面滾式直傘齒輪閉迴路製造方法之研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

面滾式直傘齒輪閉迴路製造方法之研究 研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 100-2221-E-011-045-

執 行 期 間 ： 100 年 08 月 01 日至 101 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學機械工程系

計 畫 主 持 人 ： 石伊蓓

計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：李羿慧 碩士班研究生-兼任助理人員：伍志明 碩士班研究生-兼任助理人員：黃雅絹

公 開 資 訊 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1 年後可公開查詢

中 華 民 國 101 年 07 月 06 日

中 文 摘 要 ： 面滾式加工法為連續加工，具有加工速度快、精度高與齒面 性能佳等優點，然而面滾式加工法用於外擺線軌跡的戟齒輪 或螺旋傘齒輪的加工中。2009 年德國克林根貝格公司發表了 當滾動圓半徑為內擺線基圓半徑為的一半時，其軌跡退化為 直線，利用此關係來進行面滾式直傘齒輪的加工。

上一個計畫根據泛用搖台傘齒輪切齒機建立面滾式直傘齒輪 齒面數學模式，由於泛用搖台切齒機為虛擬機台，無法用於 實際加工，本文使用六軸 CNC 傘齒輪切齒機做為切削機台，

其機械設定藉由泛用搖台切齒機所推導而來。根據格里森面 滾式螺旋傘齒輪和戟齒輪技術報告規劃面滾式直傘齒輪加工 NC 碼，並建立六軸 CNC 傘齒輪切齒機齒面拓樸修正方法。最 後利用六軸 CNC 傘齒輪切齒機進行切削實驗，實驗結果驗證 了六軸機械設定與加工 NC 碼的正確性。加工後的齒輪經由齒 輪量測專用機求得齒面拓樸誤差，根據齒面誤差修正方法修 正刀具參數與機械設定，並利用修正後的參數求出新的齒面 並比對齒面拓樸誤差。根據以上數據以及實驗結果，驗證本 文數學模式的正確性。

中文關鍵詞： 面滾式直傘齒輪切製法、六軸 CNC 傘齒輪切齒機、機械設 定、齒面誤差修正

英 文 摘 要 ： Face-hobbing method is a continuous cutting process.

It has high productivity, precision, and produced gears with better contact bearing. Nevertheless, this method is implemented in the hypoid gear and spiral bevel gear cutting process, and generates extended epicycloidal flanks. In 2009, the German company Klingelnberg disclosed a new face-hobbing method for manufacturing the straight bevel gears. Klingelnberg introduced a hypocycloidal straight mechanism for cutting straight bevel gears. In this mechanism, setting the radius of the rolling circle equals to half of the radius of the base circle yields straight lines.

According to the mathematical model of the face- hobbed straight bevel gear developed based on a universal cradle-type face-hobbing bevel gear

generator is given. We want to make an experiment to verify the correction of the established mathematical model of face-hobbed straight gear. However, this universal cradle-type generator is a virtual machine, which cannot be used in the real manufacture.

Instead, we use the six-axis CNC bevel gear cutting machine as the experiment machine. In this thesis, the machine settings of the six-axis CNC bevel gear cutting machine are derived from the universal

cradle-type generator. According to the Gleason Works technical report about the face-hobbing cutting

system for spiral bevel and hypoid gears, we program the NC codes for manufacturing face-hobbed straight bevel gears. Furthermore, a flank topographic

correction method is developed based on the six-axis CNC bevel gear cutting machine. Finally, in order to verify the six-axis machine settings and the NC codes, the cutting experiment is implemented. The flank deviations of finished gears are obtained by the gear measuring center. And according to the proposed correction method, the corrections on the cutter parameters and machine settings are

calculated. The results of experiments verify the correction of proposed mathematical models.

英文關鍵詞： Face hobbing method of straight bevel gear, Six-axis CNC bevel gear cutting machine, Machine setting, Flank correction deviation.

I

目錄

目錄... I  摘要... II  Abstract ... II 

1.  前言... 1 

2.  研究目的... 1 

3.  文獻探討... 1 

4.  六軸 CNC 傘齒輪切齒機之面滾式直傘齒輪切製法 ... 2 

4.1  六軸CNC 傘齒輪切齒機機械設定推導 ... 2 

4.1.1.  泛用搖台切齒機之坐標轉換矩陣... 2 

4.1.2.  六軸CNC 傘齒輪切齒機坐標轉換矩陣 ... 3 

4.1.3.  六軸機機械設定推導... 4 

4.1.4.  電子齒輪箱功能使用... 4 

4.1.5.  程式原點... 5 

4.2  面滾式直傘齒輪路徑規劃... 5 

4.2.1.  加工路徑流程規劃... 5 

4.2.2.  成形法路徑規劃... 6 

4.2.3.  創成法路徑規劃... 6 

4.2.4.  加工條件計算... 7 

4.3  面滾式直傘齒輪齒面誤差修正數學模式推導... 8 

4.3.1.  六軸CNC 傘齒輪切齒機齒面誤差修正方法 ... 9 

4.3.2.  敏感度矩陣求解方法... 9 

4.4  面滾式直傘齒輪切削實驗... 11 

4.3.1.  機械設定計算... 11 

4.3.2.  NC 程式 ... 11 

4.3.3.  實驗設備... 13 

4.3.4.  大、小齒輪試切削實驗... 15 

4.3.5.  齒面誤差修正... 18 

5.  結果與討論... 19 

6.  參考文獻... 19 

附錄一 小齒輪 NC 程式 ... 21 

附錄二 大齒輪 NC 程式 ... 29 

附錄三 小齒輪量測報告... 36 

附錄四 大齒輪量測報告... 39 

II

摘要

面滾式加工法為連續加工，具有加工速度快、精度高與齒面性能佳等優點，然而面滾式加工法用 於外擺線軌跡的戟齒輪或螺旋傘齒輪的加工中。2009 年德國克林根貝格公司發表了當滾動圓半徑為內 擺線基圓半徑為的一半時，其軌跡退化為直線，利用此關係來進行面滾式直傘齒輪的加工。

上一個計畫根據泛用搖台傘齒輪切齒機建立面滾式直傘齒輪齒面數學模式，由於泛用搖台切齒機

為虛擬機台，無法用於實際加工，本文使用六軸CNC 傘齒輪切齒機做為切削機台，其機械設定藉由泛

用搖台切齒機所推導而來。根據格里森面滾式螺旋傘齒輪和戟齒輪技術報告規劃面滾式直傘齒輪加工 NC 碼，並建立六軸 CNC 傘齒輪切齒機齒面拓樸修正方法。最後利用六軸 CNC 傘齒輪切齒機進行切

削實驗，實驗結果驗證了六軸機械設定與加工 NC 碼的正確性。加工後的齒輪經由齒輪量測專用機求

得齒面拓樸誤差，根據齒面誤差修正方法修正刀具參數與機械設定，並利用修正後的參數求出新的齒 面並比對齒面拓樸誤差。根據以上數據以及實驗結果，驗證本文數學模式的正確性。

關鍵字：面滾式直傘齒輪切製法、六軸CNC 傘齒輪切齒機、機械設定、齒面誤差修正

Abstract

Face-hobbing method is a continuous cutting process. It has high productivity, precision, and produced gears with better contact bearing. Nevertheless, this method is implemented in the hypoid gear and spiral bevel gear cutting process, and generates extended epicycloidal flanks. In 2009, the German company Klingelnberg disclosed a new face-hobbing method for manufacturing the straight bevel gears. Klingelnberg introduced a hypocycloidal straight mechanism for cutting straight bevel gears. In this mechanism, setting the radius of the rolling circle equals to half of the radius of the base circle yields straight lines.

According to the mathematical model of the face-hobbed straight bevel gear developed based on a universal cradle-type face-hobbing bevel gear generator is given. We want to make an experiment to verify the correction of the established mathematical model of face-hobbed straight gear. However, this universal cradle-type generator is a virtual machine, which cannot be used in the real manufacture. Instead, we use the six-axis CNC bevel gear cutting machine as the experiment machine. In this thesis, the machine settings of the six-axis CNC bevel gear cutting machine are derived from the universal cradle-type generator. According to the Gleason Works technical report about the face-hobbing cutting system for spiral bevel and hypoid gears, we program the NC codes for manufacturing face-hobbed straight bevel gears. Furthermore, a flank topographic correction method is developed based on the six-axis CNC bevel gear cutting machine. Finally, in order to verify the six-axis machine settings and the NC codes, the cutting experiment is implemented. The flank deviations of finished gears are obtained by the gear measuring center. And according to the proposed correction method, the corrections on the cutter parameters and machine settings are calculated. The results of experiments verify the correction of proposed mathematical models.

Keywords: Face hobbing method of straight bevel gear, Six-axis CNC bevel gear cutting machine, Machine setting, Flank correction deviation.

1

1. 前言

齒輪外型如傘狀而得名故又為稱傘齒輪，應用於相交軸與交錯軸的動力傳輸，主要包含螺旋傘齒 輪、直傘齒輪與戟齒輪，由於設計與製造上以直傘齒輪最為簡單，所以被廣泛的使用。石[1]整理出直 傘齒輪當前各種生產方法，有成形切齒法(簡稱成形法)諸如單片模數銑刀銑齒法、靠模板刨齒法、圓拉 刀切齒法等；創成法諸如雙刨刀創成加工、雙聯鎖碟型刀盤創成加工法等，依精度考量、製造數量與 成本考量選擇加工方法。以上直傘齒輪加工的方法皆屬不連續加工，當加工完單齒後需提刀並將工件 旋轉到下一齒的位置再進行加工，往往在提刀與轉齒的過程中產生誤差。面滾式加工屬創成法加工為 連續加工，具有加工速度快、一次性加工與齒面接觸性較佳等優點，廣泛用於螺旋傘齒輪與戟齒輪的 製造中，由於其加工軌跡為外擺線，因此無法應用於直傘齒輪的加工。2009 年德國克林根貝格公司[2]

發表了新型面滾式直傘齒輪切製法，仿造螺旋傘齒輪的刀盤設計與其面滾式切製法，將加工軌跡改為 內擺線運動，其特殊的直線運動能加工直傘齒輪，此製造方法可利用六軸數控傘齒輪切齒機加工，生 產效率非常高。

傳統螺旋傘齒輪和戟齒輪切齒機屬搖台機構[3]，所設定的軸數趨近於九個之多，且同一種機台無 法用於多種加工法。近年來由於數值控制發展成熟，所以精簡了傘齒輪加工機控制軸的軸數，並透過 伺服軸的控制達成非線性多軸同步加工。新型傘齒輪切齒機能實施面銑式(Face Milling)和面滾式(Face Hobbing)加工，其中面滾式加工是應用電子齒輪箱(EGB)功能達成滾齒運動。新型的傘齒輪切齒機目前 以美國格里森公司(Gleason Works)的鳳凰系列(Phoenix)和瑞士奧理康(Oerlikon) 的 C 系列機台最具代

表性。本文實驗機台為六軸CNC 傘齒輪切齒機，為國科會產學案開發之機台，其機台結構屬卡式坐標

系的設計，與格里森的鳳凰系和奧里康公司的C 系統的機台結構相同，由於卡式坐標系的結構較為單

純，具有高剛性與高精度等優點，目前以切製螺旋傘齒輪與戟齒輪為主要加工機台。

2. 研究目的

面滾式螺旋傘齒輪與戟齒輪於六軸數控戟齒輪機加工，Shih[4] 推導出泛用機的面滾式戟齒輪數學 模式，其加工運動軌跡為外擺線運動無法用於直傘齒輪的加工，2009 年克林根貝格公司於 Hypoflex^® Process[2]所發表的新型直傘齒輪切製法其中提到，利用數學上內擺線滾動圓半徑為基圓半徑的一半時，

運動軌跡退化成直線，此特性可以應用於面滾式直傘齒輪切製，由於此切製法為商業機密，所以僅提 供其數學上的想法。

上一個計畫根據泛用搖台傘齒輪切齒機建立面滾式直傘齒輪齒面數學模式[5]，由於泛用搖台切齒

機乃虛擬機台無法進行實際切削，本文希望藉由六軸CNC 傘齒輪切齒機進形面滾式直傘齒輪的加工，

加工後藉由面滾式直傘齒輪齒面誤差之數學模式進行齒面誤差的分析，並修正齒面誤差的來源。期望

透過新型面滾式直傘齒輪之製造方法的研究，建立出一套六軸CNC 傘齒輪切齒機之面滾式直傘齒輪的

切削方法。

3. 文獻探討

Litvin[6]提出將 Star 型床台與格里森公司鳳凰型機台做機械設定轉換，進而實現 Star 型床台所推 導的運動。Shih[7]建立了一套泛用搖台切齒機與格里森公司鳳凰系列六軸機的機械設定轉換方法，利 用不同機台加工相同工件齒形，其刀具到工件的坐標轉換要一致，根據泛用搖台切齒機機械設定，推 得六軸CNC 傘齒輪切齒機的機械設定。吳[8]則分別推導從泛用搖台切齒機轉換到卡式坐標與六軸 CNC 傘齒輪切齒機的機械設定轉換公式。Litvin[6]提出在泛用機做齒面誤差修正，將目標函數定為使齒面誤 差最小化，並以小平方法的概念求得泛用機機械設定的修正值。Fan 等[9]基於泛用機台提出高階的面 銑式螺旋傘齒輪和戟齒輪的齒面誤差方法。Shih[7]將六軸機械設定以六階泰勒展開式函式趨近，分析

各軸運動六階係數齒面誤差敏感度，求得六軸運動修正量，能直接修正六軸CNC 切齒路徑以降低齒面

誤差。參考格里森公司（Gleason Works）[10]面滾式螺旋傘齒輪和戟齒輪的技術報告，了解傘齒輪成

形法與創成法之加工流程及加工參數的計算方法。由於本文所使用的六軸CNC 傘齒輪切齒機控制系統

為發那科（Fanuc）16i-MB，故參考 16i-MB[11]系統說明書，說明書中的介紹了機台的系統變數與 NC 碼符號的使用說明。在齒面拓樸量測方面則參考克林根貝格公司的P40 齒輪量測中心操作手冊[12]，產 生直傘齒輪的齒面量測資料。

2

4. 六軸 CNC 傘齒輪切齒機之面滾式直傘齒輪切製法

面滾式直傘輪是基於泛用搖台傘齒輪切齒機(簡稱泛用機)推導出數學模式[5]，然而泛用機為虛擬 機台無法用於實際加工，因此為驗證建立數學模式的正確性，本計畫使用國科會產學案開發之機台六

軸CNC 傘齒輪切齒機(簡稱六軸機)做為切削實驗機台。由於泛用機和六軸機之坐標系不同其機械設定

也不一樣，所以首先將泛用機之機械設定轉換到六軸機的機械設定，再利用六軸機的機械設定推導出

加工 NC 碼。參考已知面滾式直傘齒輪刀具坐標系設計出面滾式刀具，與大小齒胚架設到六軸機上，

即可開始加工。為降低因夾治具、刀具和工件以及製造誤差，所產生的齒輪齒面誤差，本計畫提出齒 面拓樸誤差修正方法，透過補償刀具參數和機台機械設定來降低齒輪齒面製造誤差。

4.1 六軸 CNC 傘齒輪切齒機機械設定推導 4.1.1.

泛用搖台切齒機之坐標轉換矩陣

已知面滾式直傘齒輪於泛用搖台切齒機的數學模式，但泛用機為虛擬機台無法用於實際加工，所 以本計畫利用六軸機做為實際加工機台，由於兩機台之坐標系不同，但在加工時兩機台使用相同刀具 切削出相同齒面，所以坐標轉換矩陣必然相同，利用此關係推導出六軸機的機械設定。

圖 1 為泛用機的坐標系，S 與₁ S 坐標系統分別固連於刀具與工件旋轉軸，將刀具位置_t

r 經坐標轉

_t 換到工件位置

r 即可求得刀具軌跡方程式，進而求得工件齒輪齒面位置。圖中

₁

φ

₁和

β

分別為工件和刀 具旋轉角、i為刀傾角、j 為刀傾方位設定角用於刀傾斜角設定；

θ

_c為搖台初始設定角和S 刀位半逕用_R 於刀具定位；ΔA為水平輪位和為垂直輪位用於工件定位；γ 為機械根角用於將刀具頂部貼齊齒狀齒_m 根線；ΔB為床位用於齒深方向進刀；

φ

_c為搖台旋轉角用於創成和內擺線運動。

yd yc

xe

xc

xt

xa

xb

xd

1, _f x x

a, t

z z zb

j

b, a

y y yt

y1

yf

ye

zf

ze

O1, f

Oe ,

Oe d

, , b a t

O

i

φ1

γm

ΔB Em

'_c y

圖 1 泛用搖台切齒機之機台與坐標系

將刀具位置rt

( )

u 經坐標轉換到工件坐標系後，得到如下式刀具軌跡方程式：

( u , , ,

β φ φ1 _c

) =

1_f

( )

φ1 _fa

( )

φ_{c at}

( ) ( )

β _t

u ,

r

1

M M M r

(1)

其中，坐標轉換矩陣為：

( )

^{1 1}

( )

1 1

1 1

1 0 0 0 cos sin 0 0

0 cos sin 0 sin cos 0 0

, ,

0 sin cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

f at

β β

φ φ β β

φ β

φ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢− ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M

3

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 1

1 1

cos 0 sin 1 0 0 0 cos sin 0 0

0 1 0 0 0 1 0 sin cos 0 0

. . .

sin 0 cos 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

cos sin 0 0 sin

sin cos 0 0

0 0 1 0 .

0 0 0 1

m m c c

m c c

fa

m m

c c c c

c c c c

A

E B

γ γ φ φ

φ φ

γ γ

θ φ θ φ

θ φ θ φ

⎡ −Δ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢− ⎥ ⎢ −Δ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ − − ⎤ −

⎢− − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

cos 0 cos 0 sin 0

cos sin 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 . sin 0 cos 0

0 0 0 1 0 0 0 1

j j SR i i

j j

i i

⎡ − ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢− ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2)

坐標轉換矩陣中

φ

_c1為內擺線搖台角，

φ

_c2為創成運動搖台角可合為搖台角，其關係式如下式所示。

1 2

c c c

φ = − +φ φ (3)

將泛用搖台切齒機之機械設定與機械參數代入後，可推得矩陣M_fa內各項元素數值，由於各項元

素與創成角

φ

_c有關，所以Mfa

( )

φc 表示如下式所示。

( )

fa φc = fe ed dc cb ba

M M M M M M (4)

各元素則以表示eij

( )

φ ，如下式所示。 c

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

0 0 0 1

c c c c

c c c c

fa c

c c c c

e e e e

e e e e

e e e e

φ φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

(5)

4.1.2.

六軸

CNC 傘齒輪切齒機坐標轉換矩陣

本計畫使用六軸CNC 傘齒輪切齒機做為實驗機台，故需建立六軸 CNC 傘齒輪切齒機之坐標轉換

矩陣。坐標系統如圖 2 所示，其中六軸機械設定X_p和Y_p分別為刀具水平與垂直位移，Z_p為齒深進刀 軸，

ψ

_B為機械根角，Δ

ψ

_A和Δ

ψ

_C 分別為工件和刀具旋轉角，由於Δ

ψ

_A與Δ

ψ

_C為工件與刀具旋轉角 的增量，所以前面加上一個Δ 以示區別。

將刀具rt

( )

u 經坐標轉換矩陣轉換到工件齒輪坐標系，可得下列刀具軌跡方程式：

( u , , ,

β φ φ1 _c

) =

1 '_d

( )

φ1 _{d a}' '

( )

φ_{c a t}'

( ) ( )

β _t

u ,

r

1

M M M r

(6)

其中u為刀具參數，

β

為刀具旋轉角，

φ

₁為工件軸旋轉角，

φ

_c為搖台角，其工件和刀具旋轉矩陣為：

( )

^{1 1}

( )

1 ' 1 '

1 1

1 0 0 0 cos sin 0 0

0 cos sin 0 sin cos 0 0

, ,

0 sin cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

d a t

β β

φ φ β β

φ β

φ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢− ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M

刀具軸到工件軸的坐標轉換矩陣如下式所示：

( )

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

,

d a φc

=

d c c b b p p a

M M M M M

(7)

其中各坐標系統之坐標轉換矩陣為：

( )

' '

1 0 0 0

1 0 0 cos 0 sin 0 cos sin 0

0 1 0 0

0 cos sin sin 0 1 0 0 sin cos 0

= . . .

0 0 1

0 sin cos cos sin 0 cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

d B B C C p t

A A t A C C p

d c

p d

A A t A B B

C X E

E Y

Z C E

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤ Δ Δ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥

⎢ Δ Δ Δ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− Δ Δ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥

⎢ − Δ Δ Δ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ − + ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

M

⎤⎥

⎥⎥

⎢ ⎥

⎦ Cd為齒輪節錐點到 B 軸旋轉中心的距離，包含工件齒輪安裝距 Mt、工件夾具高度 Ct，以及 B 軸旋轉(8) 中心到工件座基準面的距離Tt，Ht為刀盤中心高度。

4

1, _d O O

c, b

O O

Op

y1 y^d

c, b

y y

yp y_a y_t

1, _d x x

xc

xb

xp

xa

xt

zc z_b z1

zd z^p

a, t

z z

Et

d t t t

C =M +C +T

p d

Z +C

p t

X +E Y^p ψC

ψA

ψB

a, t

O O

圖 2 六軸 CNC 傘齒輪切齒機坐標系

4.1.3.

六軸機機械設定推導

利用六軸機與泛用機之坐標轉換矩陣相同的關係，求解六軸機之機械設定如下所示：

( ) ( )

' '

d a φc

=

fa φc

M M

(9)

觀察六軸機之坐標轉換矩陣，利用旋轉矩陣求出機械設定旋轉軸的關係式，並對應已知泛用機之元素 數值如下式所式，即可求出機械設定的數值。

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

23 23

1 1

33 33

1 1

13 13

12 12

1 1

11 11

tan tan

sin sin

tan tan

c c

A c

c c

B c c c

c c

C c

c c

a e

a e

a e

a e

a e

φ φ

ψ φ φ φ

ψ φ φ φ

φ φ

ψ φ φ φ

− −

− −

− −

⎧Δ = =

⎪⎪⎪ = =

⎨⎪

⎪Δ = =

⎪⎩

(10)

並將已知旋轉軸之機械設定代入六軸機的平移矩陣，解聯立後求解出六軸機的位移函式如下所式

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

34 24 14

24 34

34 24 14

sin cos sin cos ( ) 1 sin

cos sin

cos cos sin sin 1 sin

p c B c A c A B c d t B

p c c A c A

p c B c A c A t c B d B

X e e e C E

Y e e

Z e e E e C

φ ψ φ ψ φ ψ ψ φ ψ

φ φ ψ φ ψ

φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ ψ

⎧ = − Δ + Δ + − + − +

⎪⎪ = Δ − Δ

⎨⎪

= − Δ − Δ + − + − +

⎪⎩

(11)

4.1.4.

電子齒輪箱功能使用

由於六軸CNC 傘齒輪切齒機使用電子齒輪箱(Electric Gear Box，簡稱 EGB)的功能來實施滾齒動 作，將刀具軸做為主動軸工件軸做為被動軸，給刀具軸固定旋轉速度，電子齒輪箱可以讓工件軸以很 小的誤差追隨刀具旋轉。由於創成法加工時在刀具軸與工件軸旋轉皆有增量產生，所以要將刀具軸增 量轉到工件軸增量裡，其公式如下：

1

2 2

'

^{c c}

A A C

c c

R

R R

ψ ψ ψ φ

Δ = Δ + Δ −

₍₁₂₎

其中等號右邊第一項為原本工件軸角度增量，第二項為刀具軸角度增量補償到工件軸的數值，第三項 則為工件創成角，因電子齒輪箱控制刀具和工件旋轉以形成空間內擺線運動，並沒有考慮到工件創成 角，在此將工件創成角補到工件軸增量裡，如此工件軸角度增量才完整。

5

4.1.5.

程式原點

面滾式傘齒輪的切削參考點基準是在刀具軸與工件軸同心，並將刀具的中心參考點重合於工件齒

輪的節錐點上。實際加工時，由於每台機台的機械原點位置和工件座基準到B 軸旋轉中心的偏位量不

同，且刀具參考點高度和工件安裝距，以及刀具和工件夾治具高度因設計而相異(如圖 3(a)所示)，會 造成參考點坐標值不同。為了讓刀具和工件在正確的相對位置進行加工，參考點坐標值定義於程式原 點上。

考慮到若參考點定義在刀具的中心參考點刀刃節點和齒輪節錐點重合的位置，該點為虛點不易量 測，所以將程式原點改定義在較具體的位置，亦即刀具和工件安裝基準面。如圖 3(b)所示，當在撰寫 NC 碼時，會將大小齒輪安裝距、刀具的高度、與夾治具的高度納入程式的計算中。將 C 軸增量補償

到A 軸，並將程式原點的 Z 軸位移量移到機械設定中，則最終六軸機之機械設定如下所式：

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) '( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

c p c

c p c

c p c t t t

c A c

c B c

c C c

X B X B

Y B Y B

Z B Z B M C H

A B B

B B B

C B B

φ φ

φ φ

φ φ

φ ψ φ

φ ψ φ

φ ψ φ

Δ = Δ

⎧⎪ Δ = Δ

⎪⎪ Δ = Δ + + +

⎪⎨

Δ = Δ Δ

⎪⎪ Δ = Δ

⎪⎪ Δ = Δ Δ

⎩

(13)

Ht

Mt

Ct

Tt

Et

圖 3 六軸傘齒輪機參考點

4.2 面滾式直傘齒輪路徑規劃

4.2.1.

加工路徑流程規劃

面滾式加工在粗切削時使用成形法加工，在精切削時則使用創成法加工。成形法為搖台不動直接

進刀到距離齒深上0.5mm 處；創成法為搖台轉動模擬假想產形輪與工件齒輪做對滾運動。

圖 4 縱軸為加工刀具進刀位置，將刀具主軸轉速以定轉速加工，並分成兩種不同轉速來進行，第 一部分是由開始加工到完成創成法粗加工，主軸轉速較慢；第二部份主軸轉速為創成精加工轉速較快，

使加工後的齒面較為精細。主軸轉速可因加工者的需求做適當的調整。

參考圖 4 下方的橫軸為創成法的加工進給率圖，由於一開始創成加工的厚度不同，所以速度要有 所變化避免刀具受到撞擊導致壽命減短，分三段進給率進行創成粗加工；由於粗加工時已將待銑削之 齒肉加工成較均一的厚度，所以在創成精加工的部分以一段速度變化來進行精加工即可。

6

圖 4 格里森加工路徑與時間規劃

4.2.2.

成形法路徑規劃

刀具以齒中間點做為成形進刀點，由於齒中間的創成角度 φ

_c = ，所以將創成角設為 0，使刀具從0

齒中間進刀，並利用床位ΔB'來控制加工近刀位置，得到加工時的六軸機械設定數值。床位是用來控

制進刀的深度，假設進刀深度等於理論最終ΔB，即表示無預留量；若加工時要有預留，則將ΔB加上 s，利用變化 s 來控制加工預留量。參考表 1 為進刀深度與加工程序對應位置，對應圖 5 為刀刃與齒 輪的相對位置圖，可以看出每一段加工時，其刀刃與齒輪的相對位置關係。

表 1 成形法與創成法之加工預留量

加工法 加工預留量 說明

成行法1 Δ = Δ +B' B 2 3H_t 2/3 倍齒高處 成行法2 Δ = Δ +B' B 1 3H_t 1/3 倍齒高 成行法3 Δ = Δ +B' B 0.5 距齒底0.5mm 創成法1 Δ = Δ +B' B 0.5 距齒底0.5mm 創成法2 _{ΔB'= ΔB} 最終位置

圖 5 加工預留量

4.2.3.

創成法路徑規劃

由於創成角度可以決定刀具位置在小端、中間或大端，藉由改變創成角來控制進刀位置與結束位 置。創成法通常有三種路徑規劃(如圖 6 所示)，第一種創成規劃如圖 6 (a)所示，刀具由齒中間為起始 點，先往大端做第一次的創成粗加工，進刀到齒底後再由大端往小端做第二次的創成精加工；或是如 圖 6 (b)(c)在完成成形法加工後，刀具先提刀，移動到大端或小端的位置，進刀到第一段創成法加工的

7

深度，進行創成粗加工，創成到另一端後進刀到齒底深，再進行創成精加工，由該端創成到初始端。

由於第一種方法在創成加工中無需提刀，可避免撞刀的發生，所以使用第一種方法進行創成加工。

圖 6 創成法刀具路徑規劃

利用公式(12)所推導出的六軸 CNC 傘齒輪機的機械設定，將加工預留量ΔB′設為定值後以創成角

φ

c的變化量的來控制創成範圍，由於在進行創成法加工時，大小端所切除的厚度不一，所以創成時也

需分段進行以保持固定的切削力。

4.2.4.

加工條件計算

在進行加工的時候，需要給定加工參數，其中加工參數包含刀具主軸轉速、成形法進刀速度與創 成法進刀速度，根據齒輪基本參數與格里森[10]面滾式螺旋傘齒輪和戟齒輪技術報告的經驗公式，來做 以下的計算。

A. 主軸轉速

公式(13)為面滾式傘齒輪加工主軸轉速的經驗公式，其中C 為加工時刀具軸之主軸旋轉速度，_r V_TR 為刀刃旋轉時的角速率，S 為刀位半徑，_R z 為刀刃組數， z 為齒輪齒數，₀ R 為平均節錐距，_m Ψ為齒 輪螺旋角，ΔΨ如(14)式所示，其中A 為假想產形輪節錐距。 _m

( )

⁰

( )

500

cos sin

TR r

R m

C V

S z R

π z

= ⎛⎜⎝ ΔΨ − Ψ ⎞⎟⎠

(14)

( )

⁰

( )

sin ^m cos

R

A z

S z

ΔΨ = × × Ψ (15)

B. 成形法加工進給率

由於進給率的大小會影響刀具與工件的受力，進給率過大，則刀具受力過大而刀刃面會與工件產 生碰撞的現象，造成刀具壽命下降；若進給率太小，造成刀具與工件磨擦，除了刀刃會變鈍之外工件 也會有被磨擦的現象。由於成形法與創成法的進給率不同，所以需分開計算。參考公式(15)為成形法進 給速率經驗公式，其中F為加工進給速率、C_p為加工時切屑厚度、C 為主軸轉速、_r

z

為齒輪齒數、z₀ 為刀刃組數。由圖 4 中可知成形法分三段深度進刀，並依照切屑厚度來分段，切削厚度建議值如表 2 所示。

0 p

r

F C C z

= z × × (16)

表 2 成形法的切屑厚度建議值

上限 下限

成形法1 0.13 0.22 成形法2 0.08 0.15 成形法3 0.05 0.065

單位：mm

8

C. 創成法加工進給率

在創成法進給速率方面，參考格里森[10]加工參數表，本文利用表中加工旋轉速率推導創成法進給 率。首先計算每一段創成法的加工時間，如下式所示，其中Δφ_p為每一段創成加工之創成範圍，ΔF為 每一段加工旋轉之旋轉速率。

60 t p

F

φ

Δ = Δ

Δ (17)

發那科控制器長度的計算方法，是將各軸的終點位置與初始點的位置以直線來計算，其位移計算方法 如公式下所示：

(

2 1

) (

² 2 1

) (

² 2 1

) (

² 2 1

) (

² 2 1

)

²

r x x y y z z a a b b

Δ = − + − + − + − + − (18)

最後將公式(16)與公式(17)相除後即可得到創成法加工進給率的值，如下式所示。

F r t

=Δ

Δ (19)

4.3 面滾式直傘齒輪齒面誤差修正數學模式推導

本計畫提出之齒面拓樸誤差可修正的參數有刀具參數與六軸機機械設定，如圖 7 所示，刀具參數 可修正的有刀刃齒形角

α

₀、刀刃半徑r 、刀刃前角₀

α

_h、刀刃偏心角

δ

₀與刀刃初始設定角

β

_i這五個參數 可供修正。

yt

xt ,

xp n

,

ot p

yn ym

xm ,

on m

P

T

h H α

P

T

H

αh

α0

,

xm l

u ym

zm

zl

yl

yp

δ0

β0

z0

r0

圖 7 面滾式刀具坐標系統

在機械設定的部份，可修正的參數為六軸機械設定的函式係數，首先將六軸機械設定以六階泰勒 式展開式，趨近原本機械設定函式，如下式所示：

( )

0 1 2 ² 3 ³ 4 ⁴ 5 ⁵ 6 ⁶

p c x x c x c x c x c x c x c

X φ =a +a φ +a φ +a φ +a φ +a φ +a φ

⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎩

( )

0 1 2 ² 3 ³ 4 ⁴ 5 ⁵ 6 ⁶

p c y y c y c y c y c y c y c

Y φ =a +a φ +a φ +a φ +a φ +a φ +a φ

( )

c z0 z1 c z2 c² z3 c³ z4 c⁴ z5 c⁵ z6 c⁶

p a a a a a

Z φ = + φ + φ + φ + φ +a φ +a φ

( )

0 1 2 ² 3 ³ 4 ⁴ 5 ⁵ 6 ⁶

A c aA aA c aA c aA c aA c aA c aA c

ψ φ φ φ φ φ φ φ

Δ = + + + + + +

( )

c B0 B1 c B2 c² B3 c³ B4 c⁴ B5 c⁵ B6 c⁶

B a a a a a a a

ψ φ = + φ + φ + φ + φ + φ + φ

( )

_{0 1 2} ² ₃ ³ ₄ ⁴ ₅ ⁵ ₆ ⁶

C c aC aC c aC c aC c aC c aC c aC c

ψ φ φ φ φ φ φ φ

Δ = + + + + + +

(20)

9

4.3.1.

六軸

CNC 傘齒輪切齒機齒面誤差修正方法

齒面誤差修正推導方法如下，首先推導出六軸CNC 傘齒輪切齒機的面滾式直傘齒輪齒面方程式，

代入嚙合方程式，齒面位置方程式能被改寫為兩參數

(

^u,

^β )

^{的曲面方程式，假設}ζ 為刀具參數和六軸j

機械設定函式係數為變動參數，可得下列齒面方程式：

( )

1= 1 u, ,β ς_j

r r (21)

分別對各參數做微分後，得到如下齒面位置變化關係式：

1 1 1

1 j

j

u u

δ δ δβ δζ

β ζ

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

r r r

r

(22)

因為向量 r u

∂

∂ 與 r

β

∂

∂ 位於齒面點的切平面上，當對上式等號兩邊做法向量內積時，齒面位置法向量

變動值能被簡化如下：

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

q q

j j

j j j j

u u

δ δ δβ δζ δζ

β

=

ζ

=

ζ

⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ ⋅ ⎞

⋅ =⎜⎜⎝∂^r +∂^r +

Σ

∂^r ⎟⎟⎠⋅ =

Σ

⎜⎜⎝ ∂^{r n} ⎟⎟⎠

r n n (23)

齒面拓樸點的各個變動值能以矩陣示表示：

1 1

1 1 1

1

q

p p p q

q

R R

R

R R R

ζ ζ

δ δζ

δ δζ

ζ ζ

∂ ∂

⎡ ⎤

⎢∂ ∂ ⎥

⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥

⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎩ ⎭

∂ ∂

⎢ ⎥

⎣ ⎦

" "

# # % # #

# # % # #

" "

(24)

{ }

δRi =⎡ ⎤⎣ ⎦Sij

{ }

δζj ^{1,..., ;}

⁽

i= p and j ^1,...,= q

⁾

^,

其中

{ }

δRi 為齒面拓樸點法向誤差，⎡ ⎤⎣ ⎦S_ij 為齒面誤差敏感度矩陣，

{ }

δζ 為刀具參數和六軸機械設j

定係數的修正量。由於刀具參數與機械設定各項係數總數目q遠小於拓撲點的數目p，為過定義方程

組，需用線性迴歸的方法來求解。已知齒面誤差敏感度矩陣與齒面拓樸點的法向誤差，利用線性回歸 的方法來求刀具參數與機械設定函式各項係數的修正值。由於敏感度矩陣非方正矩陣，所以利用最小 平方法將敏感度矩陣方正化，利用此方法只需解一次方程組即可求得趨近值。

{ } ^δζ

^j =

(

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

^S

^{ij T}

^S

^ij

)

⁻¹

^S

^{ij T}

^{{ } ( δ R}

^{i 1,..., ;}

ⁱ

=

^{p and j}

^1,...,=

^{q )}

⁽²⁵⁾ 由於敏感度矩陣有時會發生接近奇異矩陣(Singular Matrix)的現象，而造成某些數值法無法計算，

為了讓求解穩定，所以使用奇異值分解(Singular Value Decomposition，簡稱 SVD)的數值方法求解。

4.3.2.

敏感度矩陣求解方法

首先做刀具參數與六軸機械設定係數對齒面的敏感度分析，給每個參數一個微小的變量(長度 0.01mm、角度 0.01deg)，經由計算過後得到一個新的齒輪齒面點，再將新的齒面點與理論齒面點相減 後，將其差量投影到理論齒面的法向量上，得到齒面法向誤差量，最後除上變動量即為敏感度，如圖 8 的(a)到(e)為小齒輪刀具參數敏感度，(f)到(j)為大齒輪刀具參數敏感度，將刀具參數與六軸機械設定各 階敏感度帶入矩陣之後，即可得到敏感度矩陣。

由敏感度矩陣圖中可以了解當刀具參數與機械設定產生誤差時，其參數對齒面影響趨勢與誤差的 程度為何，參考圖 8(b)刀刃半徑對小齒輪齒敏感度，在加工時當刀刃半徑比原本大 0.01mm 時其齒面 法向誤差趨勢呈導程方向，齒厚誤差達74.8μm 且齒面法向最大誤差為-1.45μm。

10

小齒輪 大齒輪

(a) α0 +0.01

齒面誤差= 3.4 m 左齒面= 0.0 m, 右齒面= 0.0 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.3

-0.27 -0.27

0.3 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.3

-0.23 -0.23

0.3

(c) αh+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 0.0 m, 右齒面= 0.0 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

-0.02

0.02 -0.02

0.02 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.02

-0.01 0.01

- 0.02

0.0 0.0

(e) βi+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 7.12 m, 右齒面= -7.12 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.0

0.0 0.0

0.0 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.0

0.0

(d) δ0+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 0.0 m, 右齒面= 0.0 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.01

-0.01 -0.01

0.01 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 -0.01

0.0 0.0

-0.01

(b) r0+0.01

齒面誤差= 74.8 m 左齒面= 9.94 m, 右齒面= -9.94 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

1.43

1.44 -1.45

-1.43 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 -1.4

-1.38 1.38

1.39

(f) α0+0.01

齒面誤差= 9.0 m 左齒面= -0.12 m, 右齒面= -0.12 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.48

-0.41 -0.41

0.48 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.47

-0.44 -0.44

0.47

(h) αh+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 0.0 m, 右齒面= 0.0 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

-0.02

0.03 -0.03

0.02 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.02

-0.03 0.03

-0.02

(j) βi+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 6.39 m, 右齒面= -6.39 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.0

0.0 0.0

0.0 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 0.0

0.0 0.0

0.0

(i) δ0+0.01

齒面誤差= 0.0 m 左齒面= 0.0 m, 右齒面= 0.0 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

0.01

-0.01 -0.01

0.01 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 -0.01

0.01 0.01

-0.01

(g) r0+0.01

齒面誤差= 74.9 m 左齒面= 8.93 m, 右齒面= -8.93 m 4

1 32 5

A B C D E F G H I

4

1 32 5

1.44

1.43 -1.44

-1.43 左齒面

A B C D右齒面E F G H I

齒頂 -1.4

-1.39 1.4

1.39

圖 8 大小齒輪內外刀刃敏感度

11

4.4 面滾式直傘齒輪切削實驗 4.3.1.

機械設定計算

將表 3、表 4 與表 5 數值代入公式(12)中，可求得六軸 CNC 傘齒輪切齒機的機械設定，將機械設 定經由加工程序規劃並參考16i-MB 的系統說明書後，即可撰寫出大小齒輪加工 NC 碼。

表 3 直傘齒輪基本參數

參數名稱 代號 單位 數值範例

小齒輪 大齒輪

軸交角 Σ deg 90

壓力角 α deg 20

齒數 z - 16 41

徑向轉位係數 x1 - 0.6

軸向轉位係數 xt - 0

大齒輪節圓直徑 de2 mm 160

表 4 泛用搖台切齒機之大小齒輪機械設定參數

參數名稱 代號 單位 數值範例

小齒輪 大齒輪

刀傾角 i deg 0.0 0.0

刀傾方位設定角 j deg 270 270

刀位半徑設定 SR mm 85 85

搖台初始設定角

θ

c deg 64.243 64.243

床位設定 _ΔB mm 2.342 -2.342

水平輪位 _ΔA mm 0 0

垂直輪位 em mm 0 0

機械根角

γ

m deg 21.318 68.682

內擺線運動滾動比 Rc1 - 0.5 0.5

滾動比 Rc2 - 0.363542 0.931578

表 5 六軸 CNC 傘齒輪切齒機之大小齒輪機械常數

參數名稱 代號 數值範例

小齒輪 大齒輪 刀盤參考點高度

H t 60.637 工件夾具高度

C t 109.5 89 齒輪安裝距

M t 86 46

B 軸旋轉軸到工件基準面

T t 217.5 工件心軸偏移量

E t 120

單位：mm

4.3.2. NC 程式

參考圖 4 為參考格里森[10]加工路徑與時間規劃圖，利用此圖規劃出下圖面滾式直傘齒輪加工流 程圖，將加工分成兩個部份進行，一開始為粗加工分三段深度進刀銑削外形，對應圖 9 為成形法 1 到

成形法3，之後以固定深度進行粗創成銑削對應圖 9 創成法粗加工，由於銑削深度一樣，故可加快刀

12

具進刀速度進行加工，結束創成粗加工後，進刀到全齒深的位置(對應圖 9 創成法精加工之流程)，進 行創成精加工，創成精加工完成後即結束加工。

圖 9 加工路徑規劃流程圖

其中大小齒輪最終創成位置由創成角

φ

_c所控制，其創成範圍如表 6 與

表 7 所示。將創成角

φ

_c與床位ΔB設定後，即可得到大小齒輪加工NC 碼，NC 程式如附錄一和附 錄二所示。

表 6 小齒輪各加工程序之六軸位置和加工條件

項目 單位 小齒輪

主軸轉速 rpm 225

加工程序 創成角

(deg)

床位 (mm)

位置點 進給率

X (mm) Y (mm) Z (mm) A (deg) B (deg) C (deg)

成形法1 0 11.622 -422.211 -76.555 114.491 88.333 21.318 0 32.484 成形法2 0 8.195 -422.211 -76.555 111.064 88.333 21.318 0 21.347 成形法3 0 5.268 -422.211 -76.555 108.137 88.333 21.318 0 10.673 成形法結束 0 2.841 -422.211 -76.555 105.710 88.333 21.318 0 9.281 創成粗加工1 0 2.841 -417.493 -76.555 105.710 88.333 21.318 0 11.866 創成粗加工2 -3.587 2.841 -417.493 -74.093 105.710 93.266 21.318 0 20.724 創成粗加工3 -8.969 2.841 -410.728 -69.860 105.710 100.665 21.318 0 89.355 創成粗加工結束 -14.350 2.841 404.390 -65.011 105.710 108.064 21.318 0 209.520 創成精加工 -14.350 2.341 404.390 -65.011 105.210 108.064 21.318 0 47.931 結束位置 16.468 2.341 -455.427 -83885 105.210 65.691 21.318 0 81.321