(6%)求 y = x sin−1x +√1 − x2 之導函數 (derivative)

微甲統一教學二組₉₅上期末考參考答案 1. (14%) 求極限 _{(limit) :}

(a) lim

x→0

2^{sin x}− 1 e^x− 1 Solution:

由 _L’Hˆopital Rule

x→0lim

2^{sin x}−1

e^x−1 = lim

x→0

ln 2·2^{sin x}

e^x = ln 2.

(b) lim

x→0

Rx² 0

√t 1+t³dt x⁴ Solution:

x→0lim

Rx2 0

√t 1+t3dt t⁴ =lim

x→0

√x2 1+x6·2x

4x³ =lim

x→0 2

4(x⁴+1) =¹₂.

2. (6%)求 _{y = x sin}⁻¹_{x +}^√_{1 − x}² 之導函數 (derivative)。 Solution:

dy

dx = ^√x

1−x² + sin⁻¹x +^√−x

1−x² = sin⁻¹x.

3. (40%) 求積分 (integral) : (a)

Z e 1

t(ln t)²dt Solution:

Re

1 t(ln t)²dt

= ¹₂Re

1(ln t)²dt²

= ¹₂{t²(ln t)²|^e₁− 2Re

1 t(ln t)dt}

= ^e₂² − ¹₂Re

1 ln td(t²)

= ^e₂² − ¹₂{t²ln t|^e₁−Re 1 tdt}

= ^e₂² − ^e₂² +¹₂(^t₂²|^e₁)

= ^e₄² − ¹₄.

1

(b)

Z 2x + 1 (x²+ 1)²dx Solution:

R _2x+1

(x²+1)²dx =R _2x

(x²+1)²dx +R ₁

(x²+1)²dx = −_(x2¹+1)+R ₁

(x²+1)²dx.

( R ₁

(x²+1)²dx^{x=tan θ}= R _dθ

sec²θ =R cos²θdθ = R _{1+cos 2θ}

2 dθ

= ^θ₂ + ¹₄sin 2θ = ¹₂tan⁻¹x +¹_2x2^x+1 + C

)

= ¹₂tan⁻¹x +¹_2x2¹+1 − _x2¹+1 + C.

(c)

Z xdx

√8 − 2x²− x⁴ Solution:

R _xdx

√

8−2x²−x⁴ u=x²

= ¹₂R _du

√8−2u−u²

= ¹₂R √ _du

9−(u+1)²

= ¹₂R √d(^u+1₃ ) 1−(^u+1₃ )²

= ¹₂sin⁻¹(^u+1₃ ) + C

= ¹₃sin⁻¹(^x2₃⁺¹) + C.

(d) Z ∞

0

x²e^−xdx Solution:

利用 _{R x}ⁿ_e^−x_{dx = −x}ⁿ_e^−x_{+ nR x}ⁿ⁻¹_e^−x_dx 則 ^R∞

0 x²e^−xdx = lim

a→∞

Ra

0 x²e^−xdx

= lim

a→∞(−x²e^−x|^a₀ + 2Ra

0 xe^−xdx)

= 2 lim

a→∞

Ra

0 xe^−xdx

= 2 lim

a→∞(−e^−x|^a₀ +Ra

0 e^−xdx)

= 2 lim

a→∞

Ra 0 e^−xdx

= 2 lim

a→∞(−e^−x|^a₀)

= 2 lim

a→∞(−e^−a+ 1)

= 2.

2

4. (10%)

(a) 求兩曲線 _{r = cos θ} 及 r = 1 − cos θ 之所有交點。

Solution:

cos θ = 1 − cos θ ⇒ cos θ = ¹₂ ⇒ θ = ±^π₃. 故交點 ₍¹

2, ±^π₃)。 再由圖可知原點為交點。

(b) 求在圓 _{r = cos θ} 之內部_, 且在心臟線 (cardioid) r = 1 − cos θ 之外部的區域 面積。

Solution:

A =R^π₃

0 cos²θ − (1 − cos θ)²dθ.

=R ^π₃

0 (2 cos θ − 1)dθ = 2 sin θ − θ|

π 3

0 =√ 3 − ^π₃. 5. (10%) 求曲線 x²³ + y²³ = 1 之全長。

Solution:

 x = cos³θ

y = sin³θ , θ ∈ [0, 2π]

dx

dθ = −3 cos²θ sin θ.

dy

dθ = 3 sin²θ cos θ.

ds = 3| cos θ sin θ|dθ S = R ds = 4 R₀^π2 q

(^dx_dθ)²+ (^dy_dθ)²dθ

= 12R ^π₂

0 cos θ sin θdθ = 6R ^π₂

0 sin 2θdθ = −3 cos 2θ|

π 2

0 = 3 + 3 = 6

6. (10%) 令 _R 為曲線 y = 1 + sin x, 0 ≤ x ≤ 2π, 之下方及 _x-軸 上方的區域。 將 _R 繞 _y-軸 旋轉所得之旋轉體體積為何_?

Solution:

V =R2π

0 2πx(1 + sin x)dx == 2π(^π₂² − x cos x sin x|^2π₀ ) = 4π²(π − 1)

7. (10%) 解微分方程 (differential equation) :







sec x dy

dx = e^{y+sin x} , x ∈ (−^π₂,^π₆).

y(0) = 0 Solution:

R _dy

e^y =R cos xe^{sin x}dx ⇒ −e^−y = e^{sin x}+ C.

因為 _{y(0) = 0 ,} 故 −1 = C + 1 ⇒ C = −2

⇒ −e^−y = e^{sin x}− 2 ⇒ e^−y = −e^{sin x}+ 2 ⇒ −y = ln(2 − e^{sin x})

⇒ y = −ln(2 − e^{sin x}).

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