有朋自遠方 來一一專訪
Maria Chudnovsky 教授
策 劃 : 劉太平
訪 問 : 劉太平、 李國偉
時 間 : 民國 106 年 11 月 13 日 地 點 : 中央研究院數學研究所 整 理 : 編輯室、 黃馨霈
Maria Chudnovsky 教授 1977 年 1 月 6 日出生於俄國聖比得堡, 後移居以 色列。 於 2003 年普林斯頓大學得博士學位。 任教普林斯頓大學, 哥倫比亞大學, 自 2015 年任普林斯頓大學教授。 2012 年獲頒 MacArthur Fellow。 在本訪談中, 可 以感受到 Chudnovsky 教授對組合學的熱誠, 並可以領略其深刻的見解。
劉太平 (以下簡稱 「劉」): 謝謝妳遠道而來。 國偉提醒我, 妳在俄羅斯待到十三歲。
Chudnovsky (以下簡稱 「C」): 確實如此。
劉: 那是人生非常重要的章節, 對吧? 而今妳在普林斯頓。 這整個經歷極其非線性吧? 怎麼一路 走來的?
C: 我出生於俄羅斯。 十三歲時, 舉家獲准離開俄羅斯, 因此移居以色列; 這是好的選擇。 因此我 在以色列上高中、 學習數學。 隨後我決定攻讀數學方面的博士學位, 申請了心目中最適合做 我喜歡的數學的地方。 普林斯頓大學收了我, 於是我到普林斯頓攻讀博士學位, 並在那裡做 了三年的博士後。 當時我自忖該找份工作, 於是轉赴哥倫比亞, 在那裡工作了九年, 非常愉 快, 之後回到普林斯頓。
劉: 我想了解妳在俄羅斯的時期。 妳當時是否對數學感興趣? 是否認真看待數學?
C: 在俄羅斯時, 我念的是一所特殊的數學學校。 那裡的氣氛和文化都非常好。 基本上, 當時的 首要之務是讓自己長於數學。 據我所知, 學校裡的學生都希望能以數學見長。 我在十三歲時 想過: 如果自己非常幸運, 將會一輩子做數學。 這個志趣或許根源於那所學校。
李國偉 (以下簡稱 「李」): 妳是經過篩選才進入那所特殊學校?
C: 進一年級時校方會做一些篩選, 並不偏重數學, 只是一般性的篩選。 之後在六年級結束時, 我 們必須參加一個非常慎重的考試, 才能進入七年級, 我參加了, 也通過了。 我記得這是我今 生第一個慎重的考試。 那是三小時的考試, 而我才十二歲。 還記得走出考場時, 我只想著“這 輩子沒這麼累過”。 我覺得凡人不可能累成這樣。
李: 考試涵蓋哪些課題?
C: 我不記得了。 非常累人。
李: 有幾何問題嗎?
C: 可能。 一定有。 但我的意思是, 老實說, 我這麼說只是基於常識, 譬如, 你可以問十二歲的學 生什麼樣的問題? 嗯, 有一些幾何問題、 一些方程、 一些代數。 它不像是數學競賽。 它考你 在學校剛學到的東西, 問的盡是些困難的問題。
劉: 更像在測試智商?
C: 不。 類似學校的數學測驗, 但是非常困難、 漫長。 它不是標準化的數學測試, 也不是數學競 賽, 就只是一次困難的學校考試。
劉: 俄羅斯是否到處有那種學校?
C: 我不太確定。 我想在莫斯科和聖彼得堡可能比較是如此。 但我們談論的是 1988 年左右的 事。 現在如何, 我真的不知道。 當時如何, 其實我也不確定。 我知道在聖彼得堡至少還有一 所這樣的高中。 我認識的那些出身於聖彼得堡的數學家, 大都上過我的高中或那所高中。
李: 舉家搬到以色列, 是在蘇聯解體之後?
C: 不, 是在解體之前的好幾年。 我們離開後, 蘇聯仍然存在。
劉: 到西方後的頭幾年, 妳年紀或許還太小, 無法觀察文化衝擊之類的事?
C: 我當然看得出文化差異的存在。 我非常渴望學習它們、 接納它們。
李: 到以色列後, 說的是什麼語言?
C: 我會用希伯來語。
李: 小時候在家學過希伯來語嗎?
C: 不。 移居前, 我拿到一本希伯來語的自學書, 夏天時開始自學; 到以色列時, 已經會說一些。
以色列有來自各地的眾多移民, 因此提供很好的希伯來語學習課程, 所以語言不構成問題。
翌年, 基本上我已能將希伯來語運用自如。
劉: 希伯來語不容易學。
C: 實際上它是非常簡單的語言。 它非常非常的數學, 幾乎沒有例外。 它有非常明確的規則。 例 如, 所有動詞可置入一個矩陣, 以兩個屬性為索引值 (index)。 矩陣中的位置告訴你如何將 動詞結合起來。 英文就不搞這種名堂。 更有甚者, 語言是由字根構建的, 而創建單字的方式 有限。 所以, 如果你知道字根, 即使不認識這個詞, 也可以知道它的意涵。 實際上, 如果你會 數學, 這是一種有趣的語言。
李: 它是從右到左書寫的嗎?
C: 對的, 它是從右到左書寫的。 但你會習慣的。 書寫時它沒讓母音出現, 其實, 當你閱讀任何語 言, 並未確實去讀每一個字母; 看到一個單字時, 你只是瞥它一眼, 猜想它是什麼。 希伯來文 母音是內置的 (built-in), 沒寫出來。
李: 母音不會出現在印刷品中?
C: 不會。 但它們在童書中會出現。
李: 了解。
C: 結果是所有的書都非常薄。 與厚書相較, 薄的書讀來心理上愉快些。
劉: 母音的存在其實被清楚暗示著。
C: 是的。 就好比你閱讀英文故事時, 四處看到“ct”而非”cat”, 但你可以猜出它是什麼。
李: 妳在以色列拿到碩士學位。
C: 沒錯。
李: Aharoni1 是妳的指導教授。 他用 Menger 定理的某個版本, 完成了無限組合 (infinite combinatorics) 的一些工作。
C: 沒錯。 他研究組合學; 著力於 Menger 定理, 也研究過超圖。 實際上, 我與他共事時, 研究的 是超圖匹配 (hypergraph matichings)。
李: 妳跟著他時, 一直在研究超圖?
C: 是的。 當時我沒著手任何其他的事。
李: 他也使用了一些集合論上的方法, 對吧? 像是無限著色 (infinite coloring) 之類的東西。
1Ron Aharoni (1952∼), 以色列數學家, 任教於以色列理工學院, 研究組合學, 並有多本數學教育及數學普及著作。
C: 我想他對無限的東西非常感興趣, 但我與他共事的那幾年, 他暫時放下了無限圖 (infinite graph) 的工作。
李: 據我所知, 他寫了一本書 《Arithmetic for Parents2》。
C: 沒錯。
李: 他曾在小學任教?
C: 我不認為他曾在小學任教過, 但他想...
李: 嘗試一下—
C: 不。 他難以接受以色列教數學的方式。 他和善、 精力充沛, 去和大家談: 不應該這樣做、 應 該那樣做。 他成功了。 他們改變了數學的教學方式。 我難以相信, 單靠一人可以做出改變。
李: 妳曾參與那個專案計畫嗎?
C: 不, 但他推動計畫的能力令我敬畏。
李: 能否描述一下以色列如何發展離散數學的?
C: 我起步時, 它已卓然有成。 它在以色列是個非常強大的領域。 我不知道何以致此。
李: Erd¨os3 必定曾對此產生重大的影響, 對吧?
C: 確實如此。 他造訪過以色列, 且與以色列保持聯繫。 你知道現在有本關於 Erd¨os 的童書嗎?
李: 是的。 我聽說過。 那是一本漫畫書?
C: 不, 像本童書。 有個小男孩。 名叫 Paul, 喜歡數字。 書裡大篇幅談論他如何與朋友合作做數 學。 有一張插圖, 畫的是 Erd¨os 和朋友們圍坐在桌子旁, 其中的每個人都有真人版: 金芳蓉 在那裡, Ron Graham4在那裡, B´ela Bollob´as5 也在那裡。 我的手機有這張圖片; 我會記 得拿給你們看。
我在以色列時確實曾遇見 Erd¨os, 但他沒有看到我。 我在兩次會議的兩回演講中見過他。 對 十七歲的我來說, 那是難以置信的經歷。
李: 我能了解。 94 年或稍早, 我去舊金山參加一個會議, 當時 Erd¨os 竟然在投影片上寫了一些 東西; 他通常寫在黑板。 會議結束後, 大家理應離開會場時, 我想這些投影片很珍貴, 於是把 它們收集起來了。
2中文譯本 《小學算術教什麼, 怎麼教: 家長須知, 也是教師指南》, 由天下文化出版, 譯者為訪談者之一李國偉教授。
3Paul Erd¨os (1913∼1996), 匈牙利數學家, 發表論文高達 1525 篇。 他四處遊歷, 與當地數學家合作, 曾與 511 人合寫論文。
4Ronald Graham (1935∼), 出生於美國, 與夫人金芳蓉教授皆為傑出組合學者, 並與 Paul Erd¨os 為至交。
5B´ela Bollob´as (1943∼), 出生於匈牙利, 任教於英國劍橋大學, 研究領域涵蓋泛函分析、 滲透理論及圖論。 他自幼受 Paul Erd¨os 啟迪, 與 Paul Erd¨os 在圖論有重要合作成果。
C: 還保存著?
李: 是啊。
C: 很酷。
李: 這是珍品。 妳到普林斯頓後, 立即對完美圖猜想 (perfect graph theorem) 產生興趣?
C: 我到那裡時, 得知 Paul Seymour6 正在研究這猜想。 我膽大包天, 不懂分寸, 逕自去找他 說:「我想與你合作完美圖形猜想的論文, 可以嗎?」。 我猜他十分驚訝, 回說:「可以」。
李: 當時他是否已結束了次圖 (graph minors) 的研究計劃?
C: 我想是的。 工作早已完成, 但沒寫下來。 事實上, 最後一篇論文在幾年前才發表。
李: 第幾篇?
C: 22。
李: 22。 好。
C: 當時已不再談論次圖了。 我念大學時, 對離散數學產生興趣。 想必我曾修過一些很好的課程, 因為當時我已在數學起步, 並且想做數學, 而有些數學對我較有吸引力, 另外一些數學不那 麼有吸引力。 我最喜歡的是離散數學。 我總質疑: 是你的大腦讓你較為擅長某種數學, 或者 是你遇到的某些老師讓你喜歡它?
李: 找他之前, 妳修過他的課嗎?
C: Paul 的?
李: Paul的。
C: 我知道他正在研究圖論。 我對圖論略有所知, 也已獲碩士學位。 到普林斯頓與 Paul 合作是 我的計劃, 他也知道此事。 見面之前我們通過信。 我終於現身時, 說道:「嗨, 我在這裡, 可以 和你一起工作嗎?」
李: 除了 Paul, 普林斯頓大學還有其他人在研究圖論嗎?
C: Benny Sudakov7, 他較偏機率。
李: 他已移居瑞士?
C: 是的, 他在瑞士, 之前在加州大學洛杉磯分校待了好幾年。
李: 是否有人提供獎項給強完美圖猜想的解決方案?
6Paul Seymour (1950∼), 出生於英國, 任教於普林斯頓大學, 研究成果涵蓋擬陣、 四色定理及完美圖猜想。
7Benny Sudakov (1969∼), 出生於以色列, 目前任教於 ETH Zurich, 研究 Ramsey 理論、 隨機圖、 位置博弈。
C: 這實際上是一個很有趣的問題。 我經常在演講中談到它。 數學家 G´erard Cornu´ejols8寫了 一本價值連城的書9。那是一本值 90,000 美元的書, 其中包含 18 個問題; 每道問題的解決 方案都值 5000 美元。
李: 真的? 那本書未經公開嗎?
C: 是的。 但你必須在 2020 年之前完成, 所以時間幾近告罄。 而 Cornu´ejols 指出: 靠解決書中 的問題賺錢, 很沒效率。 無論如何, 強完美圖形猜想在書裡, 另外還有偏斜分隔猜想 (skew partition conjecture), 而我們證明了兩者。 但我們有些掛慮。 根據偏斜分隔猜想, 在強完 美圖猜想的最小反例不可能發生某些事情。 所以, 一旦你證明了強完美圖猜想, 偏斜分隔猜 想也跟著解決。 問題是: 我們會獲得一個猜想、 還是兩個猜想的獎金? 我很高興地報告: 我 們得到了兩個猜想的獎金。
劉: 妳對圖論的未來有何看法? 妳想完成哪些工作? 妳想像的畫面是何樣貌?
C: 我希望看到圖論與其他領域建立聯繫, 因為我認為圖論最好能有一些可用的工具。 一方面, 感覺上, 你坐下來, 就可以做圖論, 不需要學習多年。 你需要學習些手法、 技巧, 但不需要學 習很多背景知識。 這很有趣, 也很好。 但另一方面, 我認為所有容易的問題已經都被解決了。
現在許多圖論的論文技術上非常、 非常繁複, 而很好的是, 一些工具或將以某種方式帶來更 多—
李: 對理論的某種感覺?
C: 是的。
李: 妳不認為妳的圖結構定理是理論的一部分嗎?
C: 它是的。 但很難這麼說: 「我們發展出這結果, 現在你可以用它來做那工作。」 我並非 · · · 例 如, 我們發展了所有這些定理, 證明了強完美圖形猜想, 而今我們可以改變它們的一部分, 也可以證明其他東西。 但下一代學者並不因此而可以說: 我們能用他們所發展的理論來做 那工作。
擁有一些這類的東西會很好。 譬如, 有一次我在哥倫比亞大學與 David Bayer10交談。 他有 一些藉由代數幾何證明四色定理的想法, 但我不認會奏效。 其他人也有過類似的想法, 但截 至目前為止, 我認為它們全都不可行; 但是這類的東西可以讓你和其他領域產生連結。
李: 妳是否著手研究過 Hadwiger 猜想11?
8G´erard Cornu´ejols (1850∼), 出生於法國, 目前任教於卡內基美隆大學, 研究領域涵蓋組合最佳化及圖論。
9G´erard Cornu´ejols, Combinatorial optimizations: Packing and Covering, CBMS-NSF Regional Conference Se- ries in Applied Math. 74, 2001。
10David Bayer (1955∼), 任教於哥倫比亞大學, 在符號計算領域有重要貢獻, 並曾擔任電影 《美麗境界》 顧問。
11Hadwiger猜想: 如果 k 點的完全圖不是圖 G 的次圖, 則圖 G 的著色數至多為 k。
C: 是的。 這是一個美麗的猜想, 我得到一些結果。
李: 一旦它被解決, 對四色定理會有所啟發。
C: 我猜想它要是被解決, 那個證明會用到四色定理。
劉: 我知道四色定理有一個電腦輔助的證明, 是否有不必用到電腦的證明?
C: 沒有一個證明沒用到電腦。
劉: 如妳所述, 妳希望有個工具, 或是發展一個工具。 妳心目中必然有個來自數學的其他部分的 工具, 有個發展好的工具。
C: 糟糕的是, 並非如此。 在數學的其他部分, 似乎總有些一般性的方法, 可用以處理事情。 我不 很知道, 也許我搞錯了, 可能它們不存在。 我想我的意思是 · · · 例如, 當我與 Ron Aharoni 合作時, 使用了拓樸方法。 面對一個圖論問題、 或超圖問題時, 你把它轉譯成為單純複形 (simplicial complexes) 的問題。 而單純複形的理論已廣為人知, 所以你可以逕自使用同 調性等等, 推斷出組合問題的結論。 對這些事例, 你可以說: 「此物似彼物, 因為它實際上是 某種更一般情況的特殊場景· · · 」。
劉: 傑出的調和分析學者 Lennart Carleson12曾說: 他不訴諸一般理論、 一般工具, 而是把問 題轉化, 使其核心的部份是一個組合問題, 而後再好好計算出這個組合問題。
C: 我必須說, 雖然我認為持有工具是件好事, 但我的工作完全不需要工具。 打從開頭, 你就可 以自行發展所需的工具來解決某個問題, 而後轉到下一個問題 · · · 我的意思是 · · · 不完全 正確地說, 一些想法遷移 (transfer) 了, 但或許這能用別種方式講得更確切。 它未必是來自 數學其他部分的工具。 我們有了所有這些想法, 而後教導我們的學生, 好讓他們了解它們。
若以某種方式使它們成為集大成者, 會很美好。 那麼你可以直接引用一些東西, 而非做調整, 亦即, 援用基本上存在的理論後, 再做調整, 使其適用於另一種情況。
李: 因為我們的雜誌是供一般讀者閱讀, 所以想請妳講解一下完美圖的基本定義, 也請談談強完 美圖猜想, 好幫助讀者。
C: 圖論中有 「圖著色」 的概念, 意味著: 為頂點指定顏色, 使相鄰頂點有不同的顏色。 使此種配 置成為可能的最小顏色數即為圖的 「著色數 (chromatic number)」。 著色數有明顯的下界, 是即頂點兩兩相鄰的那些子集之頂點數量最大值; 這第二個參數被稱為圖的 「團數 (clique number)」。 首要事實是, 著色數不小於團數, 但另一方面, 著色數並無取決於團數的上界, 團數為 2 的圖可以有任意大的著色數。 因此問題變成: 何時著色數的上界會是團數的函數?
第一步是去了解: 團數和著色數何時相等? 這需要更多技巧; 而如果兩個數字相等, 基本上
12Lennart Carleson(1928∼), 瑞典數學家, 在調和分析和動力系統領域, 解決諸多懸宕多年的難題, 做出開創性的深刻貢獻。 他曾於 1992 年獲 Wolf 獎, 2006 年獲 Abel 獎。
圖形是 「完美的」。
有一個猜想, 由法國數學家 Claude Berge13提出; 它陳述完美圖的結構特徵, 列出所有不 完美的最小圖 (minimal graph), 懸宕 40 年後, 由 Robin Thomas14, Neil Robertson15, Paul Seymour 和我提出證明, 是即強完美圖猜想16。
李: 妳見過 Berge 嗎?
C: 未曾見過, 失之交臂。 我們證出定理時, 他已病危臨終。 我們不確定他是否知道問題已得解。
他有被告知, 但不清楚他是否還能夠理解。
李: 我在菲律賓見過他一次。 那是 91 年左右的會議, 我去參加了, 見他在菲律賓受到熱烈歡迎。
他當時收集了人類學方面各式各樣的物品。
C: 沒錯。 他必定是個非常有趣的人。 很遺憾, 我沒能見他一面。
李: 證明強完美圖定理之後, 妳發展了其他面向的結構圖論 (structural graph theory), 對吧?
C: 是的。 我們致力於解決強完美圖猜想; 有個問題是: 如何設計有效演算法來測試各個圖是否 完美? 我們團隊發現了這種演算法, 解決了這問題。 但從某種意義上說, 完美圖尚未搞定。
一個概括性的問題是: 「如何構建最具一般性的完美圖?」。 我們不知道答案。 強完美圖定理 的證明, 是從那個方向起步, 但當我們了解夠多, 足以推導出強完美圖猜想時, 我們就此停 步, 因為不知何去何從。 這仍是一個非常有趣的未解問題。
我會在明天的演講中談及此事。 當時值 2002 年, 我想藉由導出子圖 (induced subgraph) 來描述完美圖的結構特徵。 如我之前所述, 這個猜想其實是在問: 最小非完美圖是何樣貌。
而要稱它為最小, 你需要先訂好一個大小次序。 「身為導出子圖」 是一個你想得到的包含關 係。 我迄今一直在探究它。
另外還有與排除導出子圖有關的問題。 例如, 現在有個非常活躍的領域: 「完美圖的著色數 和團數相同; 而若著色數是團數的函數, 又會是如何? 何時會如此?」 該領域已獲諸多進展, 我也參與其中。 一個問題是: 「有什麼其他圖, 可排除其為導出子圖的可能性, 並可理解其結 構?」 有一些這類的定理, 但似乎太難了。 有趣的是, 有個 「被排除的次圖定理 (excluded minor theorem)」, 出現在我的年代之前; 我想: 無妨, 我對世界的貢獻將會是個 「被排除 的導出子圖定理」。 但它總出差錯。 或許我可以對小的圖做些什麼, 但不能對一般的結構這 麼做。 我不很清楚它可能是什麼。 現在看來, 似乎只是需要重新定義, 調整期望。 對於排除 一般導出子圖, 也許我們能說些什麼, 但不能像排除次圖那樣明確。 也許它是一些演算法。
13Claude Berge(1926-2002), 法國數學家, 是當代圖論的奠基者, 曾提出完美圖猜想。
14Robin Thomas (1962∼), 出生於捷克, 任教於喬治亞理工大學, 研究領域涵蓋圖論及組合最佳化。
15Neil Robertson (1938∼), 出生於加拿大, 為俄亥俄州州立大學榮譽退休教授, 研究拓樸圖論。
16強完美圖猜想: 圖不為完美圖, 若且唯若包含頂點數目為大於或等於 5 的奇數的 odd hole 或 odd antihole。
李: 請妳補充一下, 完美圖何以重要?
C: 完美圖何以重要? 平心而論, 我認為它們之所以重要, 主要是因為 1961 年時 Berge 定義 了它們, 而後有數以百萬人致力研究它們, 卻都一無所獲。 因此, 2001 年之際, 它們極為重 要。 數學就是如此。 如果它立即被解決, 乏人聽聞它。 如果它太難以至於一籌莫展, 也會沒 沒無聞。 但如果人們持續探討它, 則在懸宕了 30 至 40 年之際, 它會突然重要起來。
它與各種事物有聯繫。 它推廣了許多當時廣為人知的圖論結果。 它與組合最佳化 (combi- natorial optimization) 相關。 我可以講一些它如何與其他事物產生聯繫的故事, 但我認為 它之所以成為重要定理, 真正原因是有這麼多人試圖解決它。 它很漂亮。 基本上它說: 世界 不混亂, 世界是美麗的, 因為這個很好的性質只有兩個障礙。 再一次地, 這就是數學。 它不 是渾沌的, 是有這類結構的。
李: 妳發展了無爪圖 (claw-free graphs) 和所謂的無牛圖 (bull-free graphs) 的結構定理?
C: 是的。 無牛圖, 對的。
李: 這兩種圖何以重要?
C: 我試著回溯。 對無牛圖及無爪圖而言, 有多種最佳化問題可以在多項式時間內解決, 但一般 而言, 這些問題是 NP-complete。 你總好奇, 何以致之? 何以問題有時會變得如此簡單?
或許是因為存在一些深層的結構。 也許開發演算法的人並未理解此結構, 但這些演算法之所 以有效, 是因為存在一個結構。 這是一個標準過程; 了解結構之後, 演算法就手到擒來。 無 爪圖的情形是如此。 實際上, 我記得 Bruce Shepherd 總不停地到 Paul Seymour 的辦 公室說:「無爪圖, 無爪圖。 你應該做無爪圖」。 也許還有其他人這麼說, 但我清楚記得 Bruce Shepherd —
李: 無爪圖和完美圖是否有共通的結構?
C: 這是一個非常有趣的問題。 實際上有種結構同時出現於兩者。 有一陣子這看來神奇, 而且我 們很清楚要如何使其更具一般性。 它似乎類同於次圖理論中的曲面概念。 但如今看來它不過 是個錯覺。
李: 想請妳先告訴我們無牛圖的定義。 牛圖 (bull graphs) 緣何出現?
C: 爪子是一個頂點外加它的三個相鄰頂點, 而這後三者互不相連。 無爪意味著任意頂點都不會 有三個互不相連的鄰點。 公牛是一個三角形外加兩個懸掛的頂點。 如果你畫得正確, 三角形 就是公牛的臉。 我正努力回溯自己如何開始研究無牛圖。
爪子 (claw) 牛圖 (bull graph)
無牛或無爪的完美圖都有些已知的定理。 它們是出自同一批作者的幾個類似的定理。 如果再 加把勁, 我們或可完整描述這些圖的結構, 甚或圖也不需要是完美的。
容我再多談一下無牛圖。 有個很難的結構定理; 有這個定理是好事, 但我認為基本上它太難 用了。 它產生了一些非常好的東西。 有一個名為 「Erd¨os-Hajnal 猜想」 的推測, 它說: 排除 任何導出子圖後, 突然會在圖中出現一個非常大的團、 或一個非常大的穩定集 (stable set)。
團是由兩兩相鄰的頂點所組成, 而穩定集的成員是互不相鄰的頂點。 對很少數的圖來說, 這 個猜想已知屬實。 我們可以這麼操作: 若你知道對某些圖這猜想屬實, 可以把它們拼湊在一 起, 從而得知對更大的圖這猜想也屬實。 但是, 談到質圖 (prime graphs), 姑不論其確切定 義, 你無法藉由上述操作得到它, 因此對它知之甚少。 已知的這類圖中, 最重要的是牛圖。 我 想, 在我對無牛圖的研究中, 這可能是最漂亮的部分。 絕對是最漂亮的部分, 也是最重要的 部分。 它好極了, 是一篇大約 15 頁的論文, 其中的一切都神奇地美好。
李: 但妳的圖結構定理的證明很長。
C: 定理本身就很長。 譬如, 無爪圖的結構定理說的是, 你可用某種方式粘合基本圖形 (名為條 帶 (strips)) 來獲得所有無爪圖。 有 15 種條帶; 令人驚訝的是, 有 15 種而非無限多種。
李: 對。
C: 如你所知, 這些定理值得寫下、 發表。 但定理的敘述長達五頁, 因為你必須描述 15 種條帶。
劉: 普林斯頓有頗具規模的群組在研究有限數學 (finite math), 對吧?
C: 對, 這是做離散數學的好地方。 我們有資深人員、 資淺人員, 人員流動不息。 另外還有學生。
這是一個完美的地方。
劉: 美國還有哪些地方在做有限數學?
C: 卡內基美隆大學, 聖地亞哥。 我是指普林斯頓、 卡內基美隆大學、 史坦福、 加州大學聖地亞 哥分校、 加州大學洛杉磯分校。
李: 麻省理工學院?
C: 麻省理工學院。 還有哪裡? 有幾處, 伊利諾大學香檳分校, 可能還有其他的地方, 我忘了。
劉: 我總有個模糊的印象: 對電腦科學來說, 有限數學極其重要; 它們密切相關。 是這樣嗎?
C: 我認為這是因為我們是從演算法的面向來看, 而兩者都對演算法感興趣。 我所處理的一組問 題與複雜性相關, 是要設計有效演算法。 排除一個導出子圖後, 我們希望以多項式時間的演 算法來為圖形著三色。 一般來說, 著三色是 NP-complete 問題, 但排除一些導出子圖之後, 會成為多項式時間的問題。 而之所以會有多項式時間算法, 一個原因是: 所有障礙都是有限 的。 再說一次, 如果世界是美好的, 情況會是如此。 但世界不很美好; 有時障礙的數量無限, 可是有效演算法仍然存在。 我們和合作群組曾著手設計有效演算法, 藉由它完成一些工作。
而後我們開始考慮有限的障礙; 對身為數學家的我來說, 這是一個微妙很多的好問題。 我們 確切發現了障礙數量有限的所有情況, 將成果投稿到電腦科學的會議。 他們拒絕了我們的論 文, 說道: 「遺憾的是, 這只談論了障礙的數量, 並未探討演算法的複雜性。」 從他們的角度, 我確知文章看起來像什麼。 從我的角度來看, 問題有趣而基本。
李: 妳還隸屬應用和計算數學的學程 (PACM, Program of Applied and Computational Mathematics)。 這是什麼性質的學程?
C: 普林斯頓有此成規: 做離散數學的人要同時隸屬數學系和 PACM。
李: 這並非一個系?
C: 不是系, 是一個應用和計算數學的學程。
李: 妳曾和工學院的人共事過?
C: 我在哥倫比亞大學時曾如此。 在哥倫比亞大學時, 我隸屬工學院, 和電機工程師有些聯名論 文。 我曾和電腦科學系的某位人士進行過諸多合作, 我們共有的, 不僅是聯合論文, 還有一 名學生。這是身在工學院的有趣部分。 人們會敲我的門, 問些我能夠回答的問題。
李: 劉俊宏博士是妳的團隊成員嗎?
C: 是的。
李: 妳正與他合作?
C: 是的, 我們合寫了一篇論文 李: 他畢業於台灣大學。
C: 沒錯。 他要我來造訪此地。 我說:「俊宏, 我收到台灣的邀請函, 這是什麼?」 他說:「我不知道 它是什麼, 但妳去就對了」
李: 他很優秀。
C: 他非常優秀、 非常優秀。
李: 他是張鎮華的碩士生, 曾去喬治亞理工學院, 對吧?
C: 沒錯。 他在那裡拿到博士學位。
李: 指導教授是 Thomas。
劉: 妳目前著手於什麼問題?
C: 我正著手於幾件事。 我正在研究與 Erd¨os-Hajnal 猜想相關的問題; 該猜想說, 排除一個導 出子圖之後, 會得到一個大的團或一個大的穩定集。 我正在處理 「著色數以團數的函數為上 界」 的相關問題。 我也正在研究下述問題: 「需要排除什麼, 才能使著色問題成為多項式時 間?」 這問題幾乎解決了, 不是我的成果, 而是眾人之功。 基本上, 已確知其是否為多項式時 間的情況, 幾乎都是非多項式時間。 但仍殘存一些你還想嘗試排除的圖。 我正在研究這個問 題。 它很有趣。 某種角度看來, 這是一個具一般性的問題, 但剩下能做的東西不多。 這是一 個有趣的工作方向。
李: 這是個大問題, 對吧? 一旦完成了, 會是個重大結果。
C: 希望如此。
劉: 前些日子, 一位名叫 Nalini Joshi17的澳洲女性數學家來此地參加性別差距 (gender gap) 會議。 對妳而言, 是否存在性別差距?
C: 容我講個故事。 因為我在以色列長大, 所以必須服兵役。 從軍首日, 我去問我的上司: 「我想 在大學修課, 可以在週四晚上遲到晚退嗎?」 我想他過於震驚, 回答:「好的」。 後來得知, 事實 上這麼做是可以的, 但前提是你已經在那裡待了若干年。 幸運的是我沒去查看規則。 不過分 關注你該做什麼、 不該做什麼, 是饒有助益的。
李: 或許可以這麼說: 沒有感受到性別差距的人, 就能安然無恙。
C: 我不是很想談這個, 因為我認為事情並非如此簡單。
劉: 我了解。
C: 大膽行事後, 會遭逢相應的回擊。 盡力推進是有益的, 但另一方面, 如你所知—
劉: 我們不要假裝這不存在。 因為它存在。
C: 固然不該以此為藉口而不竭力推進, 但另一方面, 世事不盡完美。 我很樂意多說一些, 但我 不想對性別差距以偏概全。這很複雜, 數學相形容易 (easy)。 「容易」 或許不是正確用詞, 該 說數學比較 「單純 (simple)」。
劉: 對身屬多數族群的人來說, 聲稱可以感受到少數族群的痛苦時, 往往感受不是那麼貼切吧?
17Nalini Joshi, 生於緬甸, 任教於澳洲雪梨大學, 研究可積系統, 2018 年七月當選國際數學聯盟副主席。
C: 嗯, 你可以意識到的。 感受痛苦與試圖減少他人痛苦, 兩者有所不同。 要成為獸醫, 不需要先 成為猴子。 並非每件都需要切身體驗。
李: 國際數學聯盟與國際化學聯盟協力, 贊助調查性別差距。 這個專案計畫由國立台灣師範大學 的一位女教授主持, 今年剛舉行了工作會議。
劉: 這就是 Joshi 來訪的原因。
李: 這就是她來訪的原因。
劉: 哪種文化有較大的性別差距, 並不很清楚。
C: 我同意。
劉: 譬如, 台灣存在性別差距, 但在某些方面, 我認為差距比美國小?
C: 我的旅遊指南是這麼說的。
劉: 好好享受在這裡的時光及故宮之旅。
C: 好主意。 那是我的計劃。
劉: 謝謝。
C: 非常謝謝。
—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 李國偉任職中央研究院數學研究所, 整理者 黃馨霈訪談時為中央研究院數學研究所助理—
