『函數與極限』班級學號姓名

(1)

微積分

^I ^之

『函數與極限』班級學號姓名

Grading Key

_分數

28

除填空題外

^,

每道題必須整齊列出有效之計算、推導式子於給定空白處方予計分。不依指示做答該題

⁰

分。

1.(4) e: 偶函數 f, g e, e e, o o, e o, o

o: 奇函數 f + g e n n o

n: 不偶不奇 f· g e o o e

2.(4) lim

θ→0

sin θ

θ + tan θ = lim

θ→0

sin θ θ +_{cos θ}^{sin θ} ⁽⁺¹⁾

= lim

θ→0

1

θ

sin θ+_{cos θ}¹ ⁽⁺²⁾=1 2⁽⁺¹⁾

§1.1#65,66

§1.4#55

3.(8)f (x) =√

x, g(x) =√

1− x,

求

^f ◦ g

的定義域

^Df◦g

以及

^g◦ f

的定義域

^Dg◦f

即可。

§1.2≈#42

(sol.) D_f = [0,∞)⁽⁺¹⁾, R_f = f (D_f) = [0,∞)⁽⁺¹⁾; D_g = (−∞, 1]⁽⁺¹⁾, R_g = g(D_g) = [0,∞)⁽⁺¹⁾; f ◦ g : Rg∩ Df = R_g(+1), ∴ Df◦g = D_g = (−∞, 1]⁽⁺¹⁾;

g◦ f : Rf ∩ Dg = [0, 1](+1), ∴ Dg◦f = [0, 1](+1);

4.(6)f (x) = x²+ x− 4

。以

^ε-δ

定義証明

_x^lim_→3^{f (x) = 8}

。

⁽^提示^: ^若 |x − 3| < 1, |x + 4|的範圍^?) §1.3#44

(sol.) |f(x) − 8| = |x² + x− 12| = |x + 4||x − 3|⁽⁺¹⁾,

若

|x − 3| < δ ≤ 1, ⇒ 6 < x + 4 < 8⁽⁺¹⁾,

則有

|f(x) − 8| < 8δ⁽⁺¹⁾

。

∀ε > 0,

令

δ = min(1, ε/8)(+1),

每當

|x − 3| < δ(≤ 1), ⇒ 6 < x + 4 < 8⁽⁺¹⁾,

便有

|f(x) − 8| < 8δ ≤ ε⁽⁺¹⁾

。

5.(6)

「某數比它自己的三次方多一」

^,

有這樣的數嗎

^{? (}

不使用中間值定理

^/

勘根定理不給分

⁾ §1.5# 47 (sol.)

令該數為

^x,

上面的敘述是

^{x = x}³ ^{+ 1} ⁽⁺¹⁾

令

^{f (x) = x}³ − x + 1 ⁽⁺¹⁾,

顯見

f (x) > 0 ∀ x > −1 ,

所以

⁽−1, ∞)

不必試了

⁽⁺¹⁾^{, f (}−1) = 1⁽⁺¹⁾, f (−2) = −5 ⁽⁺¹⁾, ∴ ∃x ∈ (−2, −1)

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