實驗四 梅爾得實驗

實驗四 梅爾得實驗

目的

觀察在弦上形成的駐波，並且研究繩子張力與波長、線密度間的關係。

原理

一、駐波：

設有兩列振幅、頻率完全相同的波沿相對方向在介質中行進，在某些特定情 況下，當兩行進波重疊時會產生駐波（standing wave）。描述波動的波函數通 常可用 sin(kx±ωt−φ_±) ^{或 cos(}kx±ωt−φ_±^{) 來表示，其中，}k =2π λ ^稱為波數

（wave number） ；ω =2 vπ ，v 為 波 動 的 頻 率 ，ω 稱 為 角 頻 率 （angular frequency ）。ωt 之前若取負號，表示向正 x 方向傳遞的行進波；取正號時則 表示向負 x 方向傳遞的波。φ_±

R e (e^iθ) sinθ

表示對應的起始相位（initial phase）。由於

， ， 。為了演算方便，我們往

往採用複數 e ⁾ e =cosθ±isinθ c o s

±i kx( ± −t _±

± θi

θ = = Im (e^iθ)

ω φ 來表示波函數。可是虛數是無法在實驗中量得的，因此運 算完成之後取實數部份，即得到所要求的結果。現在，我們以複數的方式來討 論在一條兩端固定且張緊的弦線（或細繩）上，行進波產生駐波的條件。

音叉 固定端

0 l ^x

假設在長度為 l 的弦線上，有一個橫波（可藉音 叉產生之）自 x=0 處 +x_$ 方向傳遞（見圖1）。其 數學形式可寫成：

( )

y₊ = y_m⋅e^{− ⋅i kx− −ωt φ+} 圖1

， (1)

= y_m ⋅e^i⋅(^{ωt kx− +φ+)}

式中 y_m 為振幅，這個波傳遞至

x = l

。 (2)

( )

y₋ = y_m ⋅e^{i⋅ kx+ωt+φ−}

弦線上的波是由前進波與反射波的線性重疊所形成，即 y= y+ +y−

。 (3)

( ) (

=y_m⋅e^{− ⋅ − −i kxωt φ+} + ⋅y_m e^{i⋅ + +kx ωt φ−)} 如果 x =0 處是個固定端，表示 y x( =0)=0

=

，則 y_m⋅e^i(ωt−φ+)+y_m⋅e^{i(ωt−φ−)} 0 ，

e^iφ−+e^iφ+ =0 ，

∴

⇒ φ φ₋− ₊ = π ^。 (4)

因此，我們可以將 (3) 式的波函數化簡為：

。 (5)

y_m = y_me (e^{iωt ikx}−e^−ikx) e^iφ+

假定 x=l 處也是個固定端，即 y x( =l)=0 ，即 e^ikl−e^−ikl = ⋅2i sinkl=0 ，

由此可得 kl 必須滿足的條件：

kl= πn n=1 2 3, , ,L (6)

由 於 波 數 k≡2π /λ ， 所 以 在 定 長 的 弦 上 形 成 的 條 件 是 k⋅ =l nπ ^或 l=nπ/k=nπ⋅λ/ π( )2 = ⋅n (λ/2)，即弦線長為半波長的整數倍。此時合成波之數 學形式為

， y=2 iy_me^{i(φ +ω+ t)} sinkx

+

取其實數部分，可將 (5) 式之波函數改寫為

y=(2y_msin ) sin(kx ⋅ ωt φ₊) ^{， (7)} 式中 2 為合成波的最大振幅。由(7)式可看出合成波在 處 產 生 節 點 （node） ， 即 弦 線 振 動 時 ， 弦 線 上 不 隨 時 間 移 動 位 置 的 點 ； 在 處，弦上各質點隨著時間在 之間做正弦變化的位移運 動，稱為波腹（antinode），如圖2所示，圖中 N 為節點，A 為波腹。

y_m 4 / ,

x = λ 2 λ 3λ 2/ , , / ,L

x= λ 3λ 4/ ,L ^{±2 y}m

T 4

T 2

3 4

T ：入射波與反射波經同一位置

：合成波

：反射波

：入射波

0

A A

A

A

N N N

N N N

(a)

(b)

(c)

(d)

圖2張緊的弦上行進波的合成

二、波傳遞的速率與弦線所受張力的關係：

以一個在弦線上傳送的脈波為例，弦線相 對於靜止的觀測者並沒有移動，但觀測者看到 脈波向右傳遞。現在想像成弦線很長，而且整 個系統以脈波的速率向左平移則觀測者所看到 的現象如同脈波停在空間不動一樣，如圖3所 示。設 µ 為此弦線單位長度的質量，弦線上 張力 使長為 之弦線段的質量做半徑為 R 的圓周運動。圓周運動之向心力為

F ∆l

R

∆l

F F

0

v

θ

圖3 2F⋅sinθ≈2F⋅θ ，

這裡討論的 θ 很小，亦即 ∆l / R 很小。

按 照 牛 頓 第 二 定 律 ， 向 心 力 F =ma ，m 為 長 ∆l 之 弦 線 質 量 ， 即 m= ⋅µ ∆l^，故

向心力= ⋅µ ∆lv²

R ^，

由圖3知 ∆l= ⋅R 2θ^，因此

2F 2R R

2

⋅ ≈ ⋅θ µ θ⋅v

，

化簡後可得圓周運動之速率，即脈波傳遞之速率。

v= F

µ ^。 (8)

三、弦線振動頻率與其張力的關係：

假設線長為 l ，在弦上生成的駐波有 段，（如圖4），則 。由

（波速＝頻率×波長）的關係得：

n _{l= ⋅}n λ/ 2

v= ⋅f λ

f F n

= ⋅1 = ⋅ λ µ 2l µ

F ， (9)

若音叉的頻率是固定的，而且弦線單位長度的質量也固定，由 (9) 式知道

F f

λ² = ⋅µ ^{2 ， (10)}

張力與波長平方的比值恆為一常數，這個關係在本實驗中可以驗證。

儀器

梅耳德（Melde）裝置（包括一個電音叉及直尺，參考圖4a.），電子稱，直 流電源供應器，滑輪，砝碼（共 14 個）與砝碼吊盤，線A，線B。

b.

E

K

P K'

S

P'

W

F C

a.

圖4

方法說明

圖4b. 為儀器裝置示意圖，弦線 S 之一端固定在音叉 F 的一腳 P 上，另一端 跨過滑輪 P' 懸一重物 W。音叉的振動利用電磁鐵來激發，電源 E 的一端通過開 關 K、電磁鐵的線圈 C 和可調螺絲 K'，調節 K' 可使之與音叉接觸，此時電路相 通（音叉本身為導線的一部分），電磁鐵吸引音叉。音叉一被吸動後，螺絲與 音叉即分開，電流中斷，此時電磁鐵失去引力，不吸引音叉，音叉又回到原來 接觸的位置。這樣反復作用的結果，就使音叉開始按其固有頻率振動起來。

步驟

1. 如儀器圖示裝置好，將電源供應器接通（電壓應小於 4 V），調節螺絲 K' 使 音叉振動。

2. 調節托盤上的重量 W（即張力），使駐波產生。

3. 稍微增加或減少弦的張力，使駐波波腹的振幅約有一公分寬（你也可試著調 整 PP' 之距離）。

4. 反覆步驟 2 ∼ 3，使產生駐波波腹數為 2，3，4 及 5 個，並記錄波長 λ ^與張 力 F 之值。

5. 剪下受張力作用的線，量其長度並以電子稱測其質量，計算線密度。

6. 由式 (9) 計算頻率 f 之值。

7. 在全對數紙上畫出 F 與 λ之關係圖，由其斜率及 (10) 式，求頻率 f₁ 並和步 驟 6 ^{之結果比較。}

圖5 8. 將 裝 置 改 成 音 叉 與 線 垂 直 ， 重 複 步 驟

1 ∼ 7。（音叉裝置如圖5）。

9. 以線B替代原來的線A，音叉與線保持垂 直，重覆步驟1~7。

預習問題

1. 如果線上有打上不同間隔的數個結，問是否會產生駐波？為什麼？

2. 兩個波傳遞方向相反，而產生一駐波，其各波函數如下：

) 2 3 sin(

1 4 x t

y = −

y₂=4sin(3x+2t) ， 其中 x 和 y 的單位為 cm ，t 為 sec。

問： (1).這兩個波的方向各為何？傳遞速度多大？

(2).求出位置在 x =2 3. cm 的最大振幅。

(3).求出波節與波腹的位置。

記錄

1. 音叉與線平行─線A

(a)線長： cm；線質量： g。

波腹數 1 2 3 4 5

張力 ^{( )F} 波長 ( )λ 頻率 ( ) f

(b)在全對數紙上畫出 F- λ關係圖，由圖中決定 F=αλ^β中之α及β之值，你所 得之β值和理論值誤差多少？並由α值計算頻率 f₁。

2. 音叉與線垂直─線A

(a)線長： cm；線質量： g。

波腹數 1 2 3 4 5

張力 ^{( )F} 波長 ( )λ 頻率 ( ) f

(b)在全對數紙上畫出 F- λ關係圖，由圖中決定 F=αλ^β中之α及β之值，你所 得之β值和理論值誤差多少？並由α值計算頻率 f₂。

3. ^{音叉與線垂直─線}B

(a)線長： cm；線質量： g。

波腹數 1 2 3 4 5

張力 ^{( )F} 波長 ( )λ

(b)取一張方格紙，以 F 為 y軸，λ²為 x軸，將紀錄2(a)及3(a)的數據繪在同一張 圖表中，比較兩者的斜率。

(c)^利用2(b)^{所得之 及}(10)^{式，計算出線}B之線密度，和你用電子秤測得之結果 比較，相差多少百分比？

f2

思考問題

1. 實驗中，“音叉與線平行”和“音叉與線垂直”有何不同之處，試解釋之。

2. 步驟 6 和 7 所得之 f 是否相同？若不同，請解釋誤差來源？你認為那個較準 確？為什麼？