以光學框幅式影像進行水位面及水下物點定位之定 性分析

DOI：10.6574/JPRS.201812_23(4).0001

1國立臺灣大學土木工程學系 碩士 收到日期：民國 107 年 06 月 13 日

2國立臺灣大學土木工程學系 副教授 修改日期：民國 107 年 08 月 28 日

*通訊作者, 電話：02-23678645, E-mail: [email protected] 接受日期：民國 107 年 12 月 04 日

以光學框幅式影像進行水位面及水下物點定位之定 性分析

李冠臻

¹

趙鍵哲

^2*

摘要

水下空間資訊測量方式多元，搭配不同的載台及相異的感測方式，各有其適用場域及測製標的。本研 究探討利用光學影像成像幾何，以光線追蹤方式進行攝影測量水下物點三維定位分析。為簡化探究主題，

本研究目前基於靜止之水位面以及單一水中介質之假設，採用可掌握的物理及光學現象，在內外方位參 數已知的條件下，依共線特性及折射效應建立自空氣至水中光線路徑，據以進行物像對應，解析影像中可 視水下物點三維坐標；考量實務需求及作業條件，在物像對應模式中，水面位置可為未知參數或觀測量，

在幾何條件俱足下，能與水下物點坐標一同解算；在物像對應模式上，本研究現階段主要探討對象為框幅 式影像，並依前述條件建構帶有約制的廣義最小二乘法平差解算系統。為有效釐清同時解算水位面及水 下物點課題重要幾何特性及定位品質，本工作現階段著重於設計模擬資料並以控制變因方式進行實驗及 定性分析，成果包含幾何條件探討、參數可解性分析、影響因子及定位分量品質評估，並據以作為精進自 空氣往水下進行水下場景三維定位任務之基石研究。

關鍵詞：光學影像、水下物點、水位面、光線追蹤、共線特性、折射、約制

1. 前言與研究目的

水 下 空 間 資 訊 (Underwater Geospatial Information)的測量技術發展多元，例如利用聲納 (Lucido et al., 1996)、測深光達(Wang & Philpot, 2007、Shih et al., 2014)、多光譜影像資訊(Roberts, 1999)及光學影像(Maas, 1995、Murase et al., 2008、

Maas, 2015)等方法。其中，在水下場景可視範圍內，

光學影像攝影測量比起其他測量技術所需耗費之 時間及人力成本相對低廉，且獲取空間資訊快速。

攝影測量之測量場域常位於單介質成像環境 中，物像對應關係遵循光線直線前進的特性。然而，

在實務應用中，測量任務之場景可能會處於非單一 介質的環境，例如圖 1 顯示沒入水中河床及島礁暗 礁等，此類攝影成像特性乃由物體發射至成像感測 器之光線於不同介質表面(Interface)處，因折射效 應(Refraction Effect)而產生偏折，導致物點、相機

透視中心與像點之間的光線不再是直線。根據水相 對空氣的折射率(約為 1.33)粗估：於自空氣往水中 攝影情況下，若將成像路徑的偏折忽略，逕行前方 交會，則高程分量(Vertical components)定位沿介面 法向量方向會產生偏差，影響量約為 1/4 至 1/3 水 深；越遠離基線垂面及基線中垂線垂面方向的點位，

水平分量(Horizontal components)定位偏差越大，只 有在基線垂面及過基線中垂線垂面的點位不須改 正像點而能逕行交會(Murase et al., 2008)。簡單來 說，主要影響水平方向的改正量因子為入射角及偏 角，影響高程方向改正量的主要因子則為水深，如 圖 2 所示。本研究著重於自空氣中往水下攝影測量 數學模式的建構，依據光線成像幾何特性，考量空 氣中以及水下折射光線的向量連結，目前依水位面 為靜止水平面以及水中單一介質的環境幾何假設，

在水下物點可視以及影像內外方位參數已知之條 件下，達成物像對應並據以解算水位面高程以及水

下物點三維坐標。

(a) (b)

圖 1 (a) 沒入水中地形影像 (b) 東沙環礁衛星影 像 ( 出 處 ： 東 沙 環 礁 國 家 公 園 ， http://gis.rchss.sinica.edu.tw/mapdap/wp- content/uploads/2013/02/ 東 沙 環 礁 衛 星 影 像 20041106.jpg)

圖 2 定位偏差與入射角以及水深的幾何關係

2. 相關研究

當攝影測量場域涉及水下物點定位任務時，

除 了 需 要 改 正 相 機 參 數 以 外 (Agrafiotis &

Georgopoulos, 2015)，亦必須對傳統的攝影測量方 式及技術進行調變。而針對數學模式修正所採取 的途徑大致可分為兩種：一種是基於光線在多介 質(Multi-media)中傳播幾何過程，如 Okamoto &

Höhle (1972)解析在已知相機內外方位參數、介面 及介質係數條件下如何進行共軛光線的空間前方 交會(spatial intersection)；Glassner (1989)建立光線 穿過不同介質交界面其入射向量與折射向量之關 係式；Kotowski (1988)以光線追蹤(Ray tracing)的 方式重建成像光線於多介質環境中的路徑，或者

是 Mulsow(2010)整合多介質攝影測量數學模式及 光束平差法，追蹤光線成像幾何以此獲取前交物 點坐標等方式；另一種則基於一般攝影補償對光 折射的影響進行近似修正(Murase et al., 2008、欽桂 勤等，2011)。除此之外，水位面波動(Wave)影響 折射向量，波動的起伏改變水面的法線方向，而 動態的波動讓水面法線隨時間改變，使得影像中 之波動難以精確掌握及量化。Fryer & Kniest (1985) 模擬典型海洋表面波動型態，給予波長為 25 m，

而波動振幅為 0.3 m，在 8 種航高(50 m 至 1500 m) 的配置下，針對水深 5 m 的 100 個水下物點分析 未進行波動影響改正的高程定位誤差，其結果約 為 35 cm，相當於 7%水深之誤差量。

在空氣往水中攝影的物像對應中，相關文獻 針對光線成像幾何處理方式仍有若干不完善處，

例如 Fryer & Kniest (1985)指出若從水下物點射出 至兩個透視中心的入射光線夾角不同且未考量折 射效應，倘逕行依共線特性(Collinearity property) 將像點觀測對應之共軛光線延伸至水下，此時共 軛光線不具共面特性(Coplanar property)，並無交 會點 (如圖 3)；Maas (1992)利用迭代計算水下物 點及未改正水下物點相對於像底點之間的輻射平 移量ΔR，得到改正後之水下物點位置，見圖 4，

然此方法必須給定物點水深初始值方可解算；

Murase et al. (2008) 認為折射效應對於前方交會水 平分量定位偏差影響量很小並逕行將水平定位差 值忽略，其立論著眼點在於修正單介質環境假設 下前方交會的高程誤差量。雖然此修正方式的概 念簡易，但卻無法完善地改正高程及水平誤差，

且須倚賴已知的水面位置方可執行偏差改正；洪 可芹(2014)則是應用經驗法及解析法改正水下地 形模型深度偏差，然亦未考量及修正水平偏差量。

值得一提的是，前方交會是利用共軛光線產 製物點三維坐標的數學工具，並常利用最小二乘 法改正觀測量誤差達至參數最佳解。針對由空氣 往水下拍攝影像，倘未考量折射效應而逕行施作 交會解算，其藉由平差方式修正獲得之交會點位 三維坐標，僅可解讀為補償數學模式錯誤之成果，

而非調整觀測誤差獲致最佳解；而考量折射效應

但僅對高程分量(或深度)進行修正也非全然的顧 及所有三維分量；除此之外，前述處理均假設水 位面為已知。因此，考量折射效應的物像對應(如 圖 5 所示)並建構嚴密的數學演算才是貼合多介質 成像物理意義及獲致最佳解的妥善處理方式。

圖 3 空氣往水中攝影立體像對成像幾何(Fryer &

Kniest, 1985)

圖 4 輻射平移補償多介質效應(Maas, 1992) 黃聖日&趙鍵哲(2014)根據司乃耳定律(Snell’s Law)，見式(1)所示，提出於透視投影中藉由光線 追蹤的方式，重建光線於雙介質環境中行經物空 間及像空間的成像軌跡。圖 6 展示自空氣往水中 攝影之透視成像幾何。光線從物點出發行經水和 空氣的交界面時發生折射，隨後光線入射透鏡於 像平面成像。其中，穿刺點(Piercing Point)，即光 線與介面之交點，與像點及透視中心依舊維持共 線特性。由於折射效應發生於包含介面法向量與 光線入射向量的平面上，將該平面稱為「偏折面」。

將此效應視為入射光線於偏折面上，以不同介質

表面交會處(即穿刺點)為支點旋轉θ角，即為光 線於水體環境中的行經路徑，藉由此特性建立物 像對應關係。

圖 5 考量折射效應之自空氣往水中攝影前方交會 幾何

... (1) 式(1)中，α 為入射角；β 為折射角；n1為入射 向量所處介質之折射係數；n2為折射向量所處介 質之折射係數。

所需注意者：光線追蹤路徑方向乃與成像路徑 相反，在影像內外方位參數已知之條件下，由成 像點與透視中心組成空氣中向量，此向量至水位 面產生折射，偏折後的向量形成在水下行進向量，

共軛水下向量進行交會獲致水下物點三維坐標。

如前已述，大部分空氣往水中攝影前方交會 之相關研究，所提出之數學模式皆基於水位面已 知的前提下進行解算。本研究旨在克服此一假設 之限制，於先期研究假設水位面為一水平面，水 位面高度參數可為未知數或觀測量，改正折射效 應並同時解算該水位面參數與水下物點三維坐標，

研究工作執行程序及具體成果包含數學模式建構，

以及以模擬資料進行幾何條件探討、參數可解性 分析與定位品質評估。

3. 研究方法

圖 6 展示自空氣往水中拍攝之透視投影及折 射效應成像幾何，關鍵元素除了透視中心、像點

及物點之外，還有水位面以及穿刺點。在透視投 影幾何下，物點成像路徑為反射自物點電磁波穿 過透鏡系統並成像於類比式底片或數位式感測元 件。針對本課題自空氣往水中拍攝幾何，採用攝 影測量原理利用上述物像對應關係，從像空間追 蹤物空間成像路徑，可經由以下參數及對應之幾 何條件達成：(a)影像內外方位參數及像點坐標決 定自透視中心至水面的光線向量，亦即空氣中的 向量；(b)空氣中向量、水面位置及水中介質係數 決定光線於水中的向量，其中自空氣中的光線向 量與水位面之交會決定穿刺點位置，此處光線依 折射作用產生偏折，所對應之水下物點便位於此 偏折光線射向水下方向的軌跡上。藉由來自於至 少兩處對此物點所拍攝之透視投影影像便能利用 前交計算物點三維坐標。上述兩路徑所對應之數 學分析如下。

圖 6 自空氣往水中攝影之物像對應幾何(黃聖日

&趙鍵哲，2014)

3.1 光線自空氣進入水中之折 射向量

基於共線式及折射定律(Snell’s law)追蹤光線 成像路徑，於水面為水平面(Z=d)假設下以改變光 線行經方向的概念推演出雙介質攝影測量物像對 應模型。穿刺點物空間坐標方程如式(2)所示：

... (2)

式中， ：水位面高度參數； ：透視

中心物空間坐標； ：穿刺點物空間坐標；

；

；

：像主點像坐標； ：像點之像坐標； ： 像主距； , , ⋯ , ：物空間轉至像空間之旋 轉矩陣元素。

在內外方位參數已知之條件下，連結成像點 與透視中心可獲致光線於空氣中的成像路徑，稱 為入射向量 。利用水位面法向量 與入射向量 內積計算，見式(3)，獲得成像光線於空氣中與水 位面法向量之夾角，即入射角 θα。並根據 Snell’s law(式(1))決定成像光線於水體中與水位面法向量 之夾角，即折射角 。而偏角 θ

=

θα — θw。

... (3)

在物空間中，將水位面法向量與光線入射向 量外積計算獲得之單位向量[ , , ] 視為旋轉軸，

成像光線入射向量依右手定則旋轉 θ 角度，即為 成像光線於水體中的行經路徑，以下稱為折射向 量 ，如式(4)：

... (4) 式中旋轉矩陣 M' 如下：

3.2 水下折射向量前交決定物 點坐標及水位面

在確定物像對應關係後，透過穿刺點及水下 物點之間的向量關係進行前交。式(5)表示水下物 點坐標(XA,YA,ZA)可藉由兩直線參數式表達之共軛 水下光線先進行交會解算折射向量長度參數及水 位面參數，並再由長度參數及水位面參數推得水

d Z

Z d m Y Y

Z d m X X

P

L L

P

L L

P



















) (

) (

2 1

d X_L,Y_L,Z_L

P P

P Y Z

X , ,

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

33 0 23 0 13

31 0 21 0 11

1 m x x m y y m f

f m y y m x x m m



















 

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

33 0 23 0 13

32 0 22 0 12

2 m x x m y y m f

f m y y m x x m m



















 

0 0, y

x x,y _f

i 

n 

 



 

 



^

|

||

cos

¹

| n i

n

θ

_a

 i 

 

r 

M i r 

































































































































cos ) cos 1 ( sin ) cos 1 ( sin ) cos 1 (

sin ) cos 1 ( cos ) cos 1 ( sin ) cos 1 (

sin ) cos 1 ( sin ) cos 1 ( cos ) cos 1 (

2 2

2

M

下物點三維坐標。

... (5)

式中， ：水下物點三維物空間坐標；

及 ：分別為左右

共軛像點對應之穿刺點物坐標； 及

：分別為左右共軛像點對應之折射 向量； 及 ：分別代表左右共軛像點對應之折 射向量長度參數。

上述解法乃基於求解兩折射向量長度及水位 面三參數之方式間接推演水下物點坐標，其特色 為參數解算數量較少，但水下物點坐標為間接求 得。另一種方式可直接求取水下物點三維坐標及 水位面，其對應之數學式如式(6)：

− = ( − ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

− = ( − ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

.... (6)

− = ( − ) ^{” ” ”}

”( ) ”( ) ”

− = ( − ) ^{" " "}

"( ) "( ) "

式中，( , )、( , )：分別為左右像對應 於式(2)之( , )；( ~ )、( "~ ")：分 別為左右像對應式(4)之 M'之旋轉矩陣元素。

式(2)至式(6)為描述框幅式光學影像自空氣往 水中拍攝之成像路徑，其對應之成分元素包含內、

外方位參數、共軛像點坐標、水面位置及水介質 係數，為滿足成像幾何之物理模式。倘搭配可考 量誤差配賦及參數條件的解算程序，便可在彈性 下探討各類誤差之影響，以及在解算上建構可適 當調制誤差並引入物像空間參數條件獲致最佳解 的平差模式。此相應之平差模式為針對前述成像 路徑數學模式引入約制條件發揮誤差賦予功能，

約制條件對象可為參數本身或參數間之關係。完 整之模式介紹如下節。

3.3 平差模式：附加非固定式 約制(Stochastic constraint) 的 廣 義 最 小 二 乘 平 差 (Generalized least-squares adjustment)

式(5)或式(6)提供了在介面為平面之自空氣往 水中攝影測量中基於共線條件及折射影響的物像 對應幾何通式，可據此利用式(7)之廣義最小二乘 平差法進行相關參數的解算及分析。此外，考量 到本工作探討之雙介質攝影測量包含多項參數，

為能有效調配參數於解算任務並融入可能的物像 空間約制條件，另加入式(8)進行約制條件的建立。

式(9)則為以聯合廣義最小二乘與非固定式約制平 差模式解算之參數估值及其它相應之精度指標。

... (7)

... (8)

.... (9) 式中，A：對式(5)或式(6)中未知參數偏微分的 係數矩陣；B：對式(5)或式(6)中觀測量偏微分的係 數矩陣；ξ：未知參數向量；e：誤差向量；w：觀 測方程式之差值向量；σ0：先驗單位權標準差；P：

觀測量之權矩陣；K：約制條件之係數矩陣；z0：約 制條件之差值向量；e0：約制條件誤差向量；P0： 約制條件之權矩陣； ：未知參數增量向量；ẽ：改 正數向量； ：後驗單位權標準差；ẽ0：約制條件 改正數向量； ：未知參數先驗變方-協變方矩陣；

：未知參數後驗變方-協變方矩陣。











































r Pr

l Pl

A

r Pr

l Pl

A

r Pr

l Pl

A

s Z

s Z

Z

s Y

s Y

Y

s X

s X

X

rZ lZ

rY lY

rX lX

r r

r r

r r

A A

A Y Z

X , ,

) , ,

( X

_Pl

Y

_Pl

Z

_Pl (X_Pr,Y_Pr,Z_Pr)

) , , (

_{lX lY lZ}

l

r r r

r  )

, , (

_{rX rY rZ}

r

r r r

r 

s

l _sr

2 1

, ~ (0,

0

)

A   Be w e     P

^

2 1

0 0, 0~ (0, 0 0 ) z K



e e  



P^

1 1 1 1 1

0 0 0

1

0 0

2 0 0 0

0

2 1 1 1

ˆ 0 0

2 1 1 1

ˆ 0 0

ˆ [ ( ) ] [ ( ) ]

( ˆ) ˆ ˆ . . .

[ ( ) ]

ˆ ˆ [ ( ) ]

T T T T T T

T T

T T T

T T T

A BP B A K PK A BP B w K P z e B w A

e z K e Pe e Pe

d o f

A BP B A K PK A BP B A K PK

















    



  

  

   



 



  



 

 



  



  







   

3.4 立體像對前交求解系統分析

在前面已建構之考量折射的光學影像物像對 應模式下，以雙像交會決定水位面及水下物點坐 標有其對應之最小求解條件。解算系統(觀測量、

未知參數、多餘觀測數及最小求解條件)分析可參 見表 1。在無約制條件下，若幾何條件具足，一 組共軛水下物點觀測量可用以解算水位面及水下 物點三維坐標；而若聯合多組共軛水下物點進行 解算，在求解系統上是會有多餘觀測數的。除此 之外，採多光交會解算的幾何條件及多餘觀測數 應是優於雙像解算系統的。而在約制條件下，例 如給予水位面約制(Zp=d)，此時 c 等於 1。

表 1 立體像對前交解算系統分析

觀測量個數 4 +

未知參數 3 + 1

多餘觀測數 − 1 + 最小求解條件 = 1 as = 0 ( 為未知物點個數， c 為約制條件數)

4. 實驗成果與分析

為分析自空氣往水中攝影成像特性並進行前 方交會之幾何特性探討及定位品質評估，本工作 設計模擬資料並利用前述所介紹方法進行數值解 算及分析。精度評估對象包含水位面參數及物點 三維坐標，採用實際精度(Empirical accuracy)與理 論精度(Theoretical precision)作為評估指標，前者 為參數重複解算之均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)，後者以先驗標準差作為代表。

4.1 模擬資料場景介紹

為探討受折射影響之成像效果(4.2 節)，考量 實務水下環境可視範圍，於三層不同水深面(Ｚ＝

-1, -5 及-9 m)，X 分量自-15 至 75 m 每隔 1 m，Y 分量自-30 至 30 m 每隔 10 m 布設點位，共計 1,911 個水下物點，而水位面定於Ｚ＝0 m，模擬成果如 圖 7 所示；另外，為分析點位不同分布位置之定 位品質及精度變化趨勢(4.3~4.7 節)，將前述點位 配置之 Y 分量間隔亦加密至 1 m。本實驗目前以 雙像進行定位分析，立體像對影像拍攝配置參表 2，物空間坐標系平行於像空間坐標系，基線方向 平行於物空間 X 軸方向。

4.2 雙介質折射成像分析

為分析有無折射效應之成像差異，依據成像路 徑計算水下物點於單張像片上的成像位置。圖 8 及 圖 9 黑線表示無折射效應之成像位置，紅線則為受 折射效應之成像位置。依折射原理，只有在法線方 向的入射線不偏折，也就是像底點位置無偏折。從 成像效果上發現當水下物點越離開像底點，對應的 像點坐標外擴現象越顯著。圖 8 中 y＝0 顯示之紅 線實為一條與較短黑線重合之直線，點位沿著 x 方 向產生偏移；而其它 y≠0 處則參雜 x 及 y 方向的 成像偏移效果。當點位位於水下越深處，前述偏移 之程度則越加劇。如圖 9 所示，於水深 1、5 及 9 m 的點位在像片上產生大約 3、15 及 27 個像元大 小的 y 方向偏移量。

圖 7 模擬水位面、水下物點及拍攝位置配置圖

圖 8 同一水深，不同水平位置之水下物點成像結果

圖 9 相同 Y 坐標但不同水深(Depth=1 m, 5 m, 9 m)之水下物點成像結果

4.3 水位面已知之前交水下物 點定位品質

根據表 2 之配置，水位面高程為 0 m，在水深 1 m、5 m 及 9 m 處布設 X 及 Y 方向間隔均為 1 m 之三維點位。內外方位參數無誤差，在給予一個像 元量測誤差之條件下，所得到的模擬水下物點三維 定位理論精度如表 3 各層水深上圖所示。其所展示 之定位行為與單介質(表 3 各層水深下圖)類似，但 由於折射效應，共軛光線在水下之交會角度略小於 僅考量單介質之交會角度(可從圖 5 觀察兩透視中 心至物點之交角相對於水下折射向量所夾角度)，

致使此雙介質環境物點定位誤差大於單介質者，高 程(Z)分量差異尤大於水平分量(XY)差異。除此之外，

較為不同的是同一物距(水深)的水下物點並不若

單介質之定位呈現相同的高程分量誤差，其主要因 素為在前一節所分析之折射效應影響，點位越深或 越離開透視中心垂線方向之定位趨勢會受到「x 視 差」影響，在立體像對中，沿著基線方向當物點越 偏離基線中點，點位因折射效應而產生的左右影像 x 視差量越小，其效應猶如物距變長，定位(包括水 平與高程分量)精度變差。

4.4 前交水位面及水下物點定 位幾何可解性分析

當水位面為未知時，透過前方交會同時解算水 位面及水下物點坐標未知數，當只由一組共軛點進 行解算時，解算系統多餘觀測數為零。除此之外，

該解算系統是否擁有良好幾何強度是需要最先檢 視的對象。由於條件數(Condition Number)通常可

作為矩陣分析誤差時的基本工具，即用於衡量參數 微小誤差對於求解系統的敏感及穩定程度。條件數 越大，表示極微小誤差即可引發劇烈變化，解算系 統容易秩虧，常聯結至幾何條件不足之配置；反之，

條件數小，解算系統趨於穩定，且求解品質相對良 好。除此之外，對於非線性的高條件數解算系統，

考量數值的擾動對參數求解的高度影響，良好的參 數近似值是必備的條件。以下實驗中賦予像點 1 個 像元大小(約 0.0064 mm)的隨機誤差，藉由解算本 實驗所配置之密集點位對應之條件數值，判斷單點 求解時網形幾何的穩定度，據以觀察其解算系統之 幾何可解性強度。為了解當水位面已知及未知時對 解算之幾何強度影響，此兩種解算系統之條件數分 別呈現於圖 10 及圖 11。由圖 10 條件數數值顯示：

儘管物點水深不同，在水位面已知條件下，求解水 下物點坐標之條件數大致相同，其值約 10¹至 10² 左右，成果趨於穩定，惟水深越深時，條件數有增 大之趨勢；而在水位面為未知情況下，於基線垂面 及過基線中垂線之點位，其條件數約 10¹⁶至 10¹⁸， 數值偏大，就此兩類點位之幾何上而言，無論水位 面在何處均可滿足水下共軛光線可達致交會，在求 解上屬於奇異解(如圖 11 中之十字區塊處)。例如：

當水下物點位於基線垂面時，此時共軛光線的偏折 面位於共平面，不管水位面位於何處，此平面並未 改變，而折射後之共軛光線均可在此平面上完成光 線交會；而當物點位於通過基線中垂線垂面時，由 於入射光線之對稱性，不論水位面位於任一處，其 共軛光線皆可交會。而其它處之點位解算條件數亦 達 10¹⁶至 10¹⁸，數值遠大於水位面已知(約 10¹至 10²左右)之求解系統。同時，水深越深，條件數有 增大之趨勢。據此，可歸結在立體像對同時解算水

位面及水下物點坐標之解算系統屬於弱交會幾何，

其具體意涵為成像路徑上影響因子之誤差會嚴重 損及水位面及水下物點之定位品質。

表 2 立體像對影像拍攝配置

Parameter Value

Refractive index of air

1.00

Refractive index of water

1.33

Interior orientation [mm]

( , ) (0,0)

24

Pixel size [mm] 0.0064

Image size [mm] 36×24

Base-Height ratio B/H ≈ 0.6

Ground sample

distance [cm] GSD 2.6 ~ 2.9

Photo L Photo R Exterior

orientation

[m] ( , , ) (0,0,100) (60,0,100) [°] ( , , ) (0,0,0) (0,0,0)

4.5 成像路徑影響因子誤差對 前交水位面及水下物點定 位品質影響

同時求解水位面及水下物點坐標為一弱交會 幾何的解算系統，各個成分因子的誤差如何影響 水位面及水下物點定位品質需進一步分析。沿用 前節密集點位配置，但僅採用 Z = -1 m 這一層點 位進行分析。除此之外，亦加入單介質(空氣中) 的定位成效，以作為單、雙介質前交定位的差異 (幾何解算特性、影響因子及定位品質等)對照。

所需注意者：本節內容之水位面為未知參數，而 4.3 節之雙介質前交其情況為具備已知水位面。表 4 顯示各個因子在授予一般作業環境下誤差量值之 單、雙介質各自定位成效。為了有效表達誤差量 值以及避免數值擾動造成的微小變化影響分析，

表中誤差量值最大(Max.)及最小(Min.)僅取至 mm。

圖 10 單點解算於不同水深(Depth = 1 m, 5 m, 9 m)對應之條件數值(水位面已知)

表 3 水下物點坐標之三維定位理論精度(上：水位面已知/下：單介質)

Depth +

1 m

5 m

9 m

圖 11 單點解算於不同水深(Depth = 1 m, 5 m, 9 m)對應之條件數值(水位面未知)

表 4 影響因子誤差對水位面及水下物點坐標定位品質影響(上：單/下：雙介質)

Factors Random error

Quality of object point coordinates (m) Quality of water surface (m)

Image coordinates

(xa, ya)

±0.0064mm

±0.0128mm

±0.0192mm

E.O.

(XL, YL)

±0.01m

±0.02m

±0.05m

E.O.

(ZL)

±0.03m

±0.05m

±0.10m

E.O.

(ω)

±0.0005°

±0.005°

±0.05°

E.O.

(φ)

±0.0005°

±0.005°

±0.05°

E.O.

(κ) ±0.0008°

±0.008°

±0.08°

Refractive index of

water (nw)

±0.007

±0.010

±0.013

I.O.

(x0, y0)

±0.003 mm

±0.007 mm

±0.010 mm

I.O.

(f)

±0.5mm

±0.8mm

±1.0mm

針對各因子誤差在水位面未知時之交會解算 所產生之特性，可歸結如下：

(1) 此類解算屬於弱交會幾何，但水平分量品質 仍能相近於空氣中(單介質)或水位面已知之交 會成果，主要受到弱化的對象為水下物點高 程分量及水位面。以像點量測誤差為例，由 1 個像元之誤差量值(GSD 約 2.6 cm)會導致水位 面及水下物點高程分量分別達 1.18 m 及 0.65 m 之誤差，量值遠超過在空氣中之定位誤差。

(2) 除前述像點誤差影響分析，外方位參數誤差 也呈現相似的水下物點及水位面定位品質不 佳現象；內方位像主點參數誤差不影響水下 物點高程分量及水位面解算品質，但會損及 水平分量精度。而像主距誤差則對水平分量 無影響，但會獲致品質欠佳的水下物點高程 分量及水位面品質；折射係數誤差則幾乎不 影響定位成效，除了水位面有輕微的誤差量 值。

′ = ∆ tan

= ∆ tan

= ∆ tan

∵ ′ = +

⇒ ∆ tan = ∆ tan + ∆ tan

⇒ ∆ tan

tan − 1 = ∆ 又 ∗ sin = ∗ sin

∴當0° < < 60° ⇒ ∆ > ∆ 當 60° < < 90° ⇒ ∆ < ∆

圖 12 以圖示及公式表示∆Z 與∆d 間之數學關係

(3) 像點及外方位參數誤差作用下之結果均顯示 水下物點高程分量精度優於水位面，此現象 可由圖 12 之幾何及公式闡明(∆d：水位面誤差；

∆Z：水下物點高程分量誤差；θi：入射角；θr： 折射角；L：透視中心；P：穿刺點；P’：受 水位面誤差影響之穿刺點；A：水下物點；A’：

受水位面誤差影響之水下物點)，但在入射角 大於 60 度時，前述精度關係會反轉；像主距 誤差產生物距方向尺度變化再加上光線折射 後的交會角變小效應(相較於單介質)，此類誤 差與物距成正比，因此對應之水位面誤差會 小於水下物點高程分量誤差。除此之外，在 尺度及折射綜合影響下，水位面定位品質相 異於其他誤差因子之影響傾向，即越靠近外 側點之水位面定位精度越差，然而差異僅在 mm 等級。

(4) 如 4.4 節論及之特殊位置處之奇異解(圖 11)，

造成相當大的誤差量，這些位置在定位品質 觀察上應予以略過。同時，越接近奇異解位 置(基線垂面及過基線中垂線垂面)之點位對於 交會求解會呈現較高的條件數，因此求解品 質也較差；相對而言，單介質交會可純以基 高比(或交會角度)來評判物點坐標品質，在同

一物距平面上，位於基線中點投影點之定位 品質反而是最佳者。

(5) 在目前影像拍攝及坐標系統配置下，與透視 中心(包含左右影像)有相同Ｘ坐標數值的水下 物點(但不包含透視中心投影點，該點屬奇異 解)具備Ｘ等於定值或最小誤差值的偏折面，

在這些位置上的水下物點坐標其Ｘ分量精度 是最佳的，水位面的位置即使有大誤差，連 帶改變共軛光線所對應之偏折面，但兩偏折 面上之成像光線交會之 X 坐標受Ｘ等於定值 之偏折面約制於該坐標值上。

(6) 在各個影響因子誤差作用的比較下，像點誤 差與外方位參數水平分量誤差倘施以相同量 值，則其定位特性及品質相近；外方位位置 參數 Z 分量誤差不影響水下物點水平分量，

外方位姿態參數 φ 對水下物點高程分量及水位 面誤差影響較 ω 及 κ 輕微。

(7) 相對而言，作為對照組的單介質交會解算成 果則無奇異解之狀況，前交物點坐標品質優 於雙介質且水位面為未知時之解算成果，尤 其是在高程分量上。同時，物點各分量誤差 較容易依誤差量值經物像比例換算而得。各 影響因子在同一物距平面上之前交定位特性

∆Z

∆d θi

θi

θr

θ_r

θ_r P’

P

A’

A L

B C

D

綜理如后，針對(a)像點誤差：交會點位沿著 基線方向，離基線中點越遠，前交物點沿著 基線分量(目前實驗坐標配置為 X 分量)誤差越 大；而在垂直於基線方向上，離基線中點越 遠，前交物點 Y 分量誤差越大。但高程誤差 在此相同物距平面上各處均相等。(b)外方位 位置參數：X、Y 及 Z 誤差均會影響水平分量，

但 Z 影響量較 X 及 Y 小；在高程分量上，X、

Y 及 Z 誤差均影響高程分量，但 Z 影響量較 X 及 Y 大。(c)外方位姿態參數：ω 誤差對水 平分量主要影響對象為 Y 分量；ϕ 角度誤差則 影響 X 分量；κ 誤差之影響則會與各點與透視 中心連線之切線有關，當與旋轉之軸心距離 越遠時，其對應之定位誤差越大：而高程分 量則是受到 x 視差影響，其中以繞 Y 軸旋轉 之 φ 產生之 x 視差改變最大，因此影響高程最 劇。(d)內方位參數：像主點位移誤差只影響 對應之水平分量；而像主距誤差只影響高程 分量。

4.6 水下物點坐標對應水位面 高度之相關性分析

考量到未知數間若具有高度相關性，於求解 時容易產生相互影響，故將如 4.5 節配置之密集點 逐一代入水位面及水下物點之求解系統，並從法 方程式逆矩陣計算水位面高度(d)分別與水下物點 三維坐標

( , , )

間之相關係數，成果如圖 13 所示。其中，物點高程方向分量(Z)與水位面高 度參數( d )之相關係數於實驗區各處皆趨近於 1，

表兩者間具有高相關，高程分量與水位面的相互 影響程度較水平分量( X , Y )大。當解算系統呈現 弱幾何時，高相關之參數必須藉由加強幾何(例如 增加多餘觀測或施予參數間有效的約制條件)來提 升解算品質，因此相關係數資訊有助於引入適當 及有效的觀測量或參數約制條件。值得注意的是，

如前述 4.4 節中提及部分位置在水位面未知時為奇 異解(見圖 11)，因此該處計算之結果無法用以進 行相關性分析。

4.7 以不同品質的水位面觀測 量約制前交之水位面及水 下物點定位解算

由上述幾何分析及成果量化，可知同時解算水 位面(當水位面完全未知時)及水下物點坐標不僅 為極度弱幾何，且解算成果在大多數情況下會不符 實務應用上之需求。而水位面解算品質可謂為關鍵，

因此如何引入可行之物空間控制資料來提升水位 面解算是突破上述弱幾何的有效對策。基於此，本 研究先對不同品質水位面觀測量對於本課題定位 影響先進行評估，也藉此釐清水位面與水下物點在 求解幾何與品質上的互動關係。

承 4.4 節之「前交水位面及水下物點定位幾何 可解性分析」得知，當水位面高度為已知，其求解 幾何類似單介質前交狀況，越接近基線中點投影的 點位，其求解穩定度越高，且求解品質越佳；而當 水位面為未知時，點位越接近基線垂面以及過基線 中垂線垂面之奇異解位置求解越不穩定，越凸顯弱 幾何特性。而當水位面經由先驗資訊賦予某種品質 時，對水下物點及水位面解算的助益程度及衍生的 特異性便值得詳加觀察與分析。為便於展示不同位 置點位定位之相關資料及進行量化分析，於立體像 對重疊區左下角依水平位置挑選出三個點位(依離 基線中點位置區分為外側、中間及內側)，每個水平 位置配置三個水深(1、5、9 m)點位，點位分布如圖 14 所示。在僅考量像點量測誤差(1 個像元)情況下，

此九點逐一解算之水位面及水下物點定位精度如 表 5 所示，定位理論精度與實際精度大致相符，實 際精度亦受所帶入之雜訊擾動，後續精度分析仍以 理論精度為主。其定位特性符合 4.4 及 4.5 節所分 析之結果，水平分量定位品質相近於單介質交會之 狀況，水位面及水下物點高程分量誤差顯著惡化，

點位水平分量及高程分量之誤差比例並非攝影測 量交會解算之基高比可以解釋，且越接近奇異解位 置，水下物點高程分量及水位面定位品質越差(本 例點位誤差依大至小排列：內側>中間>外側)；解 算成果中，水位面品質劣於水下物點高程分量品質；

除此之外，水深越深處之點位，水位面及水下物點

高程分量定位品質亦隨著變差。表 6 則展示當賦予 不同水位面品質時，交會解算之水位面及水下物點 成果。當水位面帶有先驗資訊時，交會解算後之水 位面及水下物點高程分量精度會提升。以表 6 編號 1 點位為例，解算前水位面觀測誤差為 500 倍 GSD (約 500 × 2.6 cm =13 m)，交會解算後水位面精度 提升至 1.18 m。當水位面品質改變時，水位面資訊 在交會平差解算上的調制作用也隨之不同，以表 6

內容為例，在水位面賦予 5,000 倍 GSD 時，解算 後的水位面誤差與水位面完全未知時之成果相同，

此先驗資訊對解算成果無增益效果，並未發揮觀測 量作用，猶如未知參數角色。隨著水位面先驗精度 提升，解算後之水位面及水下物點品質亦隨之改善，

當水位面先驗精度達 5 倍 GSD 時，解算後的水位 面品質約等於先驗精度。

圖 13 水位面參數(d)分別與水下物點坐標(

, , )

之相關係數

圖 14 三個目標點於三層水深之位置分布

表 5 單點求解水下物點坐標(XA, YA, ZA)及水位面參數(d) (單位：m) 位

置 點號 物點坐標 物點坐標精度 水位面精度 入射角(^∘ )

±RMSEX / ± ±RMSEY / ± ±RMSEZ / ± ±RMSEd / ± 外

側

1 -15 -30 -1 0.039/ 0.042 0.032/ 0.039 0.535/ 0.648 0.994/ 1.185 18.40∘ 38.74∘

533 -15 -30 -5 0.041/ 0.043 0.039/ 0.040 0.655/ 0.705 1.222/ 1.314 17.93∘ 38.00∘

1065 -15 -30 -9 0.049/ 0.044 0.050/ 0.041 0.849/ 0.766 1.569/ 1.453 17.47∘ 37.30∘

中

間

23 0 -20 -1 0.025/ 0.027 0.027/ 0.030 0.980/ 1.149 2.197/ 2.610 11.24∘ 32.14∘

555 0 -20 -5 0.032/ 0.028 0.026/ 0.031 1.102/ 1.268 2.541/ 2.918 10.90∘ 31.43∘

1087 0 -20 -9 0.026/ 0.028 0.027/ 0.031 1.293/ 1.388 3.014/ 3.234 10.62∘ 30.76∘

內

側

45 15 -10 -1 0.049/ 0.048 0.021/ 0.022 4.140/ 3.886 10.986/ 10.322 10.15∘ 24.60∘

577 15 -10 -5 0.039/ 0.049 0.022/ 0.023 3.410/ 4.327 9.092/ 11.569 9.85∘ 23.98∘

1109 15 -10 -9 0.042/ 0.051 0.025/ 0.023 4.094/ 4.795 11.018/ 12.902 9.58∘ 23.41∘

表 6 以不同品質之先驗資訊進行前交之各點水位面高度誤差(σd)/水下物點高程分量誤差(σZ) (單位：m) 位置 點號 Unknown_d Sig_d=

5000*GSD

Sig_d=

500*GSD

Sig_d=

50*GSD

Sig_d=

5*GSD

Sig_d=

0.5*GSD

Sig_d=

0.05*GSD 外

側

1 1.185/0.649 1.186/0.649 1.176/0.644 0.881/0.487 0.131/0.121 0.013/0.098 0.001/0.098 533 1.318/0.707 1.314/0.705 1.307/0.702 0.911/0.495 0.126/0.122 0.013/0.103 0.001/0.103 1065 1.454/0.766 1.456/0.766 1.446/0.762 0.931/0.497 0.121/0.124 0.012/0.108 0.001/0.107 中

間

23 2.622/1.154 2.619/1.151 2.569/1.131 1.177/0.525 0.132/0.109 0.013/0.092 0.001/0.092 555 2.920/1.269 2.924/1.266 2.836/1.233 1.161/0.512 0.127/0.111 0.013/0.097 0.001/0.096 1087 3.243/1.393 3.235/1.395 3.137/1.346 1.136/0.497 0.121/0.114 0.012/0.102 0.001/0.101 內

側

45 10.357/3.898 10.370/3.891 8.152/3.069 1.309/0.501 0.132/0.101 0.013/0.088 0.001/0.088 577 11.591/4.335 11.559/4.316 8.531/3.191 1.259/0.480 0.127/0.104 0.013/0.093 0.001/0.093 1109 12.872/4.785 12.874/4.767 8.828/3.282 1.208/0.459 0.121/0.107 0.012/0.098 0.001/0.098 註：表格之藍底部分顯示水深越深，水位面解算精度越佳之點位。

表 7 以不同倍數之 GSD 為水位面先驗資訊進行前交之各點對應條件數大小 點號 Unknown_d Sig_d=

5000*GSD

Sig_d=

500*GSD

Sig_d=

50*GSD

Sig_d=

5*GSD

Sig_d=

0.5*GSD

Sig_d=

0.05*GSD Known_d 1 5938.38 5943.26 5858.05 3292.12 83.61 66.04 6290.18 34.89 533 6800.61 6790.43 6704.05 3283.24 74.95 76.92 7488.16 35.86 1065 7827.00 7882.94 7765.65 3226.50 67.73 90.55 8855.58 37.00 23 24503.50 24610.06 23525.12 4972.96 68.23 52.46 5146.92 26.54 555 28758.32 28510.52 27001.67 4538.87 60.71 62.59 6165.99 27.64 1087 33280.73 32935.89 31437.22 4096.58 54.47 74.87 7375.08 28.85 45 351550.90 350077.95 215381.19 5545.81 60.27 45.33 4481.27 22.15 577 413730.91 406265.69 221611.71 4830.17 53.49 54.90 5436.91 23.32 1109 480169.08 470881.31 223987.82 4199.14 47.76 66.18 6579.93 24.49

另外，值得關注的是：搭配表 7 之解算條件 數分析，可發現先驗資訊的品質影響其權重，觀 測量權重差異過大容易導致高條件數，尤其在先 驗資訊處於完全未知及已知之兩極端處，法方程 式矩陣穩定性下降，定位成果數值產生異常擾動。

例如表 6 第三欄(水位面先驗誤差為 5,000 倍 GSD) 某些位置其水位面解算成效劣於水位面完全未知 時，但數值差異量相當微小；當水位面存在有 50 倍、5 倍及 0.5 倍 GSD 之隨機誤差時(如表格中之 藍底部分)，水位面定位成果會呈現水深越深其品 質越好，不過，此數值區間的差異量值並不大，

而且是發生在良好水位面品質的先驗資訊作業區 間，其水位面解算成果是非常近似於水位面先驗 品質的。因此，此精度倒轉現象對交會解算之定 位成果影響應是相對輕微的。

相較之下，水下物點高程分量定位則以水位 面完全未知到先驗誤差為 50 倍 GSD 間，其品質 會隨著水深由淺到深、由外側往內側而變差；而 在水位面有 50 倍 GSD 之隨機誤差時，中間及內 側點位之高程分量定位結果會有倒轉現象產生(如

前述，這些位置對應之水位面定位品質亦呈現倒 轉)，即水深越深，高程分量解算精度越佳，但數 值間之差異仍不大；另外，當水位面存有先驗誤 差 5 倍、0.5 倍及 0.05 倍 GSD 時，此時水下物點 高程分量定位品質會逐漸趨於穩定，且水深越淺 或位置越往內側之定位品質越佳；同時，水位面 先驗誤差達 0.5 倍時，其作用猶如完全已知之水位 面，水下物點高程分量誤差大於水位面，水下物 點高程分量定位特性接近單介質之狀況。此部分 之成果充分顯示：水位面高度之先驗資訊會同時 影響到水位面以及水下物點高程分量定位品質。

上述成果討論偏屬於定性分析，主要在於揭 櫫水位面及水下物點高程分量精度之變化關係及 異常現象，所取樣之不同品質先驗誤差尚不足以 精確定位出各精度倒轉之轉折處。

5. 結論與未來工作

本研究探討利用光學框幅式影像成像幾何，

以光線追蹤方式及平差運算進行攝影測量水下物 點三維定位分析，透過建構空氣中滿足透視投影

共線成像幾何及水下折射向量，達致同時求解水 位面及水下物點坐標之效果。從現階段完成之事 項中，可歸結以下幾點重要分析，如以下之結論 及建議。

5.1 結論

(1) 在交會幾何上，同樣的攝像配置，雙介質(空 氣與水)的方向交會角度小於若僅有空氣介質 者，因此攝影測量常用的基高比在雙介質成 像幾何中會縮小，即使水位面已知且無誤差，

在物距方向之精度仍會下降。

(2) 由空氣往水中的攝影測量前交解算，當水位 面為未知時，欲同時解算水位面及水下物點 坐標屬於弱交會幾何系統，觀測量的誤差對 於水位面及水下物點高程分量解算成果影響 甚劇，其成果在實務應用上恐難找到適當應 用標的。因此，提升水位面品質為必要措施。

(3) 即便在良好影像內外方位參數之條件下，水 下物點定位精度仍受制於水位面品質；而水 下物點之高程分量誤差會小於水位面之誤差，

此一結果與配置之入射角有關。只有在水位 面先驗資訊達至某種品質，水位面扮演已知 角色，此時水下物點高程分量誤差會大於水 位面誤差。

(4) 各影響因子在單介質或在雙介質(自空氣往水 中)之攝影環境下之影響結果不盡相同，然前 者對於各分量之定位趨勢可由交會之幾何特 性予以分析並預測；後者則會受到水位面求 解干擾而弱化定位品質，連帶影響整體解算 成果。

(5) 水位面先驗資訊品質影響交會解算之定位成 果，目前採行將先驗資訊品質引入平差約制 中調制其影響力。由實驗成果顯示：當水位 面先驗資訊處於完全未知及已知之兩極端處，

法方程式矩陣穩定性下降，定位成果數值產 生異常擾動，其影響量雖輕微，但仍形成成 果特異現象。

5.2 建議

根據目前成果，可研議後續工作如下：

(1) 整合多像、多光及多約制的聯合解算系統。

(2) 加入及分析其它型態之約制條件，例如水深 約制及水下控制點對提升水位面品質以及水 下物點定位之效益。

致謝

本研究承蒙科技部專題研究計畫編號 MOST 105-2119-M-002-053 及 MOST 106-2119-M-002-037 經費補助得以順利完成，以及兩位審查者給予諸 多建設性修潤意見，在此謹此致謝。

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1 Master, Department of Civil Engineering, National Taiwan University Received Date: Jun. 13, 2018

2. Associate Professor, Department of Civil Engineering, National Taiwan University Revised Date: Aug. 28, 2018

*Corresponding Author, Tel: 886-2-23678645, E-mail: [email protected] Accepted Date:Dec. 04, 2018

On Qualitative Analysis of Determining Water Surface and Underwater Object Point Using Optical Frame Imagery

Kuan-Chen Lee

¹

Jen-Jer Jaw

^2*

Abstract

With the ever-changing photogrammetry technologies and different types of sensing instruments, a wide range of methods and alternatives can be applied for mapping underwater geospatial information. Among them, ray tracing of optical imagery is targeted to determine the underwater object points in this study. To simplify the task, it is assumed that all involved media are homogeneous and the water surface is still. Under the ideal physical and optical phenomenon with the known interior/exterior orientation parameters, the object-to-image correspondence of whole imaging paths of visible points can be retrieved by considering both collinearity condition and refraction effect. With that, the position of the water surface can be an observation or unknown parameter being solved together with underwater object points in accordance with practical requirements. Current study only considers imagery acquired by frame cameras and the generalized least-squares adjustment model with constraints is employed to carry out an effective parameter estimation. To characterize the core issues of this study and qualitatively verify the positioning quality varied with the influential factors, simulation data and experiments are well designed and conducted. The results of geometric conditions, solvability analysis of parameters and positioning quality tuned by influential factors are fully addressed and concluded, implementing a cornerstone for the air-to-water photogrammetric intersection solving for water surface and underwater object points.

Keywords: Optical imagery, Underwater object point, Water surface, Ray tracing, Collinearity

property, Refraction, Constraint