s 1 tp )(

國立臺灣海洋大學河海工程學系2015 工程數學(二) 2A 班第三次大考參考解答

系級： 學號： 姓名：

1. 試填入下述時間函數 ^f(t) 經拉普拉斯轉換後所對應之 ^F(s) (30%) )

(t

f p₁(t) p₂(t) p3⁽t⁾ p₄(t) p5⁽t⁾ p₆(t) p₇(t) p₈(t) p₉(t) p₁₀(t) )

(s F

時間函數 ^f(t) 1 )

1(t 

p , p₂(t)sint, ^p3^(t)^cost, p₄(t)tsint , ^p5^(t)^tcost et

t

p₆( ) , ^p7^(t)^sinht, ^p8^(t)^cosht, ^p9^(t)^tsinht, ^p10^(t)^tcosht (hint:

sinh e^t 2e ^t

t  ^

 ,

cosh e^t 2e ^t

t  ^

 )

s 函數 ^F(s)

(1) 1 (2)

s

1 (3) ¹₂

s (4) 1

1



s (5)

21 s

s (6)

2 1 s

s

(7) 1 1



s (8)

1 1

2

s (9)

1 1

2  s (10) _{2 2}

2

) 1 (

1



 s

s (11) ( 2 1)2

2

 s

s (12) (s21)2

s

(13) _{2 2}

2

) 1 (

1



 s

s (14) ( 2 1)2

2

 s

s (15) (s21)2

s

2. 試求下列^F(s)的拉氏逆轉換。 (20%) (1)

) 5 )(

3 ( ) 1

(   

s s s

F (2)

) 4

( ₂

 ^ s s se F

s

(3)

2 2 ) 1

( ₂



 

s s s

F (4)

) 9

( ₂

2

  s s s F

Filename: EMII-2015-final-s.doc ~ by Y. T. Lee June 29, 2015

3. 已知 ^{L[f(t)]F(s)}, ^{L[g(t)]G(s)} 且 ^h(t) 為 f(t) 與 g(t) 的摺積 (Convolution) 即 ^h(^t)^{ f}(^t)^g(^t)^ 0^{t f}()^g(^t)^d ，由 ^h(t) 拉普拉斯 轉換可得 L^{[h(t)] H(s) F(s)G(s)}，若已知 _{2 2 2}

) (

) 1

(s s a

H   ，試求

? ) (t  h (10%)

4. 試以拉普拉斯轉換求解下述微分方程。 (20%)

(1) ^{y 2 yyet} 且初始條件為 ^{y(0) 1} 與 y(0)1 (2) y4y (t) 且初始條件為 ^y(0)1 與 y(0)0

5. 試以拉普拉斯轉換求解下述聯立微分方程。 (20%)







 





t y

y

t y

y

4 sin 9 3

4 cos 8 4

1 2

2

1 且初始條件為 y₁(0)0 與 y₂(0)3

參考解答：

1. 試填入下述時間函數 ^f(t) 經拉普拉斯轉換後所對應之 F(s) (20%) )

(t

f p₁(t) p₂(t) p₃(t) p₄(t) p₅(t) p₆(t) p₇(t) p₈(t) p₉(t) p₁₀(t) )

(s

F (2) (8) (5) (11) (10) (4) (9) (6) (11) (10)

時間函數 ^f(t) 1 )

1(t 

p , p₂(t)sint, ^p3^(t)^cost, p₄(t)tsint , ^p5^(t)^tcost et

t

p₆( ) , ^p7^(t)^sinht, ^p8^(t)^cosht, ^p9^(t)^tsinht, ^p10^(t)^tcosht (hint:

sinh e^t 2e ^t t  ^ ,

cosh e^t 2e ^t t  ^ )

s 函數 ^F(s)

(1) 1 (2)

s

1 (3) ¹₂

s (4) 1

1



s (5)

21 s

s (6)

2 1 s

s

(7) 1 1



s (8)

1 1

2

s (9)

1 1

2  s (10) _{2 2}

2

) 1 (

1



 s

s (11) ( 2 1)2

2

 s

s (12) (s21)2

s

(13) ₂² ₂ ) 1 (

1



 s

s (14) _{2 2}

) 1 (

2

 s

s (15) _{2 2}

) 1 (s 

s

2. 試求下列^F(s)的拉氏逆轉換 ^f(t)。 (20%) (1) ( 3)( 5)

) 1

(   

s s s

F

(2) ( ) ₂ 4

 ^ s s se F

s

(3) 2 2

) 1

( ₂



 

s s s

F

(4) ( ) ₂ 9

2

  s s s F

(1) ⁾

5 1 3 ( 1 8 1 ) 5 )(

3 ( ) 1

(  

 



 

s s

s s s

F

^{( )}

8 )] 1 5 1 3 ( 1 8 [1 )]

( [ )

( ^{1 1} e^3t e ^5t

s s s

F t

f ^{ }   ^

 

 



 L L

Filename: EMII-2015-final-s.doc ~ by Y. T. Lee June 29, 2015

(2) ] ( 1)cos(2( 1)) [ 4

)]

( [ )

( ^{1 1} ₂   

 



 ^{  } u t t

s e s s

F t

f L L ^s

(3) ( 1) 1

1 1

) 1 2 (

1 2

2 ) 1

( _{2 2 2}



 





 



 

s s

s s

s s F

又 1

] 1 [sin ₂

1

 



t s L

 ^{f(t) [F(s)] [}_{(s 1}¹₎2 ₁^{] e tsint} 1

1  

 



 

L L

(4) 9

3 3 9 1

9 9 ) 9

( _{2 2}

2 2

2

 



 



 

 

s s

s s

s s F

^{t t}

s s F t

f ] ( ) 3sin3

9 3 3

1 [ )]

( [ )

( ^{1 1} ₂  

 







 L^ L^ 

3. 已知 ^{L[f(t)]F(s)}, ^{L[g(t)]G(s)} 且 ^h(t) 為 f(t) 與 g(t) 的摺積 (Convolution) 即 ^h(^t)^{ f}(^t)^g(^t)^ 0^{t f}()^g(^t)^d ，由 ^h(t) 拉普拉斯 轉換可得 L^{[h(t)] H(s) F(s)G(s)}，若已知 _{2 2 2}

) (

) 1

(s s a

H   ，試求

? ) (t  h

^{( )} ₂ ¹ _{2 2} ¹ ₂ a s a s s

H  

 

 令 ^{( ) ( )} ₂ ¹ ₂ a s s

G s

F   

^at

a a s

a a a

s s F t

g t

f 1sin

1 ] [ 1 ]

[ )]

( [ ) ( )

( ^{1 1} _{2 2} ¹ _{2 2} 

 

 





 L^ L^ L^

3 2 2

0 2

2 0 0

2 2

2 0 0

2 cos sin

) cos 1sin

2 ( 1

)]

2 2 sin ( 1 cos 2 sin

2 1 cos 2 sin

[ 1 2

1

)]

2 2 sin ( 1 cos 2

cos 2 sin

[ 1 2

1

)]

2 cos 1 ( 2cos 2 1

sin 2sin

[1 1

) sin cos 2

sin 2sin

(1 1

) sin cos cos

(sin 1 sin

) ( 1sin 1sin

) ( ) ( ) (

a at at at

at t a at

a

a at t at a at

at a at

a

a a at

a a at

a

d a at

a a at

d a at a

a at

d a at a

at a a

d t a a a a

t g t f t h

t t

t t t

 

























































































4. 試以拉普拉斯轉換求解下述微分方程。 (20%)

(1)^{y 2 yyet} 且初始條件為 ^y(0)1 與 y(0)1 (2) y4y (t) 且初始條件為 ^y(0)1 與 y(0)0

(1) ^{L[y2y y]L[et]}

1

) 1 ( )]

0 ( ) ( [ 2 )]

0 ( ) 0 ( ) ( [ ²

 





 





 s Y s sy y sY s y Y s s

1

) 1 1 ( ) ( ) 1 2 ( ²

 











 s s Y s s s

₃

) 1 (

1 1 ) 1

(  

 



Y s s s

^{ y t   Y s   }_s ^ _s 3 ^{et  t2et} 1

1

2 ] 1

) 1 (

1 1 [ 1 )]

( [ )

( L L

(2) L^[y^4y]L^[^(t)]

[s²Y(s)sy(0)y(0)]4Y(s)1

(s²4)Y(s)s1

4

1 ) 4

( _{2 2}

 

 

 s s

s s Y

^{t t}

s s

s s Y t

y sin2

2 2 1 cos 4] 1 [ 4

)]

( [ )

( ^{1 1} _{2 2}  

 

 



 L^ L^

5. 試以拉普拉斯轉換求解下述聯立微分方程。(20%) (100 交大土木)

Filename: EMII-2015-final-s.doc ~ by Y. T. Lee June 29, 2015







 





t y

y

t y

y

4 sin 9 3

4 cos 8 4

1 2

2

1 且 y₁(0)0, y₂(0)3







 





t y

y

t y

y

4 sin 9 3

4 cos 8 4

1 2

2 1







 



 

 [ ] [ 3 9sin4] ] 4 cos 8 4 [ ] [

1 2

2 1

t y

y

t y

y L L

L L









 







 



 

16 3 36

) 0 (

16 4 8

) 0 (

1 2 2

2

2 2 1

1

Y s y

sY

s Y s y

sY









 









 



 

16 9 4

3 3

8 16 4

1 2 2

2 2 1

Y s sY

s Y s sY











 



 



 

) 2 16 (

12 3 3

) 1 16 (

4 8

2 2 2 1

2 2 1









s sY s Y

s Y s sY

由^{(1) s(2)4}可得

16

48 4 16

12 4 3

16 ) 8

12

( ₂

2 2

2 2

2 1

2



 



 

 





 s

s s

s s

Y s

s

16 4

1 2 

Y s 帶入 (1) 可得

16 3

2  2 s Y s

 y₁(t)L^1[Y₁]sin4t y₂(t)L^1[Y₂]3cos4t