92 年學科能力測驗

數學

92 年學科能力測驗

班級：_________ ／ 座號：_________ ／ 姓名：_________

總 分

第一部分﹕選擇題 壹、單一選擇題

說明﹕第1 至 5 題﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得 5 分﹐答錯不倒扣﹒

1. 試問有多少個正整數 n 使得 n 1 

n

2  …  n

10為整數？

(1) 1 個　(2) 2 個　(3) 3 個　(4) 4 個　(5) 5 個

2. 若 f (x)  x³  2x²  x  5，則多項式 g(x)  f ( f (x))除以(x  2)所得的餘式為 (1) 3　(2) 5　(3) 7　(4) 9　(5) 11

3. 若(4  3i)(cos  isin )為小於 0 的實數，則 是第幾象限角？

(1)第一象限角　(2)第二象限角　(3)第三象限角　(4)第四象限角　(5)條件不足，無法判斷。

4. 設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 ^_____

AP

_____\

5

1 AB

_____

5

2 AC

於 (1)5

1 　(2) 4 1 　(3)

5 2 　(4)

2 1 　(5)

3 2

5. 根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1  2 ^{ kt})％，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內已經有 70％的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99％的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下列 哪一個選項？

(1) 5 小時　(2) 7 2

1 小時　(3) 9 小時　(4) 11 2

1 小時　(5) 13 小時

貳、多重選擇題

說明﹕第1 至 6 題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得 5 分﹐答錯不倒 扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲2.5 分﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

1. 如下圖，兩直線 L1，L2之方程式分別為L1：x  ay  b  0，L2：x  cy  d  0；試問下列哪些選項 是正確的？

(1) a  0　(2) b  0　(3) c  0　(4) d  0　(5) a  c

2. 如下圖，ABCD - EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，如果 ^_____

AJ

AB

_____\

AD

AE

(1)3 1 b 

3

2 　(2) a  b  c  2　(3) a  1　(4) a  2c　(5) a  b

3. 以下各數何者為正？

(1) 2³ 2　(2) log23  1　(3) log32  1　(4) log₂¹ 3　(5) log

3 1

2 1

4. 下列哪些函數的最小正週期為？

(1) sinx  cosx　(2) sinx  cosx　(3) | sinx  cosx |　(4) | sinx  cosx |　 (5) | sinx |  | cosx |

5. 假設坐標平面上一非空集合 S 內的點(x，y)具有以下性質：「若 x  0，則 y  0」。試問下列哪些 敘述對S 內的點(x，y)必定成立？

(1)若 x  0，則 y  0　(2)若 y  0，則 x  0　(3)若 y  0，則 x  0　(4)若 x  1，則 y  0　(5)若 y

 0，則 x  0

6. 設a：x  4y  az  10（a 為常數），E1：x  2y  z  5 及 E2：2x  5y  4z   3 為坐標空間中的 三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？

(1)存在實數 a 使得a與E1平行　(2)存在實數 a 使得a與E1垂直　(3)存在實數 a 使得a，E1，E2

交於一點　(4)存在實數 a 使得a，E1，E2交於一直線　(5)存在實數 a 使得a，E1，E2沒有共同交 點

第二部分﹕填充題

說明﹕每題完全答對給5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

1. 設 a1，a2，…，a50是從  1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1  a2  …  a50  9 且 (a1  1)²  (a2  1)²  …  (a50  1)²  107，則 a1，a2，…，a50當中有幾項是0？

答：　　　　　項。

2. 金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個 3，一個 8，一個 9，於 是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一次就成功的機率有多 少？

答：　　　　　。（化成最簡分數）

3. 設 A(1，0)與 B(b，0)為坐標平面上的兩點，其中 b  1。若拋物線：y²  4x 上有一點 P 使得

△ABP 為一正三角形，則 b  　　　　　。 4. 設 P 為雙曲線

9 x2

16 y2

 1 上的一點且位在第一象限。若 F1，F2為此雙曲線的兩個焦點，且PF₁ ：

PF2  1：3，則△F1PF2的周長等於　　　　　。

5. 在坐標空間中，通過 O(0，0，0)，N(0，0，1)，P(

4 1 ，

4 11 ，

2

1 )三點的平面與球面 S：x²  y²

 z²  1 相交於一個圓 C，則圓 C 的劣弧

︵

NP

︵

NP

6. 設 k 為一整數。若方程式 kx²  7x  1  0 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於 71

5 與 71

6 之間，

則k  　　　　　。

7. 在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過最高點的 鉛垂線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為6 公尺，且距底部

2

3 公尺高處其寬為 5 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為　　　　　公尺。（化成最簡分數）

8. 某次數學測驗共有 25 題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得 4 分，答錯倒扣 1 分。

某生確定其中16 題可答對；有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這 6 題他就從剩 下的選項中分別猜選一個；另外3 題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為　　　　　分。

（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。）

9. 根據統計資料，1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋友比 較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為x 時，華氏溫度為 y 

5

9x  32；若用華氏溫 度表示，則1 月分臺北地區的平均氣溫是華氏 　　　　　度，標準差是華氏 　　　　　度。

（計算到小數點後第一位，以下四捨五入。）

參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式ax²＋bx＋c＝0 的公式解﹕x＝ ² 4 2

b b ac a

－  － ﹒

2. 通過(x1 , y1)與(x2 , y2)的直線斜率 m＝ ^{2 1}

2 1

y y x x

－

－ ﹐x2≠x1﹒ 3. 等比數列{ar^n－1}的前 n 項之和 Sn＝ (1 )

1 a rn

r

 －

－ ﹐r≠1﹒

4. △ABC 的正弦及餘弦定理 (1)sin

a A＝

sin b

B＝ sin

c

C＝2R﹐R 為外接圓的半徑（正弦定理）

(2)c²＝a²＋b²－2abcosC（餘弦定理）﹒

5. 統計公式﹕

算術平均數M(＝_X )＝1

n(x1＋x2＋…＋xn)＝1 n ¹

n i i

x

 ^﹒

標準差S＝ ²

1

1 ( ) 1

n i i

n  x x

＝ －

－ ﹒

6. 參考數值﹕ ₂1.414﹔ 31.732﹔ 52.236﹔ 62.449﹔π3.142﹒

7. 對數值﹕log1020.3010﹐log¹⁰30.4771﹐log¹⁰50.6990﹐log¹⁰70.8451﹒

答 案

第一部分﹕選擇題 壹、單一選擇題　

1. (4) 2. (5) 3. (2) 4. (3) 5. (4)

貳、多重選擇題

1. (4)(5) 2. (1)(2)(3)(4) 3. (1)(2)(5) 4. (3)(4) 5. (2)(4)(5) 6. (2)(3)(5)

第二部分﹕填充題　 1. 11 2.

12

1 3. 5 4. 22 5.

3

2  6. 12 7.

11

54 8. 68 9. 60.8，6.3

解 析

第一部分﹕選擇題 壹、單一選擇題 1. n

1  n

2 …  n 10

n

55為整數

　n | 55 且 nZ ^　　n  1，5，11，55，共 4 個 2. f (2)  2³  2．2²  2  5  3

　g(x)  f ( f (x))除以(x  2)之餘式為 g(2)  f (f (2))  f (3)  3³  2．3²  3  5  11 3. 4  3i  5(

5 4 

5

3i)  5(cos  isin)，其中 37

4



令2k    2k  4

 ，kZ

原式  5(cos  isin)(cos  isin )  5[cos(   )  isin(   )]

∵　原式為小於 0 的實數

∴　

  









 0 ) sin(

1 ) cos(









　  (2n  1)  。又  2k  4

      2k

　2(n  k)  4

3   (2n  1)    2(n  k)  

　2(n  k)  4

3     2(n  k)  　　 為第二象限角 4. 《方法 1》

延長AP交BC於D，設

AD

AP

_____\

5 t AB

 ^\

_____

5

2 t AC

∵　B，D，C 三點共線　∴　 5

t  5

2t  1　　t  3 5

則

AD

_____\

3

5 AP

_____\

AD

_____\

3

1 AB

_____

3

2 AC

　△ABP  5

3 △ABD  5 3．

3

2 △ABC  5

2 △ABC

《方法2》

_____\

AP

_____\

5

1 AB

_____

5

2 AC

1 (

PB

PA

^PC

PA

　 ^\

_____

5

2 PA

_____

5

1 PB

_____

5

2 PC

PA

PB

^PC

∴　△PBC：△PAC：△PAB  2：1：2　　_△^△_ABC^ABP  5 2

5. 設 f (t)  100(1  2 ^{ kt})％　　f (3)  100(1  2 ^{ 3k})％  70％

　1  2 ^{ 3k}  100

70 　　2 ^{ 3k}  10

3

所求f (T)  100(1  2 ^{ kT})％  99％

　1  2 ^{ kT}  100

99 　　2 ^{ kT}  100

1 　　(2 ^{ 3k})3

T 

100

1 　　( 10

3 ) 3

T 

100 1

取log　　 3 T log

10

3   2　　 3

T (log3  1)   2

　 3 T 

1 4771 . 0

2



 　　T 

5229 . 0

6 11.47…

貳、多重選擇題 1. (1) L1：y  

a 1 x 

a

b ，m1   a

1  0　　a  0

(2) y 截距  a

b  0　　b  0

(3) L2：y   c 1 x 

c

d ，m2   c

1  0　　c  0

(4) y 截距  c

d  0　　d  0

(5)又 m1  m2　　 a 1  

c

1 　　 a 1 

c

1 　　a  c 2. 《方法 1》

_____\

AJ

AB

^BJ

AB

BF

^BC

AB

AE

AD

 ^_____

AB

_____\

2

1 AD

_____

2

1 AE

2 1

《方法2》

_____\

AJ

_____\

2

1 AB

_____

2

1 AG

_____

2

1 AB

1 ( ^_____

AB

AD

AE

 ^_____

AB

_____\

2

1 AD

_____

2

1 AE

2 1

3. (1) 2⁶ 8，³ 2⁶ 4 　　 2 ³ 2 0 (2) log23  log22  1　　log23  1  0 (3) log32  log33  1　　log32  1  0 (4) log

2

1 3  log₂¹ 1  0　　log₂¹ 3  0

(5) log

3 1

2

1  log¹₃ 1  0　　log₃¹ 2 1  0

4. (1) sinx  cosx  2[sin(x  4

 )]，週期為 2

(2) sinx  cosx  2[sin(x  4

 )]，週期為 2

(3) sinx  cosx |  2| sin(x  4

 ) |，週期為

(4) | sinx  cosx |  2| sin(x  4

 ) |，週期為

(5) sinx |，| cosx | 週期為　　| sinx |  | cosx | 週期為

5. 「若 x  0，則 y  0」「若 y  0，則 x  0」，「若 p，則 q」「若～q，則～p」

6. a之法向量^____\

n

n

n

n

n

(2)令^____\

n

n

(3)(4)(5)△ 

4 5 2

1 2 1

4 1





 a

 5  a，△z 

3 5 2

5 2 1

10 4 1









  31  0

當a  5　　△  0　　a，E1，E2交於一點 當a  5　　△  0，且△z  0

　a，E1，E2兩兩交於一線，且三直線互相平行（沒有共同點）

第二部分﹕填充題

1. 設 1 有 x 個， 1 有 y 個，0 有 50  x  y 個

則

  























107 ) 50

( 1 0

4

9 ) 50

( 0 )1

( 1

y x y

x

y x y

x

．

．

．

．

．

．

 











57 3

9 y x

y

x

 





 15 24 y

x

　0 有 50  24  15  11 個

2. (3，3，8，9)組成四位數的情形有 ₂⁴_!^! 12 種　　所求機率  12

1

3. 如下圖，A(1，0)，B(b，0)，b  1，△ABP 為正△

∴　設 P(

2

1

b ，

2

3 (b  1))，又 P 在拋物線：y²  4x 上

　[ 2

3 (b  1)]²  4．

2

1

b 　　3b²  14b  5  0

　(b  5)(3b  1)  0　　b  5，

3

1（不合）

4. 9 x2

16 y2

 1　　a  3，b  4，c  a²b²  5　　F1F2  2c  10 已知PF₁ ：PF₂  1：3　　|PF2 PF1 |  2a  6（雙曲線的定義）

　2PF1  6　　PF1  3，PF2  9 　△F1PF2之周長 PF1 PF2 F1F2  3  9  10  22

5.

ON

OP

|

ON

OP

|

|

|

| ^{\ \}

\

\

_____

_____

_____

_____

OP ON

OP ON

．

．

1 1

2 1

．

  

2 1

　NOP  3

2 　　圓 C 的劣弧

︵

NP

3 2

3 2  圓 C 即為球面 S：x² y²  z² 1 之大圓

圓心  球心，圓半徑 r  1

6. 設 kx²  7x  1  0 之兩相異實根為，

則．  k

1 且7²  4k  0　　k  4

49……

又71 5 

k 1 

71

6 　　 6 71 k 

5

71……

由，且 kZ　　k  12

7. 如下圖，設拋物線方程式為 x²  4cy，拱門高度為 h 則P(3， h)，Q(

2

5 ， h  2

3 )　∵　P，Q 在拋物線上

∴　



 













2 ) ( 3 4 2 ) ( 5

) ( 4 3

2 2

h c

h c

　　 4 25

9



2

 3



 h

h

　　h  11 54

8. E(X)  16．4  6[4．

3

1  (  1) 3

2 ]  3[4．

5

1  (  1) 5 4 ]

 64  4  0  68

9. y  5

9 x  32　　 ^y  ^x 5

9  32  5

9．16  32  60.8

SY  5 9SX 

5

9．3.5  6.3