數學統測最前線

統測數學 A 考情趨勢與考情剖析

106 年統測數學 A 考情趨勢

一、試題分析

106 年數學(A)試題除了「三角函數及其應用」5 題、「圓與直線」僅 1 題之外，其 餘章節皆 2 到 3 題，本份試題著重觀念理解，以基本運算、定義判斷取代繁瑣計算，

特別是第 5 題將統計分析以直方圖呈現，檢視學生視圖能力，頗有新意，但整份試卷 算是相當容易拿高分的試卷。

基本公式題：檢視考生是否能清楚題意、熟悉公式。

第 1 題：等差數列與等差級數公式 第 2 題：等比數列公式

第 6 題：斜率公式

第 7 題：一元二次不等式的計算 第 9 題：向量加法與逆向量

第 10 題：除法原理以及利用長除法求解 第 11 題：餘式定理

第 12 題：向量內積公式

第 17 題：圓的標準式與一般式中，圓心與半徑的判斷

數學統測最前線

龍騰貼心服務，給您最精準的分析！！

◆ 106 年統測數學 A 考情趨勢與考題剖析（P.1）

◆ 106 年統測數學 B 考情趨勢與考題剖析（P.13）

◆ 106 年統測數學 C 考情趨勢與考題剖析（P.24）

106 年

基本觀念題：著重考生對各單元觀念的理解。

第 4 題：有向角所在象限的判斷 第 5 題：統計圖表的判讀

第 13 題：指數運算

第 15 題：畫出三角形，分辨出直角三角形中，各角的三角函數值 第 16 題：圖解聯立二元一次不等式

第 18 題：不盡相異物的排列數計算 第 19 題：乘法原理與組合的統整計算

第 22 題：統計量經線性變換後的標準差計算 第 23 題：解析常態分配圖

第 24 題：繪出二元一次不等式圖形之後，利用可行解區域求出目標函數的最大、

最小值。

稍微有點變化題，但不難

第 3 題：扇形弧長與面積公式的綜合應用

第 8 題：利用銳角三角函數的定義，以正弦函數求出三角形對邊長。

第 14 題：此題須熟悉指對數定義的轉換，方能以簡馭繁，正確解題。

第 20 題： 兩骰子點數和的各種機率命題求解，包括點數和小於 7 的機率、點數 和為 5 的倍數的機率、聯集與交集的綜合運算。

第 25 題： 期望值的運算，首先須求出各種狀況的機率，再進一步利用期望值公 式求解，本題不難，但計算稍多，考生須耐心、細心計算。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 圓與直線 1

三角函數及其應用 5 數列與級數 2

向量 2 排列組合 2

式的運算 2 機率與統計 5

指數與對數及其運算 2

不等式及其應用 3

數學 A 參考公式

1. 在半徑 r 的圓內，圓心角  （弧度）所對應之扇形 弧長 S r   。

面積 1

²

A  2 r  。

2. 首項為 a ，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為

₁

 2

1

 1  

n

2

n a n d

S  

 。

首項為 a ，公比為

₁

r （ r  ）的等比數列前 n 項之和為 1

¹

 ¹ 

1

n n

a r

S r

 

 。 3. 平均數  、標準差  的常態分佈圖

4. 設有一組抽樣資料 x x

₁

,

₂

,  , x

_n

，其算術平均數為 x ，則樣本標準差為

 

²

1

1

n i i

x x n







 。

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 今有一等差數列 a ，若前二項為

_n

a

₁

 、 3 a

₂

 ，則此數列前16 項之和 2 S

₁₆

 (A) 80  (B) 72  (C) 64  (D) 56  。

總 分

106 統測數學 A 考題剖析

( ) 3. 設某扇形之弧長為 a 公分且其面積為 b 平方公分，若 2a b  ，則此扇形之半 徑為多少公分？

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 。

( ) 4. 四個有向角分別為甲： 640   、乙：123 、丙： 275 、丁： 640 ，則哪幾 個有向角在標準位置上是第四象限角？

(A)甲、乙 (B)丙、丁 (C)甲、丁 (D)乙、丙。

( ) 5. 某幼兒園班上 25位小朋友身高分佈之直方圖如圖(一)。今班上轉出一位身高 116 公分之小朋友，轉入一位身高113公分之小朋友，則此時班上小朋友身 高分佈之直方圖為何？

圖(一)

(A) (B)

(C) (D)

( ) 6. 求過坐標平面上兩點   ^{0,0 、}  ^{ 1,5}  ^{之直線的斜率為何？}

(A) 5  (B) 1 5

 (C) 1

5 (D)5 。

( ) 7. 下列何者為一元二次不等式 7 x

²

 48 x   的解？ 7 0 (A) 1

x   7 或 x  (B) 7 1 7 x 7

   (C) x   或 7 1

x  (D) 7 1 7 x 7

   。

( ) 8. 有一鐵鏈長度為 2 公尺的鞦韆，若一小朋友於鉛直方向兩側 擺動圓心角各 20 至 A、 B 二點如圖(二)，則線段 AB 長為多 少公尺？

(A) 4sin 20 (B) 2sin 40 (C) 4cos20 (D) 2cos40 。 ( ) 9. ABC △ 中，若向量 ^AB  ^  ^{3, 4 } 

， ^BC  ^   ^1,1

，則向量CA 

為何？

(A)  ^{4, 3  (B)}   ^{ 4,3}  ^(C)  ^{2, 5  (D)}   ^{ 2,5}  ^。

( ) 10. 已知 a 、b 為實數，若 x

³

 ax

²

 bx  有因式 6 x

²

  ，則 a b x 3   (A) 2  (B)0 (C) 2 (D) 4 。

( ) 11. 已知 a 為實數，若多項式 ^{f x}   ^{ 3 x}

³

^{ ax}

²

^{ 5 x  62 除以 x}  的餘式為 95 ， ³ 則 a 

(A) 7  (B) 5  (C) 3  (D) 1  。 ( ) 12. 設兩向量  ^{a }  ^{x  1,1} 

，  ^{b }  ^{x  2,2} 

。若滿足內積   a b   6

之 x 有兩解  、

 ，則    

(A) 1  (B)0 (C)1 (D) 2 。 ( ) 13. 已知 a 、b 為實數，若 32 2  且

^a

1

8 2

 ，則 a b

b

  (A) 2  (B) 1  (C)1 (D) 2 。

( ) 14. 若

₈

1

log a  ，則 2 log

₂

2

   a

    (A) 1

6 (B) 1

4 (C) 1

3 (D) 1 2 。

( ) 15. 在 △ ABC 中，已知    ， A 90 3

sin B  ，則sin 5 A  tan B  cos C  (A) 27

20 (B) 29

15 (C) 47

20 (D) 44 15 。

( ) 16. 下列聯立不等式中，何者之圖解如圖(三)陰影的部分？

(A) 1

0 x y x y

  

  

 (B) 1

0 x y x y

  

  

 (C) 1

0 x y x y

  

  

 (D) 1

0 x y x y

  

  

 。

( ) 17. 設圓 C

1

:  x  6  

²

 y  2 

²

 的半徑為 4 r ，

₁

圖(三)

圖(二)

( ) 18. 由 2 、 2 、 3、3、 4 、 4 、 4 這七個數字排成一列，則共可排成多少個不同 的七位數？

(A)140 (B) 210 (C)350 (D) 420 。

( ) 19. 某餐廳推出之套餐包含二種不同的配菜、一種主菜及一杯飲料。若有四種 配菜、三種主菜及五種飲料可供選擇，則共可搭配出多少種不同組合的套 餐？

(A)12 (B)15 (C) 60 (D)90 。

( ) 20. 投擲二粒公正骰子，設事件 A是點數和小於 7 的事件；事件 B 是點數和為5 的 倍數的事件，求 ^{P A B}  ^  ^

(A) 1

9 (B) 5

36 (C) 1

3 (D) 1 2 。

( ) 21. 若 y  sin 2 x 的週期為 a ， y  2sin x 的週期為 b ，則 a  2 b  (A) 2  (B) 4  (C)5  (D) 6  。

( ) 22. 有50 個數值資料 x x

₁

,

₂

,  , x

₅₀

，現將每個數值均乘以 0.6 再加上 40 後，得到 新的 50 個數值資料 0.6 x

₁

 40, 0.6 x

₂

 40,  , 0.6 x

₅₀

 40 。若新資料的標準差 為15 ，則原資料 x x

₁

,

₂

,  , x

₅₀

的標準差為何？

(A)9 (B) 25 (C) 49 (D) 65。

( ) 23. 某次數學考試共有1000 人參加。若成績呈常態分配，且平均數為 62 分，標 準差為8分，則成績低於 70 分的人數為何？

(A)介於581人與 660 人之間 (B)介於 661人與 740 人之間 (C)介於 741人與820 人之間 (D)介於821人與900 人之間。

( ) 24. 在聯立不等式

0 6

2 2

x y y

x y

  

  

  



的條件下，若 ^{f x y}   ^{,   x 2 y 的最大值為 M ，最小}

值為 m ，則 M m  

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8。

( ) 25. 某公司年終尾牙摸彩活動，將10 顆大小、重量皆相同的球放在袋中，其中 有 3顆紅球、 6 顆白球、1顆金球。假設每顆球被取出的機率相等，每位員 工自此袋中取出兩球，給獎規則如下：

(1)取出兩球之中有金球者為特獎，可得 20000 元獎金；

(2)取出兩球均為白球者為貳獎，可得 2400 元獎金；

(3)取出兩球為一紅球、一白球為參獎，可得1000 元獎金；

(4)取出兩球均為紅球者，則沒有獎金。

若依上述規則進行抽獎，則每位員工得到獎金的期望值為多少元？

106 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 106 年 5 月 8 日公布之標準答案

1.

(1) 等差數列公式：

 

1 1

an a n d

(2) 等差級數前n 項和公式：

 

2 1 1

n 2

S  n a  n d

由a2 a1



2 1



d

 2 3 1 d   得d  1

故 16

   

16 2 3 16 1 1 72 S  2         

2.

等比數列第n 項公式：a_n a r₁ ^n1

若a 、2 、 3 、 b 為一等比數列

則 3

r 2

且2 ar  3

2  得a 2 4 a 3 3

b r  3 3 2

b  得 9 b 2

所以 4 9 35

3 2 6 a b   

3.

扇形弧長S r ，面積 1 ² A2r  設扇形圓心角為，半徑為r 則 1 ₂

2 a r b r





 

 

∵ 2a b  1 ₂ 2 2

 

 







a r a r









由

得 1 2

2a 2r a r



   1

22r 所以r 4

4.

(1) 象限角觀念：

一：0     90 二：90   180 三：180   270 四：270   360 (2) 同界角觀念：

2 1 2n

   （n 為整數），則₁與₂為同 界角

甲：640 360   ， 02 80      80 90 ∴ 第一象限角

乙：123  90 123 180 ∴ 第二象限角

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C

11.A 12.A 13.C 14.D 15.C 16.A 17.D 18.B 19.D 20.D

21.C 22.B 23.D 24.C 25.A

丁：640 360 1 280  ，270 280 360 ∴ 第四象限角

故(丙)(丁)為第四象限角

5.

直方圖的資料整理與次數分配表的繪製 (1) 將原題改為次數分配表

身高 人數

95～100 2

100～105 5

105～110 7

110～115 7 ←7 1 8 

（轉入一位113 cm）

115～120 4 ←4 1 3 

（轉出一位116 cm）

(2) 轉出一位116 公分，轉入一位113 公分，

其餘不變 故直方圖為圖(B)

6.

斜率公式：已知兩點A x y 、



1, 1



B x y ，



2, 2



則過兩點之斜率 ^{2 1}

2 1

y y m x x

 



兩點

 

^{0,0 、}



^1,5



由 ^{2 1}

2 1

y y m x x

 

 ，得 5 0 1 0 5 m   

 

7.

一元二次不等式



^x



^x



^{ （0   ），}

其解為x 或 x  

解7x²48x  7 0





^7x1



^x7



^{ 0}

8.

銳角三角函數，sin 對邊 斜邊

由圖，可先求出AM 在△OAM中，sin 20

2

  AM

 AM 2sin 20 故AB4sin 20

9.

(1) 向量加法 AB BC

  

 AC (2) 逆向量BA

 

 AB 由AB BC

  

 AC

故^AC



^



^{3, 4 }

   

^{1,1     3 1, 4 1}

 

^{4, 3}



則^CA

 

^{ AC }



^4,3

 10.

利用除法原理：被除式 除式 商式  餘式

3 2 6

x ax bx 有因式x²  x 3 可利用長除法且其餘式 0

   

   

2 3 2

3 2

2 2

2

2

3 6

3

1 3 6

2 2 6

3 5 0

x

x x x ax bx

x x x

a x b x

x x

a x b x



    

 

   

  

   

餘式為0 ，則a  ，3 0 b  5 0

 a  ，3 b 5 故a b     3 5 2

［另解］

3 2 6

x ax bx 有因式x²  x 3 可利用長除法且其餘式 0

   

1 2

1 1 3 1 6

1 1 3

1 3 6

2 2 6

0

a b

a b



    

 

   

  



^a     ¹

  

^{2 0} a  3



^{b    3}



^{2 0 b 5}

故a b     3 5 2

11.

餘式定理： ^{f x 除以 x a}

 

^{ 的餘式為 f a}

 

由餘式定理可知^{f x 除以}

 

^{x 的餘式為95 3}

即 ^f

 

^{3 95}

故3 3     ³ a 3² 5 3 62 95

 9a95 81 15 62  

 9a  63

∴ a  7

12.

向量內積公式：



1, 1



u  x y



、



v 



x y2, 2



則

 

u  v x x_{1 2}y y_{1 2} 由



^{a }



^x1,1



，



^{b }



^x2,2



，

 

a  b 6 得



^x1,1

 

^{ x 2,2}



^{ 6}





^x1



^x2



^{   1 2 6}

 x²   x 6 0





^x3



^x2



^{ 0}

∴ x  或 2 3

故可設   ，3  ，則2        3 2 1

13.

指數運算性質：

(1)

1 n n

a  a (2)

m m n n

a  a (3) _n 1 a n

a

 

32 2 ^a  ^{25 }

 

^{25 12 252 2a}

∴ 5 a 2 1 2

8

 b 

 

3 1 3 2

3 3 2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

 b

   

∴ 3

b  2

故 5 3

2 2 1 a b    

14.

log 定義： log_ab x  a^x  b

由 ₈ 1

log a 2

可得^{a812 }

 

^{23 12232}

所求

3 3

2 1

2 2 2 2

log log 2 log 2

2 2

a   ^

   

   

   

1 2 2

log 2 1

  2

15.

(1) 銳角三角函數定義：

sin 對邊

斜邊、cos  鄰邊 斜邊、 tan 對邊

鄰邊

(2) 象限角的三角函數值：

sin 0  、 sin900   、 sin1801   、 0 sin 270   1

如圖

sin 3

B ，可設5 CA 、3 BC 5 故AB 4

則 3 3

sin tan cos sin 90

A B C    4 5 3 3 47 1 4 5 20

   

16.

二元一次不等式的解區域

: 0

L ax by c   ，a 0

若ax by c   圖形為直線 L 及其右側半平0 面

由圖可知其包含直線x y  及其右半部 1 則x y  1

且包含直線x y  及其右半部 0 則x y  0

故所求為 1

0 x y x y

  

  



17.

圓方程式：

(1) 標準式 



^{x h}

 

^{2 y k}



^{2 ， r2}

圓心

 

^{h k ，半徑 r,}

(2) 一般式  x²y²dx ey   ， f 0

圓心 ,

2 2 d e

  

 

 ，半徑1 ^{2 2} 2 d  e 4f

  

²



²

1 : 6 2 4

C x  y  圓心



^{  ，半徑6, 2}



^r₁^{ 4 2}

2 2

2 : 12 6 20 0

C x y  x y  圓心 ^{, 12, 6}

 

^6,3

2 2 2 2

d e  

      

   

   

半徑 ₂ 1 ^{2 2} 2 4

r  d  e f

   

^{2 2}

1 12 6 4 20 5

2       又二圓心距離^d



^{6 6}

 

^{2 3 2}



^{2  13}

∴ d r r  _{1 2} 13 2 5 6  

18.

不盡相異物「全取」的排列數：

1 2 3 k

m m m   m n（第一類有m 件，₁ 第二類有m 件，…，第 k 類有₂ m 件）， _k 則此n 件不完全相異物全取的直線排列數為

1 2

!

! ! _k! n m m m

2、2、3、3、4、4、4 全取，排成七位數 共有 7!

2! 2!3!210個不同的七位數

19.

(1) 乘法原理：完成一件事有k 步驟 第一步：m 種方法 ₁

第二步：m 種方法 ₂ 

第k 步：m 種方法 _k

可知完成這件事共有m m₁ ₂  m_k 種 方法

(2) 組合：n 中取 m 的組合方法數（C ） ⁿ_m

配菜4 選 2 ，且主菜 3 選1，且飲料 5 選1 由乘法原理可知

4 3 5

2 1 1 90

C C C  （種）

20.

(1)

   

 

P A n A

n S

(2) ^{P A B}



^



^{P A}

 

^{P B}

 

^{P A B}



^



(1) A ：點數和小於7 的事件



和為²

 

^ 和為³

 

^ 和為⁴

 

^ 和為⁵

 

^ 和為⁶



 

1,1

 

1,2

 

1,3

 

1,4

 

1,5

 

^2,1

 

^2,2

 

^2,3

 

^2,4

 

^3,1

 

^3,2

 

^3,3

 

4,1

 

4,2

 

5,1

 

¹⁵

n A 

 

¹⁵

P A 36

(2) B ：和為 5 的倍數



和為⁵

 

^ 和為¹⁰



 

^1,4

 

^4,6

 

^2,3

 

^5,5

 

^3,2

 

^6,4

 

^4,1

 

⁷

n B 36

(3) A B ：即和為 5

故^{n A B}



^



^{ ，4}

 

⁴

P A B 36 (4) ^{P A B}



^



^{P A}

 

^{P B}

 

^{P A B}



^



15 7 4 18 1 36 36 36 36 2

    

21.

(1) siny x的週期為2 (2) siny kx的週期為2 k



sin 2

y x的週期為2

2  （ a ） 2sin

y x的週期為2 （ ） b 故^{a2b  2 2}

 

^{ 5}

22.

一組數值x 為x x₁, ₂,, x_n y 為y y₁, ₂,, y_n 其中y_iax_i ，則b S_y  a S_x

（S 、_x S ：分別為數值 x 、 y 的標準差） _y

將原資料作線性變換 0.6 40

i i

y  x 

則新標準差S_y 0.6S_x 即15 0.6  S_x 故S_x 25

23.

常態分配之68 95 99.7  法則，

有68% 的資料落在區間



^{    , }



^中

低於70 分的人約占： 50% 34% 84% 

∴ 84

1000 840

100

故選(D)介於 821人到 900 人之間

24.

線性規劃的解法步驟：

圖解聯立不等式

 求出各頂點坐標

 分別代入目標函數 ^{f x y}

 

^,

求出最大、最小值

0 0 1

0 1 6

2 2 0 1

2 0 x y x

y y

x y x

y

   

 



    



求 ^{f x y}

 

^{,  x 2y之最大值M ，最小值m}

 

^{6,6 6}

f  

 

^{4,6 8}

f    m

 

^{2,2 2}

f   M

∴ ^{M m}     

   

^{2 8 6}

25.

期望值公式：E P M 

有金球 均白球

（二白）

一紅

一白 二紅 M 20000 2400 1000 0

P

1 9

1 1

10 2

C C C

 ⁶₂

10 2

C C

6 3

1 1

10 2

C C C

 ³₂

10 2

C C

‖ ‖ ‖ ‖

9 45

15 45

18 45

3 45

9 15 18 3

20000 2400 1000 0

45 45 45 45

E       

5200 （元）

統測數學 B 考情趨勢與考情剖析

106 統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

1. 今年考題仍為偏易，且命題順序與四冊章節相同，讓考生在解題過程中，有集中思 考方向之優勢。

2. 考題著重各章節之基本定義及基礎概念之運算，對於不放棄的考生皆可獲得 60 分 以上的機會。

3. 此份考題部分強調幾何與代數的結合，如第 2、23 題，皆可用繪圖輕易求出。

4. (1) 計算型的題目：

答案皆調整為整數，大幅降低考生失誤率及提升信心，更能讓學生於計算後，

簡易的代回題目驗算確認。

如第 1、5、8、9、10、12、13、17、24、25 題。

其中，第 25 題：積分後的反導函數無分數計算。

(2) 答案為分數的題目：

為單獨計算或著重概念方向，降低大量化簡通分的運算時間。

第 3 題： A、B 兩點坐標有分數及根號，但是 x 坐標皆相同，讓 AB 降為一維距 離計算。

第 6 題：分母為 100 跟 2，通分計算簡易。

第 19 題：誤差值不須計算，只須了解大於或小於原先誤差即可。

第 22 題： 所求距離（貫軸長及長軸長）皆為標準式中輕易得出，不須運用

2 2 2

a  b  等換算其他長度。 c

5. 考題不再為死記型單一解法，對於仔細觀察題目式子之學生，可避免冗長之計算。

第 4 題：利用廣義角畫出三角形求其他三角函數值，易犯正負之錯誤。

第 7 題： 不利用乘法公式提出相同倍數，用常用對數值 0.3010、0.6990，雖可計算 出答案，但計算量大。

106 年

6. 對於數值範圍熟稔之同學，可輕易剔除部分選項。

第 4 題：sin   、cos 0   ，角度為第二象限。所求 tan 0   sec   ，(C)(D)剔除。 0 第 6 題：

2 15

3

243

0.027 1 1 2 32

 

        ，(C)(D)剔除。

第 7 題：  ^{log 2} 

²

 log 2 log5 log5 1 1 1 3       ，(A)(B)剔除。

第 14 題：主菜有三種選擇非常容易，故答案應為 3 的倍數，(A)(B)剔除。

第 20 題：sin   3 cos    1 3 2.732  ， a  ，(A)(D)剔除。 3 值得一提，第 2 題：如果算出 a  ，則答案僅(A)符合。 3

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 不等式及其應用 1

三角函數 3 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 2 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 2

式的運算 2 二次曲線 2

方程式 2 微積分及其應用 2

數學 B 參考公式

1. 三角函數的和角公式： ^sin  ^{  }  ^{ sin cos    cos sin   。}

2. △ ABC 的餘弦定理： a

²

 b

²

 c

²

 2 cos bc A 。

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 在坐標平面上，若直線 L 通過兩點 ^A   ^{2, a ， B a}   ^{,5 ，且直線 L 的斜率為 2 ，}

則 a 

(A) 2  (B)1 (C) 2 (D)3。

( ) 2. 已知 y  2sin x  ， 0 1   x 2  的圖形與水平線 y  、 1 y  、 0 y   的交點 1 個數分別為 a 、b 、 c ，則下列何者正確？

(A) a  、 3 b  、 2 c  (B) 1 a  、 2 b  、 2 c  2 (C) a  、 2 b  、 3 c  (D) 2 a  、 1 b  、 3 c  。 1 ( ) 3. 已知 A點坐標為 cos ,sin

6 6

 

 

 

  ，B 點坐標為 11 11 cos ,tan

6 6

 

 

 

  ，則線段 AB 的 長度為何？

(A) 1 3

2  3 (B) 2 3

2  3 (C) 1 3

2  2 (D) 1 2 3 2  3 。 ( ) 4. 已知 7

sin   25 ， 24

cos   ^ 25 ，則 tan   sec   (A) 4

3

 (B) 1 7

 (C) 1

7 (D) 4 3 。

( ) 5. 已知坐標平面上三點 ^A   ^{1, a 、 B}   ^{2,3 、 C}   ^{5,1 ，若向量內積 AB BC}   ^

的值為 1，則 a 

(A) 3  (B) 1  (C)1 (D) 2 。 ( ) 6. 求  

1

2 5

3

243

0.027  

   的值。

總 分

106 統測數學 B 考題剖析

( ) 7. 求  ^{log 2} 

²

 log 2 log5 log5   的數值。

(A) 4 (B)3 (C) 2 (D)1。

( ) 8. 若 a 為正整數，且1、 a 、 2a 為等比數列，則 a

²

  1 (A)1 (B) 2 (C)5 (D)10 。

( ) 9. 已知多項式 ^{f x}   ^{ 2 x}

²

^{ 5 x  ， 2 g x}   ^{ x}

³

^{ x}

²

^{ ax b  。若 f x}   ^{ g x}   ^可以

被 x

²

 整除，則 a b 1   (A) 2  (B)0 (C)3 (D)5 。

( ) 10. 已知 x  為多項式 1 ^{f x}   ^{ x}

²

^{ ax b  的因式。若 f x 除以}   ^{x  的餘式為6 ， 1}

則3 a  2 b 

(A) 10  (B) 5  (C)1 (D)5 。

( ) 11. 已知一元二次方程式 x

²

   有兩相異實根 a 、b ，若 a b x 5 0  ，則b a   (A)1 (B) 5 (C) 2 5 (D) 21 。

( ) 12. 若兩個三階行列式的和

3 2 1 3 2 1

2 2 2 2

4 2 3 4 2 3

a a







之值為 20 ，則 a 

(A) 1

2 (B) 2 (C) 5

2 (D)3。

( ) 13. 若一元二次不等式 x

²

 2 x   的解為 a x b 3 0   ，則 a b   (A) 3  (B) 1  (C) 2 (D)3。

( ) 14. 某自助餐店提供80 元的便當，便當中除了白米飯之外，還包含一種主菜以 及三種不同的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、魚排 3種，另有8種 不同的配菜，則共可搭配出多少種不同組合的 80 元便當？

(A)59 (B)112 (C)168 (D) 210 。

( ) 15. 某飲料店有5 位假日工讀生，工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與 晚班等 4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班，如果規定同一人不可以 連續排班，至少要隔一個時段上班，則共有幾種排班方式？

(A)81 (B) 270 (C)900 (D)1000 。

( ) 16. 同時投擲兩粒公正骰子，兩粒骰子點數之和為5 的倍數之機率為何？

(A) 1

12 (B) 1

9 (C) 7

36 (D) 1 3 。

( ) 17. 已知一袋中有大小相同的球共34 顆，每顆球上有一個號碼，34 顆球的號碼

皆不同，分別是1至34 號。今從袋中隨機取出一球，假設每顆球被取到的機

會均等，並規定：取出的球號是 5 的倍數時可得51元，取出的球號是 7 的倍

數時可得 85 元，其他的情況時可得17 元，則自袋中任取一球，得款的期望

值為多少元？

( ) 18. 某班有 40 位同學，第一次期中考數學成績的次數分配表及以下累積次數分 配表如表（一） ，求 a b c d    

成績（分） 0～20 20～40 40～60 60～80 80～100

次數 4 a 10 12 c

以下累積次數 4 12 b 34 d

表（一）

(A)50 (B) 64 (C) 70 (D) 76 。

( ) 19. 研究人員為了調查秋刀魚的長度（以公分計） ，隨機捕獲秋刀魚若干條，逐條 記錄長度，並據之求出秋刀魚長度的 95% 信賴區間為  30 0.85,30 0.85    ， 若利用同樣數據計算出秋刀魚長度的 99% 信賴區間為  ^{a b a b  ,  ，則下列} 

敘述何者正確？

(A) a  30 且 b  0.85 (B) a  30 且 b  0.85 (C) a  30 且 b  0.85 (D) a  30 。

( ) 20. 已知 ^{sin   3 cos    a sin}  ^{  b}  ^{， a  ， 0 0   b 2  ，則下列何者正確？}

(A) a  ， 4

b _{ (B)}  6 2 a  ，

b _{ (C)}  3 2

a  ， 4 b _ 3 

(D) a  ， 4

b _{ 。}  3 ( ) 21. 已知 △ ABC 三內角  、 B A  、 C  的對應邊長分別為 a、b、c。若 a  2 ，

2

b  ， c  3 1  ，則最大內角的角度為何？

(A)105 (B)120 (C)135 (D)150 。 ( ) 22. 已知雙曲線

2 2

: 1

25 16 x y

H   兩頂點的距離為 a ，橢圓 :

^{2 2}

1 16 25

x y

E   長軸長 為b ，則 a b  

(A)16 (B)18 (C) 20 (D) 22 。 ( ) 23. 已知橢圓

2 2

: 1

16 4 x y

E   與圓 C : x

²

 y

²

 8 x  12 0  ，則橢圓 E 與圓C 有多 少個交點？

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 。 ( ) 24. 求函數  

²

^{2 2}

2 x x f x x

 

  在 x  的導數。 1 (A) 9  (B) 8  (C) 7  (D) 6  。

( ) 25. 求定積分 _

₀²

^{6 x x} 

²

^{ 1} 

²

^{dx 之值。}

(A) 24 (B) 26 (C) 28 (D)30 。

106 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 106 年 5 月 8 日公布之標準答案

1.

利用直線上任兩點所構成的斜率即為此直線 的斜率，便可輕易求出。



₁^, ₁



A x y ，^{B x y}



₂^, ₂



 ^{2 1}

2 1

AB

y y

m x x

 

 （x₁ ） x₂

A 、 B 兩點在直線 L 上

 m_ABm_L

 5 2 2 a a

 

  5 a 2a 4

 3a  9 a 3

2. 〈法一〉

幾何求法：

需了解sin x 圖形及上下伸縮、平移的概念，

繪出其函數圖形，方可輕易看出交點

由上圖可看出a ，3 b ，2 c 1

〈法二〉

代數解法：

知(1)方程式的聯立解就是圖形的交點 (2) sin x 特殊值所換算的角度

若y2sinx  1 1

 2sinx  sin0 x 0

 x ，0  ，2  a 3 若y2sinx  1 0

 2sinx   1 1 sinx  2

 7 x 6

 ，11 6

  b 2

若y2sinx   1 1

 2sinx   sin2 x  1

 3

x_ 2 _ 1 c

3.

三角函數廣義角的換算及兩點的距離

cos11 cos 2 cos

6 6 6

  ^  ^ ^ ^

cos 3 6 2

  

tan11 tan 2 tan

6 6 6

  ^  ^ ^ ^

   

tan 1

6 3

    

cos ,sin 3 1,

6 6 2 2

A      A^ ^

11 11 3 1

cos , tan ,

6 6 2 3

B     B^  ^

∴ 1 1 1 3

2 3 2 3

AB    

1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B

11.D 12.B 13.C 14.C 15.B 16.C 17.A 18.D 19.A 20.B

21.C 22.C 23.B 24.A 25.C

4.

三角函數之商數關係及倒數關係 tan sin

cos

 

  及 1

sec cos

 

sin 1 sin 1 tan sec

cos cos cos

 

 

  

    

7 32

1 32 4

25 25

24 24 24 3 25 25

        

［另解］

sin 7 0

25  第一、二象限 cos 24 0

 ^25   第二、三象限

∴ 第二象限

故 7 25 32 4

tan sec

24 24 24 3

       

 

5.

兩點求向量，向量坐標表示法的內積運算 (1) A x y 、



1, 1



B x y



2, 2



 AB







x2x y1, 2y1



(2)



a 



x y1, 1



、



b 



x y2, 2





 

a  b x x_{1 2}y y_{1 2}



^{2 1,3}

 

^1,3



AB



  a  a



^{5 2,1 3}

 

^{3, 2}



BC



    

∵ AB BC

 

 1

 ^{1 3}     



^{3 a}

  

^{2 1}

6.

指數律基本運算

 

^{an manm}

 

2 15

3 243

0.027

32

 

  

 

2 1

3 5

27 243 1000 32

   

   

2 1

3 3 5 5

3 5

3 3

10 2

   

   

   

2 1

2 1

3 3 9 3 9 150 159 10 2 100 2 100 100 100

      

7.

知悉常用對數

 

log 2 log 5 log 2 5   log10 1



^{log 2}



²log 2 log 5 log5 

 

log 2 log 2 log5 log5

  

log 2 log10 log5

  

log 2 log5 log10 1

   

8.

等比數列任一項除以前一項皆為公比

1 n

n

a r a

 

1、a 、 2a 為等比數列

 2

1

a a

r a

  （r 為公比）

 a² 1 2a  a²2a

∵ a 為正整數^同除^a a 2

∴ a²  1 5

9.

(1) 多項式加法運算（同類項合併）

(2) 多項式直式除法（長除法）

(3) 整除  餘式為零

   

^{3 2}



⁵

 

²



f x g x x x  a x b 利用直式除法

   

   

   

2 3 2

3 2

2

2

1

0 1 5 2

0

6 2

0 1

6 1

x

x x x x a x b

x x x

x a x b

x x

a x b



      

 

   

 

  

因為整除  餘式為 0

 a  且6 0 b  1 0

 a ，6 b  1 故a b  5

10.

(1) 餘式定理：

 

f x 除以 ax b 之餘式 b f a

 

   (2) 因式定理：

 

f x 有 ax b 之因式  b 0 f a

 

 

 

1

x 為 ^{f x}

 

^{x2ax b 因式}

 ^f

 

^{1   10}     ^{a b 0}

 

f x 除以x 的餘式為 6 1

 ^f

 

^{   11 6}     ^{a b 6}



  得 2a   6 a  3 代入得1 3    b 0 b 2

∴ ^3a2b       ³

 

^{3 2 2 5}

11.

一元二次方程式公式解：

2 0

ax bx c   ² 4 2 b b ac

x a

  



利用公式解x²   x 5 0

 ^{1 12 4 1}

 

⁵

x      2



1 21

   1 21

∵ a b  1 21

a 2 ， 1 21 b 2

 b a  21

［另解］

利用根與係數求解

a 、 b 為x²   兩根 x 5 0



1 1 1 5 5 1 a b ab

     

 

   





^{b a}

 

^{2 b a}



^24ab

 

^{1 2 4 5}

 

²¹

    

∵ a b

 b a  21

12.

行列式：

a x P d a x d a P d b y Q e b y e b Q e c z R f c z f c R f



  



 

 

3 2 1 3 2 1 3 2 2 1

2 2 2 2 2 2

4 2 3 4 2 3 4 2 2 3

a a a a

  

  

  

 

3 0 1 3 0 1

2 2 2 2 1 1 2 9 4 10 4 0 3 4 0 3

a a a a a

    

依題知10a20  a 2

［另解］

原式 

 

 

3 2 2 1

2 2 20

4 2 2 3 a a

 

 

 



3 0 1 2 2 2 20 4 0 3

a 

由第2 行展開得 2 3 1 20

a4 3 

 

2a 9 4 20

 10a20

13.

(1) 一元二次不等式求解（含一元二次因式分 解）

(2) 若  ，



^x



^x



^{ ， 0}

則   x 

2 2 3 0

x  x 





^x3



^{x  1}



⁰

 1   x 3

依題a x b   a  及1 b 3

∴ a b  2

14.

(1) 從n 個相異物中選 m 個之方法數Cⁿ_m (2) 計數之乘法原理

主菜：雞腿、排骨、魚排，3 選1之方法數為

3

1 3

C 

配菜8 種選 3 種之方法數為 ⁸₃ 8 7 6 3! 56 C     由乘法原理知：

便當組合共有3 56 168  （種）

15.

(1) C 之組合數運算 ⁿ_m

(2) 將時段分順序依序選取下一時段之方法 數

有一、二、三、四，共4 個時段 第一時段從5 人中選 2 人

 ⁵₂ 5 4 2! 10

C 

 

第二時段從剩下3 人中（第一時段選中 2 人 不可連續）選2 人  C³₂ 3

同第二時段之選取方式  第三時段及第 四時段皆為3 種

一 二 三 四 ↑ ↑ ↑ ↑

5

C2 C³₂C³₂C³₂270

第三時段剩的1人再加 第二時段 2 人，共 3 人 第二時段剩的1人再加第一時 段 2 人，共3 人

16.

(1) 列舉所求之所有情況

(2) 古典機率之算法

   

 

P A n A

n S

兩粒骰子擲出點數a 點、 b 點 記為序對

 

^{a b ,}

  

^{a b a b,  5或a b 10}



             



4,1 , 3,2 , 2,3 , 1, 4 , 6, 4 , 5,5 , 4,6





 7 種

樣本空間^{n S}

 

^{  6 6 36}

∴ 所求 7

36

［另解］

點數和 5 10

個數 4 3

故所求 4 3 7 6 6 36

P 

 



17.

期望值

1 n

i i

i

E m p







 ^{（m 為發生事件機率i pi} 的報酬）

1～34 號中

5 的倍數有 5 、10、15、20、25、30

 共 6 種

7 的倍數有 7 、14、21、28  共 4 種 不是5 也不是 7 的倍數有 34 6 4 24   （種）

18.

了解以下累積次數的計數意義即可

全班40 人，故100 分以下累積次數 40  d 40 分以下人數

20分以下人數^



²⁰～⁴⁰



分人數

 12 4 a   a 8 60 分以下人數

40分以下人數^



⁴⁰～⁶⁰



分人數

 b12 10  b22 100 分以下人數

80分以下人數^



⁸⁰～¹⁰⁰



分人數

 40 34 c   c 6 8 22 6 40 76 a b c d       

19.

信心水準與信賴區間的意義，並了解增加誤 差可擴大信賴區間  提高其信心水準

95% 信賴區間為



30 0.85,30 0.85 



 此調查之統計數值 30 ，誤差0.85 同樣數據之統計數值相同  a30

95% 增加至 99% 之信賴區間，在樣本相同下

 須擴大誤差  b0.85

20.

疊合公式：

sin cos a b 

2 2

2a 2sin 2b 2cos

a b

a b  a b 

 

    

 

 

 

2 2 cos sin sin cos

a b    

  

 

2 2sin

a b  

  

其中cos 2a 2

a b



 ，

2 2

sin b a b





利用疊合公式

 

sin sin 3 cos a b   

1 3

2 sin cos 2  2 

 

   

2 cos sin sin cos

3 3

   

 

   

2 sin cos cos sin

3 3

 

 

 

   

2sin 3

 

 

   

∴ a ，2 b_ 3

21.

(1) 餘弦定理：

2 2 2

cos 2

a c b

B ac

  

(2) 三角函數特殊角在廣義角的值

∵ b a c    為最大內角 B

   

 

2 2

2 2 2 2 3 1 22

cos 2 2 2 3 1

a c b

B ac

  

   



   

2 4 2 3 4 2 2 3 2 2 3 1 2 2 3 1

   

 

 

 

 

2 1 3 1

2 2 3 1 2

   



又0   B 180   B 135

22.

知悉橢圓及雙曲線的標準式，並能區分標準 式中每個數字所代表之中文意義

雙曲線兩頂點距離即為貫軸長

 ^{2 2} 1 25 16 x y

  之貫軸長 2  25 10

又

2 2

16 25 1

x  y  之長軸長 2  25 10

∴ a b 20

23.

化為標準式，簡略繪出圖形，即可觀察得知 利用幾何圖解

圓C : x²y²8x12 0





^x4



^{2y2 22}

由圖可知交於2 點

［另解］

利用代數求解

2 2

2 2

16 4 1

8 12 0 x y

x y x

  



    









 由得

2

2 4

4

y  x ，代入得

2 4 2 8 12 0

4

x  x  x 

 4x²16x²32x48 0

 3x²32x64 0



³²



^{2 4 3 64 0}

D      故x 有二實數解  有 2 交點

24.

微分公式：

   

 

f x h x

 g x



         

 

²

g x h x g x h x

f x g x

  

 

 

 

利用微分公式

      ^{ }  

 

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

x x x x x x

f x x

 

      

 





^{x2 2}



^x2



^{ 1}



^x22x2



［另解］

     

1

1 lim 1

1

x

f x f

f ^ x

  



2

 

1

2 2 2 5 lim^x 1

x x x

x



   

 



2

1

2 2 5 10 lim 2

1

x

x x x

x x



   

 



  

2

1

7 8 lim^x 2 1

x x

x x



 

  

  

  

1

8 1

lim^x 2 1

x x

x x



 

  

1

lim 8 9 2

x

x x



   



25.

(1) 1 ¹

1

n n

x dx x c

n

  





(2) 積分之代數變換

令u x ²  1 du 2 dx x

 1

xdx 2du 當x 時，2 u2²  1 3 當x 時，0 u0²   1 1

故原式 ^{3 2}

1

6 1

u 2du





  

3 2 33

1 1

3 3 1

u du 3u

 





 

^{  33}

 

^{1 327 1 28 }

［另解］

 

2 2 2

06x x 1 dx



 

2 4 2

06x x 2x 1 dx





 

 

2 5 3

0 6x 12x 6x dx





 



^{x6 3x4 3x2}



²

  