 張牌，分別寫上

1, 2, 3, , n

。對任意牌型a a a₁, ₂, ₃, ,a ，進行以下 _n 操作：若a 為奇數，則將_n a 置於最前面，即得新牌型_n a a a_n, ₁, ₂, ,a_n−1； 若a 為偶數，則將_n a 置於_n a 與₁ a 之間，即得新牌型₂ a a a₁, _n, ₂, ,a_n−1。 試證：當a 為奇數時，經過連續操作多次後可回到原牌型，並求此最少的 ₁ 操作次數。

【解答】

二、

如圖，在

 ABC

的邊

AB

與

AC

的外側分別作兩正三角形 ABE 及 ACF 。 已知

AC = 1

且

EF = 2

。試求

 ABC

面積的最大可能值。

【解答】

4

110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽) 獨立研究（一）試題卷

注意事項：

(1) 三題中自選兩題作答，並請註明題號 (2) 時間：1.5 小時（8:30～10:00）

(3) 配分：每題皆為 7 分 (4) 不可使用計算器

(5) 請將答案寫在答案卷內

學生 編號：

一、

設

D E F , ,

分別是

 ABC

三邊BC CA AB 上的點。試證: 在, ,

 AEF ,  BDF ,

CDE中，至少有一個三角形的面積不大於 DEF 的面積。

二、

將

3, 4, 5, 6, ,1155

這

1153

個正整數重新排成一個數列

a

_k ，使得對每一個

k = 1, 2, 3, ,1153

，第

k

項a 都是_k

k

的倍數。試問共有多少種不同的排法？

三、

有一群人，人數至少100 人，其中任意兩人或者彼此認識，或者彼此不認識。

現在想將這群人分組（每一組至少一人，各組人數可以不相等）。如果每一 組中的任意兩人都彼此不認識，稱為「好分組」。已知不管怎麼分，都無法 分成

99

組的「好分組」，但是可以有分成100 組的「好分組」。試證：在分 成100 組的「好分組」中，都可以在第 k 組中選出一個人v ,使得對每一個 _k

1, 2, 3, , 99

k =

，都有v 認識_k v_k+1。

5

110 學年度普通型高級中學數學科能力競賽(決賽) 獨立研究（二）試題卷

注意事項：

(1) 三題中自選兩題作答，並請註明題號 (2) 時間：1.5 小時（10:20～11:50）

(3) 配分：每題皆為 7 分 (4) 不可使用計算器

(5) 請將答案寫在答案卷內

學生 編號：

一、

試求滿足下列條件的最小正整數 n ：當整係數多項式函數 ( )f x 有 n 個相異整數

1, 2, , _n

x x x ，滿足 f x( )₁ = f x( )₂ = = f x( _n) 1= 時，方程式 ( ) 3f x = 就不會有整 數解。

二、

試證：不存在任何的正整數解 ( , , , )x y z w ，滿足下列方程式：

4x⁴+9y⁴ =11(z⁴+w⁴)。

三、

將邊長為 3 的正三角形分成九個全等的單位三角形。一開始每個單位三角

形裡都填 0。每次操作可以選擇兩個相鄰的單位三角形（相鄰意為有共同邊）

而將這兩個三角形內的數字都同時加 1 或同時減 1。已知經由若干次操作後，

九個數恰好形成連續的正整數^{n n,}

(

^{+1 ,}

)

^,

(

ⁿ⁺⁸

)

，試求所有可能的 n 值。

6

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

試求所有不小於1 的實數

x y z , ,

，滿足

 

min x+xyz, y+xyz, z+xyz = x− +1 y− +1 z− ， (1) 1 其中

min{ , , } p q r

表示

p q r , ,

三數的最小值。

解 析

類 型 ■ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 ■中等 □易 編 號 筆試一(1) 解答 ：

先考慮 z=min{ , , }x y z ，並令

x = + 1 a

², y= + , 1 b²

z = + 1 c

²，其中

a   c 0, b   c 0

。 在這些設定條件下，(1)式等價於

2 2 2 2

(1+c )(1 (1+ +a )(1+b ) )=(a b c+ + ) 。 (2) 由柯西不等式

2 2 2

(c +1)(1 (+ a b+ ) )(a b c+ + ) 。 (3) 由(2)式與(3)式可得

2 2 2

(a b+ )  +(1 a )(1+b )。 (4) 另一方面，由柯西不等式(a²+1)(1+b²)(a b+ )²；因此，上面的不等式均為 等號。所以

ab = 1

，且

c a ( + b ) = 1

。

反之，若

ab = 1

且

c a ( + b ) = 1

，則 1 1

c a

a b b

=  =

+ ， 1 1

c b

a b a

=  =

+ 。

故，此情況下問題之解為

1

2

x = + a

, 1₂ 1

y= + a , 1 ( ₂ )² 1 z a

= + a

+ ，其中

a

可以是任意不小於1 的正數。

當然

x y z , ,

重排也是解 (因為也可設

b

或

a

是

a b c , ,

中最小的)。

7

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

如圖，

ABC

^的內心為

I

，其內切圓與BC CA AB 的切 , , 點分別是

D E F , ,

。直線

CI DF ,

交於點

P

，點

Q

在

BI

的延長線上，它與

B

在直線

PC

的相反兩側，且滿足

+

PQ BC

s

，其中

s

是

ABC

的半周長。令

AH

垂直 BC 於點 H 。試證：

(1)

A I F P , , ,

四點共圓；

(2)

P Q D H , , ,

四點共圓。

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) ■ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 筆試一(2) 解答：

1. 設

M N ,

分別為

AB AC ,

的中點，且

BC = a CA , = b AB , = c

。因為

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

90 ,

DPC PDB C FIB C

B C A

即

 FPI =  FAI

, 得

A I F P , , ,

共圓，

所以

API AFI 90

。

令

L

為 AP 與

BC

的交點，因

CI

是分角線，

P

為

AL

的中點，故

P

是在

MN

上。

2. 設過

A

與

BC

平行的直線與

BI CI ,

分別交於

B C ,

。因

 AB B  =   B BC =  ABB 

， AB AB c；同理 AC AC 。所以，得 B Cb b c 。由此可得 / 2 1 1 ( )

= = ,

2 2

C I B C b c CP CC C I CI b c a s

a a a

CI BC CI CI CI 。

設

Q

是 BI 與

MN

的交點，則

P Q  B C

, PQ PI CP CI s a PQ

BC CI CI a BC。所以，

PQ  = PQ

；得

Q

與

Q

重合（因 BFID 是箏形，得

PD BI

，且

Q

與

B

在

CI

的相反兩側）。 3. 因

Q

是在

MN

及分角線上，用與1. 同樣的證明可得

 AQB = 90 

. 所以

P Q ,

是在以 AI

為直徑的圓（記為

K

）上（此圓也通過

E F ,

）。設 DI 與

B C

交於點

D

, 則

D

是在圓

K

上。因

H D ,

分別是

A D ,

對

MN

的對稱點，且

P Q D A , , ,

共圓，所以，

P Q D H , , ,

也共 圓。

8

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

設

a

_n 及

b

_n 為公比不相等的兩個等比數列，而c_n =



a_n+



b_n都不等於 0 ，其中

  ,

為非零實數。令

n

次多項式

f x

_n

( ) = c x

_n ⁿ

+ c x

_n−1 ⁿ⁻¹

+ + c x c

₁

+

₀。已知對於正整數

n  2

， 多項式

f x

_n

( ) + x f

² _n−2

( ) x

除以x f_n−1( )x 的餘式皆為次數小於或等於

1

的多項式，試證：

乘積a b 是一與_{n n}

n

無關的常數。

解 析

類 型 ■ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 ■ 難 □ 中等 □ 易 編 號 筆試一(3) 解答 ：

對於整數

n  2

_,

( )

² 2

( )

0 1

(

2

)

2 n

i

n n i i

i

f x x f ₋ x c c x c c₋ x

=

+ = + +



+ ^，

而 1

( )

^{1 1}

0 n

i

n i

i

x f x c x

− +

− =

=



^。由於

( ) ( )

(

² 2

) (

1

( ) )

deg f_n x +x f_n− x deg xf_n− x ，

因此， fn

( )

x +x f² n₋2

( )

x =



nx fn₋1

( )

x +r xn

( )

，其中r x =n

( )

⁰或degr x_n

( )

deg

(

x f_n−1

( )

x

)

。比較 xⁿ⁻¹項的係數，得c_n−1+c_n−3 =



_{n n}c ₋₂。

同理，由 fn₋1

( )

x +x f² n₋3

( )

x =



n₋1x fn₋2

( )

x +rn₋1

( )

x ，再比較xⁿ⁻¹項的係數，得知

1 3 1 2

n n n n

c ₋ +c₋ =



₋c ₋ 。因此，



_n =



_n−1，故

 

₁= ₂ =



₃ = =



_n = ，其中

 

為常數。

由題目所給的條件^degr x n

( )

¹，可知

r x_n( )= f x_n( )+x f² _n−2( )x −



x f_n−1( )x = +c0

(

c1−



c0

)

x， 且對於所有大於或等於2 的整數 n 皆有c_n+c_n−2 =



c_n−1。

調整條件中的



,



，不失一般性，可假設a_n = , r₁ⁿ b_n =r₂ⁿ，其中r ,₁ r 為非零實₂ 數。注意：

^c

ⁿ

⁼

^

^r

¹ⁿ

⁺

^

^r

²ⁿ

⁼ ( )

^

^r

¹²

^r

¹ⁿ⁻²

⁺ ( )

^

^r

²²

^r

^2n−2，且



c_n−1−c_n−2 =

  (

r1−1

)

r1ⁿ⁻²+

  (

r2−1

)

r2ⁿ⁻²。 由數列c 的遞迴式_n c_n =



c_n−1−c_n−2，得

( ) 

r1² r1ⁿ⁻²+

( ) 

r2² r2ⁿ⁻² =

  ⁽

r1−1

⁾

r1ⁿ⁻²+

  ⁽

r2−1

⁾

r2ⁿ⁻²，  。 (1) n 2

9

以下我們要證明：r_i² =



r_i− ,1

i = 1, 2

。這可以分兩種情況討論如下：

(A) ¹

2

r 1

r  : 若 ¹

2

r 1

r  ，則式(1)等同於

( )

^{12 1 2}

( )

²²

⁽

¹

⁾

^{1 2}

⁽

²

⁾

2 2

1 1

n n

r r

r r r r

r r

     

− −

   

+ = − + −

   

    ，  。 n 2

令

n → 

，得



r2² =

  (

r2− 1

)

r2² =



r2− 代入上式，則有 1

( )

2 2

1 1 1 1 1 1

r r r r



=

 

−  =



− 。 由對稱性，若 ¹

2

r 1

r  亦可得相同結論。

(B) ¹

2

r 1

r = : 則r₂ = 或r₁ − . 我們有r₁

( )

1 n

cn =

 

+ r 或^{cn =}

( ^

^{+ −}

( )

^{1 n}

^ )

^{r1n，  。 n 0}

再由c 的遞迴式_n c_n =



c_n−1−c_n−2，亦可得出r₁² =



r₁− （此時必然是1 r₂ = = ）。 r₁ 1

綜合以上的討論得知：r r 是二次方程₁, ₂

x

²

−  x + = 1 0

的兩個根，再由根與係數的 關係知道：r r = 。所以，_{1 2} 1 a b_{n n} =r r₁ⁿ ₂ⁿ = 為一個與 n 無關的常數。 1

10

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

在平行四邊形

ABCD

中，點 E 在

BC

上，點F 在

CD

上，且

AE

交

BD

於點P，

AF

交

BD

於點Q。設C 是以 P 為圓心、_P

BP

為半徑的圓，而C 是以_Q Q 為圓心、 QD 為半徑 的圓，且兩圓的交點為

R R ,

。試證：

BE  DF = CE CF 

的充要條件為

 BRD = 120 

。

解 析

類 型 □ 代數(A) □數論(N) ■ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 □ 中等 ■ 易 編 號 筆試二(1) 解答：

為了簡潔，令

BP a =

, PQ= ,QD bc = 。

因為

BP = RP

，所以

 PBR =  PRB  

。同理，因為 QR QD= ，所以

QRD QDR 

 =  

。

由

 BDR

內角和為

180

，得知 2



+2



+ PRQ=180 ，故 1

90 2 PRQ

 + =  −  。因此，

90 + 1

BRD

 

PRQ 2 PRQ

 = + +  =   。由此可知：BRD=120  PRQ=  。 60 再由餘弦定理，得知：上式也等價於

2 2 2

= cos 1

2 2

a b c ab PRQ + −

 = ，即

c

²

= a

²

+ b

²

− ab

，亦即

a b 1 b c + a c =

+ +

。

另一方面，利用

 PBE  PDA

，得 a BE BE 1 CE b c = AD = BC = − BC

+ 。同理，由

 QFD  QAB

， 得到 b DF DF

a c = AB = CD

+ 。因此，

a b 1 b c + a c =

+ +

CE DF CE DF BC CD BE CF

 =  =

 BE DF  = CE CF 

。證畢！

11

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

試問有多少組整數數對

( )

^{a b, ，滿足}

^{1    a b 2021}

^，且 ₂²

9 ab a b a b a

+ +

+ +

為整數？

解 析

類 型 □ 代數(A) ■ 數論(N) □ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 □ 自編 ■ 改編於：IMO shortlisted problem 難 易 度 □ 難 ■中等 □易 編 號 筆試二(2) 解答 ：

設

A = a b

²

+ + a 9

，

B = ab

²

+ + a b

。由題意知：

A

能整除

aB − bA = a

²

− 9 b

。

(1) 若

a

²

− 9 b  0

，則因

A  a

²

− 9 b

，可知

a

²

− 9 b = 0

 9 a²。

設

a = 3 k

，

b = k

²分別代入

A

,

B

，可得^{A=3 3}

(

^{k4 + + ，k 3}

)

^B=k

(

^{3k4 + + 。 k 3}

)

又 A B  3 k ，可令k =3m，其中

m

為正整數。因此，a=9 ,m b=9m²。 又

1    a b 2021

，得

m = 1, 2, 3, ,14

。

(2) 若

a

²

− 9 b  0

，則

9b − a

²

 A

，即（9−a b²) a²+ +a 9 

a 

²

9

，故

a = 1

或2。

(i)

a = 1



A b = + 10

, b+10 9b− ， 1

又 ^{9b− =1 9}

(

^b+10

)

^{−  91 b +10 91。}

由

91 1 91 7 13 =  = 

，可得

b = 3

或81。

檢驗

( )

^{1, 3 ,}

(

^1,81

)

均能使 A B 。

(ii)

a = 2



A = 4 b + 11

, 4b+11 9b− ， 4

又 ^{4 9}

(

^b−4

) (

^{=9 4b+11}

)

^{−115  4b +11 115。}

由

115 1 115 =  =  5 23

，可得

b = 3

或26。

檢驗

( )

^{2, 3} ,

(

^{2, 26}

)

均能使 A B 。

因此，可能的數對

( )

^{a b, 為}

(

^{9 ,9m m2}

)

^，其中

^{m = 1, 2, 3, ,14}

^，以及

^{( )}

^{1, 3 ,}

⁽

^1,81

⁾

^,

^{( )}

^{2, 3 ,}

(

^{2, 26}

)

^{，共18 組。}

12

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

用 0 和 1 排成的

n

項數列中，滿足連續兩項為 0, 0 的組數與連續兩項為 1,1 的組數 相等之數列稱為「

n

項的平衡數列」。例如： 8 項數列 0,0,0,1,1,0,1,1中，連續 兩項為 0, 0 的有 2 組，連續兩項為 1,1 的也有 2 組；因此，數列 0,0,0,1,1,0,1,1 為「 8 項的平衡數列」。試問對任意的正整數

n

，有多少種

n

項的平衡數列？

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) □幾何(G) ■ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 ■ 難 □ 中等 □ 易 編 號 筆試二(3) 解答：

設有a 種「_n

n

項的平衡數列」。顯然，a = ；以下考慮₁ 2

n  2

。

對一個「

n

項的平衡數列」，令 p 表示數列中第 k 個 0 區塊數字 0 的個數， _k 而q 表示數列中第 k 個 1 區塊數字 1 的個數；例如：_k 「 8 項的平衡數列」

0,0,0,1,1,0,1,1中， p₁=3,p₂ = ；而1 q₁=q₂ = 。則該數列連續兩項為 0,0 的 2 組數為

1

( 1)

r k k

p

=



− ，而連續兩項為 1,1 的組數為

1

( 1)

s k k

q

=



− ^，其中

s = r

(當首項與末項的數字不同) 或

s − = r 1

(當首項與末項的數字相同)。

因此，數列是「

n

項的平衡數列」的充要條件為

1 1

( 1) ( 1)

r s

k k

k k

p q

= =

− = −

 

^，

即

1 1

r s

k k

k k

p q r s

= =

− = −

 

^。又

1 1

r s

k k

k k

p q n

= =

+ =

 

^，解得：

1 2 2

r k k

n r s p

=

= + −



^，

1 2 2

r k k

n r s q

=

= − −



^。

13

(i) 當

n

為偶數時，

1

2

r k k

r s p n

=

− =



− ^{亦為偶數，故}

^{s = r}

^{；由此可得：每一個}

「

n

項的平衡數列」的首項與末項的數字不同，且數字 0 與數字 1 各出現 2 n 次。其中，首項為

0

與末項為

1

的「

n

項的平衡數列」有 ²₂

2 n

Cn⁻₋ 種，而首項為

1

與末項為

0

的「

n

項的平衡數列」也有 ²₂

2 n

Cn⁻₋ 種；故 ₂²

2

2 ⁿ

n n

a = C ⁻₋ 。

(ii) 當

n

為奇數時，

1

2

r k k

r s p n

=

− =



− ^{亦為奇數，故}

^{s − = r 1}

^{；由此可得：每一} 個「

n

項的平衡數列」的首項與末項的數字相同，且數字 0 與數字 1 出現的 次數相差 1 次。因此， ₁²

2

2 ⁿ

n n

a = C ₋⁻ 。

合併上述的結果，可得對任意正整數

n

， ²

2 1

2

ⁿ

n n

a C

⁻

 − 

 

=

。

14

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

設

D E F , ,

分別是

 ABC

三邊BC CA AB 上的點。試證:, ,

 AEF ,  BDF ,  CDE

中至少 有一個三角形的面積不大於 DEF 的面積。

解 析

類 型 ■ □ 代數(A) □ 數論(N) 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 □ 中等 ■ 易 編 號 獨立研究一(1) 解答：

設 AEF , BDF , CDE , DEF

ABC ABC ABC ABC

       

= = = =

    ，可知

    + + + = 1

。

不失一般性，可設

    

。 (1) 若 1

  ，則有4 1 1

1 1 3

4 4

 = − − −  −  =  ，    

故得到

^

^min

 ^{  }

^{, ,}



^。

(2) 若 1

  ，令4

BD , CE , AF

BC =



CA =



AB =

，所以

0     , ,  1

。 利用

AEF AF AE (1 )

ABC AB AC

 

 =  =  −

 

，可得到

  = (1 −  )

。

同理，

  = (1 −   ) , =  (1 −  )

。 由此可知



= − − − = − 1

  

1



(1 −



) −



(1 −



) −



(1 −



)

= − + 1

      

+ + + + = + − (1



)(1 −



)(1 −



)

。

再利用不等式(k₁+k₂)² 4k k_{1 2}， 1

  ，以及4

    

，可進一步得到



² 4



(1−



)(1−



)(1−



)=4

  

  ²，

亦即

  

，故

^

^min

 ^{  }

^{, ,}



^，證畢！

A

B C

D

E F

15

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

將

3, 4, 5, 6, ,1155

這

1153

個正整數重新排成一數列

a

_k ，使得對每一個

1, 2, 3, ,1153

k =

，第

k

項a 都是_k

k

的倍數。試問共有多少種不同的排法？

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) ▓ 組合(C) 試題出處 □ 自編 ▓ 改編於：大陸競賽試題

難 易 度 □ 難 □ 中等 ▓ 易 編 號 獨立研究一(2) 解答：

因為ak為k 的倍數，故 1154 及 1155 只能排在以自己因數為號碼的位置上。

又 1155 = 3 × 5 × 7 × 11，1154 = 2 × 577，所以，

1155=a_m,1154= ，其中 m 為3 5 7 11a_n    的因數， n 為 2 557 的因數。

注意：1155a₁₁₅₃且1154a₁₁₅₃。又1153 為質數，故1153= 或a₁ 1153=a₁₁₅₃。 當排好1155的位置後，1154 只能排在第 2 號位置，否則會發生小數排在大號碼 的情形，則不符合條件。因此，僅需考慮 1155 的因數排法。

為方便算法，我們以符號

( , , , a b c )

記錄1155 的因數排法。例如：1155=a₃₈₅、

385=a₇₇、77=a₁₁、11= ，記為 3,5,7,11)a₁ （ ；而1155=a₃₈₅、385=a₅₅、55=a₁₁、11= a₁ 時，記為 3,7,5,11)（ ；又如：1155=a₃₈₅、385=a₇₇、77= 時，記為 3,5,7 11)a₁ （  。

(1) 若 1155 排第 1 號位置，即1155= ，則a₁ 1154= ，其他的數只能排在以自己 a₂ 為號碼的位置上，否則會發生小數排在大號碼的情形。

(2) 以 3 為首的排列共有 13 種：即（3,5,7,11)有 3! 6= 種、 3,5,7 11)（  有

C =

₁³

3

種、

3,5 7,11)

（ 有

C =

₁³

3

種、 3,5 7 11)（   有

C =

₃³

1

種。同理，分別以 5, 7, 11 為首的 也各有13 種。因此共有13 4 52 = 種。

(3) 形如3 5 為首有 3 種：即 3 5,7,11), 3 5,11,7), 3 5,7 11)（  （  （   。故此類型共有

4

2

3 18

C  =

種。

(4) 形如 3 5 7  為首有 1 種：即 3 5 7,11)（   ，故此類型共有

C  =

₃⁴

1 4

種。

所以，共有

1 52 18 + + + = 4 75

種。

16

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

有一群人，人數至少100 人，其中任意兩人或者彼此認識，或者彼此不認識。現在想 將這群人分組（每一組至少一人，各組人數可以不相等）。如果每一組中的任意兩人 都彼此不認識，稱為「好分組」。已知不管怎麼分，都無法分成

99

組的「好分組」，

但是可以有分成100 組的「好分組」。試證：在分成100 組的「好分組」中，都可以在 第

k

組中選出一個人v ,使得對每一個_k

k = 1, 2, 3, , 99

，都有v 認識_k v_k+1。

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) ■ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 獨立研究一(3) 解答：

考慮圖

G V E ( , )

，以這群人為頂點(vertex)，當中彼此認識時連一條邊(edge)。

已知著色數(chromatic number)

^ ( )

^{G =100，我們要證明：}

對於著色數

^ ( )

^{G = 的圖形（色彩種類n} c c1, 2, ,c ）_n ，給定任何一種著色方式，

總是可以找到一條路徑(path) v v_{1 2} v ，其中頂點_n v 的著色為_k c 。 _k

以非空集合V 表示著上色彩₁ c 的頂點集合，並以₁ V 表示著上色彩_k c 且至少有一 _k 個鄰點(neighbour)著上色彩c_k−1的頂點所成的集合。我們肯定V   ，對_k

2   k n

皆 如此。事實上，如果首先出現空集合的V 的標號為 m ，從_k

1   − k m 1

，逐一將V 中的 _k 頂點著上色彩c_k+1, 這樣的著色方式將只需要

n − 1

種色彩，與

^ ( )

^{G = 矛盾。 n}

現在，從V 的某個頂點_n v 開始，從_n V_n−1中挑選v_n−1，使得v_n−1v_n相鄰，再從V_n−2中挑選

2

vn₋ ，使得v_n−2v_n−1相鄰，以此類推，即可得到一條路徑v v_{1 2} v 。 _n

17

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

試求滿足下列條件的最小正整數 n ：

當整係數多項式函數 ( )f x 有 n 個相異整數x x₁, ₂, ,x ，滿足 _n f x( )₁ = f x( )₂ = = f x( _n) 1= 時，方程式 ( ) 3f x = 就不會有整數解。

解 析

類 型 ■ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □難 □中等 ■易 編 號 獨立研究二(1) 解答：

n =1, 2時，顯然不合題意。

n = 時，取3

^{f x} ( ) ( ^{= x + 1} )( ^{x − 1} )( ^{x − 2} ) ^{+ 1}

^，.則

^f ( ) ^{− = 1 f} ( ) ^{1 = f} ( ) ^{2 = 1}

^，而

^f ( ) ^{0 = 3}

^。

故n = 也不滿足題意之條件。 3

對n  時，可設4

f x ( ) ( = x − x

1

)( x − x

2

) ( x − x

_n

) ( ) g x + 1

，其中

^{g x} ( )

^{是整係數多項式}

函數。假設存在某個整數 m ，使得

^{f m =} ( ) ³

^，則

( m − x

1

)( m − x

2

) ( m − x

_n

) ( ) g m = 2

。

由

^{g m} ( )  ¹

，可得

( m − x

1

)( m − x

2

) ( m − x

_n

)  2

。 (*)

這些m−x m₁, −x₂, ,m− 均非零且都相異，但 4 個以上非零的相異整數乘積的絕對 x_n 值至少為 4，此與(*)矛盾。因此，最小正整數n =4。

18

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

試證：不存在任何的正整數解 ( , , , )x y z w ，滿足下列方程式：

4x⁴+9y⁴ =11(z⁴+w⁴)。 (1)

解 析

類 型 □ 代數(A) ■ 數論(N) □ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 獨立研究二(2) 解答：

1. 首先證明：下列方程式沒有任何的正整數解 ( , , , )x y z w

𝑥²+ 𝑦² = 11(𝑧²+ 𝑤²) 。 (2) 令

S = { (x, y, z, w) | (x, y, z, w) 為方程式 (2)的正整數解 }。

假設 S 不為空集合，則存在 (x₁, y₁, z₁, w₁) ∈ S 滿足

m = min(x,y,z,w)∈S(x + y + z + w) = x₁+ y₁+ z₁+ w₁> 0 (3) 且 x₁²+ y₁² = 11(z₁²+ w₁²). (4) 由(4)式我們容易得到 11 都必須整除 x₁ 與 y₁。

可設 x₁ = 11x₂, y₁ = 11y₂ 。 (5) 從 (4)與(5)，我們得到

z₁² + w₁² = 11(x₂²+ y₂²)。 (6) 由 (6) 得知

(z₁, w₁, x₂, y₂) ∈ S 且 0 < x₂+ y₂+ z₁+ w₂ < m。 (7) 從(3)與(7)得到矛盾，因此，S 為空集合。

2. 若(1)中有一組解 ( , , , )x y z w ，我們令 a=2x b², =3y c², =z d², =w²，則 ( , , , )a b c d 滿足 (2) 式，此與 S =  矛盾！因此，我們得到此題的證明.

19

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

將邊長為 3 的正三角形分成九個全等的單位三角形。一開始每個單位三角形裡都填 0。每次操作可以選擇兩個相鄰的單位三角形（相鄰意為有共同邊）而將這兩個三角 形內的數字都同時加1 或同時減 1。已知經由若干次操作後，九個數恰好形成連續的 正整數^{n n,}

(

^{+1 ,}

)

^,

(

ⁿ⁺⁸

)

，試求所有可能的 n 值。

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) ■ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 獨立研究二(3) 解答： n = 2

是唯一的可能。

從數字總和的奇偶性，得知不可能

n = 1

。當

n = 2

時，很容易寫出例子，如下：

假設

n  2

辦得到。把各個單位三角形用

1, 2, 3, , 9

加以編號(左下角是 1, 右下角是 5)。將編號 2,4,7 的單位三角形塗色，並以S_2,4,7表示在這 3 個單位三角形內的數字總

和，S1,3,5,6,8,9也是類似的定義。顯然，在操作過程中，總是有S_2,4,7= S1,3,5,6,8,9，因此，當

數字^{n n,}

(

^{+1 ,}

)

^,

(

ⁿ⁺⁸

)

填入各單位三角形時，此式子也成立。但是，

( ) ( ) ( )

2,4,7 8 7 6 3 21

S  n+ + + + +n n = n+ ， 而

( )

1,3,5,6,8,9 ( 1) 5 6 15 3 21 2,4,7

S  + + + + + =n n n n+  n+ S 。

因此，S_2,4,7 S1,3,5,6,8,9，這是錯的。因此，答案僅有

n = 2

。

20

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

設有 n 張牌，分別寫上

1, 2, 3, , n

。對任意牌型a a a₁, ₂, ₃, ,a ，進行以下操作：若_n a 為奇數，則將n a 置於最前面，即得新牌型_n a a a_n, ,_{1 2}, ,a_n−1；若a 為偶數，則將_n a 置於n a 與₁ a 之間，即得新牌型₂ a a a₁, _n, ₂, ,a_n−1。試證：當a 為奇數時，經過連續₁ 操作多次後可回到原牌型，並求此最少的操作次數。

解 析

類 型 □ 代數(A) □ 數論(N) □ 幾何(G) ▓ 組合(C) 試題出處 ▓ 自編 □ 改編於：大陸競賽試題

難 易 度 □ 難 □ 中等 ▓ 易 編 號 口試一 解答：

先將原牌型分組如下：

1

,

2

,

3

, ,

1

,

1 1

,

1 2

, ,

2

, ,

1

,

2

, ,

1

,

j j j

i i i i i i i

a a a a a

₊

a

₊

a a

₊

a

₊

a

₊

A

， 其中 1

,

1

,

2

, ,

1

i i ij

a a a a

₊ 均為奇數，其他都是偶數，而末端 A 中的數均為偶數或無。

設

^{A = r}

，即 A 由 r 個偶數所組成。

(1) 若

r  1

，則經過連續 r 次操作後，牌型變成

1

, ,

2

,

3

, ,

1

,

1 1

,

1 2

, ,

2

, ,

1

,

2

, ,

1

j j j

i i i i i i i

a A a a a a

₊

a

₊

a a

₊

a

₊

a

₊ 。 設此時最後一組 1

,

2

, ,

1

j j j

i i i

a

₊

a

₊

a

₊ 有

k

張牌，即

k i =

_j+1

− i

_j。則再經過

k

次操 作後，牌型變成

1, 1, 2, , 1 1, , ,1 2, 3, , 1, 1 1, 1 2, , 2,

j j j j

i i i i i i i i

a ₊ a ₊ a ₊ a ₊₋ a A a a a a ₊ a ₊ a 。 依此下去，不難發現：原牌型經過n − 次操作後，牌型變成 1

1, 2, 3, , 2, 1 1, 1 2, , 3, , 1, 2, , ,1

j j

i i i i i i i

a a a a a ₊ a ₊ a a ₊ a ₊ a A。 即牌型僅有奇數作一次輪換，而偶數位置不變。由此分析，可知：

當 n 為奇數時，原牌型有

¹ 2

n +

個奇數，故經過

¹ 2

n +

回的n − 次操作後，所有奇數就1

會輪換到原位置。此時，最少的操作次數為

1

2

1

2 1) 2

n n

+  （ n − = −

。當 n 為偶數時，原 牌型有

2

n

個奇數，故經過

2

n

回的n − 次操作後，所有奇數就會輪換到原位置。此1

時，最少的操作次數為

2

2 1) 2

n n n

n −

 （ − =

。

(2) 若

r = 0

，同情況(1)的分析，結果亦同。

21

110 學年度高中數學能力競賽 (決賽)

題目：

如圖，在

 ABC

的邊

AB

與

AC

的外側分別作正三角形 ABE 及 ACF 。已知

AC = 1

且

EF = 2

。

試求

 ABC

面積的最大可能值。

解 析

類 型 □ 代數(A) □數論(N) ■ 幾何(G) □ 組合(C) 試題出處 ■ 自編 □ 改編於：

難 易 度 □ 難 □ 中等 ■ 易 編 號 口試二 解答：

令 BAC = ， AB c



= ，則 。 由餘弦定理：

2 2 2

2 cos(240 ) EF = AE +AF − AE AF  − ，



所以，

令 ，將上式改寫為

配方得 ² 3 ²

( 4

( 1) )

2 2 y

x 。因此，

 ABC

面積

¹ 1 sin ¹ (2 ³ ) 1 ³

2 2 2 2 4

c



y

=    =  − = −

(此為最大值)。

以下說明：任給

0     180 

，都有滿足條件的

 ABC

：

如圖所示，固定平面上邊長為 1 的正三角形 ACF 。考慮以

F

為中心作半徑為2 的圓，

設

E

為圓上的動點，且從射線 AC 逆時針旋轉至射線

AE

的角度是在

60

至

180

的範圍，在

AE

下側作正三角形 ABE ；此時，點

B

與點

F

在

AC

的相反兩側，又這兩個正三角都在

的外部，所以， 可任意在

0

至

180

間變化。

240

EAF



 = −

2 2 2

2 cos(240 )

2 (cos 240 cos sin 240 sin ) cos 3 si

3

n . c

c c

c

c c c

cos , sin x = c



y = c



2 2

3 3.

y x y

x

ABC