愛戀關係的動態系統模型

(1)

愛情的愛與不愛

成功大學數學系劉珈銘

Dynamical Models of Love

(2)

數學v.s.愛情？

•  數學系老師教愛情課？

(3)

問題討論

•  1.愛情跟數學有關嗎？

•  2.如果愛情跟數學有關，可能的關係是？

(4)

愛戀關係的動態系統模型

起源：Strogatz, Steven H.: Love affairs and Differential Equations. Math.

Mag 61 (1988), no. 1, 35

(5)

本堂課的Road Map

•  1. 定義討論（原訂為世界咖啡館）

•  2. 介紹數學模型（Mathematical Model）與例子

•  3. 愛戀關係簡單模型

•  4. 微分方程的穩定性理論

•  5. 問題與討論

(6)

第一部分：定義

(7)

愛是什麼 ?

問題與討論

(8)

愛

名詞：親慕的情緒或親密的情感動詞：喜好，親慕

形容詞：兩情相悅

（教育部國語辭典）

(9)

詩人泰戈爾

相信愛情，即使它給你悲哀也要相信愛情．

友誼和愛情之間的區別在於：

友誼意味著兩個人和世界，

然而愛情意味著兩個人就是世界．

愛情是理解和體貼的別名．

愛是亙古長明的燈塔，它定晴望著風暴卻兀不為動，

愛就是充實的生命，正如盛滿了酒杯

(10)

莎士比亞

愛情是一朵生長在懸崖邊緣的花，要想採摘它必須要有勇氣．

愛情不過是一種瘋

愛情不是花蔭下的甜言，不是桃花源中的蜜語，不是輕綿的眼淚，更不是死硬的強迫，愛情是建立在共同語言的基礎上

愛和炭相同，燒起來得設法叫它冷卻

(11)

問題與討論時間

莎士比亞說愛情是必須要建立在共同語言的基礎上．什麼是共同的語言？莎士比亞說的你同意嗎？為什麼？

(12)

一切始於定義

•  共同的語言由定義開始

•  定義：將一個概念所包含的內容簡要而完整地表達出來稱為定義．

（出處：教育部重編國語辭典修訂本）

•  定義的目的：讓彼此對某個概念產生共同的理解．

(13)

問題與討論

•  1.如果對同一件事情彼此的認知不同，溝通時可能會發生什麼問題？

•  2.你是否有經歷過兩人或兩人以上在溝通時，以為再談同一件事情，最後發現原來不是談同一件事？請分享經驗．

•  3.你認為我們一定可以讓對方(溝通的對象)跟我們在討論的事情上認知取得一致？請分享．

(14)

如果對同一件事情彼此的認知不同會 …?

舉例來說：

圓形正方形三角形

(15)

溝通

•  溝通：彼此意見的交流，或訊息的傳遞．（教育部辭典

•  溝通的目的：讓彼此對於同一個概念有相同共識．

(16)

能否客觀的方式來討論愛情？

•  主觀：根據自己的認知對事物的判斷，而不求符合實際的狀況．

•  客觀：觀察事物本來面貌而不加上個人意見．

•  (出處：教育部重編國語辭典修訂本)

(17)

數學家提供一種客觀的方式：

•  利用數學模型來探討愛戀關係．

•  以下即將討論

1.  何謂數學模型

2.  建立數學模型的幾個基本原則

3.  數學模型的經典範例

4.  愛戀關係的數學模型

(18)

研究說明

1.研究方法：微分方程穩定分析理論 2.研究目的：研究愛戀行為模式

3.研究對象：任何存在愛戀關係的人 4.參考資料：請參閱附件

(19)

第二部分：數學模型簡介

(20)

什麼是模型（model）

Model : a usual miniature representation of something; a pattern of something to be made; an example for imitation or emulation; a description or analogy used to help

visualize something that cannot be observed; a system of postulates, data and inferences

presented as a mathematical description of an entry or state of affairs.

(Merriam Webster)

(21)

數學模型

•  Mathematical Model:

a presentation in mathematical terms of the behavior of real devices and objects

(Vahid Dabbaghian,

Department of Mathematics, Simon Fraser University)

(22)

為何我們要研究數學模型

現實世界概念世界

現象

觀察

模型(分析)

預測

(23)

範例1.牛頓第二運動定律

•  物體的加速度與所受的淨力成正比，與質量成反比，物體的加速度與淨力的方向相同

F=ma

F外力,m質量,a加速度

m

F’

F

t=0的位置時間t的位置

(24)

馬爾薩斯人口模型

•  『（如果沒有限制）人口

•  成長的比率與人口數成正比』

Malthus T.R.: An Essay on the Principle of Population 1798

•  『食物只會算術成長』

馬爾薩斯的目的：

預測人口的變化

(25)

邏輯方程（人口模型修正版本）

•  V. Pierre-Francois,: Recherches mathematiques sur la loi d’accroissement de la population, Nouvex Memoires de l’Academie Royale des Science et Belles- Lettres de Bruxelles. 18: 1-42 (1845)

(26)

建構數學模型的幾個重要原則

•  1. 我們希望研究的是…?找出建構模型所需要的要素．

•  2. 我們希望知道的是…?列出我們希望尋找的資訊

•  3. 我們知道的是…...?列出已知道的訊息

•  4. 假設與前提是…...?

•  5. 如何的來看此模型….?

•  6. 系統可以預測出什麼…?

•  7. 這些預測是否準確…....?

(27)

建構數學模型的流程圖

目標/系統

數學模型參數與變數

模型預測

有效，接受預測結果

測試

預測是否有效？

若否,改善模型

已知與假設

希望研究的對象

使用

(28)

第三部分：愛戀模型的建構

(29)

愛情的愛與不愛

•  我們希望研究的是：愛戀關係

•  我們希望知道的是：兩人關係未來的發展

•  假設與前提是：？

•  如何來看待此模型：？

•  系統可以預測什麼：？

•  這些預測是否準確：？

(30)

前提與假設

•  問題與討論：

•  1.愛能否被量化？

•  2.什麼是愛與不愛？

(31)

幾個範例

•  討論範例：

•  1. 愛情能不能用金錢衡量？如果把金錢當成一種量化方式，

愛情如果可以用錢來衡量，那麼愛情就可以用金錢來衡量？

•  2. 我愛/恨你比你愛/恨我還『多』．雖然這裡的『多』跟

『少』是種感覺，但如果我們把這樣的感覺更具體的量化後，是否就能更清楚的比較出愛的多或少？

•  3.愛那麼『重』愛那麼『痛』．（巫啟賢）

(32)

愛/恨的離散型量化範例

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

不愛一點點喜歡喜歡愛非常愛劇烈的愛

仿疼痛量表製作的愛的量表（離散型）

附註：這兩張圖表的僅提供一個量化方式的範例．

假設：我們把恨定義為負值的愛，

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

不恨一點點討厭討厭恨非常恨劇烈的恨

仿疼痛量表製作的恨的量表（離散型）

(33)

連續型的愛/恨函數範例

愛的大小

（韓劇步步驚心麗）王堯：『她恨多深就代表她愛他有多深．』

(34)

模型的第一個假設

•  感情(愛/恨)可以量化成時間的連續函數（愛是隨著時間連續變化的）

•  如果E(t)量的是A對B在時間t時的感情(愛/恨)．如果E(t)>0，

我們稱為愛，E(t)<0

，我們稱為恨．

(35)

感情的初始條件

•  解釋：初始條件指的是時間為t=0時，感情的初始狀態．以數學的語言來說就是E(0)的值．

該如何設定何時為初始的時間？

1. 兩人認識的那一刻起．

2. 告白的那一刻起．

3. 兩人交往的那一刻起．

4. 等等

(36)

建立感情函數的變化/感情日誌

感情日誌：每日情感的變化記錄

在時間[t,t+Δt]之間，

平均的情感變化率定義為：

ΔE

Δt

(37)

感情日誌範例

時間/日 1 2 3 4 5 6 7

感情指數 2 3 2 1 0 5 3

[3,4]日間感情指數變率

ΔE

Δt = 1− 2

4 − 3 = −1

說明：平均變化率為正號表示感情增溫負號表示情感是降溫

[4,6]日間的感情指數平均變化

ΔE

Δt = 5 −1

6 − 4 = 4

2 = 2

(38)

瞬時感情變化率

!E =

lim

Δt→0

^ΔE _Δt

瞬時感情變化率的定義如下：

說明： 1.E’代表的是感情函數在時間為t時得切線斜率

2.數學上E’(t)稱為E(t)的微分/導數

(39)

愛/恨無窮？

•  浪淘沙（歐陽修）

把酒祝東風，且共從容，垂楊紫陌洛城東．總是當時攜手處．遊遍芳叢．聚散苦

匆匆，『此恨無窮』

今年花勝去年紅．

可惜明年花更好，

知與誰同？

(40)

根據感情函數是連續的前提下：…

•  人生的時間是有限的．

•  根據分析學中威爾史特拉斯極值原理(Weierstrass

Maximum principle)

，連續函數在有限區間上有極大極小值

可以推論出：『人的愛與恨是有限的．』

(41)

告白(問題與討論)

•  你認為什麼是告白？

•  你認為告白的目的是什麼？

•  你會選擇什麼樣的方式告白？

我喜歡

你很久了

(42)

愛戀關係簡單模型

•  在表白後，有一方明確的知道了對方的情感（函數）後．

我們從表白的那一刻起（initial data），我們可以開始建立兩人愛戀關係的模型．數學家Strogatz (1988年)提供了一個簡單的線性模型(Strogatz稱為)：羅密歐(Romeo)與茱麗葉(Juliet)方程

!R = aR + bJ

!J = cR + dJ

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

R(t):羅密歐對茱麗葉在時間t時的感情 J(t):茱麗葉對羅密歐在時間t時的感情

a,b,c,d決定於兩人相處模式．我們以(a,b,c,d)稱為這個系統的Romatic Style.

(43)

Romatic Style

以下的Romeo 的 Romatic Style的分類，名稱由Strogatz與他的學生建議(suggest)．

•  1. Eager Beaver: a>0, b>0 (Romeo is encouraged by his own feeling as well as Juliet’s)

•  2. Narcissistic nerd: a>0, b<0 (Romeo wants more of what he feels but retreats from Juliet’s feelings)

•  3.Cautious (or secure) lover: a<0, b>0 (Romeo retreats from his own feelings but is encouraged by Jullet’s)

•  4.Hermit: a<0, b<0, (Romeo retreats from his own feelings as well as Juliet)

Citation: J.C. Sprott, Dynamical models of Love, Nonlinear dynamics, Psychology, and Live Sciences, Vol. 8, No. 3, (2004)

(44)

Initial condition( 初始條件)

R(0) J(0) 初始條件

>0 >0 兩人彼此喜歡

>0 <0 羅密歐喜歡茱麗葉，但茱麗葉不喜歡羅密歐

<0 >0 羅密歐不喜歡茱麗葉，但茱麗葉喜歡羅密歐

<0 <0 兩人彼此不喜歡

附註：只有初始條件或只有愛戀模型無法決定兩者關係的穩定性，只有同時擁有初始條件與愛戀模型才可．

(45)

第四部分：微分方程的穩定性理論

(46)

Solvability, Phase Portrait

1.根據微分方程的存在且唯一性定理可知，愛戀方程的恆有解，且解是唯一的．

2. Phase Portrait: 相圖是參數化曲線在平面上呈現方程的解的一種方式，幫助我們理解

/

預測解的行為．

(47)

戀愛模型系統的特徵方程

特徵方程： ²

λ ^{− (a + d)} ^λ + (ad − bc) = 0

指標方程的判別式： D =

(a+d)

²− 4(ad − bc)

特徵方程的解

D 方程的根 λ

>0 兩相異實數 λ1, λ2

=0 重根 λ0

<0 兩共軛複數根 a+ib, a-ib

(48)

戀愛系統方程的解

D 方程的解R(t), J(t)的長相

>0

=0

<0

c

1

e

^λ¹^t⁺

c

²

e

^λ²^t

(

c

₁⁺

c

²^t)

e

^λ⁰^t

e

at⁽

c

¹^{cos(bt) +}

c

²^sin(bt))

說明：c_1,c_2的值由初始條件R(0),J(0)確定

(49)

(50)

det A = ad − bc

Tr(A) = a + d

(51)

如果愛戀關係中有三個人以上呢？

•  在動態系統裡面，這類問題稱為『多體問題』(many body problem)

，其穩定性理論相當複雜．在三維系統的穩定性

理論中，(如：三個人的愛戀關係)還出現了二維系統沒有的混屯現象(chaos，雜亂的一團)．

Lorenz Attractor

蝴蝶效應：系統對於初始狀態敏感．

（初始狀態些微改變就造成解極大的改變）

(52)

其他愛戀模型

Laura-Petrarch model

dP

dt = −

a

_L^{L(t) +}

R

^L^{(P(t)) +}

b

^L

A

^P

dL

dt = −

a

_P^{L(t) +}

R

^P^{(L(t)) +}

b

^P

A

^L

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

A nonlinear Model for Romeo and Juliet

dR

dt = aR + bJ(1− J ) dJ

dt = cR(1− R ) + dJ

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

(53)

三角戀愛的非線性方程

d

R

_J

dt = a

R

_J+ b(J − G)(1− J − G ) dJ

dt = c

R

_J⁽¹⁻

R

^J ^{) + dJ}

d

R

_G

dt = a

R

_G+ b(J − G)(1− G − J ) dG

dt = a

R

_G⁽¹⁻

R

^G ^{) + fG}

⎧

⎨

⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎪

在J. Spott的論文(1)中分析了這個三角戀方程，在研究的參數空間中，

混屯現象發生的區域相對的小．被limit cycles與unbounded solutions 的區域包夾著．

(54)

參考資料

•  1.J.C. Sprott,: Dynamicas of love, Nonlinear dynamics, Psychology and Life sciences, Vol 8. No. 3 (2004)

•  2.D. Satsangi, A. K. Sinha: Dynamics of Love and Happiness: A

Mathematical Analysis, I.J. Modern Education and Computer Science 2012, 31-37

•  3.S. H. Strogatz,: Love Affairs and Differential Equations, mathn. Mag.

1988 61:35.

•  4.J. Wauer, D. Schwarzer, G.Q. Cai. Y.K. Lin,:Dynamical models of love with time varying fluctuations, (2007) 188, 1535-1548

•  5.F. Breitenecker, F. Judex, N. Popper, K. Breitenecker, A. Mathe and A. Mathe: Love Emotions between Laura and Petrarch: an approach by Mathematics and System Dynamics, Journal of Computing and Information Technology. C.I.T. 16 (2008) 4, 255-269

•  6. N. Bielczyk, M. Bodnar, U. Forys,: Delay can stabilize: Love affairs dynamics, Applied Math and Computation 219 (2012) 3923-3937

(55)

愛戀關係的動態系統模型

愛情的愛與不愛

數學v.s.愛情？

問題討論

愛戀關係的動態系統模型

本堂課的Road Map

第一部分 ： 定義

愛是什麼 ?

問題與討論

愛

詩人泰戈爾

莎士比亞

問題與討論時間

一切始於定義

問題與討論

如果對同一件事情彼此的認知不同會 …?

溝通

能否客觀的方式來討論愛情 ？

數學家提供一種客觀的方式 ：

研究說明

第二部分 ： 數學模型簡介

什麼是模型（model）

數學模型

為何我們要研究數學模型

現象

範例1.牛頓第二運動定律

F=ma

馬爾薩斯人口模型

邏輯方程（人口模型修正版本 ）

建構數學模型的幾個重要原則

建構數學模型的流程圖

第三部分 ：愛戀模型的建構

愛情的愛與不愛

前提與假設

幾個範例

愛/恨的離散型量化範例

連續型的愛/恨函數範例

模型的第一個假設

，我們稱為恨．

感情的初始條件

該如何設定何時為初始的時間？

1. 兩人認識的那一刻起．

2. 告白的那一刻起．

3. 兩人交往的那一刻起．

4. 等等

建立感情函數的變化/感情日誌

ΔE

Δt

感情日誌範例

ΔE

Δt = 1− 2

4 − 3 = −1

ΔE

Δt = 5 −1

6 − 4 = 4

2 = 2

瞬時感情變化率

!E =

lim

ΔE Δt

愛/恨無窮 ？

根據感情函數是連續的前提下 ：…

，連續函數在有限區間上有極大極小值

告白(問題與討論)

愛戀關係簡單模型

!R = aR + bJ

!J = cR + dJ

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

Romatic Style

Initial condition( 初始條件)

第四部分 ：微分方程的穩定性理論

Solvability, Phase Portrait

/

戀愛模型系統的特徵方程

λ − (a + d) λ + (ad − bc) = 0

(a+d)

戀愛系統方程的解

c

第一部分：定義

能否客觀的方式來討論愛情？

數學家提供一種客觀的方式：

第二部分：數學模型簡介

邏輯方程（人口模型修正版本）

第三部分：愛戀模型的建構

^ΔE _Δt

愛/恨無窮？

根據感情函數是連續的前提下：…

第四部分：微分方程的穩定性理論

λ ^{− (a + d)} ^λ + (ad − bc) = 0

如果愛戀關係中有三個人以上呢？

第五部分： The End