第一節 變數的概念

第貳章 文獻探討

第一節 變數的概念

（一） 、變數的意義

變數的意義眾說紛紜，但是大體上可以分成定義式的說法和性質描述式的 說法，定義式的說法又可分成廣義和狹義的說法兩種。

吳明清（民 80）以翻譯的角度說明變數一詞的意義，他說：

「『變項』這個名詞是從英文的 variable 翻譯過來的，也有譯為『變數』或『變因』

者。蓋 variable 的字根為 vary，其意為『變化』 、 『變動』或『改變』的意思。照 這樣的解釋來看， 『變項』一詞的字面意義就是『可改變的事物』…具體一點， 『變 項』一詞指的是『在質或量可以變動的概念或屬性』」（p. 101）。

Davis（1984）的說法：

「一個變數似乎就是一個位置可以寫上數字，但要服從某種規則。若所填入的內容 是數，便稱為數目變數（numberical variable） 。但變數未必是數，例如申請卡上 有：姓名： ，則那也是個變數。變數也可能是你填寫名字的空格。真的，

一個變數是你填寫任何事物的地方。」（劉秋木譯，民 79，p. 54）

則與「位值」概念有關。廣義的說法適用範圍較為廣泛，這類說法是將任何因 為不同的情境而產生改變的事、物皆可稱之為變數。

狹義的說法則是為了配合特定的需求，適用的範圍較狹隘，如左秀靈(民 79) 的看法強調運動，他認為變量是：

「在某一運動過程中數值變化的量。如物體運動所經過的路程是一個變量。表示變 量的數叫做『變數』」(p. 1189)。

三民書局(民 74)所出版的大辭典，對於變數的意義分成數學和邏輯學兩種學科領 域加以說明。孫文先等(民 71)在簡明數學百科全書裡以集合論的觀點：「變數都 是以字母來代表，它是一個可由固定集合內的任一元素代入的空位。」（p. 49）。

林清山(民 81)則以屬性說明： 「變數（variables） ，或譯『變項』 、 『變因』 ，是指可

依不同的數值或類別出現或改變的一種屬性（property）」 （p. 6） 。林義男（民 78）

是以文字符號的角度切入： 「任一符號 X 若能取二個或二個以上不同的數值者，

稱為一個變數（a variable）」 （p. 15） 。Wheeler（繆龍驥譯，民 77）的說法則是綜 合了集合論的觀點和文字符號的角度：

「一個變數就是一個符號代表一個集合中的任意一個元素。通常選來代表一個變數 的符號是一個英文字母。如 x、y、z…等等」（p. 69）。

不管是廣義和狹義的定義，若依上述的各種定義都很難將「常數」視為變 數的一種，這與國立編譯館（民 87c）將常數視為變數的特例，兩者顯然不同。

定義很難將名詞的意涵完整的表達出來， Vygotsky（1986）就批評說，定義法 的缺點在於太注重名詞的字面意思，較容易忽略文字的深層意義。以下列舉的 數種說法則是屬於性質描述式的說法，這幾種說法並未對「變數」直接下定義，

而是從各種不同的角度加以說明、解釋或描述變數的性質或特徵，以建構變數 的意義。

Schoenfeld, & Arcavi（1988）蒐集了兩類變數的意義：

（1）其中一種是以一個英文字描述變數；

（2）第二種是各種文獻中變數的定義，文章中收錄了十個不同領域對變 數下的定義。

同時，他們摘錄了變數的特性，不同的英文字描述變數、不同領域對變數 下的定義，這些都呈現了變數的不同風貌，Schoenfeld, & Arcavi（1988）認為 以一個英文字描述變數，並不能完整的將變數的概念表達出來，他們也認為對 變數下定義是困難的。

Wagner（1983）是以比較差異的方式，定位了文字符號常用在確認隨機的、

多變的元素，雖然 Wagner（1983）並未明言變數的定義，但是他將文字符號分

別與數字及文字做比較，指出存在於其中的差異，並且藉著說明文字符號的特

性，同時建構了文字符號代表變數的意義。

Philipp（1992）從歷史演進的觀點整理了四個階段變數的意義，階段一、

代表變化量的變數記號是由 G. W. Leibnitz（1646-1716）所首倡的，此階段變 數概念與函數概念的發展是密不可分的。階段二、可以假定為數值不受限制的 量即為變數。階段三、一起改變的相關數，如方程式中的 x、y 具有共變關係

（共變關係不必然是函數關係）的自變數與應變數。階段四、以集合的觀點，

變數是一個代表特定集合內元素的符號，稱為集合的代換值或變數的定義域。

Leinhardt, Zaslavsky, & Stein（1990）以靜態與動態兩種觀點對變數作解釋：

（1） 、靜態性，變數是表達一般化或是描述規律的工具，經常與代數結合 而以文字符號的形式出現；

（2） 、動態性，兩個變數間的共變，一個變數改變時，另一個變數同時改 變的情形。

Skemp（1971）說： 「一個集合裡的不特定元素（泛稱）稱為”變數”」（林 義雄、陳澤民譯，民 74，p. 210） 。而且 Skemp（1971）又列舉了變數的幾個性 質：

（1）變數把一個廣泛成立的性質以最清晰、簡便的方式表達出來；

（2）變數可能代表的特定元素稱為變數的值；

（3）不論什麼類型的變數都可以用字母作為代表符號。

變數到底是什麼？變數的型式是什麼？如果單純的以是否「改變」 ，當作 判別變數的依據，那麼不變的「常數」又將以何物視之？笛卡兒（錢志純編譯，

民 72）對於變數的見解，字母是用來表達不同事、物之間的關係，他說：

「存在於對象間的各種關係和比例，…為了記住它們，或同時記取好幾個起見，我 必須用一些字母，盡可能簡短的字來解釋它們。」（pp. 131-132）。

雖然變數的意義並無定論，但是為了方便研究工作的進行，本研究中說的 變數是某一個集合裡的元素，變數也是可以用文字符號作為代表符號的事物或 是填寫任何事物的地方。

（二） 、變數的分類：

變數的分類有很多種類，因應不同的需要而有不同的分法，下面是較為常 見的幾種分法。

1.自變數（independent variables）和應變數（dependent variables）：

將變數利用因果的關係分成兩類，具有因果關係的變數多半依附在函數概 念之中，現行的國中教科書在國中數學第三冊（國立編譯館民，89b）中，將函 數定義成：

「對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個 y 值與它對應，這時我們說 y 是 x 的函 數，其中 x、y 都是變數。…我們把 x 叫做自變數，y 叫做應變數。」（p. 241）。

當兩個變數之間具有某種關聯，這種關聯通常指的就是函數的關係，其中一個變 數具有影響另一個變數的作用時，那麼具有影響作用的變數就稱為自變數，而受 到影響的變數就稱為應變數，自變數為「因」 ，應變數為「果」 。

自變數和應變數也有人譯成自變項和依變項，這種譯法通常出現在有具體 事物的實驗研究中，此時「變數」指的不是數，而是可改變的具體事物。例如，

王文科（民 88）說：

「在實驗研究中，自變項是由實驗者操縱的變項，如研究者研究不同教學法的效

果時，所操縱的教學方法屬之。…依變項是一種被預測的變項，依隨著自變項的變

化而改變，是毋須被操縱的變項。」（p. 49），

2.連續變數（continuous variable）和離散變數（discrete variable）：

以是否連續分類，連續變數的任二數值間均可有其他數值存在於其間，離 散變數則沒有如此性質。林義男（民 78）將變數分成連續變數和不連續變數兩 種。吳明清（民 80）和王文科（民 88）則是分成連續變項和類別變項（categorical variable） 。林清山(民 81) 則是譯成連續變數和間斷變數。一般數學家則是將 discrete 譯成離散，如林福來（民 69）將「discrete numeric functions」譯成離散 數值函數。變數的名稱容或不同但其本質並無差異，筆者綜合各家之言，為了 方便將不連續變數、類別變項、間斷變數三者統一採用離散變數這個名稱。把 變數分成連續變數和離散變數，這樣的分類是以其形式是否連續來區分的。

另外許多研究需要用到統計分析時常會用到虛擬變數，林義男（民 78）說：

「當一個不連續變數只能取“0”與“1”兩種可能數值時，這個變數稱為虛擬 變數」 （p. 15） 。其實虛擬變數未必只能取兩種可能數值，例如，本研究參考斯 皮爾曼等級相關（Spearman rank correlation）(林清山，民 81)，將學生概念安 置的層次分為內化前、內化、壓縮、物化等四個層次，分別以 0、1、2、3 等 四個等級分數代替（請參考第四章第五節） ，這也是虛擬變數。虛擬變數也是 離散變數的一種。

3.名義變數（nominal variables）、次序變數（ordinal variables）、等距變數

（interval variables）和比率變數（ratio variables）：

林清山（民 81）根據 S.S.Stevens 在西元 1951 年的分法，以互相包含的關 係將變數分成四類：

「（1）名義變數：當數字或文字是用來辨認任何事物或類別時，數字變成為名義 變數，…（2）次序變數：只單單就某一特質之量的多少或數的大小排序，…（3）

等距變數：具有『相等單位』的特性，除了可以依據大小或多少排序之外，不同

的差距之間亦能比較數量之大小，…（4）比率變數：除了等距變數的特性都必

須具備，還要具有『絕對零點』，…」（pp. 8-10）

其關係如圖 2-1。這樣的分法能夠幫助我們了解變數，而且在使用時並不須特 別聲明。例如， 「名義變數」是我們經常使用的變數，在本論文也有出現，像 概念層次的名稱內化、壓縮、物化等。

【圖 2-1 變數分類範圍圖】

4.常數（constant）和變數（variable）：

林清山（民 81）把常數當成變數的一種特殊型態。而國中數學教師手冊第 三冊（國立編譯館，民 87）也有相同的看法，其原文如下：

「如果 x 代表變動的數，那麼當的 x 值變動時，3x－1、2x

＋x－12、2x－3 等的 值也隨著變動（2 亦可看成是隨著 x 的值變動的特例） ，這時我們可以把 x 看成是 自變數，3x－1、2x

＋x－12、2x－3、2 等看成是因變數，而自變數 x 與因變數 之間的對應關係稱為函數關係…」（p. 26）。

依此觀點，本研究的線型函數概念測驗中，有題關於常數函數的題目

「y=f(x)=1」，常數「1」也是函數的應變數。

事實上常數和變數有時候是很難分辨的，例如 y=f(x)=ax+b 這個代數式，

一般教師在教線型函數時都會將之視為線型函數的一般式，因而把 a 和 b 當作 常數，把 x 和 y 當作變數。但是若 a=2，b=3 時 y=f(x)=2x+3；a=3，b=4 時 y=f(x)=3x+4，很顯然的因為 a 和 b 所代表的值不同時 y=f(x)=ax+b 所代表的意 義（直線的位置和斜率）也跟著改變，因此就 y=f(x)=ax+b 這個代數式而言，

把 a 和 b 當作常數只能限定在僅僅討論單一的代數式時才可以適用。

名義 變數

次序

變數 等距 變數

比率

變數

5.量的變數（quantitative variable）和質的變數（qualitative variable）：

這是一種以本質作為分類依據的分法，經常出現於各類統計圖表、日常生 活中商店的價目表、…等。量的變數和質的變數通常存在對應的關係，例如下 表 2-1 中的冰品是依照所含材料的不同作分類，這種分類方式就是一種質的變 數；至於各類冰品對應的價格，即冰的價錢（元）X 則是一種量的變數。

【表 2-1 冰品價目表（一）】

冰品 冰的價錢（元） X 紅豆冰 20

綠豆冰 20 仙草冰 15 粉圓冰 25 芋頭冰 25 蓮子冰 30

6.依使用方式分類：

Usiskin（1988）認為隨著代數學習目標的不同，變數的使用也會對應不同，

因此，他依使用方式將變數分成四類：

第一類，變數當作一般化的類型：代數規則是將算術類型一般化時，這類 的算術具有一定的規律，規律則以變數作為代表，因此說變數當作一般化的類 型（pattern generalizers） 。例如國中數學第一冊（民 89a）第三章第 122 頁的例 2，即是此種類型。第二類，變數當作特定的未知數：代數規則是解某些問題 的程序性學習，也就是說解出某方程式的解，則變數同時是未知數和常數，一 元一次方程式中的未知數是此種類型的代表。第三類，變數當作參數：代數規 則是在瞭解兩變量之間的關係，由於變數的值會變動，此時的變數是參數，參 數隱含了共變的概念，因此自變數和應變數的概念才會存在，函數是此種類型 的代表。例如，本研究的變數概念測驗中，第五大題第 3、4 小題的文字符號

「t」即是參數。第四類，變數當作任意物件：在高等代數的「群」 、 「環」 、 「整

域」 、 「體」和向量空間中，代數是結構的規則，在此情況下，變數是與某些性 質有關之結構中的任意物件，亦即變數是某集合內的任意元素，我們稱之為變 數當作任意物件。

同樣的 Kuchemann（1978, 1981）根據 Collis（1975）描述孩童解釋文字符 號的方式，將文字符號的使用分成六個層次，也是屬於這種分類方式，但是因 為部分學者將其層次的分類，視為文字符號概念發展的六個層次，我們將在本 章下一節加以說明，在此不再贅述。

7.依規律性分類：

依規律性分類是研究者根據各種領域及生活經驗，所得的分類方式，主要 將變數分成兩類，第一類是「無規律性變數」 ：無規律性變數通常是隨機的，

一般討論機率或統計問題的「隨機變數」 （random variable）。第二類是「有規 律性變數」 ：有規律性變數的種類繁多，通常是視實際的需要而界定，本研究 的四次測驗中，所有變數皆是此類。

（三） 、變數概念的組成成分：

林義男（民 78）指出：任何一個經驗研究的變數，都由五個部份組成： （1）

符號； （2）語文名稱； （3）語文定義； （4）一組類別； （5）與各類別相對應的一 組數值。對於林義男（民 78）的說法我們用表 2-2 作為例子來說明：

【表 2-2 冰品價目表（二）】

材料 沒加牛奶的冰價（元）

X

加了牛奶的冰價（元）

Y

紅豆 20 25=20＋5

綠豆 20 25=20＋5

仙草 15 20=15＋5

粉圓 25 30=25＋5

芋頭 25 30=25＋5

蓮子 30 35=30＋5

表 2-2 中的 X、Y 是變數的符號；X 的語文名稱是「沒加牛奶的冰價」、Y

的語文名稱是「加了牛奶的冰價」 ；它們的語文定義是「冰店中各式冰品的價錢」 ； 類別則是「15 元、20 元、25 元、30 元、35 元」 ；各類別相對應的一組數值是「15、

20、25、30、35」 。符號、語文名稱、語文定義、類別、一組數值、…等等都能 是變數的成分。

林義男（民 78）的說法並不能適用所有的情況，我們在引用時常常需要修 正，例如，許多的統計圖表中包含著「圖像」 、 「顏色」 、…等等，參照林義男的 說法，我們也可以找到許多例子，說明變數的成分本身可變的特性。例如圖 2-2 是一個圓面積圖，它是某個學生將一天之中的作息時間，依其使用的方式分類製 成的，作息時間是其中的變數。做了什麼事，如上學、寫功課、…等就是語文名 稱；而以不同的「顏色」代表不同的使用方式；使用時間 8、3、1、4、6、2（小 時）是一組數值；使用時間所對應的扇形便是「圖像」 ， 「圖像」的面積大小即可 表示變數的值。因此可在下頁圖 2-2 中找到的變數「作息時間」，是由四個成分 所組成的： （1）語文名稱； （2）顏色； （3）一組數值； （4）圖像。而顏色和圖像 是林義男（民 78）沒有提到的。

作息時間分配圖

8

1 3 4 6

2 上學

寫功課 作家事 娛樂 睡覺 其他

【圖 2-2 某生作息時間分配圖】

（四） 、變數概念的表徵

本研究採用的變數概念的表徵是參考 English, & Warren（1999）將變數概念 的表徵類型分成文詞敘述、文字符號、表列等三種表徵方式。

(小時)

第二節 概念發展的理論

本節從各種不同觀點探討關於概念發展的理論：

（一）探討學生面對問題時的思路的，有 Pirie, & Kieren（1989，1990，1991a，

1991b，1992，1994）的數學理解的動態理論。

（二）以概念發展前、後的內涵，歸納學生對於概念的使用方式，Kuchemann

（1978,1981）陳述文字符號的六個靜態層次。

（三）以學習者的角度探討概念的學習模式的是 Herscovics (1979)的四元模 型(Tetrahedral model)。

（四）Yen, & Law (1993)的起源分解(Genetic decomposition)則是以概念的成 分對於概念層次加以分類。

（五）Davis（1992）的先備知識建立的了解（previously-built-up

undersdanding） ，以比較概念發展前、後的差異之方式將觀察到的現象分類。

各種理論皆有其特點，也有不同的適用情形，以下分別詳細的介紹及討論各 理論的內容、特點和適用情形。

（一） 、遞迴理論的探討：

Pirie, & Kieren（1989，1990，1991a，1991b，1992，1994）的「數學理解的 動態理論」認為數學的理解是一個動態的（dynamic）、非線性的（nonlinear）、

遞迴的（recursive）成長過程。遞迴理論具有許多優點非常值得我們參考，尤其 它的重要特色「折回（To fold back）」 ，能啟發一般教師的想法，成績退步的學生 不再單純的被解釋為不用功，有部分學生是在學習過程中遭遇困難，而將想法折 回到他自己較為熟悉的部分了。

Pirie, & Kieren（1989，1990，1991a，1991b，1992，1994）企圖以學生的 行為表現，解釋學生的心智活動，對此，Davis（1992）曾經提出批判，Davis（1992）

的意思是我們無法得知學生的心智與教育的互動情形，且事實上我們無法進入任

何人的心靈世界。他對以行為表現來解釋心智活動這件事，是抱持懷疑的態度。

由於「數學理解的動態理論」探討的學生概念是動態的、非線性的、遞迴的，

是屬於動態評量的一種，此理論較適合用在樣本數少的個別的訪談，並不適用於 大樣本、靜態的成就評量。

（二） 、文字符號的六個層次（level）：

Kuchemann（1978, 1981）根據 Collis（1975）描述孩童解釋文字符號的方 式。將文字符號的使用分成六個層次：

一、文字符號的求值（letter evaluated） ：藉由嘗試錯誤或具體運算的方式，

直接求出文字符號所代表的數值。

二、文字符號的忽略（letter ignored）：將文字符號放在一旁而不去處理、

轉換或記憶，只需比較兩個式子間的異同後再作運算。

三、文字符號當作物件（letter as object） ：文字符號不需求出值來即可作運 算，此時文字符號被當作是一個物件、一個物件的名稱或是縮寫。

四、文字符號當作特定的未知數（letter as specific unknow）：文字符號當 成不需求出值來即可運算的特定未知數。

五、文字符號當作一般數（letter as generalized number）：文字符號可代表 某一集合內的數值，而非單一的數值。

六、文字符號當作變數（letter as variable） ：文字符號代表的數值改變時，

系統關係跟著改變。

雖然 Kuchemann（1978, 1981）的文字符號之六個層次為靜態的陳述，但 是也有學者做不同意義的應用，如 Osborne & Wilson（1992）直接把這六個層 次當作變數了解的六個階段（stage）。

Skemp（林義雄、陳澤民譯，民 74）認為：直接以文字符號當成變數是

有疑問的。Davis（1992）也持類似的觀點，他說數學概念往往以記號表示，但

是這些記號並不是數學本身。亦即，文字符號是變數的一種表現方式，但是文

字符號不能完全代替變數。研究者進行變數概念的研究時，認為文字符號與變

數概念應該是有部份重疊的，但不是相同的，文字符號與變數概念的關係應如 圖 2-3 所示。

【圖 2-3 文字符號與變數的關係】

由於 Kuchemann（1978, 1981）以描述孩童解釋文字符號的方式，將文字 符號的使用分成六個等級，是以被研究者的角度出發，這樣是有問題的，由於 孩童對於文字符號的了解之完備性，本身就是一件令人懷疑的事情。如果樣本 數不多，能夠找到的概念涵蓋的範圍自然較小。例如在這次的研究中能夠找到 Kuchemann（1978, 1981）未能述及的文字符號的使用方式，我們認為「能寫出 二元一次方程式的參數式」是符合「文字符號的虛擬」 。例如，要將二元一次方 程式 y=2x+1 改寫成參數式，方程式中並沒有參數的出現，我們必須自行選擇 不同於 x、y 的文字符號代表參數，參數的使用是一件無中生有的事情。

但是以評量方式而言，Kuchemann（1978, 1981）的方法是相當可行的，它 屬於總結性的評量，採用靜態的評量方式比較合適，可以在大規模的研究中使 用，而且樣本數越多，越能減少完整性的問題。

（三） 、四元模型(Tetrahedral model)：

Herscovics (1979)探討了有關學習概念的學習模式，他說他綜合了

Bruner(1960)的模型：直覺思考( intuitive thinking )及分析思考( analytic thinking ) 和 Skemp(1976)的模型：關係性瞭解( relational understanding )及工具性瞭解 ( instrumental understanding )，發展了更細緻的四元模型，分別是：

（1）工具性瞭解：能運用一個適當的背熟的公式去解題，而沒有去、不用去知 道這個公式是怎麼來的。

（2）關係性瞭解：能夠從普遍性的數學關係中去推演出具體確切的規則或程序。

（3）直覺性瞭解：不必事先分析題目，直接就能解題。

文字 符號

變數

概念

（4）形式性瞭解：連結數學符號、代數和相關的數學想法，組合成為一系列的 邏輯推理。

綜觀 Herscovics (1979)的四元模型討論的是代數的學習模式。其中一元一次 方程式的學習模式如圖 2-4。

仿照 Herscovics(1979)的做法，參酌圖 2-4 的學習模式加以改編，筆者認為 線型函數的學習模式可以如圖 2-5。

雖然探討學習線型函數時，線型函數的學習模式可以輕易的套用四元模型，

但是 Herscovics (1979)研究的主題在於算術本體的運算和解方程式，其研究主體 算術本體 方程式

在算術本體 的運算

解方程式

算術本體 1

2

4 3

3

【圖 2-4 一元一次方程式的學習模式】

算術本體 的運算

求函數 找函數圖

形上的點

畫出函 數圖形

算術本體 線型函數

4 4

1

3

2 3

【圖 2-5 線型函數的學習模式】

與學生的計算能力息息相關，其中大部分是能以記憶的方式進行瞭解。例如「工 具性瞭解」 ，Herscovics (1979)的說明正是學生只需記憶即可。而「關係性瞭解」

推演出具體確切的規則或程序的部分、 「直覺性瞭解」不必事先分析題目，直接 就能解題。其中「推演出具體確切的規則或程序」是數個動作的連鎖過程，方炳 林（民 68）曾經表示要達到數個動作的連鎖之準確和熟練，必須經過多次的練 習。Herscovics (1979)的四元模型中的瞭解，大半是學生不需了解或思考，直接 利用熟練題型即可辦到的。

計算能力、直接解題或是記憶部分等等的研究與本研究的主旨多有出入，因 而即使 Herscovics (1979)的理論適用於，樣本數眾多的總結性的評量，可採用靜 態的評量方式，且其了解層次分成四個階段是適中的，我們仍未採用 Herscovics (1979)的四元模型理論。

（四） 、起源分解(Genetic decomposition)：

Yen , & Law (1993)曾經提到函數的概念，在數學領域中佔有十分重要的地 位，但學生在學習函數概念時，往往會感到困難。他們在探討這個問題的時候，

以起源分解的方式，將國中生在學習線型函數和二次函數時的概念認知發展分成 四個主要層次，它們分別是：

（1）層次I：給一個數可以求出所對應的函數值。

（2）層次II：給定函數可以正確的代換文字符號和代數式。

（3）層次III：可以找到函數圖形上的幾個點，並且畫出代表函數的平滑曲線。

（4）層次IV：又細分成四個子層次，包含了瞭解二次函數的四個重要元素 (i).平移的基模(ii).圖形的基模(iii).係數的基模(iv).極值的基模。

Yen, & Law (1993)將這樣的方式稱為起源分解，並且表示特別的數學概念的

起源分解呈現了學生如何學習該數學單元，而且也清楚的描述了這些概念的基模

的可能建構過程，他們認為起源分解是一種有意義的方式，可以幫助學生學習和

建構概念的網路，以鍊結他們的概念和經驗的知識。

「起源分解」的優點很多，可以提供我們在命題時釐清試題內容的幫助，但 是有一個值得重視的問題，起源分解要分解到什麼程度才是適當的？以 Yen, &

Law (1993)的分法，線型函數和二次函數時的概念認知發展分成四個主要層次，

加上層次IV又細分成四個子層次，共有七個層次。事實上，每個層次都可再分解 成數個不等的子層次，如此一來，光在層次的界定就已經沒完沒了。例如，根據 起源分解的想法，線型函數、二次函數的概念子層次係數的基模，可再細分成(i) 整係數線型函數，(ii)分數係數線型函數，(iii)小數係數線型函數。便可以分別討 論整數、分數、小數概念是否影響線型函數或二次函數的概念的發展，或者是說 有那些關聯？再者如，圖形的基模可再細分成(i)直線，(ii)線段，(iii)曲線…等等。

雖然 Yen, & Law (1993)的「起源分解」理論適用於樣本數眾多的總結性的評 量，可採用靜態的評量方式。但其概念層次界定的繁複並不是本研究者所需求 的，所以本研究並未採用「起源分解」理論。

（五） 、先備知識建立的了解（previously-built-up undersdanding）：

Davis（1992）的先備知識建立的了解理論，是說學生概念的發展受到教育 者的支配和影響，學生學到什麼？了解什麼？和所產生的了解事務的方法，都是 植基於教學者準備的「先備知識」 。Davis 將數學教育的觀點分成兩個部分，以前 的觀點（Previous View）和新近浮現的觀點（Newly-emerging View）。用兩欄的 格式，分別比較了「數學是什麼…」 、 「數學知識的組成」 、 「教數學」 、 「學習數學」 、

「學生是否能創造自己的演算法」 、 「評量」等，新、舊數學教育觀點的差異。

適合 Davis（1992）的理論之研究有幾種，例如跨世代的研究，或是不同文化背 景的研究…等等，又如，假定有關函數的教學時，將函數的定義分別採用集合的 觀點和代數的觀點進行課程活動，學生自然會有不同的概念產生。採用 Davis

（1992）的理論比較不同觀點下的產物，是一種不錯的選擇。但是本研究的背景

是教學時全校使用相同的課本，因此在此 Davis（1992）的理論並不符合本研究

的需求。

第三節 國中數學課本中有關變數概念的發展

Schoenfeld, & Arcavi (1988)曾經說過有些變數概念是可學習的，他們並且針 對變數的教學提供三點建議，分別是：

（1）變數是表達數學一般性的工具；

（2）變數概念動態的特性應該被強調；

（3）不要侷限代數課程中的解方程式，推薦學生廣泛應用代數式的一般性。

既然有些變數概念是可學習的，而且 Davis（1992）也曾說過教學者為學生 準備的教材支配了學生的概念發展。為了瞭解學生變數概念發展情形，分析現行 的國中數學課本內容有關變數概念的發展就有其必要性。

本論文第一章曾經提到有關變數概念的發展處處可見，但是課本中到底出現 哪些變數概念，變數概念以何種面貌呈現，變數概念的分類方式如同本章第一節 所述，然而其中我們最為關心的分類方式，是將變數利用因果關係分成的自變數 和應變數。我們關心的是在接觸變數一詞之前，學生應該具有哪些變數概念，或 是說學過哪些變數概念。因此本節以自變數和應變數為主軸，參照 Sfard(1991) 的

「概念發展理論」中的層次內化、壓縮、物化的特徵。分析了現行的國中數學課 本中有關變數的概念，以供編製變數概念測驗試卷的參考，說明如下。

現行的國中數學課本共有六冊分成 20 個單元，依序如次：第一冊第一章「數 與數線」 、第二章「分數的運算」 、第三章「一元一次方程式」 、第二冊第一章「二 元一次聯立方程式」 、第二章「直角座標與二元一次方程式的圖形」 、第三章「比 與比例式」 、第四章「近似值與方根」 、第三冊第一章「乘法公式與多項式」 、第 二章「因式分解」 、第三章「一元二次方程式」 、第四章「一次函數及其圖形」 、 第四冊第一章「二次函數」 、第二章「簡單的幾何圖形」 、第三章「三角形的基本 性質」 、第四章「平行」 、 第五冊第一章「相似形」 、第二章「圓形」 、第三章「幾 何與證明」 、第六冊第一章「等差數列與等比數列」 、第二章「資料整理與機率」

（國立編譯館，民 89a，民 88a，民 89b，民 88b，民 89c，民 88c）。

「變數」這個名詞是出現在第三冊第四章「一次函數及其圖形」 ，除此之外 的課程中有變數概念的發展，沒有變數這個名詞。即使在國中數學第三冊第四 章，變數這個名詞也不是單獨介紹的，而是以「自變數」和「應變數」的方式出 現。而在第四冊第一章結束之後，縱然數學課本轉為介紹幾何圖形及其性質，變 數概念仍有出現直到整個國中數學的最後一章（國立編譯館，民 88b，民 89c，

民 88c，民 87d，民 88d，民 88e，民 88g，民 89f，民 88h）。

以下將國中數學各冊中與變數（自變數與應變數）有關的部份逐一的列舉，

配合 Sfard(1991) 的「概念發展理論」中的層次內化、壓縮、物化的特徵分成三 個部分加以說明，而且為了方便讀者閱讀及資料的比較分析，在某些部分的說明 時亦將課本的原文節錄下來，加了外框表示節錄課本原文的部分。

（一） 、符合變數概念內化層次的課文部分之說明：

（1）國民中學數學第一冊（國立編譯館，民 89a）的第三章「一元一次方 程式」 ：其中以文字符號代表數及利用數的運算規則來做算式的運算（國立編譯 館，民 87a），符合變數概念內化層次的特徵，「能作多項式的化簡」。

（2）國民中學數學第二冊（國立編譯館，民 88a）第一章「二元一次聯立 方程式」 ：本章所提的「代入消去法」 ，解二元一次聯立方程式，將其中一個方程 式的一個未知數以第二個未知數的多項式表示，代入另一個方程式變成一元一次 方程式。代入的多項式是自變數，而所得新的一元一次方程式則是應變數。其中 代入後的化簡符合變數概念內化層次的特徵， 「能作多項式的化簡」 。

（3）國民中學數學第二冊（國立編譯館，民 88a）第二章「直角座標與二

元一次方程式的圖形」 ：這個單元要分成兩個部份來討論，第 2-1 節「平面上的

直角坐標」 ，第 48 頁開始到第 52 頁教科書利用地圖來介紹直角坐標的概念，事

實上在這同時我們也可以注意到地圖上的每一個公共設施都有一個直角坐標和

它對應，而且不同的公共設施都有對應到不同的直角坐標，這時「自變數」是公

共設施，顯然公共設施並不是一個數字，即「自變數」的值並不是一個數字； 「應

變數」是公共設施的位置，它是用數對的形式來表示，數對是一組有次序關係的 數，也不是「一個數」 ，亦即「應變數」的值也不是一個數字。雖然教科書在這 之前都沒有明說變數和函數的概念，但是不可否認變數和函數的概念在此已見雛 形，值得我們特別注意的是「變數」的值在這兒都未必是數，它們都是某個集合 內的元素。類似的例子還有第 52 頁到第 53 頁颱風路徑圖， 「自變數」是時間， 「應 變數」是經緯度；第 53 頁到第 56 頁教室座位表，「自變數」是人名，「應變數」

是位置（是數對） ，符合變數概念內化層次的特徵， 「能根據題意完成式子中的空 格」 。

第 2-2 節「二元一次方程式的圖形」中，第 76 頁例 2 的解（要求出－2X＋

Y=3 的八個解，可先選 X 的值，再求出對應的 Y 值，也可以先選 Y 的值，再求 出對應的 X 值）由於出現了對應的字眼因此我們可以判斷「先選 X 的值」是自 變數的值，同時「對應的 Y 值」就是應變數的值。同樣的道理如果「先選 Y 的 值」那麼自變數的值就應該是 Y 的值，自然應變數的值就應該是「對應的 X 值」 。 我們應該這麼說，每一個二元一次方程式都有很多解，而每一個解都可以用數對

（X，Y）的形式來表示，我們在求出二元一次方程式的解的同時就已經接觸自 變數與應變數的概念並且發展之。而且求出二元一次方程式的解符合變數概念內 化層次的特徵， 「能找出二元一次方程式的一些解」 。

（4）國民中學數學第三冊（國立編譯館，民 89b）第一章「乘法公式與多 項式」 ：第 93 頁提到商高定理是：「任意一個直角三角形，其兩股的平方和等於 斜邊的平方。」同一頁的例 1 如下：

例 1 已知下列各直角三角形的二股，求斜邊的長度。

（1） （2）

（3）

（ p. 93 ） 4

5

c 3 c

12

c 5

6

由於上面三個三角形中圖上給定的數都是股的值，所要求的斜邊都是用文字符號 c 表示，只要給定兩股的值，根據對應的關係「商高定理」就可以求出 c 的值，

因此可以看出「自變數」是兩股而「應變數」是斜邊。同冊的第 93 頁到第 96 頁討論的都是類似的問題。例 1 中把文字符號 c 改成空格不會影響題意，符合變 數概念內化層次的特徵， 「能根據題意完成式子中的空格」 。

（二） 、符合變數概念壓縮層次的課文部分之說明：

（1）國民中學數學第一冊（國立編譯館，民 89a）第三章「一元一次方程 式」 ：

例 2

由上表，你發現哥哥的歲數和弟弟的歲數有什麼關係嗎？從上表我們可以發現 弟弟比哥哥小 歲，也就是

弟弟的歲數＝ －3 如果用 x 來代表哥哥的歲數，那麼

弟弟的歲數＝ －3

如果用 x 來代表哥哥的歲數，用 y 來代表弟弟的歲數，那麼可以列出 x、y 的關 係為： 。（ p. 122 ）

例 2 中哥哥 x 歲時，弟弟就是 x－3 歲，哥哥的歲數可視為是自變數，弟弟 的歲數是應變數，同一單元中第 119 頁例 1、第 124 頁例 3、第 126 頁隨堂練習、

第 127 頁例 4 及隨堂練習都是這類的問題。另外第 133 頁也提到「一個算式代表 什麼數，是由式子中文字符號所代表的數來決定的」 。我們根據其因果關係可以 說「文字符號所代表的數」是自變數的值， 「算式代表的數」是應變數的值。課 本的要求是將文字敘述中一些簡單的數量關係列成算式（國立編譯館，民 87a），

例 2 中先呈現了變數的表列表徵最後以文字符號 x 代表一序列哥哥的歲數，以文 字符號 x－3 代表一序列弟弟的歲數，符合變數概念壓縮層次的特徵， 「能用未知 數代替一序列的數字」 。

民國 哥哥的歲數 弟弟的歲數 86 15 12

87 16 13

88 17 14

89 18 15

90 19 16

（2）國民中學數學第二冊（國立編譯館，民 88a）第三章「比與比例式」：

（2）做做看：

○ 1 設 x=3，y=2，求（x+1）：y 的比值。

○ 2 設 x=6，y=4，求（x+1）：y 的比值。

○ 3 設 x=9，y=6，求（x+1）：y 的比值。

○ 4 如果你知道 x：y=3：2，你能確定（x+1） ：y 的比值嗎？（ p. 126 ）

「自變數」是一組一組的數對 x=3，y=2； x=6，y=4； x=9，y=6 它們的共 同點是 x：y=3：2，也就是只要符合條件 x：y=3：2 的 x、y 的數對的值都可以 代入求（x+1）：y 的比值。當然「應變數」便是符合條件 x：y=3：2 的 x、y 的 數對的值代入（x+1） ：y 所求出來的比值。另外謝豐瑞、陳材河（民 86）曾在「函 數的一生」文中提到伽利略已用「比例」和文字敘述來描述函數的觀念。而以比 例、比例式去描述變數的關係時，與以函數的觀點去描述變數的關係，其道理是 相通的。而第○

題的題意符合變數概念壓縮層次的特徵， 「能用未知數代替一序 列的數字」 。

（3）國民中學數學第三冊（國立編譯館，民 89b）第二章「因式分解」 ：第 130 頁是將公式中的 a 和 b 用任何文字或任意數代換。課本的說明如下 ：

x

+ 2 x • 1+ 1

= ( x + 1 )

（把 a 當成 x，b 當成 1）

x

− 2 x • 1+ 1

= ( x − 1 )

(3x)

+ 2 •3x • 2 + 2

= ( 3x + 2 )

（把 a 當成 3x，b 當成 2）

(3x)

− 2 • 3x • 2 + 2

= ( 3x − 2 )

（p. 130 ） a

+ 2 a b + b

= ( a + b )

a

− 2 a b + b

= ( a − b )

a

+ 2 a b + b

= ( a + b )

a

− 2 a b + b

= ( a − b )

課本說明中的文字符號 a、b 都是可以被其他文字符號或是數字所代換的，既然 是可以任意的代換，我們實在找不出說公式的代換沒有蘊含變數概念的理由。其 中文字符號或是數字的代換符合變數概念壓縮層次的特徵， 「能以新的未知數代 換已有的未知數」 。

（4）國民中學數學第三冊（國立編譯館，民 89b）第三章「一元二次方程 式」 ：第 171 頁介紹了一種用代入數值的方法解一元二次方程式，簡稱「代入法」 。 這種方法是用一個一個數值代入，運氣好才找到一元二次方程式的解，以解一元 二次方程式的「效率」而言，代入法並不是一個好方法，不過變數的概念在其過 程中完全表露無遺。

例如我們將數字 1、2、3、4、5 依序分別代入 x

+27x+540=700

x 以 1 代入，等式左邊=1

+27×1+540=568 等式右邊=700

左邊≠右邊，所以 1 不是一元二次方程式 x

+27x+540=700 的解；

x 以 2 代入，等式左邊=2

+27×2+540=598 等式右邊=700

左邊≠右邊，所以 2 不是一元二次方程式 x

+27x+540=700 的解；

x 以 3 代入，等式左邊=3

+27×3+540=630 等式右邊=700

左邊≠右邊，所以 3 不是一元二次方程式 x

+27x+540=700 的解；

x 以 4 代入，等式左邊=4

+27×4+540=664 等式右邊=700

左邊≠右邊，所以 4 不是一元二次方程式 x

+27x+540=700 的解；

x 以 5 代入，等式左邊=5

+27×5+540=700 等式右邊=700

左邊=右邊，所以 5 是一元二次方程式

x

+27x+540=700 的解； （p. 171）

其中很清楚的，每一次等式的左邊 x

+27x+540 的 x 都代入不同的值，對應的結

果也都不一樣，x 是自變數，x

+27x+540 就是應變數；等式右邊不管 x 代入不同

的值時對應的值都是 700，x 是自變數，700 就是應變數。我們可以用「x

+27x+540」

替代等式左邊的所有的值，符合變數概念壓縮層次的特徵， 「能用未知數代替一 序列的數字」 。

（5）國民中學數學第四冊（國立編譯館，民 88b）第二章「簡單的幾何圖 形」及第四章「平行」 ：

a. 第二章在第 132，136 頁兩處，分別希望學生在隨堂練習時，能夠知道 n 角柱和 n 角錐的頂點數、邊數及面數。呈現的方式是以表列的表徵進行的，利用 已知的立體圖形找出實際的頂點數、邊數及面數，並且從中找出規律性，而在最 後寫出 n 角柱和 n 角錐的頂點數、邊數及面數之一般式，其中自變數是 n，應變 數是所對應的一般式。

b. 第四章則是在第 224 頁到第 227 頁的活動一，其中自變數是兩個線段 AC 和 BD 的長度，應變數是最後歸納的性質，最後歸納的性質是不變的，「不變的 的性質」視為一個「常數」 。

此處所舉的三個例子符合變數概念壓縮層次的特徵， 「能用未知數代替一序 列的數字」 。

（三） 、符合變數概念物化層次的課文部分之說明：

（1）國民中學數學第二冊（國立編譯館，民 88a）第三章「比與比例式」：

這章的內容是先在第 124 頁介紹如果 a：b=c：d 可以改寫成 a=cr，b=dr，到了第 128 頁自我評量第（3）題，

設 x：y = 2：7 且 3x+y = 26，試求（x+1） ： （y+1）的比值。 （國立編譯館，民 88a ， p. 128）

利用參數的方式解題，符合變數概念物化層次的特徵， 「能寫出二元一次方程式

的參數式」 。此時的 x、y 是共變的，但是題目中 x、y 誰是「因」 、誰是「果」並

不是重點，自變數與應變數的概念並不明顯。另一方面，參數 r 的使用是一種無

中生有的步驟，可說是「文字符號的虛擬」 。

（2）國民中學數學第三冊（國立編譯館，民 89b）第四章「一次函數及其 圖形」和第四冊第一章「二次函數」 （國立編譯館，民 88b）這兩章討論的都是 函數的問題，而國中數學第三冊（國立編譯館，民 89b）中將函數定義為：「對 於任意給定的一個 x 值，都恰有一個 y 值與它對應，這時我們說 y 是 x 的函數，

其中 x、y 都是變數。…我們把 x 叫做自變數，y 叫做應變數。」（p. 241） ，這是 以函數的概念涵蓋自變數與應變數的概念。變數概念在此是較高層次概念（函數 概念）的內化階段，符合變數概念物化層次的一般特徵， 「有能力將想法視為完 全成熟的物件」 。

（4）國民中學數學第四冊（國立編譯館，民 88b）第三章「三角形的基本性 質」 ：本章課程在其中的性質的推演時，符合變數概念物化層次的一般特徵， 「有 能力將想法視為完全成熟的物件」 。例如，課文在介紹三角形的外角定理時，有 一圖如右：

我們並不需要知道其中的∠1、∠2、∠B、∠C、∠B+∠C 實際的值各是多少，我 們關心的只有∠1=∠B+∠C 這個關係式可以表示的性質，而關係式∠1=∠B+∠C 中，∠B+∠C 視為一個整體的物件， ∠B、∠C 是共變的，誰是「因」、誰是「果」

並不是重點，自變數與應變數的概念並不明顯。

（5）國民中學數學第五冊（國立編譯館，民 89c）第二章「圓形」、第三章

「幾何與證明」 ：共有五處與自變數與應變數的概念有直接的關係，列舉與說明 如下：

A

B C

1 2