布朗運動

布朗運 動 _: 從物理學到財務學

陳仁遶

理論物理學的觀念應用於財務分析, 最早可追溯至 1900年法國學者 Bachelier。 他認為股 票價格的波動, 類似物理學的布朗運動。 因此, 布朗運動的數學性質, 可應用於股市分析。 此一 想法, 在財務學界延用至今。 例如一個以芝加哥大學商學院教授為首的研究群所發展的資本市 埸理論, 即是以此觀察為基礎。 該資本市埸理論後來對財務分析的影響至為深遠。 [圖一]為史坦 普 500指數日報酬率資料與布朗運動的比照圖。 史坦普500之日資料取自 yahoo.com , 期間為 2000 年一月一日至 2000 年十二月三十一日。 布朗運動模擬是根據股票指數之日變異數模擬而 成。 我們由 [圖一]可見, 股票之日報酬率變動與布朗運動實無大異。

圖一

上世紀八零年代末期, 基於混沌理論的分析模型開始引入財務學

¹

。 此領域的學者認為股 市並非一理性市埸, 故布朗運動不足以解釋很多市埸現象。 反之, 混沌理論是一種亂中有序的物 理行為, 比較適合財務分析。 由此之後, 許多自然科學的觀念亦陸續引進財務領域。 例如九零年 初期, 有類神經網路, 而到上世紀末, 基因理論則有取代之勢。 這些先進的理論: 第一, 尚未完

1諸位如看過電影侏儸紀公園

,

當對那位舉止怪異的數學家不陌生。

17

全成熟(為時甚短); 第二, 不若布朗運動的簡明易懂; 第三, 財務學界的接受度尚待考驗, 故本 文以介紹布朗運動的應用為主。

一元的布朗運動在財務學上稱 「隨機漫步」, 類似統計上的二項分配, 亦類似生產管理上的 結構樹分析。 我們且看下面的圖示:

S

₀

^{....................................}

. ...

.. . . .. . .. . . . .. .

S

₁₁

^{...............................................................}

... .. . . . . . .. . . . . .

. S

₂₂

^{.......................................................................}

. ...

.. . . . . . . .. . . . .

. S

nn

..

...

.. .. .. .. .. .. ..

. S

₂₁

.

...

.. . .. .. .. . .. .. .

S

10

^{........................}...

S

₂₀

^{.............................}...

S

_n0

. .

... . . .. . .. . .. . . .. .

·

·

·

其中 S

0

為今日股價, S

_ij

為 i 日於 j 點的股價。 布朗運動 (或隨機漫步) 的解釋如下: 以 今日股價為基準, 下期 ( i = 1 ) 的股價可 「漫步」 至 S

₁₁

或 S

₁₀

。若下期股價為 S

₁₁

, 則兩 期後之股價為 S

₂₂

或 S

₂₁

。 但若下期股價為 S

₁₀

, 則兩期後之股價為 S

21

或 S

₂₀

。 依此類推, 我們可於 n 期後有 S

_n0

, S

n1

, . . . , 到 S

nn

這麼多的可能價格。 其可能機率為:

P

nj

= C

_j ⁿ

p

^j

(1 − p)

^n−j

(式一) 令 0 到 n 的總距離為 t , 則每期的長度為

_n ^t

, 當 t 固定而 n → ∞ 時, 我們可得到S

t

與 S

0

的關係如下:

S

t

= S

0

exp[(µ − σ

²

/2)t + σB

t

] (式二) 其中 µ 及 σ 為參數, B 為布朗運動。 由於指數項的第二項為隨機積分, 故 S

t

為一隨機值。 布 朗運動雖為英國植物學家布朗於 1827年發現

²

, 但其數學性質乃是數學家維納 (Wiener) 所建 立。 故今日我們亦稱布朗運動為 「維納過程」。 布朗運動 (或維納過程) 有下列重要的性質:

(1) dB ∼ N(0, dt) 此性質說明布朗運動的全微分是一常態分配 (亦稱高斯分配), 其均數為 0, 變異數為 dt (時間的微分);(2) (dB)

²

∼ dt 此一性質涉及隨機微積分,(stochastic calculus) 實際的證明頗為複雜, 最具代表性的著作是日本數學家伊籐 (Ito) 的博士論文 (有英譯本)。 故 我們亦稱為伊籐微積分 (Ito calculus) 。

2布朗運動一說是由大科學家愛因斯坦在

1905

年所提出。

若將 S

t

對 S

0

作微分, 我們可得 dS

t

= S

t

[(µ − σ

²

2 )dt + σ(dB

t

) + 1

2σ

²

(dB

t

)

²

]

= S

t

[(µ − σ

²

2 )dt + σ(dB

t

) + σ

²

2 dt]

= S

t

[µdt + σdB

t

] (式三)

式中的第一行僅是簡單的微積分數鍊法則 (chain rule) , 然而其最尾項則是一般微積分所無。

此項稱為 「伊籐調整項」 (Ito adjustment) , 是隨機微積分中的特殊處理, 乃由伊籐博士所 提的數學定理而得。 第二行將

¹

2

σ

²

(dB

t

)

²

設成

^σ

²

2

dt 是根據上述之布朗運動的數學性質 (即 dB

²

∼dt )。 第三行則由第二行簡化而成。

(式三) 可提供 dS

t

的一些數學性質。 譬如dS

t

的均數為:

E(dS

t

) = S

t

µdt 因為 E(dB

t

) = 0 。dS

t

的變異數 (方差) 為:

Var (dS

t

) = S

_t ²

σ

²

Var (dB

t

) = S

_t ²

σ

²

dt 亦因為 Var (dB

t

) = dt。

任何財務資產, 只要與股價有關, 均可應用上述例子。 例如近來風行台灣的認購權證, 以及 即將全面開放的期貨。 認購權證為一衍生性資產。 亦即其價格波動, 是股價運動的函數。 同時權 證有一定的到期日, 故我們可將權證寫為股價與期間的函數。 權證價格可計算如下:

C(S

0

, 0) = E[e

⁻

^R0T

^µdt

C(S

T

, T )] (式四) 式中 E(·) 為期望值。 為求解, 我們須應用科默哥若夫 (Kolmogorov) 定理, 即權證價格須滿 足以下的偏微分方程:

∂C

∂S

E[dS]

dt +∂

²

C

∂S

²

Var [dS]

dt +∂C

∂t = µC (式五)

此方程式之解, 為物理學中熱力學方程式之一特例, 故有現成的解可用。 偏微分方程式須有足夠 的邊際條件, 才有唯一解。 以上之偏微分方程式, C 對 S 微方 2 次, 對 t 微分一次, 故其邊際 條件須有兩個來自 S , 一個來自 t , 才會有唯一解。 以權證而言, 兩個來自 S 的邊際條件為當 S 為 0 時, 和當 S 為 時。 一個來自 t 的邊際條件為當 t = T 時, 即當權證到期時。 C 必須在 這三個邊際條件上作好定義, 才能求得偏微分方程的唯一解。

茲舉一例供讀者參考。 令

E(dS) = Var (dS) = 0

則 (式五) 可大為簡化:

∂C

∂t = µC (式六)

此微分方程式為一階方程, 極易解得:

∂C

C = µ∂t

∂ ln C = µ∂t ln C = µt + k

C = e

^µt+k

因為此微分方程仍需一邊際條件, 令其為 C

T

= 1 , 如此一來

C

T

= e

^{µT +k}

= 1

故 k = ln 1 − µT = −µT 代回 C = e

^µt−µT

= e

^{−µ(T −t)}

此即著名的未來值折現公式。 我們可將此公式略作一般化。 令 E(dS) = µSdt 且 Var (dS) = σ

²

S

²

dt (如 (式三)), 則我們可對當今台灣衍生商品市埸極為熱門的權證加以訂價。 首先,(式五)

可寫成: ∂

²

C

∂S

²

σ

²

S

²

+∂C

∂SµS + ∂C

∂t = µC (式七)

首先, 我們需認知(式七) 乃一偏微分方程, 不同於(式六) 的普通微分方程。 偏微分方程需先分 解成普通微分方程(單變數) 後才可求解。 物理學上的偏微分方程有解的並不多。 著名的有熱傳 導方程 (Heat Equation) 與波傳導方程 (Wave Equation) 。 故吾人如欲解偏微分方程, 最佳 的方法是作變數變換, 再套入熱傳導方程或是波傳導方程求解。 在此, 我們先看偏微分方程的一 般解法。 欲將一個偏微分方程分解成普通微分方程, 通常先假定 (猜想) 一個解的一般式。 舉例 而言, 欲解下列偏微分方程:

∂u

∂t = h

²

∂

²

u

∂x

²

(式八)

可先令(猜想)

u = f (t)ν(x) 然後針對 x 與 t 微分:

∂u

∂t = ν(x)df (t) dt

∂u

∂x = f (t)dν(x) dx

∂

²

u

∂x

²

= f (t)d

²

ν(x) dx

²

代回原式 (式八)

ν(x)f

^′

(t) = h

²

f (t)ν

^′′

(x)

改寫: f

^′

(t)

f (t) = h

²

ν

^′′

(x)

ν(x) ≡k (式九)

如此一來,

f

^′

(t) f (t) = h h

²

ν

^′′

(x)

ν(x) = k 為二個普通微分方程, 可分別解之得

f (t) = c

₁

e

^kt

ν(x) = e

^h

²

^β

²

^t

(a cosh βx + b sinh βx)

式中 β, a, b , 為任意常數。 欲解此常數值, 我們需要邊際條件。 (式八) 對 x 偏微分兩次, 故需 x 的兩個邊際條件, 對 t 微一次, 故需對 t 的一個邊際條件。 有了此三條件之後, 讀者可仿 (式 六) 的解法, 解出 β, a, b 。

回到 (式七), 此方程無法直接求解, 但可透過變數變換解得:

C(S, t) = e

−µ(T −t)f (x,τ )

其中

x = 2

σ

²

[µ − σ

²

2 ][ln S

K + (µ − σ

²

2 )(T − t)]

τ = 2

σ

²

[µ − σ

²

2 ](T − t) (式十)

式中 T 為權證到期日 ( t 的邊際條件), K 為權證的履約條件。 在到期日時 (T ), 權證 C 有一 定的金錢收入, 此為 t 的邊際條件。 在 S 方面, 兩個邊際條件分別為 S = 0 (此時 C = 0), 與 S → ∞ (此時 C → ∞)。 由邊際條件可知, 權證的求解並不容易, 即使作了變數變換, 仍然存 在許多技術問題。 此待有興趣的讀者繼續研讀有關權證的書籍。

接下來, 我們來談布朗運動的另一個科默哥若夫定理應用, 將此定理試用於期貨之上。 期 貨價格可表示為

F (S

0

, 0) = E(F (S

T

, T )) (式十一) 此價格滿足下列偏微分方程:

∂F

∂S

E(dS)

dt + ∂

²

F

∂S

²

Var (dS) dt + ∂F

∂t = 0 (式十二)

此式與(式五) 不同之處在於右方為 0, 此乃因為 (式十一) 沒有指數函數的緣故。 期貨的邊際條 件與權證類似, 在 t 方面為到期日的現金收入, 在 S 方面為 S = 0 (F = 0) , 與 S → ∞ (F → ∞)。

結論 :

在本文中, 我們提及如何運用科默哥若夫定理來分析權證與期貨。 財務學中其它許多相關 領域, 如股票分析, 多期的資本資產訂價模式 (適用於股票, 由 Merton 於 1973 年提出), 利率 與債券訂價模式 (由 Vasicek 與 Cox, Ingersoll, Ross 在 1977 先後提出), 現金或有信用分 析 (應用於倒帳風險), 及流動性分析等, 均可由布朗運動之數學性質來進行分析工作, 導出頗 有意義的結果。

—本文作者任教於美國羅格斯大學財務金融學系 —